第二章 测试装置的基本特性
§ 1 概述
§ 2 测试装置的静态特性
§ 3 测试装置动态特性的数学描述
§ 4 测试装置对任意输入的响应
§ 5 实现不失真测试的条件
§ 6 测试装置动态特性的测试
返 回
一,对测试装置的基本要求
二,线性系统及其主要性质
§ 1 概 述
目 录
一,线性度
二,灵敏度、鉴别力阈、分辨力
三,回程误差
四,稳定度和漂移
§ 2 测试装置的静态特性
目 录
一,传递函数
二,频率响应函数
三,脉冲响应函数
四,环节的串联和并联
五,一阶、二阶系统的特性
§ 3 测试装置动态特性的数学描
述
目 录
一,系统对任意输入的响应
二,系统对单位阶跃输入的响应
§ 4 测试装置对任意输入的响
应
目 录
一,频率响应法
二,阶跃响应法
§ 6 测试装置动态特性的测试
目 录
§ 1 概 述
一、对测试装置的基本要求
通常的工程测试问题总是处理输入量 x(t)、装置（系统）的传输
特性 h(t)和输出量 y(t)三者之间的关系。如图,
1）如果 x(t),y(t)可以观察 (已知 )，则可推断 h(t)。
2）如果 h(t)已知,y(t)可测，则可推断 x(t)。
3）如果 x(t)和 h(t)已知，则可推断和估计 y(t)。
输入
(激励)
输出
(响应)
系统
x(t)
X(s)
X( ω )
y(t)
Y(s)
Y( ω )
h(t)
H(s)
H( ω )
目 录
理想 的测试装置应该 ①输出和输入成线性关系。即具有单值
的、确定的输入 -输出关系。
②系统为时不变线性系统。
实际 的测试装置 ①只能在较小工作范围内和在一定误差允许
范围内满足线性要求。
②很多物理系统是时变的。在工程上，常可
以以足够的精确度认为系统中的参数是时
不变的常数。
?
?
?
?
?
?
上 页
目 录
时不变线性系统 可用常系数线性微分方程
（ 2-1）
来描述，也称定常线性系统。
式中 t为时间自变量。系统的系数 均
为常数。
)(
)(
0
)(
1
)(
1
)(
0
)(
1
)(
1
)(
1
1
1
1
txbbbb
tyaaaa
dt
tdx
dt
txd
mdt
txd
m
dt
tdy
dt
tyd
ndt
tyd
n
m
m
m
m
n
n
n
n
????????
???????
?
?
?
?
?
?
011011,,,,,,,,bbbbaaaa mmnn ?? ?? 和
上 页
目 录
二、线性系统及其主要性质
如以 x(t)→ y(t) 表示上述系统的输入、输出的对应关系，则
时不变线性系统具有以下一些主要 性质 。
1） 叠加原理 几个输入所产生的总输出是各个输入所
产生的输出叠加的结果。即若
则
)()( 11 tytx ?
)()( 22 tytx ?
? ? ? ?)()()()( 2121 tytytxtx ???
上 页
目 录
符合叠加原理，意味着作用于线性系统的各个输入所产生的
输出是互不影响的。
在分析众多输入同时加在系统上所产生的总效果时，可以先
分别分析单个输入（假定其他输入不存在）的效果，然后将
这些效果叠加起来以表示总的效果。
2) 比例特性 对于任意常数 a，必有 ax(t) → ay(t)
3) 微分特性 系统对输入导数的响应等于对原输入响
应的导数，即
dt
tdy
dt
tdx )()( ?
上 页
目 录
4） 积分特性 如系统的初始状态均为零，则系统对输入积
分的响应等同于对原输入响应的积分，即
5） 频率保持性 若输入为某一频率的简谐（正弦或余弦）
信号,
则系统的稳态输出必是、也只是同频率的简谐信号；即输出
y(t)唯一可能解只能是
? ??0 00 0 )()(t t dttydttx
tjeXtx ?0)( ?
)(0 0)( ?? ?? tjeYty
上 页
目 录
§ 2 测试装置的静态特性
在静态测量中，定常线性系统的输入 -输出微分方程式变成
理想的 定常线性系统，其输出将是输入的单调、线性比例函
数，其中斜率 S是灵敏度，应是常数。
实际的 测量装置并非理想的定常线性系统，其微分方程式的
系数并非常数。
测试装置的静态特性就是在静态测试情况下描述实
际测试装置与理想定常线性系统的接近程度。
下面来讨论一些重要的静态特性。
Sxxy ab ?? 00
上 页
目 录
一、线性度
线性度：校准曲线接近拟合直线的程度。
线性误差 =B/A*100%
B为校准曲线与拟合直线的最大偏差。
A为装置的标称输出范围。
上 页 目 录
B
A
二、灵敏度、鉴别力阈、分辨力
当装置的输入 x有一个变化量 ?x，它引起输出 y发生相应的变
化量 ?y，则定义 灵敏度
对于理想的定常线性系统，灵敏度应当是
但是，一般的测试装置总不是理想定常线性系统,用拟合直线
的斜率来作为该装置的灵敏度。
灵敏度有量纲，其单位取决于输入、输出量的单位。
常数???? ?? 00abxyxyS
x
ys
?
