第五章 信号处理初步 提取有用的特征
修正测试系统的某些误差
信号处
理目的 分离信、噪，提高信噪比内容方法
模拟信号
处理系统
数字信号
处理系统
专用数字
信号处理
机
CAT回主目录
章 节 结 构
一,数字信号处理的基
本步骤
二,信号数字化出现的
问题
三,相关分析及其应
用
四,功率谱分析及其
应用
回主目录
数字信号处理器
或
计算机
预处理
预处 理
A/D转 换
X(t)
X(t)
A/D转 换
结果显示
第一节 数字信号处理的基本步骤
1）电压幅值调理，以适宜采样。
2）滤波，以提高信噪比。
3）隔离信号中的直流分量。
4）调制解调。
模拟信号经采
样、量化并转
化为二进制
第二节 信号数字化出现的问题
一、概述
设模拟信号的傅立叶变换为，为了利用计算机来计
算，必须使变换成有限长的离散时间序列。对进行采样
和截断。
采样是用一个等时距的周期脉冲序列去乘。时距称
为采样间隔，称为采样频率。
-----本节以计算一个模拟信号的频谱为例来说明出现的相关问题
第 二 节 周期信号与离散频谱 1,时域采样
2,时域截断
3,频域采样 T
sT
1 f
[X(f)*S(f)*W(f)]D(f)
步骤 一
产生问题
相应定理
时域采样
混叠
采样定理 步骤 二
时域采样
采样是把连续时间信号变成离散时间序列的过程，
就是等间距地取点。而从数学处理上看，则是用采样函
数去乘连续信号。
依据 FT的卷积特性 —— 时域相乘就等于频域做卷积
函数的卷积特性 —— 频域作卷积就等于频
谱的周期延拓
?
长度为 T的连续时间信号 x(t),从 t=0点开始采样，得
到离散时间序列 x(n)为
? ? ? ? ? ?ss fnxnTxnx ?? 目 录
其中,n=0,1,2,3,……N -1 重要参数
? ? ? ? snTts txnTx ??
sss
s
s
Tff
TTNN
T
1??
??
?
采样频率，
序列长度，
采样间隔；
其中采样间隔的选择是个重要的问题
过
小
过
大
工作量会很大 丢失有用信息
返 回
目 录
混 叠
在频域中，如果平移距离过小，平移后的频谱
就会有一部分相互交叠，从而使新合成的频谱与原
频谱不一致，因而无法准确地恢复原时域信号，这
种现象称为混叠。
一、定义
二、原因
（ 1）、采样频率 太低
（ 2）、原模拟信号不是有限带宽的信号，即
sf
??hf
目 录
三、采取措施
（ 1） 对非有限带宽的模拟信号，在采样之前先通
过模拟低通滤波器滤去高频成分，使其成为带限信
号。这种处理称为抗混叠滤波预处理。
（ 2）满足采样定理,
hs ff 2?
cf
? ? cs ff 4~3? 返 回
目 录
在实际工作中，考虑实际滤波器不可能有理想的
截止特性，在其截止频率 之后总有一定的过
滤带，通常取
采样定理
为了避免混叠以使采样处理后仍有可
能准确地恢复其原信号，采样频率 必
须大于最高频率 的两倍即,
这就是采样定理。
sf
hf
hs ff 2?
返 回
目 录
步骤 二
产生问题
相应措施
时域截断
泄 漏
窗函数 步骤 三
时 域 截 断
截断就是将信号乘以时域的有限宽矩形窗函数，
实际是取有限长的信号，从数学处理上看，就是乘以
时域的有限宽矩形窗函数。
依据 FT的卷积特性 —— 时域相乘就等于频域做卷
积，作卷积时窗函数频谱的旁瓣会引起皱波。
即在时域中乘矩形窗函数，经处理后其时域、
频域的关系是
目 录 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?fWfSfXttstx ????
重要参数
）序列长度（即采样点数
采样长度（即窗宽）；
sTTN
T
?
?
其中窗函数的合理选择是个 重要 的问题
返 回
目 录
泄 漏
一、定义
由于矩形窗函数的频谱是一个无限带宽的 sinc
函数。所以即使 x(t)是带限信号，在截断后也仍然
成为无限带宽的信号，这种信号的能量在频率轴分
布扩展的现象称为泄漏。
二、原因
（ 1）、窗函数的频谱是无限带宽的。
目 录
三、采取措施
（ 1） 采用合适的 窗函数 来对所截取的时域信号
进行加权处理。
目 录
常 用 的 窗 函 数
采用不同形式的窗函数 为了减少或抑制泄漏
目 录
主瓣宽度
窄的主瓣
提高频率
分辨能力
小的旁瓣
可以减少
泄漏
最大旁瓣值与
主峰值之比
最大旁瓣的倍
频程衰减率
窗函数
评价标准 ?
Ⅰ,矩形窗
T/20
ω (t)
1
? ?
?
?
??
0
1t?
2
2
T
t
T
t
?
?
