第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
),( txyy ?
各质点相对平
衡位置的 位移
波线上各质点
平衡 位置
? 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作
简谐运动时，在介质中所形成的波,
一 平面简谐波的波函数
? 平面简谐波：波面为平面的简谐波,
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 称
为波函数,
),( txy
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
点 O 的振动状态
tAy O ?c o s?
点 P
u
x
t ??
t 时刻点 P 的运动t-x/u时刻点 O 的运动
以速度 u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波, 令
原点 O 的初相为
零，其振动方程
tAy O ?c o s?
?
)(c o s
u
xtAy
P ?? ?
点 P 振动方程
时间推
迟方法
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
点 P 比点 O 落后 的相位 Op ??? ???
?
xπ2?
u
x
Tu
xx
p ??? ?????? π2π2
)(c o s
u
xtAy
p ?? ?
点 P 振动方程
tAy o ?c o s?
点 O 振动方程
0,0 ?? ?x
? 波函数 )(c o s
u
xtAy ?? ?
P
x
*
y
x
?
u?A
A?
O
相位落后法
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
0,0 ?? ?x
])(c o s [ ?? ???
u
xtAy 沿 轴 负 向
u x
)c o s ( ?? ?? tAy O点 O 振动方程
波
函
数
沿 轴 正 向u x ])(c o s [ ?? ???
u
xtAy
y
x
?
uA
A?
O
如果原点的
初相位 不 为零
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
? 波动方程的其它形式
])(π2c o s [)( ????
λ
x
T
tAx,ty
)c o s (),( ?? ??? kxtAtxy
?
π2?k角波数? 质点的振动速度，加速度
])(s in [ ??? ??????? uxtAtyv
])(c o s [22
2
??? ????
?
??
u
xtA
t
ya
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
二 波函数的物理意义
])(π2c o s [])(c o s [ ???? ?????? xTtAuxtAy
1 当 x 固定时,波函数表示该点的简谐运动
方程，并给出该点与点 O 振动的相位差,
λ
x
u
x π2????? ??
（波具有时间的周期性） ),(),( Ttxytxy ??
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
波线上各点的简谐运动图
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
（波具有空间的周期性） ),(),( txytxy ???
2 当 一定时，波函数表示该时刻波线上各点
相对其平衡位置的位移，即此刻的波形,
t
])(π2c o s [])(c o s [ ???? ?????? xTtAuxtAy
????? ?????? )(π2)( 111 xTtuxt
????? ?????? )(π2)( 222 xTtuxt
??
??? 21122112 π2π2 xxx ???????
波程差
1221 xxx ???
??
x??? π2
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
y
x
u
O
y
),(),( xxttxt ????? ?? )(π2c o s
?
x
T
tAy ??
)(π2)(π2 ?? xxT ttxTt ???????
?
x
T
t ??? tux ???
3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方
向的运动情况（行波）,tx,
t 时刻 tt ?? 时刻
x?
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
例 1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速,
].)cm01.0()2, 5 0 s[(πco s)cm5( -1-1 xty ??
解,方法一（比较系数法）,
)(π2c o s ?xTtAy ??
])cm201.0()s22, 5 0[(π2c o s)cm5( 1-1- xty ??
把题中波动方程改写成
s8.0s5.2 2 ??T cm2 0 001.0 cm2 ??? 1scm2 5 0 ????
T
u ?
比较得
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
例 1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速,
].)cm01.0()2, 5 0 s[(πco s)cm5( -1-1 xty ??
解,方法二（由各物理量的定义解之）,
??? txt )2, 5 0 s[(π])cm01.0()2, 5 0 s[(π -11-1-1
π2])cm01.0( 2-1 ?x cm20012 ??? xx?
])cm01.0()2, 5 0 s[(π])cm01.0()2, 5 0 s[(π 2-12-11-11-1 xtxt ???
s8.012 ??? ttT
1
12
12 scm2 5 0 ???
?
??
tt
xxu
周期 为相位传播一个波长所需的时间
波长 是指同一时刻,波线上相位差为 的两
点间的距离,
π2t
cm2 0 012 ??? ?xx
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
])(π2c o s [ ?
?
??? x
T
tAy
1） 波动方程
2
π???
例 2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播,已知振
幅,,, 在 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动, 求
0?tm0.2??m0.1?A s0.2?T
]2π)m0.2s0.2(π2c o s [m)0.1( ??? xty
0,0 ????? tyy v
00 ?? xt
解 写出波动方程的标准式
y
?
A?
O
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
2） 求 波形图,
x)ms in ( πm)0.1( 1??
s0.1?t
])m( π2πc o s [m)0.1( 1 xy ???
