2009-8-20 1
1.3 逻辑函数及其化简
1.3.1 逻辑代数的基本运算
1.3.2 逻辑函数及其表示法结束放映
2009-8-20 2
复习
（ 255） 10= （ ） 2
=（ ） 8
=（ ） 16
=（ ） 8421BCD0010 0101 0101
10000000-1 = 1111111
111 1111 = 7F
1 111 111 = 177
请列举所学习过的二进制代码。
BCD码,8421,5421,余 3码；
格雷码（循环码）,奇偶校验码,ASCII码
2009-8-20 3
内容提要
1.3 逻辑函数及其化简逻辑代数的基本运算；
逻辑函数及其表示方法（真值表、逻辑表达式、
逻辑图和卡诺图）；
逻辑代数的运算公式和基本规则；
逻辑函数的化简方法（代数化简法和卡诺图化简法） 。
2009-8-20 4
1.3.1 逻辑代数的基本运算逻辑：一定的因果关系。
逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，
是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治 ·布尔 (George Boole)于 1847年提出的,所以又称为布尔代数。
逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，不同于普通代数。
相同点：都用字母 A,B,C…… 表示变量；
不同点：逻辑代数变量的取值范围仅为,0”和
,1”，且无大小、正负之分。逻辑代数中的变量称为逻辑变量。
,0”和,1”表示两种不同的逻辑状态：是和非,
真和假,高电位和低电位,有和无,开和关等等 。
2009-8-20 5
1,三种基本逻辑运算
（ 1） 与运算当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑关系,简称与逻辑。
开关 A 开关 B 灯 Y
断开 断开 灭断开 闭合 灭闭合 断开 灭闭合 闭合 亮
A B Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
表 1-6 与逻辑的真值表
A,B全 1，
Y才为 1。
串联开关电路功能表 图 1-1 (a)串联开关电路设定逻辑变量并状态赋值：
逻辑变量,A和 B，对应两个开关的状态；
1－闭合,0－断开；
逻辑函数,Y，对应灯的状态，
1－灯亮,0－灯灭。
2009-8-20 6
图 1-1(b) 与逻辑的逻辑符号逻辑表达式：
Y＝ A ·B＝ AB
符号,·”读作,与,（或读作,逻辑乘,）；
在不致引起混淆的前提下,,·”常被省略。
实现与逻辑的电路称作与门,与逻辑和与门的逻辑符号如图 1-1(b)所示,符号,&”表示与逻辑运算 。
2009-8-20 7
若开关数量增加,则逻辑变量增加 。
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
A,B,C全 1，
Y才为 1。
Y＝ A ·B · C＝ ABC
2009-8-20 8
（ 2） 或运算当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，
该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑关系,简称或逻辑 。
开关 A 开关 B 灯 Y
断开 断开 灭断开 闭合 亮闭合 断开 亮闭合 闭合 亮
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
表 1-7 或逻辑的真值表
A,B有 1，
Y就为 1。
并联开关电路功能表图 1-2 (a)并联开关电路
2009-8-20 9
图 1-2(b) 或逻辑的逻辑符号逻辑表达式：
Y＝ A＋ B
符号,＋,读作,或,（或读作,逻辑加,）。
实现或逻辑的电路称作或门,或逻辑和或门的逻辑符号如图 1-2(b)所示,符号,≥ 1”表示或逻辑运算 。
2009-8-20 10
（ 3） 非运算当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑关系，
简称非逻辑。
表 1-8 非逻辑的真值表
A与 Y
相反开关与灯并联电路功能表图 1-3 (a)开关与灯并联电路开关 A 灯 Y
断开 亮闭合 灭
A Y
0 1
1 0
2009-8-20 11
图 1-3(b) 非逻辑的逻辑符号实现非逻辑的电路称作非门,非逻辑和非门的逻辑符号如图 1-3(b)所示 。
逻辑符号中用小圆圈,。,表示非运算,符号中的,1”表示缓冲 。
逻辑表达式：
Y＝ A
符号,—,读作,非,。
2009-8-20 12
2,复合逻辑运算在数字系统中,除应用与,或,非三种基本逻辑运算之外,还广泛应用与,或,非的不同组合,最常见的复合逻辑运算有 与非,或非,与或非,异或 和 同或 等 。
