第三节 矩形截面偏心受压构件
一、偏压柱强度计算的内容
? 正截面
? 斜截面（短柱才计算，套用梁的斜截面强度计算公式，
偏于安全）
注意：偏柱构件不能套用梁的斜截面强度计算公式。
二、正截面强度计算的基本假定（ 6条）
1,平截面假定
平均应变符合平截面假定。
2,拉区砼不参加工作
3,拉筋应力 gggg
RE ?? ??
在双筋梁中假设 gg
R??
，在偏压柱中，受
拉 钢 筋 一 般 达 不 到 屈 服, 就 以 应 用
,
gggg
RE ?? ??
这里由钢筋的应力应变曲线特
性决定的。
4, R w =R a, x =0.9 x
s
R w 称为弯曲抗压强度，它是为保证简化的矩
形应力图形与曲线应力图形等效而采用的一
个砼计算强度指标。
5,压筋应力达到
)2(
gg
axR ???
6,压区边缘砼应变等于 0.003 （求 ? ig 用）
三、大偏压强度计算公式及强度复核
1,强度公式
e 为 N
j
至 A
g
的距离
gg
a
h
ea
h
ee ??????
2
)
2
(
00
??
gj
ANe ?? 至为
的距离
gg
a
h
ea
h
ee ?????????
2
)
2
(
00
??
)(
r
r
,0
c
b
gggg
s
b
aj
AAR
r
r
bxRNX ?? ??????
（ 1 ）
)()
2
(,0
00 ggg
s
b
a
c
b
jg
ahAR
r
rx
hbxR
r
r
eNMA ?????????
（ 2 ）
)()
2
(,0
0 ggg
s
b
ga
c
b
jg
ahAR
r
r
a
x
bxR
r
r
eNAM ???????????
（ 3 ）
eAReA
x
hebxRMN
ggggaj
????????? ?)
2
(,0
0 （ 4 ）
2,强度复核
求 x, N
j
，其余各量均已知。
由式（ 4 ）可得，
][
1
)(
2
0
2
eAReAR
bR
xhe
x
gggg
a
???????
][
2
)()(
2
00
eAReAR
bR
ehehx
gggg
a
?????????
取其有物理意义的解，视 x 值的大小而采取相应的措施,
（ 1 ） 0
'
2 hxa
jgg
???
，属大偏心，由式（ 1 ）可得
)(
gggg
s
b
a
c
b
u
ARAR
r
r
bxR
r
r
N ?????
（ 2 ） jg
Nax,2 ??
取 以下两者中较大值,
a) 对受压钢筋
'
g
A 的应力可能达不到
g
R ?,取
g
ax ?? 2 即
eahAR
r
r
N
ggg
s
b
j
???? /)(
0
b ) 设
,0??
g
A
bR
eAR
ehehx
a
gg
2
)()(
2
00
?????
gg
s
b
a
c
b
j
AR
r
r
bxR
r
r
N ??
（ 3 ） 0
hx
jg
??
，按小偏心受压构件计算。因为在小偏心受
压情况下，离偏心压力较远一侧钢筋 A
g
中的应力往往达不到屈服
强度，则
eAReA
x
hebxR
gggga
??????? ?)
2
(
0
（ 6 ）
其中
)1
9.0
(003.0 ??
?
?
gg
E
（ 7 ）
由于 ζ = x / h
0
,故可得到 x 的一无三次方程,
0
23
???? DCxBxAx （ 8 ）
式中
bRA
a
5.0?
0
0
0027.0
003.0
)(
ehAED
eAReAEC
hebRB
gg
gggg
a
??
?????
??
采用牛顿迭代法 or 其它迭代法求解式（ 8 ）可求得 ?, or, x 值,
a ） jg
hh ?? ??
0
/当
时截面部分受压，部分受拉将 ? 代入（ 7 ）
式求解 σ
g
，再由
?
?
?
?
?
?
??? )(
11
''
gngg
s
a
c
bu
AAR
r
bxR
r
rN ?
