第一节 信号的分类
与描述
第二节 周期信号与离
散频谱
第三节 非周期信号
与连续频谱瞬变
第四节 随机信号
第一章 信号及其描述
回主目录
第一节、信号的分类与描述
一,信号的分类
二,信号的描述
? 周期信号 是按一定时间间隔周而复始出现, 无
始无终的信号 。
式中
弹簧振子
? 非周期信号 是确定性信号中不具有周期重复性
的信号。 弹簧振子
? 随机信号 是不能准确预测其未来瞬时值, 无法
用数学关系式描述的信号 。
? ? ? ?? ??????,3,2,10 nnTtxtx
周期?0T
第一节、信号的分类与描述
一、信号的分类
（ 1）
目 录
转 换
第一节、信号的分类与描述
（ 2）
目 录
?连续信号 是其数学表示式中的独立变量取值是连续
的信号 。 若独立变量和幅值取连续的称为模拟信号 。
?离散信号 是其数学表示式中的独立变量取值是离散
的信号。若离散信号的幅值也是离散的称为数字信号。
? 能量有限信号 （能量信号） 当 满
足 时，则认为信号的能量是有
限的。例如矩形脉冲信号、衰减指数函数
等。 弹簧振子
? 功率有限信号 （功率信号 ）信号在区
间的能量是无限的，但在有限区间的平均
功率是有限的，即,
第一节、信号的分类与描述
（ 3）
目 录
弹簧振子
? 时域描述 以时间 t为独立变量的，直接观
测或记录到的信号。信号时域描述直观地
出信号瞬时值随时间变化的情况 。
? 频域描述 信号以频率 f为独立变量的，称
为信号的。频域描述则反映信号的频率组
成及其幅值、相角之大小。
第一节、信号的分类与描述
二、信号的描述
实际，两种描述方法可以 相互转换,包含同样的信息
目 录
m
k
A x
(
t
)
周期信号
功率信号
非周期信号
能量信号
目 录
? ? ??
?
?
???
?
?? 00 s in ?t
m
kxtx
? ? ?
?
??
?
? ?? ?
00 s in ?tm
kxetx t
m
A
x
(
t
)
c k
动态演示
第一节、信号的分类与描述
下 节
目 录
一,傅立叶级数的三角函数展开式
二,傅立叶级数的复指数函数展开式
三,周期信号的强度表述
第二节、周期信号与离散频谱
一、傅立叶级数的三角函数展开式
在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期
函数（信号）可以展开成傅立叶级数。
含 义 例题 进入复指数
第二节、周期信号与离散频谱
22 nnn baA ??
n
nn batg ??
n
n
n a
btg ??
常值分量
余弦分量的幅值
正弦分量的幅值
0T
周期
0?
圆频率,;2
0
0 T
?? ? ????,3,2,1n
返回三角展开式
求右图周期性三角波的傅立叶级数
解：在 x(t)的一个周期中可表示为
X(t)
t
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
T
A
A
t
T
A
A
tx
0
0
2
2
020 ??? tT
20
0Tt ??
常值分量 ? ??? 2
20
0
0
0
1 T
T dttxTa
2
22
2
0
00
A
dtt
T
A
A
T
T
?
?
?
?
?
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?
?
?? ?
返 回
小 结
Ⅰ
返 回
余弦分量的幅值
正弦分量的幅值
na
? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
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0
4
2
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4
c os
24
c os
2
222
22
0
2
0
0
2
2 0
0
0
0
0
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n
A
n
n
A
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T
A
A
T
t dtntx
T
TT
T
????,5,3,1n
????,6,4,2n
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?? 2
2
0
0
0
0
0s i n
2 T
Tn t d tntxTb ?
Ⅱ
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? ???????
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5,3,1c os
14
2
5c os
5
1
3c os
3
1
c os
4
2
0
1
22
020202
ntn
n
AA
ttt
AA
tx
n
?
?
???
?