（ 1） 与非运算
,与,和,非,的复合运算称为与非运算 。
逻辑表达式,Y＝ ABC
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
表 1-9 与非逻辑的真值表图 1-4 与非逻辑的逻辑符号,有 0必 1，全 1才 0”
2009-8-20 13
（ 2） 或非运算
,或,和,非,的复合运算称为或非运算 。
逻辑表达式,Y＝ A+B+C
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
表 1-10 或非逻辑的真值表
“有 1必 0，全 0才 1”
图 1-5 或非逻辑的逻辑符号
2009-8-20 14
（ 3） 与 或非运算
,与,,,或,和,非,的复合运算称为与或非运算 。
逻辑表达式,Y＝ AB+CD
图 1-6 与或非逻辑的逻辑符号
2009-8-20 15
（ 4） 异 或运算所谓异或运算,是指两个输入变量取值相同时输出为 0,取值不相同时输出为 1。
表 1-11 异或逻辑的真值表
“相同为 0，相异为 1”
图 1-7 异或逻辑的逻辑符号逻辑表达式,Y = A⊕ B = A B + A B
式中符号,⊕,表示异或运算 。
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
2009-8-20 16
（ 5） 同 或运算所谓同或运算,是指两个输入变量取值相同时输出为 1,取值不相同时输出为 0。
表 1-12 同或逻辑的真值表
“相同为 1，相异为 0”
图 1-8 同或逻辑的逻辑符号
A B Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
逻辑表达式,Y = A⊙ B = A B + A B = A⊕ B
式中符号,⊙,表示同或运算 。
2009-8-20 17
1.3.2 逻辑函数及其表示法
1,逻辑函数输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的函数关系称为逻辑函数,写作
Y = F(A,B,C,D…… )
A,B,C,D为有限个输入逻辑变量；
F为有限次逻辑运算 （ 与,或,非 ） 的组合 。
表示逻辑函数的方法有：真值表,逻辑函数表达式,逻辑图和卡诺图 。
2009-8-20 18
真值表是将输入逻辑变量的所有可能取值与相应的输出变量函数值排列在一起而组成的表格。
1个输入变量有 0和 1两种取值，
n个输入变量就有 2n个不同的取值组合。
例：逻辑函数
Y=AB+BC+AC
表 1-11 逻辑函数的真值表
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
三个输入变量，八种取值组合
2,真值表
AB
BC
AC
2009-8-20 19
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
真值表的特点：
① 唯一性 ;
② 按自然二进制递增顺序排列 （ 既不易遗漏,也不会重复 ） 。
③ n个输入变量就有 2n个不同的取值组合 。
2009-8-20 20
例：控制楼梯照明灯的电路 。
两个单刀双掷开关 A和 B分别装在楼上和楼下 。 无论在楼上还是在楼下都能单独控制开灯和关灯 。 设灯为 L,L为 1表示灯亮,L为 0表示灯灭 。 对于开关 A和 B，
用 1表示开关向上扳,用 0表示开关向下扳 。
表 1-14 控制楼梯照明灯的电路的真值表
A B L
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1图 1-9 控制楼梯照明灯 的电路
2009-8-20 21
3,逻辑表达式按照对应的逻辑关系，把输出变量表示为输入变量的与、或、非三种运算的组合，称之为逻辑函数表达式（简称逻辑表达式）。
由真值表可以方便地写出逻辑表达式。方法为：
① 找出使 输出为 1的输入变量取值组合；
② 取值为 1用原变量表示，取值为 0的用反变量表示，则可写成一个乘积项；
③ 将乘积项相加即得。
A B L
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
L = A B + A B
A B
A B
2009-8-20 22
4,逻辑图用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑图。
A B L
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
L = A B + A B
图 1-10 图 1-9电路的逻辑图
2009-8-20 23
作业题
1,1-8
2、思考题：列举生活中的与、或、非逻辑。