主瓣最窄（高 T，宽 2/T）
旁瓣则较高（主瓣的 20%,
-13dB
旁瓣的率减率为 20dB/10倍
频程
公 式
目 录
Ⅱ,三角窗
T/20
ω (t)
1
? ?
??
?
?
? ?
?
0
21 t
Tt?
2
2
Tt
Tt
?
?
主瓣较宽（高 T/2，宽 4/T）
旁瓣则较低
不会出现负值
公 式
目 录
Ⅲ,汉宁窗
T/20
ω (t)
1
? ?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
0
2c o s
2
1
2
1
T
t
t
?
?
2
2
T
t
T
t
?
?
主瓣较宽（高 T/2，宽 4/T）
旁瓣则较低（主瓣的 2.4%,
-32dB
旁瓣的率减率为 60dB/10倍
程
公 式
目 录
Ⅳ,指数窗
T/20
ω (t)
1
公 式
? ?
?
?
?
?
?
0
te
t
?
?
0
0
?
?
t
t
主瓣很宽
无旁瓣
非对称窗，起抑制噪声的作用
返 回
目 录 动态演示
步骤 三
产生问题
频域采样
栅栏效应
量 化 目 录
sT
1 f
[X(f)*S(f)*W(f)]D(f)
频域采样
频域采样是使频率离散化，在频率轴上等间距地取
点的过程。而从数学处理上看，则是用采样函数去乘连
续频谱。
依据 FT的卷积特性 —— 频域相乘就等于时域做卷
积
函数的卷积特性 —— 时域作卷积就等于时域
波形的周期延拓
频域采样和时域采样相似，在频域中用脉冲
序列乘信号的频谱函数。
目 录
重要参数
点）仍为
点序列的频谱序列的固有特征，（依据
频率采样间隔；
N
ND F T
f
fs
T
Ts
N
N
fs
T
f
?
?
??
????
1
1
1
返 回
目 录
栅栏效应
一、定义
采样的实质就是摘取采样点上对应的函数值，
其效果有如透过栅栏的缝观看外景一样，只有落在
缝隙 前的少数景象被看到，其余景象都被栅栏挡住，
视为零。这种现象称为栅栏效应。
二、影响
（不管是时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏
效应。不过时域采样对比起来时域采样如满足采样
定理要求，栅栏效应不会有什么影响。而频域采样
的栅栏效应则影响很大，“挡住”或丢失的频率成
分有可能是重要的或具有特征的成分，以致于整个
处理失去意义。 目 录
三、采取措施
（ 1） 提高频率采样间隔，即提高频率分辨力，则
栅栏效应中被挡住的频率成分越少。但同时 Δf=1/T
是 DFT算法固有的特征，在满足满足采样定理的情
况下，这往往加剧频率分辨力和计算工作量的矛盾。
（ 2）对周期信号实行整周期截断。
返 回
目 录
另 四
—— 有关量化和量化误差
时域采样只是把连续信号的时间离散化了。而对于
幅值如果用二进制数码组来表示，就是离散信号变成数
字信号。这一过程称为量化。量化一般是由 A/D转换器来
实现的。
1、定义
2、量化误差分析
设 A/D转换器的位数为 b,允许的动态工作范围为 D，
则相邻量化电平之差 （由于实际上字长的第
一位常用作符号位），每个量化电平对应一个二进制 12 ?
?? bDx
目 录
数码。若采样点的电平落在两相邻量化之间，就必
须含入到相近的一个量化电平上。
一般认为，量化误差 ε(n)
为
在之间等概率分布。 则
? ? ? ? ? ? 量化电平实际 nxnxn ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
x
xx
x
x
29.0
32
0
12
12
0
1
2
2
方差标准差为
均方值为
均值为
概率密度为
目 录
三、采取措施
（ 1） 提高 A/D转换的为数，既降低了量化误差，
但 A/D转换的位数选择应视信号的具体情况和量化
的精度要求而定，位数增多后，成本显著增加，转
换速率下降。
（ 2）实际上，和信号获取、处理的其他误差相比，
量化误差通常不大，所以一般可忽略其影响。
下 节
返 回
目 录
一,相关系数
二,自相关函数
三,互相关函数
第 三 节 相关分析及其应用
一,两随机变量的相关系数
? ?
? ?
? ?? ?
? ?? ?
22
22
yy
xx
yx
yy
xx
yE
xE
yx
Ex
Ex
E
??
??
??
??
??
??
??
???
??
??
?
的标准差，随机变量
的均值，随机变量
的均值，随机变量
数学期望；
对于变量之间的相关程度
常用相关系数表示之
? ?? ?? ?
yx
yx
xy
yxE
??
??
?
??
? 意 义 目 录
y
x
x
0
?
y
0
?
?
?
? ?
? ?
?
?
??
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
的标准差，随机变量
的均值，随机变量
的均值，随机变量
数学期望；
yx
yEx
xEx
E
yx
yy
xx
???
??
??
?
??
??
??
又利用柯西 -许瓦兹不等式
? ?? ?
? ?? ?22
22
yy
xx
yE
xE
??
??
??
??
? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?222 yxyx yExEyxE ???? ?????