??
上 页 目 录
通常，把引起测量装置输出值产生一个可察觉变化的
最小被测量变化值称为 鉴别力阈 （也称为灵敏阈或灵
敏限）。
它用来描述装置对输入微小变化的响应能力。
分辨力 是指指示装置有效地辨别紧密相邻量值的能力。
上 页
目 录
三、回程误差
理想装置 的输出、输入有完全单调的一一对应的关系。
实际装置 在同样的测试条件下，当输入量由小增大和由大减小
时，对于同一输入量所得到的两个输出量却往往存在着差值。
把在全测量范围内，最大的差值称为 回程误差 或滞后误差。
上 页
目 录
h
四、稳定度和漂移
稳定度 是指测量装置在规定条件下保持其测量特性
恒定不变的能力。
通常在不指明影响量时，稳定度指装置不受时间变化
影响的能力。
漂移 是指测量特性随时间的慢变化。
上 页
目 录
§ 3 测试装置动态特性的
数学描述
定常线性系统的测试装置，可用常系数线性微分方程来描述，
但使用时有许多不便。因此，常通过拉普拉斯变换建立其相应
的“传递函数”，通过傅立叶变换建立其相应的“频率响应函
数”，以便更简便地描述装置或系统的特性。
上 页
目 录
h(t)
H(s) H( ω )
S=j ω
拉
氏
变
换
傅
立
叶
变
换
拉
氏
反
变
换
傅
立
叶
反
变
换
设 X(s)和 Y(s)分别为输入 x(t)、输出 y(t)的拉普拉斯变换。
对式（ 2-1）取拉普拉斯变化得,
将 H(s)称为系统的传递函数。其中 s为复变量,
是与输入和系统初始条件有关的。
若初始条件全为零，则因
有
)()()()( sGsXsHsY h??;?? js ??
)(sGh
,0)( ?sGh
一、传递函数
)(
)(
)(
sX
sY
sH ?
01
1
1
01
1
1)(
asasasa
bsbsbsbsH
n
n
n
n
m
m
m
m
????
?????
?
?
?
?
?
?
上 页
目 录
传递函数的 特点,
1） H(s)与输入 x(t)及系统的初始状态无关，它只表达了系统
的传输特性。
2） H(s)只反映系统传输特性而不拘泥于系统的物理结构。
3）, 等系数的量纲将因具体物理系统和输入、输出
的量纲而异。
4） H(s)中的分母取决于系统的结构。
na mb
上 页
目 录
二、频率响应函数
频率响应函数是在频率域中描述和考察系统特性的。
与传递函数相比较,频率响应的物理概念明确，也易通过
实验来建立；利用它和传递函数的关系，由它极易求出传
递函数。因此频率响应函数是实验研究系统的重要工具。
上 页
目 录
（一）幅频特性、相频特性和频率响应函数
定常线性系统在简谐信号的激励下，系统的频率特性,
幅频特性：稳态输出信号和输入信号的幅值比。记为 A(ω)。
相频特性：稳态输出对输入的相位差。记为 φ(ω)。
? ? ? ? ? ????? jeAH ?
? ? ? ?? ?XA YAA ??
? ? ? ? ? ?XY ???? ??
?
?
?
上 页
目 录
实验求得频率响应函数的原理,
对某个,有一组 和,全部的
和,便可表达系统的频率响应函数。
也可在初始条件全为零的情况下，同时测得输入 x(t)和输出 y(t),
由其傅立叶变换 X(ω)和 Y(ω)求得频率响应函数
? ? ? ???? XYH ?)(
（二）频率响应函数的求法
1）在系统的传递函数已知的情况下，只要令 H(s)中 s=jω便可求
得。
2）通过实验来求得。
X Y0i 0i系统
激励 输出
i
ii
X
YA
0
0? ? ? ? ?XY
i ??? ??i? iiA ?—
ii ?? — ?,2,1?i
上 页 目 录
图象描述,
1） 曲线 —— 幅频特性曲线
曲线 ——相频特性曲线
2） 曲线 ——实频特性曲线
曲线 ——虚频特性曲线
? ? ??? ?
? ? ?? ?A
（三）幅、相频率特性和其图象描述
频率响应函数 H(ω)
)()()()()( ?????? jeAjQPH ???
? ? ?? ?P
? ? ?? ?Q
上 页
目 录
ω
ω
0
0
A( ω )
Φ ( ω )
ω
ω
0
0
P( ω )
Q( ω )
3）伯德图 对自变量 ω或 取对
数标尺，幅值比 A(ω)的坐标取分贝数
（ dB)标尺，相角取实数标尺。由此所
作的曲线分别称为对数幅频特性曲线和
对数相频特性曲线，总称为伯德图
（ Bode图）。
4）奈魁斯特图 将 H(ω)的虚部 Q(ω)和
实部 P(ω)分别作为纵、横坐标，画出
Q(ω)–P(ω)曲线，并在曲线某些点上分
别注明相应的频率，所得的图像称为奈
魁斯特图（ Nyquist图）。
?