（ 9 ）
进行截面强度复核。
b ）当
0
/ hh?? 时，截面全部受压
属小偏心距受压构件，按下式进行强度复核
取
0
/ hh??
代入式（ 7 ）求得 σ
g
，代入式（ 9 ）求得 N
u1
。
再按下式
)()(5.0
'
0
''2'
02
'
ahAR
r
r
hbR
r
r
MeN
gg
s
b
a
c
b
uj
????
求出 N
u2
，取两值最小值。
（ 5 ）垂直于弯矩作用面的截面复核。
按轴心受压构件考虑纵向弯曲系数 ?,长细比按 λ = l
0
/b,进行
强度计算
四、矩形截面偏心受压构件非对称配筋的计算方法。
1,大、小偏心受压的初步判别
? e
0
≥ 0, 3 h
0
时，可先按大偏压设计；
η e
0
＜ 0, 3 h
0
时，可先按小偏压设计。
这种初步判定方法，是对常用砼强度与热扎钢筋的偏压构件在界
限破坏形态的计算图式基础上分析及简化得到的近似方法。
2,当 η e
0
≥ 0, 3 h
0
时，在工程上可分为两种情况进行设计。
（ 1 ） 均未知和
'
gg
AA
未知数有三个，即 g
A
、
'
g
A
,x 。设计时按钢筋用量最少，
取 0
,hx
jgjg
??? ??
即
)(
)5.01(
'
0
'
2
0
'
gg
s
b
jgjga
c
b
j
g
ahR
r
r
bhR
r
r
eN
A
?
??
?
??
（ 10 ）
当计算的 0
'
m i n
'
bhuA
g
?
或负值时，应按
0
'
m i n
'
bhuA
g
? 选择
'
g
A 。
0m i n
''
0
1
111
bh
R
r
N
r
AR
r
bhR
r
A
g
s
j
b
gg
s
jga
c
g
?
?
?
??
?
（ 11 ）
（ 2 ） gA
?
已知,A
g
未知,
A
g
,x 未知，则
bR
r
r
ahAR
r
r
eN
hhx
a
s
b
ggg
s
b
j ?
?
?
?
?
?
????
???
)(2
0
2
00
（ 12 ）
a ）当 02 hxa jgg ???
?
时
g
s
v
jgg
s
c
a
c
b
g
R
r
r
NAR
r
r
bxR
r
r
A
????
?
（ 13 ）
b ） g
ax ?? 2
时
)(
,
0
1
gg
j
b
s
g
ahR
eN
r
r
A
??
?
?
令 0??
g
A,
即
g
s
b
ja
c
b
g
ab
ej
R
r
r
NbxR
r
r
A
bRr
reN
hhx
?
??
?
???
200
][2
（ 15 ）
取 021 m i n ],,[ bhAAAM i nA gggg ??? 且 。
3,当 η e
0
＜ 0, 3 h
0
时
（ 1 ）第一种情况
gg
AA,
'
均未知，三个未知量
),,( xAA
g
取 g
A
= 0, 0 0 2 bh
0
由
)()
2
(
'''
ggg
s
b
ga
c
b
j
ahA
r
r
a
x
bxR
r
r
eN ????? ?
（ 16 ）
?
?
?
?
?
?
?? 1
9.0
003.0
0
x
h
E
gg
?
（ 17 ）
即有 Ax
3
+ Bx
2
+ cx + D = 0 （ 18 ）
式中
bR
r
r
A
a
c
b
5.0??
0
'
0
'
0
'
'
)(0027.0
)(003.0
hahAE
r
r
D
eNhaAE
r
r
C
baR
r
r
B
ggg
s
b
jggg
s
b
ga
c
b
??
???
?
解式（ 18 ）, 求出 x 值。
1 ）若 jg
hh ?? ??
0
/
,截面为部分受压、部分受扎。
由式（ 17 ）求得 ?
g
后代入式（ 16 ）可求得 A
g
。
2 ）若 h / h
0
? ?,截面为全截面受压。
取 x = h,即
0
'
m i n
'
0
'
'
)(
)/(
bhu
ahR
r
r
zhhbhR
r
r
eN
A
gg
s
b
za
c
b
j
g
?