目 录
? ?? ?
? ?? ?22
22
yy
xx
yE
xE
??
??
??
??
又利用柯西 -许瓦兹不等式
? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?222 yxyx yExEyxE ???? ?????
1?xy?接近1,两量
的相关性愈好
接近于0,两
变量之间无关目 录
二,信号的自相关函数
1、自相关函数定义过程
设 x(t)是某各态历经随机过程的一个样本记录,
是 x(t) 时移后的样本，在任何时刻,从两个样
本得到两个量值 和,而且它们具有相同
的均值和标准差。同时把简写作，那么有
? ???tx
itt ?
? ?itx ? ???itx
? ?
? ?? ? ? ?? ?
2
0
1
lim
x
x
T
x
T
x
dttxtx
T
?
???
??
???
?
???
目 录
将分子展开并由于有 ? ?
? ?
x
T
T
x
T
T
dttx
T
dttx
T
??
?
??
?
?
?
??
??
0
0
1
lim
1
lim
? ? ? ?
2
0
21
lim
x
T
x
T
x
dttxtx
T
?
??
?
? ??
?
??
对各态历经随机信号及功率信号定义自相关函数 为 ? ??
xR
? ? ? ? ? ?? ??
??
T
Tx
dttxtx
T
R
0
1lim ??
目 录
通过公式可知，和均随而变化，且两者成线性
关系。
? ? ? ? 2
2
x
xx
x
R
?
???? ??
2,自相关函数具有的性质,
1）由上是式有 又由于
所以
? ? ? ? 22 xxxxR ????? ?? ? ???x
? ? 2222 xxxxx R ????? ????
2）自相关函数在 时为最大值，等于信号的均方值 0??
目 录
? ? ? ? ? ? 2
0
1lim0
x
T
Tx
dttxtxTR ??? ?
??
3）当足够大时或时，随机变量和之间不存在内在联
系，彼此无关。
4）自相关函数为偶函数。
5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数其
幅值与原周期函数的幅值有关，但丢失相位信息
例题分析
例 5-1求正弦函数的自相关函数，初始相角 φ为
一随机变量。
目 录
解,
该正弦函数的自相关函数为
式中
令,则 。于是
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ?dtttx
T
dttxtx
T
R
T
T
T
x
?
?
????
??
??
0
0
2
0
0
0
s i ns i n
1
1
lim
?????
??
?
?2,
00 ?? TT 正弦函数的周期
??? ??t ??ddt ?
? ? ? ? ????????? ? c o s2s i ns i n2 202
0
2
0 xdxR
x ??? ?
目 录
正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在
τ=0时具有最大值，但它不随 τ的增加而衰减至零。
它保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失
了初始相位信息
以下有四种典型信号的 自相关函数
分析一个实例 -关于某一机械加工表面
粗糙度的波形。
3,工程应用
①区别信号类型
②检测混杂在随机信号中的周期成分。
返 回
目 录
三,信号的互相关函数
1、互相关函数定义过程
两个各态历经过程的随机信号 x(t)和 y (t)的互相关函
数 定义为
? ? ? ? ? ?? ??
??
T
Txy
dttytxR 0lim ??
? ??xyR
当时移 τ足够大或 τ趋于无穷时,x(t)和 y (t)互不相关,
而 的最大变动范围在
之间，即
0?xy?
? ? yxxyR ??? ? ? ??xyR yxyx ???? ?
? ? ? ? ? ?yxyxxyyxyx R ????????? ????
目 录
如果 x(t)和 y (t)两信号是同频率的周期信号或者包含
有同频率的成分，那么即使 τ趋于无穷，互相关函数也
不收敛并会出现该频率的周期成分。如两信号含频率不
等的周期成分，则两者不相关。就是说 同频相关，不
同频不相关。
2,性 质
Ⅰ,不是偶函数
Ⅱ,在 τ时刻取得最大值
Ⅲ,若不含同频周期分量,
Ⅳ,若含同频周期分量,
? ? yxxyxy R ????? ????? 0,
? ?也表现有同频成分?? xyR,?? 目 录
例题 5-2设有两个周期信号 x(t)和 y (t)
? ? ? ?
? ? ? ????
??
???
??
tyty
txtx
s in
s in
0
0
? ?
? ? ? ?的相位差与
时刻的相位角；相对于式中
tytx
ttx
?
??
?
? 0
试求其互相关函数 ? ??xyR
目 录
解,
因为函数是周期信号，可以用一个共同周
期内的平均值代替其整个历程的平均值，故
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ?
? ????
??????
??
??
?????
??
?
?
??
c os
2
1
s i ns i n
1
lim
00
0
0
0
0
yx
dtttx
T
dttytxR
T
T
T
xy
此例可知，两个均值为 0且同频率的信号，其互相
关函数保留了圆频率、幅值、及相位差值信息
目 录
例 5-3若两个周期信号的圆频率不等
试求其互相关函数
? ? ? ?
? ? ? ????
??
???
??
tyty
txtx
20
10
s in
s in
解：因为两信号不具有共同的周期，所以有
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ??