三角波频谱
结果,
Ⅲ
二、傅立叶级数的复指数函数展开式
一般情况下 是复数
定义分析
与 共轭，即
nc nc? nnnn cc ?? ?? ??;
推 导
目录
依据欧拉公式,
第二节、周期信号与离散频谱
例 题
傅立叶级数 复指数函数形式
? 根据欧拉公式,
有
式可改写成为
? ? ? ??
?
???
???????
n
n
tjn
enctx,2,1,00
?
令
则
或
返 回
一些分析
周期函数展开为傅立叶级数的复指数函数形式后，可分
别以和作幅频谱图和相频谱图也可分别以的实部或虚部与频率
的关系作幅频图，并分别称为实频谱图和虚频谱图。
总结,
复指数函数形式的频谱为双边谱（从），三角函数
形式的频谱为单边 谱（从）；两种频谱各谐波幅值在
量值上有确定的关系，即。双边幅频谱为偶函数，双边
相频谱为奇函数。
负频率的说明
第二节、周期信号与离散频谱
返 回
负频率说明 0
Im A
Re
主要原因角速度
按其旋转方向可以为
正或负，一个向量的
实部可以看成为两个
旋转方向相反的矢量
在其实轴上投影之和，
而虚部则为虚轴上投
影之差。
第二节、周期信号与离散频谱
返回
把周期函数 X（ t）展开为傅立叶级数的复指数函数形
式后，可分别以和作幅频谱图和相频谱图；也可以的实部
或虚部与频率的关系作幅频图，分别称为实频谱图和虚频
谱图
例题 1-1
画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。
解,根据式子
故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称
正余弦频谱图
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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tj
e
tj
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e
tj
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0
0
0
00
0
2
1
s in
2
1
c os
?
?
?
??
?
小结
对于例 1-1的小结
周期性三角波频谱，其幅频谱只包含常
值分量、基波、和奇次谐波的频率 分量，
谐波的幅值以的规律收敛。在其相频谱中基
波和各次谐波的初相位为均为零。
返 回
正弦函数余弦函数的频谱图
周期性三角波频谱图
周期信号频谱的三大特点
? 1） 离散性 周期信号的频谱是离散的。
? 2） 谐波性 每条谱线只出现在基波频率
的整数倍上，基波频率是诸分量频率
的公约数。
? 3） 收敛性 各频率分量的谱线高度表示
该谐波的幅值或相位角。工程中常见
的周期信号，其谐波幅值的总趋势是
随谐拨次数的增高而减少的。因此，
在频谱分析中没必要
返 回
三、周期信号的强度表述
周期信号的强度表述方式有四种,
1）峰值 峰值 是信号可能出现的最大瞬时值，即
峰 -峰值 是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之
差
2）绝对均值
3）有效值
4）平均功率
px
? ? m a xtxx p ?
ppx ?
? ? dttx
T
T
x ??
0
0
0
1?
? ?dttx
T
x
T
r m s ??
0
0
2
0
1
? ?dttx
T
p Tav ?? 0
0
2
0
1 返回第二节
进入第三节
?
?
?非周期信号
准周期信号
瞬变非周期信号
第三节、瞬变非周期信号与连续频谱
一,傅立叶变换
二,傅立叶变换的性质
三,典型信号频谱
非周期信号常见示例
X(t)
t0
X(t)
t0
t
X(t)
0
X(t)
t0
指数衰减信号 矩形脉冲信号
衰减振荡信号 单一脉冲信号
第三节、瞬变非周期信号与连续频谱
目 录
一、傅立叶变换
对于非周期信号的理解
周期信号频谱谱线的频率间隔,当周
期 趋与无穷时，其频率间隔 趋于无穷小，谱线无
限靠近。变量 连续取值以至离散谱线的顶点最后变
成一条连续曲线。所以 非周期信号的频谱是连续的。
公式分析 例 题
0
0
2
T
??? ???
0T ???