?
??
?
（ 2 ）第二种情况：
'
g
A 已知,A
g
未知
bR
r
r
ahAR
r
r
eN
hhx
a
c
b
ggg
s
b
j ?
?
?
?
?
?
?????
??
)(2
0
2
00
其它同上。
五、矩形截面偏压构件对称配筋的计算
gggggg
aaAARR ??????,,
（一）截面设计
首先假定为大偏心，即由式（ 1 ）得
bRr
Nr
xbxR
r
r
N
ab
jc
a
c
b
j
???
讨论,
1,
得由式且 ) 2 (,2
'
0 gjg
axhx ?? ?
)(
)
2
(
'
0
'
0
'
gg
s
b
a
c
b
j
gg
ahR
r
r
x
hbxR
r
r
eN
AA
?
??
??
2,
'
2
g
ax ?
时
a ）令
)(
2
'
0
'
1
'
gg
s
b
j
gg
ahR
r
r
eN
Aax
?
???
（由式（ 3 ）得）
b ）令
bRr
erN
hhxA
hb
cj
g
2
0
2
00
'
?????
s
b
gja
c
b
g
r
r
RNbxR
r
r
A /
2
?
?
?
?
?
?
?
?
???
),m i n (
21 ggg
AAA ??
3, x > ?
jg
h
0
，属小偏心，即由式①、②、③联立求解得
0
23
???? DCBA ???
其中
)003.0(5.0
'2
0 gga
EnbhRA ??
)00435.0(
''
00 ggga
aRhEbhRB ???
b
c
jgggj
b
c
ga
r
r
eNEeahRN
r
r
bhERC 003.0)(0027.0
'
0
'2
0
?????
eNE
r
r
D
jg
b
c
0027.0???
)(
'
0
'
gg
s
b
a
c
b
j
gg
R
r
r
bhR
r
r
N
AA
?
?
?
?
??
（二）截面复核同前
六、构造要求
1,截面尺寸：①长边 h,短边 b, h / b =1, 5 ～ 3 。 b ? 3 0 cm ；
②尺寸模数化，按 5 cm 的倍数增加。
2,纵向钢筋,
一般选用Ⅰ、Ⅱ级，特殊用Ⅲ级,
直径,12 ～ 40 mm,间距不小于 5 cm,不大于 30 cm,每侧最小配筋率
002.0
'
m i n
?u,经济 u =1 % ～ 3% （大）,u =0, 5 % ～ 2% （小偏心）。
长边很大时，应配 ? 10 ～ ? 16 的纵向构造筋，箍筋固定，一侧纵筋数多
余 4 根时，应设附加箍筋。
一、偏压柱强度计算的内容
? 正截面
? 斜截面（短柱才计算，套用梁的斜截面强度计算公式，
偏于安全）
注意：偏柱构件不能套用梁的斜截面强度计算公式。
二、正截面强度计算的基本假定（ 6条）
1,平截面假定
平均应变符合平截面假定。
2,拉区砼不参加工作
3,拉筋应力 gggg
RE ?? ??
在双筋梁中假设 gg
R??
，在偏压柱中，受
拉 钢 筋 一 般 达 不 到 屈 服, 就 以 应 用
,
gggg
RE ?? ??
这里由钢筋的应力应变曲线特
性决定的。
4, R w =R a, x =0.9 x
s
R w 称为弯曲抗压强度，它是为保证简化的矩
形应力图形与曲线应力图形等效而采用的一
个砼计算强度指标。
5,压筋应力达到
)2(
gg
axR ???
6,压区边缘砼应变等于 0.003 （求 ? ig 用）
三、大偏压强度计算公式及强度复核
1,强度公式
e 为 N
j
至 A
g
的距离
gg
a
h
ea
h
ee ??????
2
)
2
(
00
??
gj
ANe ?? 至为
的距离
gg
a
h
ea
h
ee ?????????
2
)
2
(
00
??
