基本电路理论
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
第四章 电阻性网络的一般分析与网络定理
电路分析方法传统上一般分为两大类,
等效变换方法
力图减小求解电路所需的独立方程数的方法
(关键是选择合适的电路变量 )
在电路理论中除特勒根定理外，还有替代定理、
迭加定理、戴维宁和诺顿定理以及互易定理等。
它们主要用于简化网络的计算。通过对这些定理
的讨论，将加深对网络性质的理解。对于网络定
理，除了要掌握定理的内容外，还要了解网络定
理适用的范围和一些限制条件。
§ 4.1 回路分析法
回路分析法是以各回路电流作为未知变量
来列写方程，所得方程称回路方程。
由于网络的独立回路数总小于支路数，所
以，回路分析法可以减少求解网络所需的
联立方程数。
从回路方程求得回路电流以后，再求出各
支路电压和电流。
右图三回路网络，规定
了支路电流的参考方向，
指定了回路电流 im1,im2
和 im3的参考方向。
根据 KVL, KCL和支路特性，并用回路电流 im1、
im2和 im3来表示的回路方程为
1 4 5 4 5 1 1
4 2 4 6 6 2 2 6
5 6 3 5 6 3 6
ms
m s s
ms
R R R R R i v
R R R R R i v v
R R R R R i v
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
3R5i i3mi 6i
1mi1i 2i4i 2mi 6RR S
v1R 2R4R
1Sv 2Sv① ② ③④
简写成
1 4 5 4 5 1 1
4 2 4 6 6 2 2 6
5 6 3 5 6 3 6
ms
m s s
ms
R R R R R i v
R R R R R i v v
R R R R R i v
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
1 1 1 2 1 3 1 1 1
2 1 2 2 2 3 2 2 2
3 1 3 2 3 3 3 3 3
ms
ms
ms
R R R i v
R R R i v
R R R i v
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
R11称回路 1的自电阻； R22称回路 2的自电阻；
R33称回路 3的自电阻；自电阻总是正的。
R12 = R21,为回路 1和回路 2公共支路的电阻, 称
回路 1和回路 2的互电阻。互电阻可正，可负。
Vs11表示回路 1中所有电压源电压升的代数和。
具有 m个回路的线性电阻网络方程
简写成 RI = VS
1 1 1 2 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2 2
12
m m s
m m s
m m m m m m s m m
R R R i v
R R R i v
R R R i v
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
式中 I 为 回路 电流列向量,VS为 回路 电压源列向量,
系数矩阵 R称 回路 电阻矩阵，为对称矩阵。
Rii 称为第 i个 回路 的自电阻
Rij 是第 i个 回路 与第 j个 回路 的互电阻
Rij = Rji,即 回路 电阻矩阵具有对称性
上式的解式为
1 1 1 2 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2 2
12
m m s
m m s
m m m m m m s m m
R R R i v
R R R i v
R R R i v
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
1
1 1,2,,m
m i s j j j i
j
i v i m
?
? ? ?? ?,
式中
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
m
m
m m m m
R R R
R R R
R R R
??
如果取网孔作回路的回路分析法，称网孔
分析法。
网孔分析法是以各网孔电流作为未知变量
来列写方程，所得方程称网孔方程。从网
孔方程求得网孔电流以后，再求出各支路
电压和电流。
取网孔作回路所列方程一定是独立的，且
比较方便。只是网孔分析法仅适用于平面
网络。
具有 m个网孔的线性电阻网络方程
简写成 RI = VS
1 1 1 2 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2 2
12
m m s
m m s
m m m m m m s m m
R R R i v
R R R i v
R R R i v
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
式中 I 为网孔电流列向量,VS为网孔电压源列向量,
系数矩阵 R称网孔电阻矩阵，为对称矩阵。
Rii 称为第 i个网孔的自电阻
Rij 是第 i个网孔与第 j个网孔的互电阻
Rij = Rji,即网孔电阻矩阵具有对称性
例 试用网孔分
析法求图示网络中
通过 R的电流 iR
解 用视察法可得网孔矩阵方程
解得 iR= i2= - 4880/5104 = - 0.956A
20V4?10?2?40V? 8R ??810 Ri2I1I3I
1
2
3
2 4 4 1 0 2 0
4 2 0 8 2 0
1 0 8 2 0 4 0
I
I
I
? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
例 试列出图示网
络的网孔方程。
解 将受控源当独立电源来处理，用视察法写网络方程
用网孔电流表示受控源的控制变量，即 i2 = im1- im2
1 2 2 1 1
2 2 3 2 3 2
ms
m
R R R i v
R R R i i?
??? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
1 2 2 1 1
2 3 2 3 3 2 0
m s
m
R R R i v
R R R i??