?
?????
??
??
??
T
T
T
T
xy
dtttyx
T
dttytx
T
R
0
2100
0
0
s i ns i n
1
lim
1
lim
??????
??
根据正余弦函数的正交性，可知
? ? 0??xyR 目 录
例题完
互相关函数的性质
目 录
? ??
xy
R
yxyx
???? ?
yxyx
???? ?
yx
?? 0
t
0
?
（ 1）、相关滤波器
（ 2）、测速
（ 3）、测距
3、应 用
4、相关函数估计
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?dttytx
T
R
dttxtx
T
R
T
xy
T
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
1
1
目 录 三节完
第四节 功率谱分析及其应用
功率谱分析从频域 提供相关技
术所能提供的信息。，是研究平稳
随机过程的重要方法。
一,自功率谱密度函数
二,互功率谱密度函数
第四节 功率谱分析及其应用
一,自功率谱密度函数
1,定义及其物理意义
假定 x(t)是零均值的随机过程，又假定中没有周期分
量，那么当 τ趋于无穷，自 相关趋于 0，则自相关函数
满足傅立叶变换的条件,有自相关函数
的傅立叶变换和其逆变换
定义 为的自功率谱密度函数，简称自谱或自功
率谱。 包含着 的全部的信息。因为 为实偶
函数 也为实偶函数。由此常用在
? ??xR
? ? ?????? ?? dR x
? ? ? ? ?? ?? deRfS fjxx ? ??? ?? 2
? ? ? ? dfefSR fjxx ? ???? ??? 2
? ?fSx
? ?fSx ? ??xR
? ?fSx
? ??xR
? ???? 0f
目 录
范围内 来表示信号的全部功率谱，并
把称为信号 x(t)的单边 功率谱,
? ? ? ?fSfG xx 2?
? ?fGx
若 τ=0，则根据自相关函数和自功率谱密度函数的
定义，可得到
? ? ? ? ? ?dffSdttxTR xT
Tx ??
?
????
??
0
21lim0
可见，自功率谱密度函数的曲线下和频率轴所包围
的面积就是信号的平均功率。
2,物理意义
目 录
3,巴塞伐尔定理
在频域中计算的信号总能量，等于在频域中计
算的总能量，这就是巴塞伐尔定理即
? ? ? ??? ?????? ? dffSdttx x 22
? ?
? ? 能量谱密度
幅频谱密度
2fS
fS
x
x
推论,
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
2
22
lim
1
1
limlim
1
fX
T
fS
dffSP
dffX
T
dttx
T
P
T
x
xav
TT
av
??
?
??
?
?? ??
?
????
??
?
??
?
??
目 录
4,功率谱估计
? ? ? ?
? ? ? ? 12,1,0
1
1
2
2
??????
?
?
?
NkkX
N
kS
fX
T
fS
x
x
其中
单边谱
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?rRkS
kX
N
kXkXnxtx
kX
N
fG
x
I FF T
x
FFT
x
??
????
?
?
22
2
1
2
平均模平方
计算方法
目 录
5,工程应用
（ 1）分析信号的频域结构
FT:X(f)
功率谱,? ?fSx
（ 2）可分析系统的 ? ?fH
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ?
? ?
? ?fS
fS
fx
fy
fx
fy
fx
fyfHfHfH
x
y??????
?
?
?
2
2
2
? ? ? ?? ?fx fyfH ?
返 回 目 录
二、互谱密度函数
1,定义
如果自相关函数 满足傅立叶变换的条件,则
定义
称为信号和的互谱密度函数，简称互谱。根据傅立叶逆
变换，有
2、互谱分析的估计
对于模拟信号
对于数字信号
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?iixy
iixy
fYfX
T
fS
fYfX
T
fS
?
?
?
?
?
?
1
1
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ii
xy
iixy
kYkX
N
kS
kYkX
N
kS
?
?
?
?
?
?
1
1
? ??xyR
? ? ? ? ?? ?? deRfS fjxyxy ? ??? ?? 2
? ? ? ? dfefSR fjxyxy ? ???? ??? 2
目 录
3,工程应用
（ 1）可利用互谱求系统的
（ 2）可在强噪声背景下分析系统的传输特性
? ?fH
? ?fH
? ?f?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?fS fSfXfx fXfyfx fyfH
x
xy???
?
?
X(t)
y(t)
? ?tn
3
系统2
? ?tn
1
系统1
? ?tn
2
目 录
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?tntntntxty ???? ???? 321
互相关
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? nxxnxnxxxy RRRRR ???? ????
321
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?fS
fS
fS
fS
fH
fSfS
RR
x
xx
x
xy
xxxx
xxxx
?
?
?
??
???
?
排噪功能
??
目 录
4,相干函数
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?10 2
2
2 ???
xy
yx
xy
xy fSfS
fS
f ??