第三节、瞬变非周期信号与连续频谱
目 录
设有一个周期信号 x(t)在区间 以傅立叶级数表示为
式中
??????? 2,2 00 TT
? ? ???
???
?
n
tjn
n ectx
0?
? ? dtetx
T
c tjn
T
Tn
0
0
0
2
20
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??
?
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???
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?
?
?
???
??
n
tjntjn
T
T edtetxTtx
00
0
0
2
20
1 ??
将代入上式则得
目 录
当 趋于无穷 时，频率间隔 成为,
离散谱中相邻的谱线紧靠在一起,成为连续变
量,求和符号 就变为积分符号,则
0T
?? ?d
?n
? ? ?
? ?
? ? ?
?
?
?
??
??
dedtetx
edtetx
d
tjtj
tjtj
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
??
??
?
??
?
??
??
2
1
2
这就是傅立叶积分
??tx
目 录
? ? ? ?? ??? ?? dtetxfX ftj ?2
式 1-26称为 的傅立叶变换，称式 1-27为 的傅立叶逆
变换，两者称为傅立叶变换对，可记为
??tx ? ??X
? ? ? ??Xtx FT
I F T
?
f?? 2? 代入式 1-25中，则式 1-26，式 1-27变为
? ? ? ?? ???? dfefXtx ftj ?2
? ? ? ?? ?
??
?? dtetxX tj ?
?? 2
1
? ? ? ?? ???? ?? ? deXtx tj
目 录
关系是 ? ? ? ??? XfX 2?
一般 是实变量 的复函数，可以写成 ? ?fX f
? ? ? ? ? ?fjefXfX ??
式中 为信号 的连续幅值谱,为
信号 的连续相位谱。
? ?fX ??tx ? ?f?
??tx
公式简化后有
返 回
目 录
例题 1-3 求矩形窗函数的频谱
? ?
?
?
?
?
0
1
t?
2
Tt ?
2
Tt ?
常称为矩形窗函数，其频谱为
? ?
? ?fTjfTj
T
T
ftj
ftj
ee
fj
dte
dtet
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
2
1
2
2
2
2
)( fW
目 录
Ⅰ
引入式，有
? ? ? ?fTjfTj ee
j
fT ??? ??? ?
2
1s i n
? ? ? ?fTcT
fT
fTTfW ?
?
? s i ns i n ??
式中 T称为窗宽
第三节、瞬变非周期信号与连续频谱
频 谱
sincθ
目 录
Ⅱ
傅立叶变换的主要性质
熟悉傅立叶变换的性质的重要意义
简化作用！！！
目 录
（一）、奇偶虚实性
一般 X（ f）是实变量的复变函数,
? ? ? ? ? ? ? ?fXjfXdtetxfX ftj ImRe2 ??? ? ?
??
? ?
? ? ? ?? ???? f t d ttxfX ?2c o sRe
? ? ? ?? ???? f t d ttxfX ?2s inIm
余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。
目 录
（二）、对称性
若
则
证明
? ? ? ?fXtx ?
? ? ? ?fxtX ??
? ? ? ?? ?
??
? dfefXtx ftj ?2
以 -T代替 T得 ? ? ? ?? ?
??
??? dfefXtx ftj ?2
将 T与 F互换，即得 X（ T）的傅立叶变换为
? ? ? ?? ??? ??? dtetXfx ftj ?2
所以 ? ? ? ?fxtX ??
目 录
（三）、时间尺度改变特性
窗函数 特性举例
若
则
证明
? ? ? ?fXtx ?
? ? ? ?01 ??
?
??
?
?? k
k
fX
k
ktx
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
??
?
??? ?? ?
??
??
?? k
fX
k
ktdektx
k
dtektx
kt
k
fj
ftj 11 22 ??
目 录
（四）、时移与频移特性
若
则，时域
? ? ? ?fXtx ?
? ? ? ? 020 ftjefXttx ????
频域
? ? ? ?02 0 ffXetx tfj ??? ?
目 录
（五）、卷积特性
? ? ? ?fXtx 11 ?