??? ? ? ? ??
?? ? ? ? ??
? ? ? ? ??? ? ? ?
网络含有受控电源时，其互电阻 R12 ≠ R21
1R 3R2R2i1mi 2mi1Sv 32ri
例 具有纯电
流源支路 (无伴电
流源支路 )网络网
孔方程的建立
虚网孔电流法,取一个网孔电流，且仅仅一个网孔电流
流经电流源。由于该网孔电流就等于电流源电流，故该
网孔电流是虚设的，故称虚网孔电流法。
I1=IS
-R1I1+(R1+R3+R4)I2-R4I3=-VS3-VS4
4SV
SI 5R21R3I2I1I4R3
3SV ????
-R2I1-R4I2+(R2+R4+R5)I3=VS4
例 求输入电阻 Ri
解 设输入端电压为 V1，并
将受控电流源等效变换成
受控电压源，求出输入电
流 I1，即可求得 Ri= V1/ I1
iR ?25?100?10k10k 10.99I1I1V25?100?10k10k1I
19900 I1I 2I
11
21
1 2 5 1 0 0
99001 0 0 2 0 1 0 0
IV
II
? ? ? ? ??? ?
? ? ? ?????? ? ? ? ? 1 1
2
1 2 5 1 0 0
1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0
I V
I
? ??? ? ? ??
??? ? ? ??? ? ? ???
1
1
20100
1512500
VI ?
1
1
75i VR
I
??
§ 4.2 节点分析法
节点分析法是以各节点的电位作为未知变
量来列写方程 (节点方程 )。
任选一个节点为基准节点 (参考节点 )，且
电位恒取为零。其他节点的电位就是它们
与基准节点之间的电压，称为节点电压。
从节点方程求得节点电压以后，再求出各
支路电压和电流。
根据 KCL,KVL和支路特性，以节点电压 vn1、
vn2和 vn3表示的网络节点方程为
在右图网络中，已标出各
支路电流的参考方向。网
络共有四个节点，选节点
④ 为基准节点。
1 3 5 5 3 1 1 1
5 4 5 6 6 2 6 6
3 6 2 3 6 3 2 2 6 6
ns
ns
n s s
G G G G G v G v
G G G G G v G v
G G G G G v G v G v
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
3R
1R 2R6R4R1i 2i
i
4i5i 6iSv1Sv 2SvR① ② ③④
简写成
1 3 5 5 3 1 1 1
5 4 5 6 6 2 6 6
3 6 2 3 6 3 2 2 6 6
ns
ns
n s s
G G G G G v G v
G G G G G v G v
G G G G G v G v G v
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
1 1 1 2 1 3 1 1 1
2 1 2 2 2 3 2 2 2
3 1 3 2 3 3 3 3 3
ns
ns
ns
G G G v i
G G G v i
G G G v i
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
G11为节点 ① 的自电导； G22为节点 ② 的自电导； G33则
为节点 ③ 的自电导；自电导总是为正。
G12等于 G21，为节点 ①, ② 间支路电导之总和，称节
点 ① 与 ② 的互电导；互电导总是负的。
is11是流入节点 ① 的所有电流源电流的代数和。
具有 n个独立节点的网络矩阵方程为
1 1 1 2 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2 2
12
n n s
n n s
n n n n n n s n n
G G G v i
G G G v i
G G G v i
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
可表示为 GV = IS
其中 V称节点电压列向量,IS称节点电流源列向量,
系数矩阵 G称节点电导矩阵,为对称矩阵。
Gii 称为第 i个节点的自电导
Gij 是第 i个节点与第 j个节点的互电导
Gij = Gji,即节点电导矩阵具有对称性
上式的解式为
式中
1 1 1 2 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2 2
12
n n s
n n s
n n n n n n s n n
G G G v i
G G G v i
G G G v i
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
1
1 1,2,,n
n i s j j j i
j
v i i n
?
? ? ?? ?,
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
G G G
G G G
G G G
??
凭借对方程中各种变量及各系数的理解，通过观察网络
直接写出方程的方法称为视察法。
例 应用节点分析法确
定右图所示电路中由电
源流出的电流。
解 用视察法列出所示电路的节点方程为
由电源流出的电流为
解方程组得
vn1 = 11.30 V
vn2 = -22.32 V
12
11( 5 0 1 1, 3 0 ) 1 9, 3 5 [ 1 0 0 ( 2 2, 3 2 ) ] 1 9, 4 2
24i A i A? ? ? ? ? ? ?,
1
2
3
1 1 1 1 1 50
2 2 5 2 5 2
1 1 1 1 1 1 0 0
2 4 2 8 8 4
01 1 1 1 1
5 8 2 0 8 5
n
n
n
v
v
v
?? ??