目 录
结 束
正弦波的自相关函数
正弦波 余弦波
正弦波加随机噪声的自相关函数
正弦加随机 随机信号
窄带随机噪声
宽带随机噪声
返 回
T
s
T
1 f
[X(f)*S(f)*W(f)]D(f)
修正测试系统的某些误差
信号处
理目的 分离信、噪，提高信噪比内容方法
模拟信号
处理系统
数字信号
处理系统
专用数字
信号处理
机
CAT回主目录
章 节 结 构
一,数字信号处理的基
本步骤
二,信号数字化出现的
问题
三,相关分析及其应
用
四,功率谱分析及其
应用
回主目录
数字信号处理器
或
计算机
预处理
预处 理
A/D转 换
X(t)
X(t)
A/D转 换
结果显示
第一节 数字信号处理的基本步骤
1）电压幅值调理，以适宜采样。
2）滤波，以提高信噪比。
3）隔离信号中的直流分量。
4）调制解调。
模拟信号经采
样、量化并转
化为二进制
第二节 信号数字化出现的问题
一、概述
设模拟信号的傅立叶变换为，为了利用计算机来计
算，必须使变换成有限长的离散时间序列。对进行采样
和截断。
采样是用一个等时距的周期脉冲序列去乘。时距称
为采样间隔，称为采样频率。
-----本节以计算一个模拟信号的频谱为例来说明出现的相关问题
第 二 节 周期信号与离散频谱 1,时域采样
2,时域截断
3,频域采样 T
sT
1 f
[X(f)*S(f)*W(f)]D(f)
步骤 一
产生问题
相应定理
时域采样
混叠
采样定理 步骤 二
时域采样
采样是把连续时间信号变成离散时间序列的过程，
就是等间距地取点。而从数学处理上看，则是用采样函
数去乘连续信号。
依据 FT的卷积特性 —— 时域相乘就等于频域做卷积
函数的卷积特性 —— 频域作卷积就等于频
谱的周期延拓
?
长度为 T的连续时间信号 x(t),从 t=0点开始采样，得
到离散时间序列 x(n)为
? ? ? ? ? ?ss fnxnTxnx ?? 目 录
其中,n=0,1,2,3,……N -1 重要参数
? ? ? ? snTts txnTx ??
sss
s
s
Tff
TTNN
T
1??
??
?
采样频率，
序列长度，
采样间隔；
其中采样间隔的选择是个重要的问题
过
小
过
大
工作量会很大 丢失有用信息
返 回
目 录
混 叠
在频域中，如果平移距离过小，平移后的频谱
就会有一部分相互交叠，从而使新合成的频谱与原
频谱不一致，因而无法准确地恢复原时域信号，这
种现象称为混叠。
一、定义
二、原因
（ 1）、采样频率 太低
（ 2）、原模拟信号不是有限带宽的信号，即
sf
??hf
目 录
三、采取措施
（ 1） 对非有限带宽的模拟信号，在采样之前先通
过模拟低通滤波器滤去高频成分，使其成为带限信
号。这种处理称为抗混叠滤波预处理。
（ 2）满足采样定理,
hs ff 2?
cf
? ? cs ff 4~3? 返 回
目 录
在实际工作中，考虑实际滤波器不可能有理想的
截止特性，在其截止频率 之后总有一定的过
滤带，通常取
采样定理
为了避免混叠以使采样处理后仍有可
能准确地恢复其原信号，采样频率 必
须大于最高频率 的两倍即,
这就是采样定理。
sf
hf
hs ff 2?
返 回
目 录
步骤 二
产生问题
相应措施
时域截断
泄 漏
窗函数 步骤 三
时 域 截 断
截断就是将信号乘以时域的有限宽矩形窗函数，
实际是取有限长的信号，从数学处理上看，就是乘以
时域的有限宽矩形窗函数。
依据 FT的卷积特性 —— 时域相乘就等于频域做卷
积，作卷积时窗函数频谱的旁瓣会引起皱波。
即在时域中乘矩形窗函数，经处理后其时域、
频域的关系是
目 录 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?fWfSfXttstx ????
重要参数
）序列长度（即采样点数
采样长度（即窗宽）；
sTTN
T
?
?
其中窗函数的合理选择是个 重要 的问题
返 回
目 录
泄 漏
一、定义
由于矩形窗函数的频谱是一个无限带宽的 sinc
函数。所以即使 x(t)是带限信号，在截断后也仍然
成为无限带宽的信号，这种信号的能量在频率轴分
布扩展的现象称为泄漏。
二、原因
（ 1）、窗函数的频谱是无限带宽的。
目 录
三、采取措施
（ 1） 采用合适的 窗函数 来对所截取的时域信号
进行加权处理。
目 录
常 用 的 窗 函 数
采用不同形式的窗函数 为了减少或抑制泄漏
目 录
主瓣宽度
窄的主瓣
提高频率
分辨能力
小的旁瓣
可以减少
泄漏
最大旁瓣值与
主峰值之比
最大旁瓣的倍
频程衰减率
窗函数
评价标准 ?
Ⅰ,矩形窗
T/20
ω (t)
1
? ?
?
?
??
0
1t?
2
2
T
t
T
t
?
?