波形方程
s0.1?t
]2π)m0.2s0.2(π2c o s [m)0.1( ??? xty
o
m/y
m/x2.0
1.0
-1.0
时刻波形图s0.1?t
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
3） 处质点的振动规律并做图,m5.0?x
]π)sc o s [ ( πm)0.1( 1 ?? ? ty
]2π)m0.2s0.2(π2c o s [m)0.1( ??? xty
处质点的振动方程m5.0?x
0
m/y
1.0
-1.0
s/t2.0
O
y
?1
2
3
4
*
*
* *
*
*
1
2
3
4
处质点的振动曲线m5.0?x
1.0
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
例 3 一平面简谐波以速度 沿直线传播,波
线上点 A 的简谐运动方程,
s/m20?u
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 ????
1） 以 A 为坐标原点，写出波动方程
m10?? uT?m103 2???A s5.0?T 0??
)
m10s5.0
(π2c o s)m103( 2 xty ??? ?
])(π2c o s [ ?
?
??? x
T
tAy
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
?
?? ABAB xx ???? π2 10 5π2?? π?
π?B? ]π)sπ4co s [ ()m103( 12 ??? ?? ty B
]π)m10s5.0(π2c o s [)m103( 2 ???? ? xty
2） 以 B 为坐标原点，写出波动方程
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 ????
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
3） 写出传播方向上点 C,点 D 的简谐运动方程
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 ????
点 C 的相位比点 A 超前
]π2)sπ4c o s [ ()m103( 12 ?ACty C ??? ??
]π513)sπ4c o s [ ()m103( 12 ??? ?? t
点 D 的相位落后于点 A ]π2)sπ4c o s [ ()m103(
12
?
ADty D ??? ??
]π59)sπ4c o s [ ()m103( 12 ??? ?? t
m10??
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
4） 分别求出 BC, CD 两点间的相位差
π4.4
10
22π2π2 ????????
?
?? DCDC xx
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 ????
π6.1108π2π2 ???????? ??? CBCB xx
m10??
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
1） 给出下列波函数所表示的波的 传播方向
和 点的初相位,0?x
)(π2c o s ?xTtAy ???
)(cos uxtAy ???? ?
2） 平面简谐波的波函数为
式中 为正常数，求波长、波速、波传播方
向上相距为 的两点间的相位差,
)co s( CxBtAy ??
CBA,,
d
)co s( CxBtAy ?? )(π2c o s
?
x
T
tAy ??
C
π2??
BT
π2?
C
B
Tu ??
?
dCd ??? ?? π2
讨 论
)π,( ??向 x 轴 正 向传播
)π,( ??向 x 轴 负 向传播
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
3 ） 如图简谐波
以余弦函数表示，
求 O,a,b,c 各
点振动 初相位,
)π~π(??
O
y
x
u
a b c
A
A?
t=T/4
?
t =0
π?o?
2
π?
a?
0?b?
2
π??
c?O y
? A?
O y
?A?
O y
?
A?
O y
?
A?
),( txyy ?
各质点相对平
衡位置的 位移
波线上各质点
平衡 位置
? 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作
简谐运动时，在介质中所形成的波,
一 平面简谐波的波函数
? 平面简谐波：波面为平面的简谐波,
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 称
为波函数,
),( txy
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
点 O 的振动状态
tAy O ?c o s?
点 P
u
x
t ??
t 时刻点 P 的运动t-x/u时刻点 O 的运动
以速度 u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波, 令
原点 O 的初相为
零，其振动方程
tAy O ?c o s?
?
)(c o s
u
xtAy
P ?? ?
点 P 振动方程
时间推
迟方法
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
点 P 比点 O 落后 的相位 Op ??? ???
?
xπ2?
u
x
Tu
xx
p ??? ?????? π2π2
)(c o s
u
xtAy
p ?? ?
点 P 振动方程
tAy o ?c o s?
点 O 振动方程
0,0 ?? ?x
? 波函数 )(c o s
u
xtAy ?? ?
P
x
*
y
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u?A
A?
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相位落后法
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
0,0 ?? ?x
])(c o s [ ?? ???
u
xtAy 沿 轴 负 向
u x
)c o s ( ?? ?? tAy O点 O 振动方程
波
函
数
沿 轴 正 向u x ])(c o s [ ?? ???
u
xtAy
y
x
?
uA
A?
O
如果原点的
初相位 不 为零
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
? 波动方程的其它形式
])(π2c o s [)( ????
λ
x
T
tAx,ty
)c o s (),( ?? ??? kxtAtxy
?
π2?k角波数? 质点的振动速度，加速度
])(s in [ ??? ??????? uxtAtyv
])(c o s [22
2
??? ????
?
??
u
xtA
t
ya
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
二 波函数的物理意义
])(π2c o s [])(c o s [ ???? ?????? xTtAuxtAy
1 当 x 固定时,波函数表示该点的简谐运动
方程，并给出该点与点 O 振动的相位差,
λ
x
u
x π2????? ??
（波具有时间的周期性） ),(),( Ttxytxy ??
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
波线上各点的简谐运动图
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
（波具有空间的周期性） ),(),( txytxy ???
2 当 一定时，波函数表示该时刻波线上各点
相对其平衡位置的位移，即此刻的波形,
t
])(π2c o s [])(c o s [ ???? ?????? xTtAuxtAy
????? ?????? )(π2)( 111 xTtuxt
????? ?????? )(π2)( 222 xTtuxt
??