? ? ? ?
?? ??
?? ??
?? ??
? ? ? ? ? ?
???? ??
?? ????
??? ? ? ?
???? ????
20?84?2?5?2?100 V50V1i2i ①② ③
例 试列出右图所
示电路的节点方程。
解 图示电路含有受控电源，应用视察法列写节点方程，
可先将受控电源当作独立电源处理，然后用节点电压来表
示受控电源的控制量。电路方程为
代入并移项整理，得
用节点电压表示受控源的控制变量,v2 = vn1-vn2
1 2 2 1 1
2 2 3 2 2
nS
nm
G G G v i
G G G v g v
??? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
1 2 2 1 1
2 2 3 2 0
n S
m m n
G G G v i
G g G G g v
??? ? ? ? ??
?? ? ? ? ??
? ? ? ? ??? ? ? ?
3R2R1R2v1Si 2mgv②①
例 含理想运放电路如
右图所示，试列该电路
节点方程。
由于运放的输出电流 io未知，且不能用节点电压表示，
故不宜选节点 ⑤ 列写节点方程。
解 根据理想运放虚断和虚
短特性,ia=ib = 0,vn1-vn2=0。
对电路的五个独立节点
1
1 3 3 11
2
2 5 5 22
3
3 3 4 7 7 4
4
5 7 5 6 7
5
0 0 0
0 0 0
0 0
00 0
n
S
n
S
n
n
n
v
G G G Gv
v
G G G Gv
v
G G G G G G
v
G G G G G
v
??
???? ????
?? ????
??
???? ?
??? ? ? ? ? ??
????
? ? ? ? ????
??
??
∞
3R2R1 4R
5R 6R7aibi Oi SCv1Sv 2Sv①②
③④ ⑤
例 试列图示电路节点方程
电路方程为
解 电路中出现纯电压源支路 (无伴
电压源支路 )，也可用虚节点电压方
法求解。支路 5与节点 ① 有 vn1=vS5，
即节点 ① 的电位为已知, 称虚节点 。
同样，支路 6与节点 ②,节点 ③ 的关
系有 vn2-vn3=vS6，可形成一个广义节
点，如图所示。
6Sv5Sv 4R321R③②① 6Sv5Sv
4R321③②①
? ? ? ?
15
2 3 6
1 2 1 1 3 2 2 4 3( ) 0
nS
n n S
n n n
vv
v v v
G G v G G v G G v
? ?
?
???
? ? ? ? ? ? ? ???
???
例 电路如图所示，试用电源转
移方法和虚节点电压方法列电路的
节点方程
(1) 电源转移方法
① 3G4G2G1 5③②④ 1Sv 2Si①
3G4
G
2G1G③②④ 2Si1S
vSv ①
34GG?12?③② ④ 2S
i
41SGv11SGv1 2 2 1 1 2
3 4 3 4 1 2
0
0
n S S
n S S
G G v G v i
G G v G v i
??? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
纯电流源支路可认为电导是 0的电阻与电流源并联
(2) 虚节点电压方法
直接由右上电路图可得 ? ?? ?
11
1 1 1 2 2 2
4 1 3 4 3 2
nS
n n S
n n S
vv
G v G G v i
G v G G v i
??
?
? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
?
将方程 1代入方程 2、方程 3即为电源转移方法所得方程
例 电路如图所示，试求节
点电压 Vna,Vnb,Vnc
节点 a (0.15+0.2)Vna - 0.15Vnb - 0.2Vnc = -11
解得
0.25 S0.05 S25A8A?
3A?400V0.15 S?0.2S???
广义节点 -(0.15+0.2)Vna+(0.05+0.15)Vnb+(0.25+0.2)Vnc=28
且 -Vnb+Vnc=440
0, 3 5 0, 1 5 0, 2 1 1
0, 3 5 0, 2 0, 4 5 2 8
0 1 1 4 4 0
na
nb
nc
V
V
V
? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
90
310
130
na
nb
nc
V
VV
V
?? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
解
例 试求图示电路的节点电
压 Vna,Vnb,Vnc和 ix 。
解 对广义节点
解得
60?xi 30xiab180?2A cd90?90?
1 1 1 1 1 2
9 0 9 0 6 0 9 0 6 0n a n b n cV V V
? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
2Vna -5Vnb +5Vnc =360
对点 b 1 1 1 1 1
09 0 9 0 6 0 1 8 0 6 0n a n b n cV V V??? ? ? ? ? ?????
-2Vna +6Vnb -3Vnc = 0
另外 ? ?3030
90n a n c x n a n bV V i V V? ? ? ?