)(
r
r
,0
c
b
gggg
s
b
aj
AAR
r
r
bxRNX ?? ??????
（ 1 ）
)()
2
(,0
00 ggg
s
b
a
c
b
jg
ahAR
r
rx
hbxR
r
r
eNMA ?????????
（ 2 ）
)()
2
(,0
0 ggg
s
b
ga
c
b
jg
ahAR
r
r
a
x
bxR
r
r
eNAM ???????????
（ 3 ）
eAReA
x
hebxRMN
ggggaj
????????? ?)
2
(,0
0 （ 4 ）
2,强度复核
求 x, N
j
，其余各量均已知。
由式（ 4 ）可得，
][
1
)(
2
0
2
eAReAR
bR
xhe
x
gggg
a
???????
][
2
)()(
2
00
eAReAR
bR
ehehx
gggg
a
?????????
取其有物理意义的解，视 x 值的大小而采取相应的措施,
（ 1 ） 0
'
2 hxa
jgg
???
，属大偏心，由式（ 1 ）可得
)(
gggg
s
b
a
c
b
u
ARAR
r
r
bxR
r
r
N ?????
（ 2 ） jg
Nax,2 ??
取 以下两者中较大值,
a) 对受压钢筋
'
g
A 的应力可能达不到
g
R ?,取
g
ax ?? 2 即
eahAR
r
r
N
ggg
s
b
j
???? /)(
0
b ) 设
,0??
g
A
bR
eAR
ehehx
a
gg
2
)()(
2
00
?????
gg
s
b
a
c
b
j
AR
r
r
bxR
r
r
N ??
（ 3 ） 0
hx
jg
??
，按小偏心受压构件计算。因为在小偏心受
压情况下，离偏心压力较远一侧钢筋 A
g
中的应力往往达不到屈服
强度，则
eAReA
x
hebxR
gggga
??????? ?)
2
(
0
（ 6 ）
其中
)1
9.0
(003.0 ??
?
?
gg
E
（ 7 ）
由于 ζ = x / h
0
,故可得到 x 的一无三次方程,
0
23
???? DCxBxAx （ 8 ）
式中
bRA
a
5.0?
0
0
0027.0
003.0
)(
ehAED
eAReAEC
hebRB
gg
gggg
a
??
?????
??
采用牛顿迭代法 or 其它迭代法求解式（ 8 ）可求得 ?, or, x 值,
a ） jg
hh ?? ??
0
/当
时截面部分受压，部分受拉将 ? 代入（ 7 ）
式求解 σ
g
，再由
?
?
?
?
?
?
??? )(
11
''
gngg
s
a
c
bu
AAR
r
bxR
r
rN ?
（ 9 ）
进行截面强度复核。
b ）当
0
/ hh?? 时，截面全部受压
属小偏心距受压构件，按下式进行强度复核
取
0
/ hh??
代入式（ 7 ）求得 σ
g
，代入式（ 9 ）求得 N
u1
。
再按下式
)()(5.0
'
0
''2'
02
'
ahAR
r
r
hbR
r
r
MeN
gg
s
b
a
c
b
uj
????
求出 N
u2
，取两值最小值。
（ 5 ）垂直于弯矩作用面的截面复核。
按轴心受压构件考虑纵向弯曲系数 ?,长细比按 λ = l
0
/b,进行
强度计算
四、矩形截面偏心受压构件非对称配筋的计算方法。
1,大、小偏心受压的初步判别
? e
0
≥ 0, 3 h
0
时，可先按大偏压设计；
η e
0
＜ 0, 3 h
0
时，可先按小偏压设计。
这种初步判定方法，是对常用砼强度与热扎钢筋的偏压构件在界
限破坏形态的计算图式基础上分析及简化得到的近似方法。
2,当 η e
0
≥ 0, 3 h
0
时，在工程上可分为两种情况进行设计。
（ 1 ） 均未知和
'
gg
AA
未知数有三个，即 g
A
、
'
g
A
,x 。设计时按钢筋用量最少，
取 0
,hx
jgjg
??? ??