??? 21122112 π2π2 xxx ???????
波程差
1221 xxx ???
??
x??? π2
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
y
x
u
O
y
),(),( xxttxt ????? ?? )(π2c o s
?
x
T
tAy ??
)(π2)(π2 ?? xxT ttxTt ???????
?
x
T
t ??? tux ???
3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方
向的运动情况（行波）,tx,
t 时刻 tt ?? 时刻
x?
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
例 1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速,
].)cm01.0()2, 5 0 s[(πco s)cm5( -1-1 xty ??
解,方法一（比较系数法）,
)(π2c o s ?xTtAy ??
])cm201.0()s22, 5 0[(π2c o s)cm5( 1-1- xty ??
把题中波动方程改写成
s8.0s5.2 2 ??T cm2 0 001.0 cm2 ??? 1scm2 5 0 ????
T
u ?
比较得
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
例 1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速,
].)cm01.0()2, 5 0 s[(πco s)cm5( -1-1 xty ??
解,方法二（由各物理量的定义解之）,
??? txt )2, 5 0 s[(π])cm01.0()2, 5 0 s[(π -11-1-1
π2])cm01.0( 2-1 ?x cm20012 ??? xx?
])cm01.0()2, 5 0 s[(π])cm01.0()2, 5 0 s[(π 2-12-11-11-1 xtxt ???
s8.012 ??? ttT
1
12
12 scm2 5 0 ???
?
??
tt
xxu
周期 为相位传播一个波长所需的时间
波长 是指同一时刻,波线上相位差为 的两
点间的距离,
π2t
cm2 0 012 ??? ?xx
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
])(π2c o s [ ?
?
??? x
T
tAy
1） 波动方程
2
π???
例 2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播,已知振
幅,,, 在 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动, 求
0?tm0.2??m0.1?A s0.2?T
]2π)m0.2s0.2(π2c o s [m)0.1( ??? xty
0,0 ????? tyy v
00 ?? xt
解 写出波动方程的标准式
y
?
A?
O
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
2） 求 波形图,
x)ms in ( πm)0.1( 1??
s0.1?t
])m( π2πc o s [m)0.1( 1 xy ???
波形方程
s0.1?t
]2π)m0.2s0.2(π2c o s [m)0.1( ??? xty
o
m/y
m/x2.0
1.0
-1.0
时刻波形图s0.1?t
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
3） 处质点的振动规律并做图,m5.0?x
]π)sc o s [ ( πm)0.1( 1 ?? ? ty
]2π)m0.2s0.2(π2c o s [m)0.1( ??? xty
处质点的振动方程m5.0?x
0
m/y
1.0
-1.0
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O
y
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3
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*
*
* *
*
*
1
2
3
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处质点的振动曲线m5.0?x
1.0
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
例 3 一平面简谐波以速度 沿直线传播,波
线上点 A 的简谐运动方程,
s/m20?u
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 ????
1） 以 A 为坐标原点，写出波动方程
m10?? uT?m103 2???A s5.0?T 0??
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m10s5.0
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])(π2c o s [ ?
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T
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u
ABC D
5m 9m
xo
8m
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
?
?? ABAB xx ???? π2 10 5π2?? π?
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]π)m10s5.0(π2c o s [)m103( 2 ???? ? xty
2） 以 B 为坐标原点，写出波动方程
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 ????
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
3） 写出传播方向上点 C,点 D 的简谐运动方程
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 ????
点 C 的相位比点 A 超前
]π2)sπ4c o s [ ()m103( 12 ?ACty C ??? ??
]π513)sπ4c o s [ ()m103( 12 ??? ?? t
点 D 的相位落后于点 A ]π2)sπ4c o s [ ()m103(
12
?
ADty D ??? ??
]π59)sπ4c o s [ ()m103( 12 ??? ?? t
m10??
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
4） 分别求出 BC, CD 两点间的相位差
π4.4
10
22π2π2 ????????
?
?? DCDC xx
u
ABC D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 ????
π6.1108π2π2 ???????? ??? CBCB xx
m10??
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
1） 给出下列波函数所表示的波的 传播方向
和 点的初相位,0?x
)(π2c o s ?xTtAy ???
)(cos uxtAy ???? ?
2） 平面简谐波的波函数为
式中 为正常数，求波长、波速、波传播方
向上相距为 的两点间的相位差,
)co s( CxBtAy ??
CBA,,
d
)co s( CxBtAy ?? )(π2c o s
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x
T
tAy ??
C
π2??
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π2?
C
B
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dCd ??? ?? π2
讨 论
)π,( ??向 x 轴 正 向传播
)π,( ??向 x 轴 负 向传播
第十五章 机械波15 – 2 平面简谐波的波函数
3 ） 如图简谐波
以余弦函数表示，
求 O,a,b,c 各
点振动 初相位,
)π~π(??
O
y
x
u
a b c
A
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t=T/4
?
t =0
π?o?
2
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