? ? ? ?fXtx 22 ?
若
则
? ? ? ? ? ? ? ?fXfXtxtx 2121 ??
? ? ? ? ? ? ? ?fXfXtxtx 2121 ??
目 录
（六）、微分和积分特性
? ? ? ?fXtx ?若
可得 ? ?
? ? ? ?fXfj
dt
txd
n
n
?2?
? ? ? ? ? ?n
n
n
df
fXdtxtj ?? ?2 常见信号频
谱
目 录
典型信号的频谱举例分析
第三节、瞬变非周期信号与连续频谱
?矩形窗函数的 频谱
? 函数及其 频谱
?正、余弦函数 的 频谱密度函数
?周期单位脉冲序列的 频谱
?
目 录
一、矩形窗函数的频谱
? ?
?
?
??
0
1
t?
2
2
T
t
T
t
?
?
公式,? ? ? ?
? ?fTjfTj
ftj
ee
fj
dtetfW
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
2
1
2
频谱,
频谱
目 录
一、定义
二,函数及其频谱 ?
在 ε时间内激发一个矩形脉冲,其面积为 1。
当 ε趋于 0时,的极限就称为 δ函数，记做 δ(t)。 δ
函数称为单位脉冲函数。 δ(t)的特点有,
??tS???tS
?
从面积的角度来看（也称为 δ函数的强度）
? ? ? ? dttSdtt ?? ? ???? ?? ? ??? 0lim
二,δ函数的采样性质
? ?
??
?
?
???
0,0
0,
t
tt?
频谱
目 录
三,函数与其他函数的卷积特性 ?
x(t)函数和 δ函数的卷积的结果，就是在发生 δ
函数的坐标位置上简单地将 x(t)重新构图。
目 录
三、正、余弦函数的频谱密度函数
一、定义
? ?
? ?tfjtfj
tfjtfj
eetf
eejtf
00
00
22
0
22
0
2
1
2c os
2
1
2s in
??
??
?
?
??
??
?
?
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ?
000
000
2
1
2c o s
2
1
2s in
fffftf
ffffjtf
????
????
???
??
正余弦函数的傅立叶变换如下,
频谱
目 录
一、定义
等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数，并用
? ? ? ?s
n
d e f
s nTtTtc o m b ?? ?
?
???
?,
整数周期式中 nnT s ?? ;
其傅立叶级数的复指数形式
? ?
? ? dteTtc om b
T
c
cTf
ecTtc om b
t
s
s
s
t
s
kfj
T
T s
s
k
kss
nfj
k
k
d e f
s
?
?
2
2
2
2
,
1
,/1
,
?
?
?
???
?
?
?
?
?
为系数式中
四、周期单位脉冲序列的频谱
频谱
目 录
一、概述
随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的不能预
测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范
围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。
第四节、随机信号
随机过程
平稳过程
非平稳过程
各态历经随机过程
二、随机信号的主要特征参数
（一） 均值、方差和均方值
1、均值为均值表示信号的常值分量。
2、方差描述随机信号的波动分量，它是偏离均值的平方的均值，
即
? ?dttxT T
Tx
?
??
? 01lim?
? ?? ? dttxT xTx 202 lim ? ?? ?? ??
3、均方差描述随机信号的强度，它是平方的均值，
即
均方值的正平方根称为均方根值
均值、方差、和均方值的相互关系是
222
xxx ??? ??
? ?dttxT T
Tx
?
??
? 0 22 1lim?
rmsx
（二） 概率密度函数
随机信号的概率密度函数是表示信号幅值落在指定
区间内的概率。
当样本函数的记录时间趋于无穷大时,的比值
就是幅值落在区间的概率。
定义幅值概率密度函数为
概率密度函数 提供了随机信号幅值分布的信息，是随机
信号的主要特征参数之一
自相关函数和功率谱密度函数 在 第五章 中讲述
? ? ? ?? ?x xxtxxPxp r
x ?