?
2?f
上 页
目 录
P
jQ
0
ω
ω
0
20lgA( ω )
(dB)
Φ ( ω )
0
三、脉冲响应函数
若输入为单位脉冲，即 x(t)=δ(t),则 X(s)=L[δ(t)]=1。
装置的相应输出是 Y(s)=H(s)X(s)=H(s),
其时域描述可通过对 Y(s)的拉普拉斯反变换得到
h(t)常称为系统的脉冲响应函数或权函数。
时域 脉冲响应函数 h(t)
系统特性的描述 频域 频率响应函数 H(ω)
复数域 传递函数 H(s)
?
?
?
?
?
? ? )()()( 1 thsHLty ?? ?
上 页
目 录
四、环节的串联和并联
两个传递函数各为 和 的环节,
串联时
系统的传递函数 H(s)
在初始条件为零时为,
对几个环节串联组成的系统，有
)(1 sH )(2 sH
)()()( 21)( )()( )()( )( sHsHsH sZ sYsX sZsX sY ???
?
?
?
n
i
i sHsH
1
)()(
Y(s)
H(s)
X(s) Z(s)
H(s) H(s)1 2
上 页
目 录
并联时
因
由 n个环节并联组成的系统，有
)()()( 21 sYsYsY ??
?
?
?
n
i
i sHsH
1
)()(
H(s)
Y(s)X(s) +
+
H(s)
H(s)
Y(s)
Y(s)
1
1
2
2
? ? ? ?sHsH
sH sX sYsX sYsX sY
21
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
2
1
1)(
??
???
上 页
目 录
同样，令 s=jω代入上式，即可得到 n个环节串联、并联时系统
的频率响应函数。
任何分母中 s高于三次（ n>3）的高阶系统都可以看作是若干
个一阶环节和二阶环节的并联（也自然可转化为若干一阶环
节和二阶环节的串联）。
分析并了解一、二阶环节的传输特性是分析并了解高阶、复
杂系统传输特性的基础。
上 页
目 录
五、一阶、二阶系统的特性
（一）一阶系统
如图，装置分属于力学、电学范畴，但均属于一阶系统，均可
用一阶微分方程来描述。
一般形式的一阶微分方程为
改写为
式中 为时间常数 ； 为系统灵敏度，是一个常
数。
00 abS ?01 aa??
? ? ? ? ? ?txtydt tdy ???
? ? ? ? ? ?txbtyaa dt tdy 001 ??
? ? ? ? ? ?tSxtydt tdy ???
R
Cx(t) y(t)
k
c
y(t)
(位 移）
x(t)
(力 ）
上 页
目 录
令 S=1，即
传递函数
频率响应函数
其中负号表示输出信号滞后于输入信号。
一阶系统的奈魁斯特图
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?????
??
?
? ??
a r c t a n
1
1
2
1
1
??
?
?
? ?
A
jH j
? ? 11?? ssH ?
上 页
目 录
一阶系统的 特点,
1）当 时,; 当 时,。
2）在 处,A(ω)为 0.707（ -3db),相角滞后 -45o。
3）一阶系统的伯德图可用一条折线来近似描述。这条折线在
段为 A(ω)=1,在 段为一 -20db/10倍频斜率的直线。
点称转折频率。
??
1?
??
1?
?
1 ?
? 1?
? ? 0??A?? 1??? ? 1??A?? 1??
上 页 目 录
（二）二阶系统
传递函数
频率响应函数
R
Cu x u y
L
\
k
c
y(t)
x(t)
m
? ? 22
2
2 nn
n
ss
sH
???
?
??
?
? ?
nn
j
jH
?
??
?
?
?
21
1
2
?
?
?
?
?
?
?
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?
???
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???
?
?
?
? ?
2
2
22
41
1
???
?
???
??
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?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
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?
nn
A
?
??
?
?
? ? ? 2
1
2
a r c t a n
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?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
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?
??
n
n
?
?
?
?
?
??
上 页
目 录
二阶系统的 特点,
1）当 时,；当 时, 。
2）二阶系统的伯德图可用折线来近似。在 段,A(ω)
可用 0dB水平线近似。在 段，可用斜率为 -40dB/10
倍频的直线来近似。
n?? ?? ? ? 1??H n?? ?? ? ? 0??H
n?? 2?
n?? 5.0?
上 页 目 录
3) 在 段,φ(ω)甚小，且和频率近似成正比增加。在
段,φ(ω)趋近于 180o，即输出信号几乎和输入反相。
在 ω靠近 区间,φ(ω)随频率的变化而剧烈变化，而且 ζ越小，
这种变化越剧烈。
n?? ??
n?? ??
n?
4）
? ?7.0~65.0?? 上 页
目 录
影响二阶系统动态特性的参数是固有频率和阻尼比。
一般取 ? ?
n?? 8.0~6.0?