主瓣最窄（高 T，宽 2/T）
旁瓣则较高（主瓣的 20%,
-13dB
旁瓣的率减率为 20dB/10倍
频程
公 式
目 录
Ⅱ,三角窗
T/20
ω (t)
1
? ?
??
?
?
? ?
?
0
21 t
Tt?
2
2
Tt
Tt
?
?
主瓣较宽（高 T/2，宽 4/T）
旁瓣则较低
不会出现负值
公 式
目 录
Ⅲ,汉宁窗
T/20
ω (t)
1
? ?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
0
2c o s
2
1
2
1
T
t
t
?
?
2
2
T
t
T
t
?
?
主瓣较宽（高 T/2，宽 4/T）
旁瓣则较低（主瓣的 2.4%,
-32dB
旁瓣的率减率为 60dB/10倍
程
公 式
目 录
Ⅳ,指数窗
T/20
ω (t)
1
公 式
? ?
?
?
?
?
?
0
te
t
?
?
0
0
?
?
t
t
主瓣很宽
无旁瓣
非对称窗，起抑制噪声的作用
返 回
目 录 动态演示
步骤 三
产生问题
频域采样
栅栏效应
量 化 目 录
sT
1 f
[X(f)*S(f)*W(f)]D(f)
频域采样
频域采样是使频率离散化，在频率轴上等间距地取
点的过程。而从数学处理上看，则是用采样函数去乘连
续频谱。
依据 FT的卷积特性 —— 频域相乘就等于时域做卷
积
函数的卷积特性 —— 时域作卷积就等于时域
波形的周期延拓
频域采样和时域采样相似，在频域中用脉冲
序列乘信号的频谱函数。
目 录
重要参数
点）仍为
点序列的频谱序列的固有特征，（依据
频率采样间隔；
N
ND F T
f
fs
T
Ts
N
N
fs
T
f
?
?
??
????
1
1
1
返 回
目 录
栅栏效应
一、定义
采样的实质就是摘取采样点上对应的函数值，
其效果有如透过栅栏的缝观看外景一样，只有落在
缝隙 前的少数景象被看到，其余景象都被栅栏挡住，
视为零。这种现象称为栅栏效应。
二、影响
（不管是时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏
效应。不过时域采样对比起来时域采样如满足采样
定理要求，栅栏效应不会有什么影响。而频域采样
的栅栏效应则影响很大，“挡住”或丢失的频率成
分有可能是重要的或具有特征的成分，以致于整个
处理失去意义。 目 录
三、采取措施
（ 1） 提高频率采样间隔，即提高频率分辨力，则
栅栏效应中被挡住的频率成分越少。但同时 Δf=1/T
是 DFT算法固有的特征，在满足满足采样定理的情
况下，这往往加剧频率分辨力和计算工作量的矛盾。
（ 2）对周期信号实行整周期截断。
返 回
目 录
另 四
—— 有关量化和量化误差
时域采样只是把连续信号的时间离散化了。而对于
幅值如果用二进制数码组来表示，就是离散信号变成数
字信号。这一过程称为量化。量化一般是由 A/D转换器来
实现的。
1、定义
2、量化误差分析
设 A/D转换器的位数为 b,允许的动态工作范围为 D，
则相邻量化电平之差 （由于实际上字长的第
一位常用作符号位），每个量化电平对应一个二进制 12 ?
?? bDx
目 录
数码。若采样点的电平落在两相邻量化之间，就必
须含入到相近的一个量化电平上。
一般认为，量化误差 ε(n)
为
在之间等概率分布。 则
? ? ? ? ? ? 量化电平实际 nxnxn ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
x
xx
x
x
29.0
32
0
12
12
0
1
2
2
方差标准差为
均方值为
均值为
概率密度为
目 录
三、采取措施
（ 1） 提高 A/D转换的为数，既降低了量化误差，
但 A/D转换的位数选择应视信号的具体情况和量化
的精度要求而定，位数增多后，成本显著增加，转
换速率下降。
（ 2）实际上，和信号获取、处理的其他误差相比，
量化误差通常不大，所以一般可忽略其影响。
下 节
返 回
目 录
一,相关系数
二,自相关函数
三,互相关函数
第 三 节 相关分析及其应用
一,两随机变量的相关系数
? ?
? ?
? ?? ?
? ?? ?
22
22
yy
xx
yx
yy
xx
yE
xE
yx
Ex
Ex
E
??
??
??
??
??
??
??
???
??
??
?
的标准差，随机变量
的均值，随机变量
的均值，随机变量
数学期望；
对于变量之间的相关程度
常用相关系数表示之
? ?? ?? ?
yx
yx
xy
yxE
??
??
?
??
? 意 义 目 录
y
x
x
0
?
y
0
?
?
?
? ?
? ?
?
?
??
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
的标准差，随机变量
的均值，随机变量
的均值，随机变量
数学期望；
yx
yEx
xEx
E
yx
yy
xx
???
??
??
?
??
??
??
又利用柯西 -许瓦兹不等式
? ?? ?
? ?? ?22
22
yy
xx
yE
xE
??
??
??
??
? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?222 yxyx yExEyxE ???? ?????
目 录
? ?? ?