?????
?? 0
lim
T
Tx
回章目录
关于 sincθ
回到原位
以 2π为周期并随 θ的增加而做衰减振荡。
Sinθ函数是偶函数，在正整数倍时为零。
连续到离散变换
第一节、信号的分类与描述
? ?t?
? ?f?
1
1
0 0t t
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
t f0 0
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sTtc o m b,
? ?
sffc o m b,
1
sT2? s
T/3?
sT sT2sT? sT/1sT/1? sT/3
1
与描述
第二节 周期信号与离
散频谱
第三节 非周期信号
与连续频谱瞬变
第四节 随机信号
第一章 信号及其描述
回主目录
第一节、信号的分类与描述
一,信号的分类
二,信号的描述
? 周期信号 是按一定时间间隔周而复始出现, 无
始无终的信号 。
式中
弹簧振子
? 非周期信号 是确定性信号中不具有周期重复性
的信号。 弹簧振子
? 随机信号 是不能准确预测其未来瞬时值, 无法
用数学关系式描述的信号 。
? ? ? ?? ??????,3,2,10 nnTtxtx
周期?0T
第一节、信号的分类与描述
一、信号的分类
（ 1）
目 录
转 换
第一节、信号的分类与描述
（ 2）
目 录
?连续信号 是其数学表示式中的独立变量取值是连续
的信号 。 若独立变量和幅值取连续的称为模拟信号 。
?离散信号 是其数学表示式中的独立变量取值是离散
的信号。若离散信号的幅值也是离散的称为数字信号。
? 能量有限信号 （能量信号） 当 满
足 时，则认为信号的能量是有
限的。例如矩形脉冲信号、衰减指数函数
等。 弹簧振子
? 功率有限信号 （功率信号 ）信号在区
间的能量是无限的，但在有限区间的平均
功率是有限的，即,
第一节、信号的分类与描述
（ 3）
目 录
弹簧振子
? 时域描述 以时间 t为独立变量的，直接观
测或记录到的信号。信号时域描述直观地
出信号瞬时值随时间变化的情况 。
? 频域描述 信号以频率 f为独立变量的，称
为信号的。频域描述则反映信号的频率组
成及其幅值、相角之大小。
第一节、信号的分类与描述
二、信号的描述
实际，两种描述方法可以 相互转换,包含同样的信息
目 录
m
k
A x
(
t
)
周期信号
功率信号
非周期信号
能量信号
目 录
? ? ??
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??
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kxetx t
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动态演示
第一节、信号的分类与描述
下 节
目 录
一,傅立叶级数的三角函数展开式
二,傅立叶级数的复指数函数展开式
三,周期信号的强度表述
第二节、周期信号与离散频谱
一、傅立叶级数的三角函数展开式
在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期
函数（信号）可以展开成傅立叶级数。
含 义 例题 进入复指数
第二节、周期信号与离散频谱
22 nnn baA ??
n
nn batg ??
n
n
n a
btg ??
常值分量
余弦分量的幅值
正弦分量的幅值
0T
周期
0?
圆频率,;2
0
0 T
?? ? ????,3,2,1n
返回三角展开式
求右图周期性三角波的傅立叶级数
解：在 x(t)的一个周期中可表示为
X(t)
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?
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返 回
小 结
Ⅰ
返 回
余弦分量的幅值
正弦分量的幅值
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三角波频谱
结果,
Ⅲ
二、傅立叶级数的复指数函数展开式
一般情况下 是复数
定义分析
与 共轭，即
nc nc? nnnn cc ?? ?? ??;
推 导
目录
依据欧拉公式,
第二节、周期信号与离散频谱
例 题
傅立叶级数 复指数函数形式
? 根据欧拉公式,
有
式可改写成为
? ? ? ??
?
???
???????
n
n
tjn
enctx,2,1,00
?
