第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
以 为
原点旋转矢
量 的端点
在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动,
x
A?
o
xo
?
?
A?
?c o s0 Ax ?
当 时0?t
0x
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
以 为
原点旋转矢
量 的端点
在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动,
x
A?
o
?
xo
A?
tt ?
?? ?t
)c o s ( ?? ?? tAx

第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
)cos( ?? ?? tAx
旋转
矢量 的
端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动,
x
A?
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
?A?mv
)2π c o s ( ??? ??? tAv
)c o s (2 ??? ??? tAa
2
n ?Aa ?
2
π ?? ?? t
mv
?
v?
?
x
y
0
A?
?? ?t
)c o s ( ?? ?? tAx
na
?
a?
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
(旋转矢量旋转一周所需的时间)
?π2?T
用旋转矢量图画简谐运动的 图tx?
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
A
A?
x
2A t
o
a
b
x
AA? 0
讨论 ? 相位差:表示两个相位之差,
1) 对 同一 简谐运动,相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间, )()(
12 ????? ????? tt
)c o s ( 1 ?? ?? tAx
)c o s ( 2 ?? ?? tAx ??????? 12 ttt
at
?
3
π ??? TTt
6
1
π2
3π ???
??
v? 2
A
bt
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
0???
x
to
同步
2) 对于两个 同 频率 的简谐运动,相位差表示它
们间 步调 上的 差异,(解决振动合成问题)
)c o s ( 111 ?? ?? tAx )c o s ( 222 ?? ?? tAx
)()( 12 ????? ????? tt 12 ??? ???
x
to
?? 为其它
超前
落后
t
x
o
π???? 反相
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
例 1 如图所示,一轻弹簧的右端连着一物体,弹
簧的劲度系数,物体的质量,
( 1) 把物体从平衡位置向右拉到 处停
下后再释放,求简谐运动方程;
1mN72.0 ???k g20?m
m05.0?x
m05.0?x
10 sm30.0 ???v
( 3) 如果物体在 处时速度不等于零,
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
2
A( 2) 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度;
m/x
o
0.05
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o x
解 ( 1)
1
1
s0.6
kg02.0
mN72.0 ?? ????
m
k?
m05.002
2
02
0 ???? xxA ?
v
0t a n
0
0 ???
x?
? v
π 0 或??
A
由旋转矢量图可知
0??
)cos( ?? ?? tAx ])s0.6co s [ ()m05.0( 1 t??
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o xA
2
A
?
解 )cos( ?? ?? tAx
)c o s ( tA ??
2
1)c o s ( ??
A
xt?
3
π 5
3
π 或?t?
A
3
π?t?由旋转矢量图可知
tA ?? s i n??v
1sm26.0 ???? (负号表示速度沿 轴负方向)Ox
2
A( 2) 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度;
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量

m0707.02
2
02
0 ??? ?
vxA '
1t a n
0
0 ????
x?
? v'
4
π 3
4
π 或' ???
o x
'A ?
4π?
)cos( ?? ?? tAx
]
4
π)s0.6c o s [ ()m0 7 0 7.0( 1 ?? ? t
m05.0?x
10 sm30.0 ???v
( 3) 如果物体在 处时速度不等于零,
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
因为,由旋转矢量图可知 4π??'?00 ?v
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
例 2 一质量为 的物体作简谐运动,其振
幅为,周期为,起始时刻物体在kg01.0m08.0 s4 ?x m04.0
处,向 轴负方向运动(如图),试求Ox
( 1) 时,物体所处的位置和所受的力;s0.1?t
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
解 m08.0?A
1s
2
ππ2 ???
T
?
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
3
π0 ??? ?
0v?
m04.0,0 ?? xt 代入 )cos( ?? ?? tAx
?c o s)m08.0(m04.0 ?
3
π???
A
?

]
3
π)s
2
πc o s [ ()m08.0( 1 ?? ? tx
m08.0?A 1
s
2
ππ2 ???
T
?
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
]
3
π)s
2
πc o s [ ()m08.0( 1 ?? ? tx
s0.1?t 代入上式得 m0 6 9.0??x
xmkxF 2?????
)m0 6 9.0()s2π)(kg01.0( 21 ??? ?N1070.1 3???
kg01.0?m
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
( 2) 由起始位置运动到 处所需要
的最短时间,
m04.0??x
法一 设由起始位置运动到 处所
需要的最短时间为
m04.0??x
t
]3π)s2πc o s [ ()m08.0(m04.0 1 ??? ? t
s

3
π
)
2
1
(a rc c o s ??
?t
s6 6 7.0s32 ??
第十四章 机械振动14 – 3 旋转矢量
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
解法二
?
3π3π
起始时刻时刻t
t?
3
π?t? s667.0s
3
2 ??t
1s
2
π ???