? ?? ?22
22
yy
xx
yE
xE
??
??
??
??
又利用柯西 -许瓦兹不等式
? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?222 yxyx yExEyxE ???? ?????
1?xy?接近1,两量
的相关性愈好
接近于0,两
变量之间无关目 录
二,信号的自相关函数
1、自相关函数定义过程
设 x(t)是某各态历经随机过程的一个样本记录,
是 x(t) 时移后的样本，在任何时刻,从两个样
本得到两个量值 和,而且它们具有相同
的均值和标准差。同时把简写作，那么有
? ???tx
itt ?
? ?itx ? ???itx
? ?
? ?? ? ? ?? ?
2
0
1
lim
x
x
T
x
T
x
dttxtx
T
?
???
??
???
?
???
目 录
将分子展开并由于有 ? ?
? ?
x
T
T
x
T
T
dttx
T
dttx
T
??
?
??
?
?
?
??
??
0
0
1
lim
1
lim
? ? ? ?
2
0
21
lim
x
T
x
T
x
dttxtx
T
?
??
?
? ??
?
??
对各态历经随机信号及功率信号定义自相关函数 为 ? ??
xR
? ? ? ? ? ?? ??
??
T
Tx
dttxtx
T
R
0
1lim ??
目 录
通过公式可知，和均随而变化，且两者成线性
关系。
? ? ? ? 2
2
x
xx
x
R
?
???? ??
2,自相关函数具有的性质,
1）由上是式有 又由于
所以
? ? ? ? 22 xxxxR ????? ?? ? ???x
? ? 2222 xxxxx R ????? ????
2）自相关函数在 时为最大值，等于信号的均方值 0??
目 录
? ? ? ? ? ? 2
0
1lim0
x
T
Tx
dttxtxTR ??? ?
??
3）当足够大时或时，随机变量和之间不存在内在联
系，彼此无关。
4）自相关函数为偶函数。
5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数其
幅值与原周期函数的幅值有关，但丢失相位信息
例题分析
例 5-1求正弦函数的自相关函数，初始相角 φ为
一随机变量。
目 录
解,
该正弦函数的自相关函数为
式中
令,则 。于是
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ?dtttx
T
dttxtx
T
R
T
T
T
x
?
?
????
??
??
0
0
2
0
0
0
s i ns i n
1
1
lim
?????
??
?
?2,
00 ?? TT 正弦函数的周期
??? ??t ??ddt ?
? ? ? ? ????????? ? c o s2s i ns i n2 202
0
2
0 xdxR
x ??? ?
目 录
正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在
τ=0时具有最大值，但它不随 τ的增加而衰减至零。
它保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失
了初始相位信息
以下有四种典型信号的 自相关函数
分析一个实例 -关于某一机械加工表面
粗糙度的波形。
3,工程应用
①区别信号类型
②检测混杂在随机信号中的周期成分。
返 回
目 录
三,信号的互相关函数
1、互相关函数定义过程
两个各态历经过程的随机信号 x(t)和 y (t)的互相关函
数 定义为
? ? ? ? ? ?? ??
??
T
Txy
dttytxR 0lim ??
? ??xyR
当时移 τ足够大或 τ趋于无穷时,x(t)和 y (t)互不相关,
而 的最大变动范围在
之间，即
0?xy?
? ? yxxyR ??? ? ? ??xyR yxyx ???? ?
? ? ? ? ? ?yxyxxyyxyx R ????????? ????
目 录
如果 x(t)和 y (t)两信号是同频率的周期信号或者包含
有同频率的成分，那么即使 τ趋于无穷，互相关函数也
不收敛并会出现该频率的周期成分。如两信号含频率不
等的周期成分，则两者不相关。就是说 同频相关，不
同频不相关。
2,性 质
Ⅰ,不是偶函数
Ⅱ,在 τ时刻取得最大值
Ⅲ,若不含同频周期分量,
Ⅳ,若含同频周期分量,
? ? yxxyxy R ????? ????? 0,
? ?也表现有同频成分?? xyR,?? 目 录
例题 5-2设有两个周期信号 x(t)和 y (t)
? ? ? ?
? ? ? ????
??
???
??
tyty
txtx
s in
s in
0
0
? ?
? ? ? ?的相位差与
时刻的相位角；相对于式中
tytx
ttx
?
??
?
? 0
试求其互相关函数 ? ??xyR
目 录
解,
因为函数是周期信号，可以用一个共同周
期内的平均值代替其整个历程的平均值，故
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ?
? ????
??????
??
??
?????
??
?
?
??
c os
2
1
s i ns i n
1
lim
00
0
0
0
0
yx
dtttx
T
dttytxR
T
T
T
xy
此例可知，两个均值为 0且同频率的信号，其互相
关函数保留了圆频率、幅值、及相位差值信息
目 录
例 5-3若两个周期信号的圆频率不等
试求其互相关函数
? ? ? ?
? ? ? ????
??
???
??
tyty
txtx
20
10
s in
s in
解：因为两信号不具有共同的周期，所以有
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ??
?
?????
??
??
??