令
则
或
返 回
一些分析
周期函数展开为傅立叶级数的复指数函数形式后，可分
别以和作幅频谱图和相频谱图也可分别以的实部或虚部与频率
的关系作幅频图，并分别称为实频谱图和虚频谱图。
总结,
复指数函数形式的频谱为双边谱（从），三角函数
形式的频谱为单边 谱（从）；两种频谱各谐波幅值在
量值上有确定的关系，即。双边幅频谱为偶函数，双边
相频谱为奇函数。
负频率的说明
第二节、周期信号与离散频谱
返 回
负频率说明 0
Im A
Re
主要原因角速度
按其旋转方向可以为
正或负，一个向量的
实部可以看成为两个
旋转方向相反的矢量
在其实轴上投影之和，
而虚部则为虚轴上投
影之差。
第二节、周期信号与离散频谱
返回
把周期函数 X（ t）展开为傅立叶级数的复指数函数形
式后，可分别以和作幅频谱图和相频谱图；也可以的实部
或虚部与频率的关系作幅频图，分别称为实频谱图和虚频
谱图
例题 1-1
画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。
解,根据式子
故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称
正余弦频谱图
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tj
e
tj
ejt
tj
e
tj
et
0
0
0
00
0
2
1
s in
2
1
c os
?
?
?
??
?
小结
对于例 1-1的小结
周期性三角波频谱，其幅频谱只包含常
值分量、基波、和奇次谐波的频率 分量，
谐波的幅值以的规律收敛。在其相频谱中基
波和各次谐波的初相位为均为零。
返 回
正弦函数余弦函数的频谱图
周期性三角波频谱图
周期信号频谱的三大特点
? 1） 离散性 周期信号的频谱是离散的。
? 2） 谐波性 每条谱线只出现在基波频率
的整数倍上，基波频率是诸分量频率
的公约数。
? 3） 收敛性 各频率分量的谱线高度表示
该谐波的幅值或相位角。工程中常见
的周期信号，其谐波幅值的总趋势是
随谐拨次数的增高而减少的。因此，
在频谱分析中没必要
返 回
三、周期信号的强度表述
周期信号的强度表述方式有四种,
1）峰值 峰值 是信号可能出现的最大瞬时值，即
峰 -峰值 是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之
差
2）绝对均值
3）有效值
4）平均功率
px
? ? m a xtxx p ?
ppx ?
? ? dttx
T
T
x ??
0
0
0
1?
? ?dttx
T
x
T
r m s ??
0
0
2
0
1
? ?dttx
T
p Tav ?? 0
0
2
0
1 返回第二节
进入第三节
?
?
?非周期信号
准周期信号
瞬变非周期信号
第三节、瞬变非周期信号与连续频谱
一,傅立叶变换
二,傅立叶变换的性质
三,典型信号频谱
非周期信号常见示例
X(t)
t0
X(t)
t0
t
X(t)
0
X(t)
t0
指数衰减信号 矩形脉冲信号
衰减振荡信号 单一脉冲信号
第三节、瞬变非周期信号与连续频谱
目 录
一、傅立叶变换
对于非周期信号的理解
周期信号频谱谱线的频率间隔,当周
期 趋与无穷时，其频率间隔 趋于无穷小，谱线无
限靠近。变量 连续取值以至离散谱线的顶点最后变
成一条连续曲线。所以 非周期信号的频谱是连续的。
公式分析 例 题
0
0
2
T
??? ???
0T ???
第三节、瞬变非周期信号与连续频谱
目 录
设有一个周期信号 x(t)在区间 以傅立叶级数表示为
式中
??????? 2,2 00 TT
? ? ???
???
?
n
tjn
n ectx
0?
? ? dtetx
T
c tjn
T
Tn
0
0
0
2
20
1 ??
??
?
? ? ? ?? ?
??
???
?
? ?
?
?
?
???
??
n
tjntjn
T
T edtetxTtx
00
0
0
2
20
1 ??
将代入上式则得
目 录
当 趋于无穷 时，频率间隔 成为,
离散谱中相邻的谱线紧靠在一起,成为连续变
量,求和符号 就变为积分符号,则
0T
?? ?d
?n
? ? ?
