2009-8-20 1
1.3 逻辑函数及其化简
1.3.5 逻辑函数的卡诺图化简法
1,最小项及最小项表达式
2,卡诺图及其画法
3,用卡诺图表示逻辑函数
4,卡诺图化简法结束放映
2009-8-20 2
复习与或表达式最简的标准是什么？
公式化简法的优点？局限性？
2009-8-20 3
1.3.5 逻辑函数的卡诺图化简法公式化简法评价：
优点：变量个数不受限制。
缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。
利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。
卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论一下最小项及最小项表达式。
2009-8-20 4
1.最小项及最小项表达式
（ 1） 最小项具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘积项为三变量 A,B,C的最小项。
设 A,B,C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变量按以下规则构成乘积项：
① 每个乘积项都只含三个因子,且每个变量都是它的一个因子；
②每个变量都以反变量 (A,B,C)或以原变量 (A、
B,C)的形式出现一次，且仅出现一次。
AB是三变量函数的最小项吗？
ABBC是三变量函数的最小项吗？
推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，
因此 N个变量共有 2N个最小项。
2009-8-20 5
最小项的定义,对于 N个变量，如果 P是一个含有 N
个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反变量的形式，作为一个因子在 P中出现且仅出现一次，
那么就称 P是这 N个变量的一个最小项。
表 1-17 三变量最小项真值表
2009-8-20 6
（ 2） 最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为 1，而变量取其余各组值时，该最小项均为 0；
②任意两个不同的最小项之积恒为 0；
③变量全部最小项之和恒为 1。
2009-8-20 7
最小项也可用,mi” 表示，下标,i”即最小项的编号。编号方法：把最小项取值为 1所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。
表 1-18 三变量最小项的编号表
2009-8-20 8
（ 3）最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式 —— 标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，
就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例 1-7 将 Y=AB+BC展开成最小项表达式。
解：
BCAA BCCAB
BCAACCABBCABY
)()(
)7,6,3(
),,( 763
m
mmmCBAY
或：
2009-8-20 9
2.卡诺图及其画法
（ 1） 卡诺图及其构成原则卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是：
① N变量的卡诺图有 2N个小方块（最小项）；
② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。
逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。
几何相邻的含义：
一是相邻 —— 紧挨的；
二是相对 —— 任一行或一列的两头；
三是相重 —— 对折起来后位置相重。
在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。
2009-8-20 10
图 1-11 三变量卡诺图的画法
（ 2） 卡诺图的画法首先讨论三变量 （ A,B,C） 函数卡诺图的画法。
① 3变量的卡诺图有 23个小方块；
② 几何相邻的必须逻辑相邻：变量的取值按 00,01,11、
10的顺序（循环码 ）
排列 。
相邻相邻
2009-8-20 11
图 1-12 四变量卡诺图的画法相邻 相邻不相邻正确认识卡诺图的“逻辑相邻”：
上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性，它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。
对角线上不相邻。
2009-8-20 12
（ 1） 从真值表画卡诺图根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（ 0或 1）即可。需注意二者顺序不同。
例 1-8 已知 Y的真值表，要求画 Y的卡诺图。
表 1-19 逻辑函数 Y的真值表
3.用卡诺图表示逻辑函数
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
图 1-13 例 1-8的卡诺图
2009-8-20 13
（ 2） 从最小项表达式画卡诺图把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入
1，其余的小方块中填入 0。
例 1-9 画出函数 Y(A,B,C,D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15)
的卡诺图。
图 1-14 例 1-9的卡诺图
2009-8-20 14
（ 3） 从与－或表达式画卡诺图把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上
1，剩下的填 0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。