动态演示
二阶系统的奈魁斯特图,
上 页
目 录
§ 4 测试装置对任意输入的响应
一、系统对任意输入的响应
将输入 x(t)分割成众多相邻接的、持续时间为 Δτ的脉冲信号。
在 t时刻系统的输出
对 Δτ取极限，得
x(t)和 h(t)的卷积为
? ?? ? ? ??
?
???
t
thxty
0
)(
?
???
? ? ? ? ? ?? ?? t dthxty 0 ???
? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ?? ??? dthxthtx *
目 录 上 页
对于当 t<0时,x(t)=0和 h(t)=0的情况，上述积分下限可取
为 0，上限则成为 t。
因此,y(t)实际上就是 x(t)和 h(t)的卷积，可记为
y(t)=x(t)*h(t)
从时域看，系统的输出是输入与系统的脉冲响应函数的
卷积。
上 页
目 录
二、系统对单位阶跃输入的响应
单位阶跃输入
一阶系统对单位阶跃输入
的响应,
t=(3~4)τ 时,（ 〈 5%）
一阶装置的时间常数 τ 越小越好。
? ?
??
??
1
0tx 0?t
0?t
? ? ?tety ??? 1
1)( ?ty
? ? ssX 1?
上 页
目 录
二阶系统对单位阶跃输入的响应,
? ? ? ?
??
?
?
?
???
????
?
?
?
?
?
?
????
?????
2
2
1
2
2
21
a r c t a n,1
1,s in1
nd
d
e tty tn
二阶系统，系统的响应在很大程度上决定于阻尼比 ζ 和固有频
率 。 越高，系统的响应越快。阻尼比直接影响超调量和
振荡次数。 ζ 选在 0.6~0.8之间。 n
?n?
上 页
目 录
三、系统对单位脉冲输入的响应
一阶装置
脉冲响应函数为
其图形为
?
?
teth ?? 1)(
目 录 上 页
二阶系统
脉冲响应函数为
其图形为
teth ntn n ??
?
? ?? 2
2
1s i n
1
)( ?
?
? ?10 ???
目 录
上 页
§ 5 实现不失真测试的条件
测试装置的输出 y(t)和输入 x(t)满足关系
认为测试装置实现了不失真测量。其中 和 都是常量。
表明这个装置输出的波形和输入波形精确地一致，只是幅值放
大了 倍和在时间上延迟了 而已。
对该式作傅立叶变换
当 t<0时,x(t)=0,y(t)=0，有
若要求装置的输出波形不失真，则其幅频和相频特性应分别满
足
? ? ? ?00 ttxAty ??
0A 0t
0A 0t
? ? ? ??? ? XeAY jt 00 ??
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??????? 00 jtXYj eAeAH ????
? ?
? ? ???
?
0
0
t
AA
??
?? 常数 上 页
目 录
实际测量装置无失真动态演示
实际测量装置不可能在非常宽广的频率范围内都满足
无失真测试条件，即使在某一频率范围内工作，也难
以完全理想的实现不失真测试。只能努力把波形失真
限制在一定的误差范围内。
因此，首先要选择合适的测试装置。其次，应对输入
信号做必要的前置处理，及时滤去非信号频带内的噪
声。
上 页
目 录
§ 6 测试装置动态特性的测试
对装置的静态参数测试,以经过校准的“标准”静态量作为
输入，求出输出 -输入曲线。根据这条曲线确定其回程误差，
整理和确定其校准曲线、线性误差和灵敏度。
对装置动态特性的测试,
一、频率响应法
通过稳态正弦激励试验求得幅频和相频特性曲线。
上 页
目 录
一阶装置
通过幅频特性 或相频特性
直接确定其动态特性参数 τ 。
? ?21
1)(
??
?
?
?A )a r c t a n ()( ???? ??
上 页 目 录
?1
?1
?1
?1? 2?n?0
? ??A
k?2
1
k?22
1 a b
对于欠阻尼系统（ ζ〈 1）
令
有
阻尼比 ζ为
有时也可用下式求 ζ,
? ? ? ? nn ?????? ???? 11 21,
? ? ? ?21 22 1 ??? AA ??
n?
???
2
12 ??
? ?
? ? 212
1
0 ??
?
?
?AA r 上 页
目 录
二阶装置,动态特性参数为：固有频率 和阻尼比 ζ。
参数可从相频特性曲线直接估计，但相角测量较困难。
通常通过幅频曲线估计其参数。
n?
二、阶跃响应法
(一）由一阶装置的阶跃响应求其动态特性参数
①测得一阶装置的阶跃响应，取该输出值达到最终稳态值的
63%所经过的时间作为时间常数 τ。但测量结果的可靠性很差。
上 页
目 录
632.0
?
② 将一阶装置的阶跃响应表达式改写为
两边取对数，有
根据测得 值作出 曲线，根据其斜率值确
定时间常数 τ。
? ? ?/1 tu ety ???
? ?? ?tyt u??? 1ln?
??tyu ? ?? ? tty u ??1ln
上 页
目 录
（二）由二阶装置的阶跃响应求其动态特性参数
在测得 M之后，可按上式求取阻尼比 ζ。
如果测得响应的较长瞬变过程，则可利用任意两个超调量 和
来求取其阻尼比。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21 ?