? ?
? ? ?
?
?
?
??
??
dedtetx
edtetx
d
tjtj
tjtj
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
??
??
?
??
?
??
??
2
1
2
这就是傅立叶积分
??tx
目 录
? ? ? ?? ??? ?? dtetxfX ftj ?2
式 1-26称为 的傅立叶变换，称式 1-27为 的傅立叶逆
变换，两者称为傅立叶变换对，可记为
??tx ? ??X
? ? ? ??Xtx FT
I F T
?
f?? 2? 代入式 1-25中，则式 1-26，式 1-27变为
? ? ? ?? ???? dfefXtx ftj ?2
? ? ? ?? ?
??
?? dtetxX tj ?
?? 2
1
? ? ? ?? ???? ?? ? deXtx tj
目 录
关系是 ? ? ? ??? XfX 2?
一般 是实变量 的复函数，可以写成 ? ?fX f
? ? ? ? ? ?fjefXfX ??
式中 为信号 的连续幅值谱,为
信号 的连续相位谱。
? ?fX ??tx ? ?f?
??tx
公式简化后有
返 回
目 录
例题 1-3 求矩形窗函数的频谱
? ?
?
?
?
?
0
1
t?
2
Tt ?
2
Tt ?
常称为矩形窗函数，其频谱为
? ?
? ?fTjfTj
T
T
ftj
ftj
ee
fj
dte
dtet
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
2
1
2
2
2
2
)( fW
目 录
Ⅰ
引入式，有
? ? ? ?fTjfTj ee
j
fT ??? ??? ?
2
1s i n
? ? ? ?fTcT
fT
fTTfW ?
?
? s i ns i n ??
式中 T称为窗宽
第三节、瞬变非周期信号与连续频谱
频 谱
sincθ
目 录
Ⅱ
傅立叶变换的主要性质
熟悉傅立叶变换的性质的重要意义
简化作用！！！
目 录
（一）、奇偶虚实性
一般 X（ f）是实变量的复变函数,
? ? ? ? ? ? ? ?fXjfXdtetxfX ftj ImRe2 ??? ? ?
??
? ?
? ? ? ?? ???? f t d ttxfX ?2c o sRe
? ? ? ?? ???? f t d ttxfX ?2s inIm
余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。
目 录
（二）、对称性
若
则
证明
? ? ? ?fXtx ?
? ? ? ?fxtX ??
? ? ? ?? ?
??
? dfefXtx ftj ?2
以 -T代替 T得 ? ? ? ?? ?
??
??? dfefXtx ftj ?2
将 T与 F互换，即得 X（ T）的傅立叶变换为
? ? ? ?? ??? ??? dtetXfx ftj ?2
所以 ? ? ? ?fxtX ??
目 录
（三）、时间尺度改变特性
窗函数 特性举例
若
则
证明
? ? ? ?fXtx ?
? ? ? ?01 ??
?
??
?
?? k
k
fX
k
ktx
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
??
?
??? ?? ?
??
??
?? k
fX
k
ktdektx
k
dtektx
kt
k
fj
ftj 11 22 ??
目 录
（四）、时移与频移特性
若
则，时域
? ? ? ?fXtx ?
? ? ? ? 020 ftjefXttx ????
频域
? ? ? ?02 0 ffXetx tfj ??? ?
目 录
（五）、卷积特性
? ? ? ?fXtx 11 ?
? ? ? ?fXtx 22 ?
若
则
? ? ? ? ? ? ? ?fXfXtxtx 2121 ??
? ? ? ? ? ? ? ?fXfXtxtx 2121 ??
目 录
（六）、微分和积分特性
? ? ? ?fXtx ?若
可得 ? ?
? ? ? ?fXfj
dt
txd
n
n
?2?