1 1 1 1AB＝ 11
例 已知 Y＝ AB＋ ACD＋ ABCD，画卡诺图。
最后将 剩下的 填 0
1
+1 ACD=101
1 ABCD=0111
2009-8-20 15
（ 4） 从一般形式表达式画卡诺图先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺图。
)15,14,13,12(
))((
1
m
A B C DDA B CDCABDCAB
DDCCAB
ABY
)13,9(
)(
2
m
DCABDCBA
DCBBA
DCAY
7
3
m
B C DAY
2009-8-20 16
（ 1） 卡诺图中最小项合并的规律合并相邻最小项,可消去变量 。
合并两个最小项,可消去一个变量；
合并四个最小项,可消去两个变量；
合并八个最小项,可消去三个变量 。
合并 2N个最小项，可消去 N个变量。
4.卡诺图化简法由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻最小项，利用公式 A+A=1,AB＋ AB＝ A,可以消去一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。
2009-8-20 17
图 1-15 两个最小项合并
m3
m11
BC
D
2009-8-20 18
图 1-16 四个最小项合并
2009-8-20 19图 1-17 八个最小项合并
2009-8-20 20
（ 2） 利用卡诺图化简逻辑函数
A．基本步骤：
① 画出逻辑函数的卡诺图；
② 合并相邻最小项 （ 圈组 ） ；
③ 从圈组写出最简与或表达式 。
关键是能否正确圈组 。
B．正确圈组的原则
① 必须按 2,4,8,2N的规律来圈取值为 1的相邻最小项；
② 每个取值为 1的相邻最小项至少必须圈一次,
但可以圈多次；
③ 圈的个数要最少 （ 与项就少 ）,并要尽可能大 （ 消去的变量就越多 ） 。
2009-8-20 21
C．从圈组写最简与或表达式的方法：
① 将每个圈用一个与项表示圈内各最小项中互补的因子消去,
相同的因子保留,
相同取值为 1用原变量,
相同取值为 0用反变量；
② 将各与项相或,便得到最简与或表达式 。
2009-8-20 22
例 1-10 用卡诺图化简逻辑函数
Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)
解：
相邻
A
2009-8-20 23
相邻
BC
A
2009-8-20 24
BC
A
B
D
DBCBAY
2009-8-20 25
例 1-11 化简图示逻辑函数。
解：
多余的圈
A B CDCACBACDAY
1
1
2
2
3
3
4
4
2009-8-20 26
圈组技巧 (防止多圈组的方法 )：
① 先圈孤立的 1；
② 再圈只有一种圈法的 1；
③ 最后圈大圈；
④ 检查：每个圈中至少有一个 1未被其它圈圈过 。
2009-8-20 27
作业题
1-12单
1.3 逻辑函数及其化简
1.3.5 逻辑函数的卡诺图化简法
1,最小项及最小项表达式
2,卡诺图及其画法
3,用卡诺图表示逻辑函数
4,卡诺图化简法结束放映
2009-8-20 2
复习与或表达式最简的标准是什么？
公式化简法的优点？局限性？
2009-8-20 3
1.3.5 逻辑函数的卡诺图化简法公式化简法评价：
优点：变量个数不受限制。
缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。
利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。
卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论一下最小项及最小项表达式。
2009-8-20 4
1.最小项及最小项表达式
（ 1） 最小项具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘积项为三变量 A,B,C的最小项。
设 A,B,C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变量按以下规则构成乘积项：
① 每个乘积项都只含三个因子,且每个变量都是它的一个因子；
②每个变量都以反变量 (A,B,C)或以原变量 (A、
B,C)的形式出现一次，且仅出现一次。
AB是三变量函数的最小项吗？
ABBC是三变量函数的最小项吗？
推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，
因此 N个变量共有 2N个最小项。
2009-8-20 5
最小项的定义,对于 N个变量，如果 P是一个含有 N
个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反变量的形式，作为一个因子在 P中出现且仅出现一次，
那么就称 P是这 N个变量的一个最小项。
表 1-17 三变量最小项真值表
2009-8-20 6
（ 2） 最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为 1，而变量取其余各组值时，该最小项均为 0；
②任意两个不同的最小项之积恒为 0；
③变量全部最小项之和恒为 1。
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最小项也可用,mi” 表示，下标,i”即最小项的编号。编号方法：把最小项取值为 1所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。
表 1-18 三变量最小项的编号表
2009-8-20 8
（ 3）最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式 —— 标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，