??
eM
iM
niM? 上 页
目 录
M
n
M
M
ni
i
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?
2
ln
??
d?
M 1M
结 束
§ 1 概述
§ 2 测试装置的静态特性
§ 3 测试装置动态特性的数学描述
§ 4 测试装置对任意输入的响应
§ 5 实现不失真测试的条件
§ 6 测试装置动态特性的测试
返 回
一,对测试装置的基本要求
二,线性系统及其主要性质
§ 1 概 述
目 录
一,线性度
二,灵敏度、鉴别力阈、分辨力
三,回程误差
四,稳定度和漂移
§ 2 测试装置的静态特性
目 录
一,传递函数
二,频率响应函数
三,脉冲响应函数
四,环节的串联和并联
五,一阶、二阶系统的特性
§ 3 测试装置动态特性的数学描
述
目 录
一,系统对任意输入的响应
二,系统对单位阶跃输入的响应
§ 4 测试装置对任意输入的响
应
目 录
一,频率响应法
二,阶跃响应法
§ 6 测试装置动态特性的测试
目 录
§ 1 概 述
一、对测试装置的基本要求
通常的工程测试问题总是处理输入量 x(t)、装置（系统）的传输
特性 h(t)和输出量 y(t)三者之间的关系。如图,
1）如果 x(t),y(t)可以观察 (已知 )，则可推断 h(t)。
2）如果 h(t)已知,y(t)可测，则可推断 x(t)。
3）如果 x(t)和 h(t)已知，则可推断和估计 y(t)。
输入
(激励)
输出
(响应)
系统
x(t)
X(s)
X( ω )
y(t)
Y(s)
Y( ω )
h(t)
H(s)
H( ω )
目 录
理想 的测试装置应该 ①输出和输入成线性关系。即具有单值
的、确定的输入 -输出关系。
②系统为时不变线性系统。
实际 的测试装置 ①只能在较小工作范围内和在一定误差允许
范围内满足线性要求。
②很多物理系统是时变的。在工程上，常可
以以足够的精确度认为系统中的参数是时
不变的常数。
?
?
?
?
?
?
上 页
目 录
时不变线性系统 可用常系数线性微分方程
（ 2-1）
来描述，也称定常线性系统。
式中 t为时间自变量。系统的系数 均
为常数。
)(
)(
0
)(
1
)(
1
)(
0
)(
1
)(
1
)(
1
1
1
1
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tyaaaa
dt
tdx
dt
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mdt
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dt
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n
m
m
m
m
n
n
n
n
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???????
?
?
?
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?
011011,,,,,,,,bbbbaaaa mmnn ?? ?? 和
上 页
目 录
二、线性系统及其主要性质
如以 x(t)→ y(t) 表示上述系统的输入、输出的对应关系，则
时不变线性系统具有以下一些主要 性质 。
1） 叠加原理 几个输入所产生的总输出是各个输入所
产生的输出叠加的结果。即若
则
)()( 11 tytx ?
)()( 22 tytx ?
? ? ? ?)()()()( 2121 tytytxtx ???
上 页
目 录
符合叠加原理，意味着作用于线性系统的各个输入所产生的
输出是互不影响的。
在分析众多输入同时加在系统上所产生的总效果时，可以先
分别分析单个输入（假定其他输入不存在）的效果，然后将
这些效果叠加起来以表示总的效果。
2) 比例特性 对于任意常数 a，必有 ax(t) → ay(t)
3) 微分特性 系统对输入导数的响应等于对原输入响
应的导数，即
dt
tdy
dt
tdx )()( ?
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4） 积分特性 如系统的初始状态均为零，则系统对输入积
分的响应等同于对原输入响应的积分，即
5） 频率保持性 若输入为某一频率的简谐（正弦或余弦）
信号,
则系统的稳态输出必是、也只是同频率的简谐信号；即输出
y(t)唯一可能解只能是
? ??0 00 0 )()(t t dttydttx
tjeXtx ?0)( ?
)(0 0)( ?? ?? tjeYty
上 页
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§ 2 测试装置的静态特性
在静态测量中，定常线性系统的输入 -输出微分方程式变成
理想的 定常线性系统，其输出将是输入的单调、线性比例函
数，其中斜率 S是灵敏度，应是常数。
实际的 测量装置并非理想的定常线性系统，其微分方程式的
系数并非常数。
测试装置的静态特性就是在静态测试情况下描述实
际测试装置与理想定常线性系统的接近程度。
下面来讨论一些重要的静态特性。
Sxxy ab ?? 00
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一、线性度
线性度：校准曲线接近拟合直线的程度。
线性误差 =B/A*100%
B为校准曲线与拟合直线的最大偏差。
A为装置的标称输出范围。
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B
A
二、灵敏度、鉴别力阈、分辨力
当装置的输入 x有一个变化量 ?x，它引起输出 y发生相应的变
化量 ?y，则定义 灵敏度
对于理想的定常线性系统，灵敏度应当是
但是，一般的测试装置总不是理想定常线性系统,用拟合直线
的斜率来作为该装置的灵敏度。
灵敏度有量纲，其单位取决于输入、输出量的单位。
常数???? ?? 00abxyxyS
x
ys
?