? ? ? ? ? ?n
n
n
df
fXdtxtj ?? ?2 常见信号频
谱
目 录
典型信号的频谱举例分析
第三节、瞬变非周期信号与连续频谱
?矩形窗函数的 频谱
? 函数及其 频谱
?正、余弦函数 的 频谱密度函数
?周期单位脉冲序列的 频谱
?
目 录
一、矩形窗函数的频谱
? ?
?
?
??
0
1
t?
2
2
T
t
T
t
?
?
公式,? ? ? ?
? ?fTjfTj
ftj
ee
fj
dtetfW
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
2
1
2
频谱,
频谱
目 录
一、定义
二,函数及其频谱 ?
在 ε时间内激发一个矩形脉冲,其面积为 1。
当 ε趋于 0时,的极限就称为 δ函数，记做 δ(t)。 δ
函数称为单位脉冲函数。 δ(t)的特点有,
??tS???tS
?
从面积的角度来看（也称为 δ函数的强度）
? ? ? ? dttSdtt ?? ? ???? ?? ? ??? 0lim
二,δ函数的采样性质
? ?
??
?
?
???
0,0
0,
t
tt?
频谱
目 录
三,函数与其他函数的卷积特性 ?
x(t)函数和 δ函数的卷积的结果，就是在发生 δ
函数的坐标位置上简单地将 x(t)重新构图。
目 录
三、正、余弦函数的频谱密度函数
一、定义
? ?
? ?tfjtfj
tfjtfj
eetf
eejtf
00
00
22
0
22
0
2
1
2c os
2
1
2s in
??
??
?
?
??
??
?
?
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ?
000
000
2
1
2c o s
2
1
2s in
fffftf
ffffjtf
????
????
???
??
正余弦函数的傅立叶变换如下,
频谱
目 录
一、定义
等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数，并用
? ? ? ?s
n
d e f
s nTtTtc o m b ?? ?
?
???
?,
整数周期式中 nnT s ?? ;
其傅立叶级数的复指数形式
? ?
? ? dteTtc om b
T
c
cTf
ecTtc om b
t
s
s
s
t
s
kfj
T
T s
s
k
kss
nfj
k
k
d e f
s
?
?
2
2
2
2
,
1
,/1
,
?
?
?
???
?
?
?
?
?
为系数式中
四、周期单位脉冲序列的频谱
频谱
目 录
一、概述
随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的不能预
测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范
围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。
第四节、随机信号
随机过程
平稳过程
非平稳过程
各态历经随机过程
二、随机信号的主要特征参数
（一） 均值、方差和均方值
1、均值为均值表示信号的常值分量。
2、方差描述随机信号的波动分量，它是偏离均值的平方的均值，
即
? ?dttxT T
Tx
?
??
? 01lim?
? ?? ? dttxT xTx 202 lim ? ?? ?? ??
3、均方差描述随机信号的强度，它是平方的均值，
即
均方值的正平方根称为均方根值
均值、方差、和均方值的相互关系是
222
xxx ??? ??
? ?dttxT T
Tx
?
??
? 0 22 1lim?
rmsx
（二） 概率密度函数
随机信号的概率密度函数是表示信号幅值落在指定
区间内的概率。
当样本函数的记录时间趋于无穷大时,的比值
就是幅值落在区间的概率。
定义幅值概率密度函数为
概率密度函数 提供了随机信号幅值分布的信息，是随机
信号的主要特征参数之一
自相关函数和功率谱密度函数 在 第五章 中讲述
? ? ? ?? ?x xxtxxPxp r
x ?
?????
?? 0
lim
T
Tx
回章目录
关于 sincθ
回到原位
以 2π为周期并随 θ的增加而做衰减振荡。
Sinθ函数是偶函数，在正整数倍时为零。
连续到离散变换
第一节、信号的分类与描述
? ?t?
? ?f?
1
1
0 0t t
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
t f0 0
? ?
sTtc o m b,
? ?
sffc o m b,
1
sT2? s
T/3?
sT sT2sT? sT/1sT/1? sT/3
1