即
)(
)5.01(
'
0
'
2
0
'
gg
s
b
jgjga
c
b
j
g
ahR
r
r
bhR
r
r
eN
A
?
??
?
??
（ 10 ）
当计算的 0
'
m i n
'
bhuA
g
?
或负值时，应按
0
'
m i n
'
bhuA
g
? 选择
'
g
A 。
0m i n
''
0
1
111
bh
R
r
N
r
AR
r
bhR
r
A
g
s
j
b
gg
s
jga
c
g
?
?
?
??
?
（ 11 ）
（ 2 ） gA
?
已知,A
g
未知,
A
g
,x 未知，则
bR
r
r
ahAR
r
r
eN
hhx
a
s
b
ggg
s
b
j ?
?
?
?
?
?
????
???
)(2
0
2
00
（ 12 ）
a ）当 02 hxa jgg ???
?
时
g
s
v
jgg
s
c
a
c
b
g
R
r
r
NAR
r
r
bxR
r
r
A
????
?
（ 13 ）
b ） g
ax ?? 2
时
)(
,
0
1
gg
j
b
s
g
ahR
eN
r
r
A
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?
?
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g
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即
g
s
b
ja
c
b
g
ab
ej
R
r
r
NbxR
r
r
A
bRr
reN
hhx
?
??
?
???
200
][2
（ 15 ）
取 021 m i n ],,[ bhAAAM i nA gggg ??? 且 。
3,当 η e
0
＜ 0, 3 h
0
时
（ 1 ）第一种情况
gg
AA,
'
均未知，三个未知量
),,( xAA
g
取 g
A
= 0, 0 0 2 bh
0
由
)()
2
(
'''
ggg
s
b
ga
c
b
j
ahA
r
r
a
x
bxR
r
r
eN ????? ?
（ 16 ）
?
?
?
?
?
?
?? 1
9.0
003.0
0
x
h
E
gg
?
（ 17 ）
即有 Ax
3
+ Bx
2
+ cx + D = 0 （ 18 ）
式中
bR
r
r
A
a
c
b
5.0??
0
'
0
'
0
'
'
)(0027.0
)(003.0
hahAE
r
r
D
eNhaAE
r
r
C
baR
r
r
B
ggg
s
b
jggg
s
b
ga
c
b
??
???
?
解式（ 18 ）, 求出 x 值。
1 ）若 jg
hh ?? ??
0
/
,截面为部分受压、部分受扎。
由式（ 17 ）求得 ?
g
后代入式（ 16 ）可求得 A
g
。
2 ）若 h / h
0
? ?,截面为全截面受压。
取 x = h,即
0
'
m i n
'
0
'
'
)(
)/(
bhu
ahR
r
r
zhhbhR
r
r
eN
A
gg
s
b
za
c
b
j
g
?
?
??
?
（ 2 ）第二种情况：
'
g
A 已知,A
g
未知
bR
r
r
ahAR
r
r
eN
hhx
a
c
b
ggg
s
b
j ?
?
?
?
?
?
?????
??
)(2
0
2
00
其它同上。
五、矩形截面偏压构件对称配筋的计算
gggggg
aaAARR ??????,,
（一）截面设计
首先假定为大偏心，即由式（ 1 ）得
bRr
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（由式（ 3 ）得）
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（二）截面复核同前
六、构造要求
1,截面尺寸：①长边 h,短边 b, h / b =1, 5 ～ 3 。 b ? 3 0 cm ；
②尺寸模数化，按 5 cm 的倍数增加。
2,纵向钢筋,
一般选用Ⅰ、Ⅱ级，特殊用Ⅲ级,
直径,12 ～ 40 mm,间距不小于 5 cm,不大于 30 cm,每侧最小配筋率
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m i n
?u,经济 u =1 % ～ 3% （大）,u =0, 5 % ～ 2% （小偏心）。
长边很大时，应配 ? 10 ～ ? 16 的纵向构造筋，箍筋固定，一侧纵筋数多
余 4 根时，应设附加箍筋。