??
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通常，把引起测量装置输出值产生一个可察觉变化的
最小被测量变化值称为 鉴别力阈 （也称为灵敏阈或灵
敏限）。
它用来描述装置对输入微小变化的响应能力。
分辨力 是指指示装置有效地辨别紧密相邻量值的能力。
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三、回程误差
理想装置 的输出、输入有完全单调的一一对应的关系。
实际装置 在同样的测试条件下，当输入量由小增大和由大减小
时，对于同一输入量所得到的两个输出量却往往存在着差值。
把在全测量范围内，最大的差值称为 回程误差 或滞后误差。
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h
四、稳定度和漂移
稳定度 是指测量装置在规定条件下保持其测量特性
恒定不变的能力。
通常在不指明影响量时，稳定度指装置不受时间变化
影响的能力。
漂移 是指测量特性随时间的慢变化。
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§ 3 测试装置动态特性的
数学描述
定常线性系统的测试装置，可用常系数线性微分方程来描述，
但使用时有许多不便。因此，常通过拉普拉斯变换建立其相应
的“传递函数”，通过傅立叶变换建立其相应的“频率响应函
数”，以便更简便地描述装置或系统的特性。
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h(t)
H(s) H( ω )
S=j ω
拉
氏
变
换
傅
立
叶
变
换
拉
氏
反
变
换
傅
立
叶
反
变
换
设 X(s)和 Y(s)分别为输入 x(t)、输出 y(t)的拉普拉斯变换。
对式（ 2-1）取拉普拉斯变化得,
将 H(s)称为系统的传递函数。其中 s为复变量,
是与输入和系统初始条件有关的。
若初始条件全为零，则因
有
)()()()( sGsXsHsY h??;?? js ??
)(sGh
,0)( ?sGh
一、传递函数
)(
)(
)(
sX
sY
sH ?
01
1
1
01
1
1)(
asasasa
bsbsbsbsH
n
n
n
n
m
m
m
m
????
?????
?
?
?
?
?
?
上 页
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传递函数的 特点,
1） H(s)与输入 x(t)及系统的初始状态无关，它只表达了系统
的传输特性。
2） H(s)只反映系统传输特性而不拘泥于系统的物理结构。
3）, 等系数的量纲将因具体物理系统和输入、输出
的量纲而异。
4） H(s)中的分母取决于系统的结构。
na mb
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二、频率响应函数
频率响应函数是在频率域中描述和考察系统特性的。
与传递函数相比较,频率响应的物理概念明确，也易通过
实验来建立；利用它和传递函数的关系，由它极易求出传
递函数。因此频率响应函数是实验研究系统的重要工具。
上 页
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（一）幅频特性、相频特性和频率响应函数
定常线性系统在简谐信号的激励下，系统的频率特性,
幅频特性：稳态输出信号和输入信号的幅值比。记为 A(ω)。
相频特性：稳态输出对输入的相位差。记为 φ(ω)。
? ? ? ? ? ????? jeAH ?
? ? ? ?? ?XA YAA ??
? ? ? ? ? ?XY ???? ??
?
?
?
上 页
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实验求得频率响应函数的原理,
对某个,有一组 和,全部的
和,便可表达系统的频率响应函数。
也可在初始条件全为零的情况下，同时测得输入 x(t)和输出 y(t),
由其傅立叶变换 X(ω)和 Y(ω)求得频率响应函数
? ? ? ???? XYH ?)(
（二）频率响应函数的求法
1）在系统的传递函数已知的情况下，只要令 H(s)中 s=jω便可求
得。
2）通过实验来求得。
X Y0i 0i系统
激励 输出
i
ii
X
YA
0
0? ? ? ? ?XY
i ??? ??i? iiA ?—
ii ?? — ?,2,1?i
上 页 目 录
图象描述,
1） 曲线 —— 幅频特性曲线
曲线 ——相频特性曲线
2） 曲线 ——实频特性曲线
曲线 ——虚频特性曲线
? ? ??? ?
? ? ?? ?A
（三）幅、相频率特性和其图象描述
频率响应函数 H(ω)
)()()()()( ?????? jeAjQPH ???
? ? ?? ?P
? ? ?? ?Q
上 页
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ω
ω
0
0
A( ω )
Φ ( ω )
ω
ω
0
0
P( ω )
Q( ω )
3）伯德图 对自变量 ω或 取对
数标尺，幅值比 A(ω)的坐标取分贝数
（ dB)标尺，相角取实数标尺。由此所
作的曲线分别称为对数幅频特性曲线和
对数相频特性曲线，总称为伯德图
（ Bode图）。
4）奈魁斯特图 将 H(ω)的虚部 Q(ω)和
实部 P(ω)分别作为纵、横坐标，画出
Q(ω)–P(ω)曲线，并在曲线某些点上分
别注明相应的频率，所得的图像称为奈
魁斯特图（ Nyquist图）。
?