1.3 逻辑函数及其化简
1.3.1 逻辑代数的基本运算
1.3.2 逻辑函数及其表示法结束放映
2009-8-20 2
复习
（ 255） 10= （ ） 2
=（ ） 8
=（ ） 16
=（ ） 8421BCD0010 0101 0101
10000000-1 = 1111111
111 1111 = 7F
1 111 111 = 177
请列举所学习过的二进制代码。
BCD码,8421,5421,余 3码；
格雷码（循环码）,奇偶校验码,ASCII码
2009-8-20 3
内容提要
1.3 逻辑函数及其化简逻辑代数的基本运算；
逻辑函数及其表示方法（真值表、逻辑表达式、
逻辑图和卡诺图）；
逻辑代数的运算公式和基本规则；
逻辑函数的化简方法（代数化简法和卡诺图化简法） 。
2009-8-20 4
1.3.1 逻辑代数的基本运算逻辑：一定的因果关系。
逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，
是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治 ·布尔 (George Boole)于 1847年提出的,所以又称为布尔代数。
逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，不同于普通代数。
相同点：都用字母 A,B,C…… 表示变量；
不同点：逻辑代数变量的取值范围仅为,0”和
,1”，且无大小、正负之分。逻辑代数中的变量称为逻辑变量。
,0”和,1”表示两种不同的逻辑状态：是和非,
真和假,高电位和低电位,有和无,开和关等等 。
2009-8-20 5
1,三种基本逻辑运算
（ 1） 与运算当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑关系,简称与逻辑。
开关 A 开关 B 灯 Y
断开 断开 灭断开 闭合 灭闭合 断开 灭闭合 闭合 亮
A B Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
表 1-6 与逻辑的真值表
A,B全 1，
Y才为 1。
串联开关电路功能表 图 1-1 (a)串联开关电路设定逻辑变量并状态赋值：
逻辑变量,A和 B，对应两个开关的状态；
1－闭合,0－断开；
逻辑函数,Y，对应灯的状态，
1－灯亮,0－灯灭。
2009-8-20 6
图 1-1(b) 与逻辑的逻辑符号逻辑表达式：
Y＝ A ·B＝ AB
符号,·”读作,与,（或读作,逻辑乘,）；
在不致引起混淆的前提下,,·”常被省略。
实现与逻辑的电路称作与门,与逻辑和与门的逻辑符号如图 1-1(b)所示,符号,&”表示与逻辑运算 。
2009-8-20 7
若开关数量增加,则逻辑变量增加 。
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
A,B,C全 1，
Y才为 1。
Y＝ A ·B · C＝ ABC
2009-8-20 8
（ 2） 或运算当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，
该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑关系,简称或逻辑 。
开关 A 开关 B 灯 Y
断开 断开 灭断开 闭合 亮闭合 断开 亮闭合 闭合 亮
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
表 1-7 或逻辑的真值表
A,B有 1，
Y就为 1。
并联开关电路功能表图 1-2 (a)并联开关电路
2009-8-20 9
图 1-2(b) 或逻辑的逻辑符号逻辑表达式：
Y＝ A＋ B
符号,＋,读作,或,（或读作,逻辑加,）。
实现或逻辑的电路称作或门,或逻辑和或门的逻辑符号如图 1-2(b)所示,符号,≥ 1”表示或逻辑运算 。
2009-8-20 10
（ 3） 非运算当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑关系，
简称非逻辑。
表 1-8 非逻辑的真值表
A与 Y
相反开关与灯并联电路功能表图 1-3 (a)开关与灯并联电路开关 A 灯 Y
断开 亮闭合 灭
A Y
0 1
1 0
2009-8-20 11
图 1-3(b) 非逻辑的逻辑符号实现非逻辑的电路称作非门,非逻辑和非门的逻辑符号如图 1-3(b)所示 。
逻辑符号中用小圆圈,。,表示非运算,符号中的,1”表示缓冲 。
逻辑表达式：
Y＝ A
符号,—,读作,非,。
2009-8-20 12
2,复合逻辑运算在数字系统中,除应用与,或,非三种基本逻辑运算之外,还广泛应用与,或,非的不同组合,最常见的复合逻辑运算有 与非,或非,与或非,异或 和 同或 等 。