T
T
T
T
xy
dtttyx
T
dttytx
T
R
0
2100
0
0
s i ns i n
1
lim
1
lim
??????
??
根据正余弦函数的正交性，可知
? ? 0??xyR 目 录
例题完
互相关函数的性质
目 录
? ??
xy
R
yxyx
???? ?
yxyx
???? ?
yx
?? 0
t
0
?
（ 1）、相关滤波器
（ 2）、测速
（ 3）、测距
3、应 用
4、相关函数估计
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?dttytx
T
R
dttxtx
T
R
T
xy
T
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
1
1
目 录 三节完
第四节 功率谱分析及其应用
功率谱分析从频域 提供相关技
术所能提供的信息。，是研究平稳
随机过程的重要方法。
一,自功率谱密度函数
二,互功率谱密度函数
第四节 功率谱分析及其应用
一,自功率谱密度函数
1,定义及其物理意义
假定 x(t)是零均值的随机过程，又假定中没有周期分
量，那么当 τ趋于无穷，自 相关趋于 0，则自相关函数
满足傅立叶变换的条件,有自相关函数
的傅立叶变换和其逆变换
定义 为的自功率谱密度函数，简称自谱或自功
率谱。 包含着 的全部的信息。因为 为实偶
函数 也为实偶函数。由此常用在
? ??xR
? ? ?????? ?? dR x
? ? ? ? ?? ?? deRfS fjxx ? ??? ?? 2
? ? ? ? dfefSR fjxx ? ???? ??? 2
? ?fSx
? ?fSx ? ??xR
? ?fSx
? ??xR
? ???? 0f
目 录
范围内 来表示信号的全部功率谱，并
把称为信号 x(t)的单边 功率谱,
? ? ? ?fSfG xx 2?
? ?fGx
若 τ=0，则根据自相关函数和自功率谱密度函数的
定义，可得到
? ? ? ? ? ?dffSdttxTR xT
Tx ??
?
????
??
0
21lim0
可见，自功率谱密度函数的曲线下和频率轴所包围
的面积就是信号的平均功率。
2,物理意义
目 录
3,巴塞伐尔定理
在频域中计算的信号总能量，等于在频域中计
算的总能量，这就是巴塞伐尔定理即
? ? ? ??? ?????? ? dffSdttx x 22
? ?
? ? 能量谱密度
幅频谱密度
2fS
fS
x
x
推论,
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
2
22
lim
1
1
limlim
1
fX
T
fS
dffSP
dffX
T
dttx
T
P
T
x
xav
TT
av
??
?
??
?
?? ??
?
????
??
?
??
?
??
目 录
4,功率谱估计
? ? ? ?
? ? ? ? 12,1,0
1
1
2
2
??????
?
?
?
NkkX
N
kS
fX
T
fS
x
x
其中
单边谱
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?rRkS
kX
N
kXkXnxtx
kX
N
fG
x
I FF T
x
FFT
x
??
????
?
?
22
2
1
2
平均模平方
计算方法
目 录
5,工程应用
（ 1）分析信号的频域结构
FT:X(f)
功率谱,? ?fSx
（ 2）可分析系统的 ? ?fH
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ?
? ?
? ?fS
fS
fx
fy
fx
fy
fx
fyfHfHfH
x
y??????
?
?
?
2
2
2
? ? ? ?? ?fx fyfH ?
返 回 目 录
二、互谱密度函数
1,定义
如果自相关函数 满足傅立叶变换的条件,则
定义
称为信号和的互谱密度函数，简称互谱。根据傅立叶逆
变换，有
2、互谱分析的估计
对于模拟信号
对于数字信号
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?iixy
iixy
fYfX
T
fS
fYfX
T
fS
?
?
?
?
?
?
1
1
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ii
xy
iixy
kYkX
N
kS
kYkX
N
kS
?
?
?
?
?
?
1
1
? ??xyR
? ? ? ? ?? ?? deRfS fjxyxy ? ??? ?? 2
? ? ? ? dfefSR fjxyxy ? ???? ??? 2
目 录
3,工程应用
（ 1）可利用互谱求系统的
（ 2）可在强噪声背景下分析系统的传输特性
? ?fH
? ?fH
? ?f?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?fS fSfXfx fXfyfx fyfH
x
xy???
?
?
X(t)
y(t)
? ?tn
3
系统2
? ?tn
1
系统1
? ?tn
2
目 录
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?tntntntxty ???? ???? 321
互相关
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? nxxnxnxxxy RRRRR ???? ????
321
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?fS
fS
fS
fS
fH
fSfS
RR
x
xx
x
xy
xxxx
xxxx
?
?
?
??
???
?
排噪功能
??
目 录
4,相干函数
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?10 2
2
2 ???
xy
yx
xy
xy fSfS
fS
f ??
目 录
结 束
正弦波的自相关函数
正弦波 余弦波
正弦波加随机噪声的自相关函数
正弦加随机 随机信号
窄带随机噪声
宽带随机噪声
返 回
T
s
T
1 f
[X(f)*S(f)*W(f)]D(f)