?
2?f
上 页
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P
jQ
0
ω
ω
0
20lgA( ω )
(dB)
Φ ( ω )
0
三、脉冲响应函数
若输入为单位脉冲，即 x(t)=δ(t),则 X(s)=L[δ(t)]=1。
装置的相应输出是 Y(s)=H(s)X(s)=H(s),
其时域描述可通过对 Y(s)的拉普拉斯反变换得到
h(t)常称为系统的脉冲响应函数或权函数。
时域 脉冲响应函数 h(t)
系统特性的描述 频域 频率响应函数 H(ω)
复数域 传递函数 H(s)
?
?
?
?
?
? ? )()()( 1 thsHLty ?? ?
上 页
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四、环节的串联和并联
两个传递函数各为 和 的环节,
串联时
系统的传递函数 H(s)
在初始条件为零时为,
对几个环节串联组成的系统，有
)(1 sH )(2 sH
)()()( 21)( )()( )()( )( sHsHsH sZ sYsX sZsX sY ???
?
?
?
n
i
i sHsH
1
)()(
Y(s)
H(s)
X(s) Z(s)
H(s) H(s)1 2
上 页
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并联时
因
由 n个环节并联组成的系统，有
)()()( 21 sYsYsY ??
?
?
?
n
i
i sHsH
1
)()(
H(s)
Y(s)X(s) +
+
H(s)
H(s)
Y(s)
Y(s)
1
1
2
2
? ? ? ?sHsH
sH sX sYsX sYsX sY
21
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
2
1
1)(
??
???
上 页
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同样，令 s=jω代入上式，即可得到 n个环节串联、并联时系统
的频率响应函数。
任何分母中 s高于三次（ n>3）的高阶系统都可以看作是若干
个一阶环节和二阶环节的并联（也自然可转化为若干一阶环
节和二阶环节的串联）。
分析并了解一、二阶环节的传输特性是分析并了解高阶、复
杂系统传输特性的基础。
上 页
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五、一阶、二阶系统的特性
（一）一阶系统
如图，装置分属于力学、电学范畴，但均属于一阶系统，均可
用一阶微分方程来描述。
一般形式的一阶微分方程为
改写为
式中 为时间常数 ； 为系统灵敏度，是一个常
数。
00 abS ?01 aa??
? ? ? ? ? ?txtydt tdy ???
? ? ? ? ? ?txbtyaa dt tdy 001 ??
? ? ? ? ? ?tSxtydt tdy ???
R
Cx(t) y(t)
k
c
y(t)
(位 移）
x(t)
(力 ）
上 页
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令 S=1，即
传递函数
频率响应函数
其中负号表示输出信号滞后于输入信号。
一阶系统的奈魁斯特图
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?????
??
?
? ??
a r c t a n
1
1
2
1
1
??
?
?
? ?
A
jH j
? ? 11?? ssH ?
上 页
目 录
一阶系统的 特点,
1）当 时,; 当 时,。
2）在 处,A(ω)为 0.707（ -3db),相角滞后 -45o。
3）一阶系统的伯德图可用一条折线来近似描述。这条折线在
段为 A(ω)=1,在 段为一 -20db/10倍频斜率的直线。
点称转折频率。
??
1?
??
1?
?
1 ?
? 1?
? ? 0??A?? 1??? ? 1??A?? 1??
上 页 目 录
（二）二阶系统
传递函数
频率响应函数
R
Cu x u y
L
\
k
c
y(t)
x(t)
m
? ? 22
2
2 nn
n
ss
sH
???
?
??
?
? ?
nn
j
jH
?
??
?
?
?
21
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
?
?
?
? ?
2
2
22
41
1
???
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
??
?
nn
A
?
??
?
?
? ? ? 2
1
2
a r c t a n
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
n
n
?
?
?
?
?
??
上 页
目 录
二阶系统的 特点,
1）当 时,；当 时, 。
2）二阶系统的伯德图可用折线来近似。在 段,A(ω)
可用 0dB水平线近似。在 段，可用斜率为 -40dB/10
倍频的直线来近似。
n?? ?? ? ? 1??H n?? ?? ? ? 0??H
n?? 2?
n?? 5.0?
上 页 目 录
3) 在 段,φ(ω)甚小，且和频率近似成正比增加。在
段,φ(ω)趋近于 180o，即输出信号几乎和输入反相。
在 ω靠近 区间,φ(ω)随频率的变化而剧烈变化，而且 ζ越小，
这种变化越剧烈。
n?? ??
n?? ??
n?
4）
? ?7.0~65.0?? 上 页
目 录
影响二阶系统动态特性的参数是固有频率和阻尼比。
一般取 ? ?
n?? 8.0~6.0?
动态演示
二阶系统的奈魁斯特图,
上 页
目 录
§ 4 测试装置对任意输入的响应
一、系统对任意输入的响应
将输入 x(t)分割成众多相邻接的、持续时间为 Δτ的脉冲信号。
在 t时刻系统的输出
对 Δτ取极限，得
x(t)和 h(t)的卷积为
? ?? ? ? ??