（ 1） 与非运算
,与,和,非,的复合运算称为与非运算 。
逻辑表达式,Y＝ ABC
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
表 1-9 与非逻辑的真值表图 1-4 与非逻辑的逻辑符号,有 0必 1，全 1才 0”
2009-8-20 13
（ 2） 或非运算
,或,和,非,的复合运算称为或非运算 。
逻辑表达式,Y＝ A+B+C
A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
表 1-10 或非逻辑的真值表
“有 1必 0，全 0才 1”
图 1-5 或非逻辑的逻辑符号
2009-8-20 14
（ 3） 与 或非运算
,与,,,或,和,非,的复合运算称为与或非运算 。
逻辑表达式,Y＝ AB+CD
图 1-6 与或非逻辑的逻辑符号
2009-8-20 15
（ 4） 异 或运算所谓异或运算,是指两个输入变量取值相同时输出为 0,取值不相同时输出为 1。
表 1-11 异或逻辑的真值表
“相同为 0，相异为 1”
图 1-7 异或逻辑的逻辑符号逻辑表达式,Y = A⊕ B = A B + A B
式中符号,⊕,表示异或运算 。
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
2009-8-20 16
（ 5） 同 或运算所谓同或运算,是指两个输入变量取值相同时输出为 1,取值不相同时输出为 0。
表 1-12 同或逻辑的真值表
“相同为 1，相异为 0”
图 1-8 同或逻辑的逻辑符号
A B Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
逻辑表达式,Y = A⊙ B = A B + A B = A⊕ B
式中符号,⊙,表示同或运算 。
2009-8-20 17
1.3.2 逻辑函数及其表示法
1,逻辑函数输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的函数关系称为逻辑函数,写作
Y = F(A,B,C,D…… )
A,B,C,D为有限个输入逻辑变量；
F为有限次逻辑运算 （ 与,或,非 ） 的组合 。
表示逻辑函数的方法有：真值表,逻辑函数表达式,逻辑图和卡诺图 。
2009-8-20 18
真值表是将输入逻辑变量的所有可能取值与相应的输出变量函数值排列在一起而组成的表格。
1个输入变量有 0和 1两种取值，
n个输入变量就有 2n个不同的取值组合。
例：逻辑函数
Y=AB+BC+AC
表 1-11 逻辑函数的真值表
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
三个输入变量，八种取值组合
2,真值表
AB
BC
AC
2009-8-20 19
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
真值表的特点：
① 唯一性 ;
② 按自然二进制递增顺序排列 （ 既不易遗漏,也不会重复 ） 。
③ n个输入变量就有 2n个不同的取值组合 。
2009-8-20 20
例：控制楼梯照明灯的电路 。
两个单刀双掷开关 A和 B分别装在楼上和楼下 。 无论在楼上还是在楼下都能单独控制开灯和关灯 。 设灯为 L,L为 1表示灯亮,L为 0表示灯灭 。 对于开关 A和 B，
用 1表示开关向上扳,用 0表示开关向下扳 。
表 1-14 控制楼梯照明灯的电路的真值表
A B L
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1图 1-9 控制楼梯照明灯 的电路
2009-8-20 21
3,逻辑表达式按照对应的逻辑关系，把输出变量表示为输入变量的与、或、非三种运算的组合，称之为逻辑函数表达式（简称逻辑表达式）。
由真值表可以方便地写出逻辑表达式。方法为：
① 找出使 输出为 1的输入变量取值组合；
② 取值为 1用原变量表示，取值为 0的用反变量表示，则可写成一个乘积项；
③ 将乘积项相加即得。
A B L
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
L = A B + A B
A B
A B
2009-8-20 22
4,逻辑图用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑图。
A B L
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
L = A B + A B
图 1-10 图 1-9电路的逻辑图
2009-8-20 23
作业题
1,1-8
2、思考题：列举生活中的与、或、非逻辑。