就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例 1-7 将 Y=AB+BC展开成最小项表达式。
解：
BCAA BCCAB
BCAACCABBCABY
)()(
)7,6,3(
),,( 763
m
mmmCBAY
或：
2009-8-20 9
2.卡诺图及其画法
（ 1） 卡诺图及其构成原则卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是：
① N变量的卡诺图有 2N个小方块（最小项）；
② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。
逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。
几何相邻的含义：
一是相邻 —— 紧挨的；
二是相对 —— 任一行或一列的两头；
三是相重 —— 对折起来后位置相重。
在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。
2009-8-20 10
图 1-11 三变量卡诺图的画法
（ 2） 卡诺图的画法首先讨论三变量 （ A,B,C） 函数卡诺图的画法。
① 3变量的卡诺图有 23个小方块；
② 几何相邻的必须逻辑相邻：变量的取值按 00,01,11、
10的顺序（循环码 ）
排列 。
相邻相邻
2009-8-20 11
图 1-12 四变量卡诺图的画法相邻 相邻不相邻正确认识卡诺图的“逻辑相邻”：
上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性，它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。
对角线上不相邻。
2009-8-20 12
（ 1） 从真值表画卡诺图根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（ 0或 1）即可。需注意二者顺序不同。
例 1-8 已知 Y的真值表，要求画 Y的卡诺图。
表 1-19 逻辑函数 Y的真值表
3.用卡诺图表示逻辑函数
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
图 1-13 例 1-8的卡诺图
2009-8-20 13
（ 2） 从最小项表达式画卡诺图把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入
1，其余的小方块中填入 0。
例 1-9 画出函数 Y(A,B,C,D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15)
的卡诺图。
图 1-14 例 1-9的卡诺图
2009-8-20 14
（ 3） 从与－或表达式画卡诺图把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上
1，剩下的填 0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。
1 1 1 1AB＝ 11
例 已知 Y＝ AB＋ ACD＋ ABCD，画卡诺图。
最后将 剩下的 填 0
1
+1 ACD=101
1 ABCD=0111
2009-8-20 15
（ 4） 从一般形式表达式画卡诺图先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺图。
)15,14,13,12(
))((
1
m
A B C DDA B CDCABDCAB
DDCCAB
ABY
)13,9(
)(
2
m
DCABDCBA
DCBBA
DCAY
7
3
m
B C DAY
2009-8-20 16
（ 1） 卡诺图中最小项合并的规律合并相邻最小项,可消去变量 。
合并两个最小项,可消去一个变量；
合并四个最小项,可消去两个变量；
合并八个最小项,可消去三个变量 。
合并 2N个最小项，可消去 N个变量。
4.卡诺图化简法由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻最小项，利用公式 A+A=1,AB＋ AB＝ A,可以消去一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。
2009-8-20 17
图 1-15 两个最小项合并
m3
m11
BC
D
2009-8-20 18
图 1-16 四个最小项合并
2009-8-20 19图 1-17 八个最小项合并
2009-8-20 20
（ 2） 利用卡诺图化简逻辑函数
A．基本步骤：
① 画出逻辑函数的卡诺图；
② 合并相邻最小项 （ 圈组 ） ；
③ 从圈组写出最简与或表达式 。
关键是能否正确圈组 。
B．正确圈组的原则
① 必须按 2,4,8,2N的规律来圈取值为 1的相邻最小项；
② 每个取值为 1的相邻最小项至少必须圈一次,
但可以圈多次；
③ 圈的个数要最少 （ 与项就少 ）,并要尽可能大 （ 消去的变量就越多 ） 。
2009-8-20 21
C．从圈组写最简与或表达式的方法：
① 将每个圈用一个与项表示圈内各最小项中互补的因子消去,
相同的因子保留,
相同取值为 1用原变量,
相同取值为 0用反变量；
② 将各与项相或,便得到最简与或表达式 。
2009-8-20 22
例 1-10 用卡诺图化简逻辑函数
Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)
解：
相邻
A
2009-8-20 23
相邻
BC
A
2009-8-20 24
BC
A
B
D
DBCBAY
2009-8-20 25
例 1-11 化简图示逻辑函数。
解：
多余的圈
A B CDCACBACDAY
1
1
2
2
3
3
4
4
2009-8-20 26
圈组技巧 (防止多圈组的方法 )：
① 先圈孤立的 1；
② 再圈只有一种圈法的 1；
③ 最后圈大圈；
④ 检查：每个圈中至少有一个 1未被其它圈圈过 。
2009-8-20 27
作业题
1-12单