?
???
t
thxty
0
)(
?
???
? ? ? ? ? ?? ?? t dthxty 0 ???
? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ?? ??? dthxthtx *
目 录 上 页
对于当 t<0时,x(t)=0和 h(t)=0的情况，上述积分下限可取
为 0，上限则成为 t。
因此,y(t)实际上就是 x(t)和 h(t)的卷积，可记为
y(t)=x(t)*h(t)
从时域看，系统的输出是输入与系统的脉冲响应函数的
卷积。
上 页
目 录
二、系统对单位阶跃输入的响应
单位阶跃输入
一阶系统对单位阶跃输入
的响应,
t=(3~4)τ 时,（ 〈 5%）
一阶装置的时间常数 τ 越小越好。
? ?
??
??
1
0tx 0?t
0?t
? ? ?tety ??? 1
1)( ?ty
? ? ssX 1?
上 页
目 录
二阶系统对单位阶跃输入的响应,
? ? ? ?
??
?
?
?
???
????
?
?
?
?
?
?
????
?????
2
2
1
2
2
21
a r c t a n,1
1,s in1
nd
d
e tty tn
二阶系统，系统的响应在很大程度上决定于阻尼比 ζ 和固有频
率 。 越高，系统的响应越快。阻尼比直接影响超调量和
振荡次数。 ζ 选在 0.6~0.8之间。 n
?n?
上 页
目 录
三、系统对单位脉冲输入的响应
一阶装置
脉冲响应函数为
其图形为
?
?
teth ?? 1)(
目 录 上 页
二阶系统
脉冲响应函数为
其图形为
teth ntn n ??
?
? ?? 2
2
1s i n
1
)( ?
?
? ?10 ???
目 录
上 页
§ 5 实现不失真测试的条件
测试装置的输出 y(t)和输入 x(t)满足关系
认为测试装置实现了不失真测量。其中 和 都是常量。
表明这个装置输出的波形和输入波形精确地一致，只是幅值放
大了 倍和在时间上延迟了 而已。
对该式作傅立叶变换
当 t<0时,x(t)=0,y(t)=0，有
若要求装置的输出波形不失真，则其幅频和相频特性应分别满
足
? ? ? ?00 ttxAty ??
0A 0t
0A 0t
? ? ? ??? ? XeAY jt 00 ??
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??????? 00 jtXYj eAeAH ????
? ?
? ? ???
?
0
0
t
AA
??
?? 常数 上 页
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实际测量装置无失真动态演示
实际测量装置不可能在非常宽广的频率范围内都满足
无失真测试条件，即使在某一频率范围内工作，也难
以完全理想的实现不失真测试。只能努力把波形失真
限制在一定的误差范围内。
因此，首先要选择合适的测试装置。其次，应对输入
信号做必要的前置处理，及时滤去非信号频带内的噪
声。
上 页
目 录
§ 6 测试装置动态特性的测试
对装置的静态参数测试,以经过校准的“标准”静态量作为
输入，求出输出 -输入曲线。根据这条曲线确定其回程误差，
整理和确定其校准曲线、线性误差和灵敏度。
对装置动态特性的测试,
一、频率响应法
通过稳态正弦激励试验求得幅频和相频特性曲线。
上 页
目 录
一阶装置
通过幅频特性 或相频特性
直接确定其动态特性参数 τ 。
? ?21
1)(
??
?
?
?A )a r c t a n ()( ???? ??
上 页 目 录
?1
?1
?1
?1? 2?n?0
? ??A
k?2
1
k?22
1 a b
对于欠阻尼系统（ ζ〈 1）
令
有
阻尼比 ζ为
有时也可用下式求 ζ,
? ? ? ? nn ?????? ???? 11 21,
? ? ? ?21 22 1 ??? AA ??
n?
???
2
12 ??
? ?
? ? 212
1
0 ??
?
?
?AA r 上 页
目 录
二阶装置,动态特性参数为：固有频率 和阻尼比 ζ。
参数可从相频特性曲线直接估计，但相角测量较困难。
通常通过幅频曲线估计其参数。
n?
二、阶跃响应法
(一）由一阶装置的阶跃响应求其动态特性参数
①测得一阶装置的阶跃响应，取该输出值达到最终稳态值的
63%所经过的时间作为时间常数 τ。但测量结果的可靠性很差。
上 页
目 录
632.0
?
② 将一阶装置的阶跃响应表达式改写为
两边取对数，有
根据测得 值作出 曲线，根据其斜率值确
定时间常数 τ。
? ? ?/1 tu ety ???
? ?? ?tyt u??? 1ln?
??tyu ? ?? ? tty u ??1ln
上 页
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（二）由二阶装置的阶跃响应求其动态特性参数
在测得 M之后，可按上式求取阻尼比 ζ。
如果测得响应的较长瞬变过程，则可利用任意两个超调量 和
来求取其阻尼比。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21 ?
??
eM
iM
niM? 上 页
目 录
M
n
M
M
ni
i
?
?
2
ln
??
d?
M 1M
结 束