2Vnb +Vnb-3Vnc = 0
2 5 5 3 6 0
2 6 3 0
2 1 3 0
na
nb
nc
V
V
V
?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
135
108
126
na
nb
nc
V
VV
V
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
,ix =0.3A
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
第四章 电阻性网络的一般分析与网络定理
电路分析方法传统上一般分为两大类,
等效变换方法
力图减小求解电路所需的独立方程数的方法
(关键是选择合适的电路变量 )
在电路理论中除特勒根定理外，还有替代定理、
迭加定理、戴维宁和诺顿定理以及互易定理等。
它们主要用于简化网络的计算。通过对这些定理
的讨论，将加深对网络性质的理解。对于网络定
理，除了要掌握定理的内容外，还要了解网络定
理适用的范围和一些限制条件。
§ 4.1 回路分析法
回路分析法是以各回路电流作为未知变量
来列写方程，所得方程称回路方程。
由于网络的独立回路数总小于支路数，所
以，回路分析法可以减少求解网络所需的
联立方程数。
从回路方程求得回路电流以后，再求出各
支路电压和电流。
右图三回路网络，规定
了支路电流的参考方向，
指定了回路电流 im1,im2
和 im3的参考方向。
根据 KVL, KCL和支路特性，并用回路电流 im1、
im2和 im3来表示的回路方程为
1 4 5 4 5 1 1
4 2 4 6 6 2 2 6
5 6 3 5 6 3 6
ms
m s s
ms
R R R R R i v
R R R R R i v v
R R R R R i v
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
3R5i i3mi 6i
1mi1i 2i4i 2mi 6RR S
v1R 2R4R
1Sv 2Sv① ② ③④
简写成
1 4 5 4 5 1 1
4 2 4 6 6 2 2 6
5 6 3 5 6 3 6
ms
m s s
ms
R R R R R i v
R R R R R i v v
R R R R R i v
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
1 1 1 2 1 3 1 1 1
2 1 2 2 2 3 2 2 2
3 1 3 2 3 3 3 3 3
ms
ms
ms
R R R i v
R R R i v
R R R i v
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
R11称回路 1的自电阻； R22称回路 2的自电阻；
R33称回路 3的自电阻；自电阻总是正的。
R12 = R21,为回路 1和回路 2公共支路的电阻, 称
回路 1和回路 2的互电阻。互电阻可正，可负。
Vs11表示回路 1中所有电压源电压升的代数和。
具有 m个回路的线性电阻网络方程
简写成 RI = VS
1 1 1 2 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2 2
12
m m s
m m s
m m m m m m s m m
R R R i v
R R R i v
R R R i v
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
式中 I 为 回路 电流列向量,VS为 回路 电压源列向量,
系数矩阵 R称 回路 电阻矩阵，为对称矩阵。
Rii 称为第 i个 回路 的自电阻
Rij 是第 i个 回路 与第 j个 回路 的互电阻
Rij = Rji,即 回路 电阻矩阵具有对称性
上式的解式为
1 1 1 2 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2 2
12
m m s
m m s
m m m m m m s m m
R R R i v
R R R i v
R R R i v
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
1
1 1,2,,m
m i s j j j i
j
i v i m
?
? ? ?? ?,
式中
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
m
m
m m m m
R R R
R R R
R R R
??
如果取网孔作回路的回路分析法，称网孔
分析法。
网孔分析法是以各网孔电流作为未知变量
来列写方程，所得方程称网孔方程。从网
孔方程求得网孔电流以后，再求出各支路
电压和电流。
取网孔作回路所列方程一定是独立的，且
比较方便。只是网孔分析法仅适用于平面
网络。
具有 m个网孔的线性电阻网络方程
简写成 RI = VS
1 1 1 2 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2 2
12
m m s
m m s
m m m m m m s m m
R R R i v
R R R i v
R R R i v
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
式中 I 为网孔电流列向量,VS为网孔电压源列向量,
系数矩阵 R称网孔电阻矩阵，为对称矩阵。
Rii 称为第 i个网孔的自电阻
Rij 是第 i个网孔与第 j个网孔的互电阻
Rij = Rji,即网孔电阻矩阵具有对称性
例 试用网孔分
析法求图示网络中
通过 R的电流 iR
解 用视察法可得网孔矩阵方程
解得 iR= i2= - 4880/5104 = - 0.956A
20V4?10?2?40V? 8R ??810 Ri2I1I3I
1
2
3
2 4 4 1 0 2 0
4 2 0 8 2 0
1 0 8 2 0 4 0
I
I
I
? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
例 试列出图示网
络的网孔方程。
解 将受控源当独立电源来处理，用视察法写网络方程
用网孔电流表示受控源的控制变量，即 i2 = im1- im2
1 2 2 1 1
2 2 3 2 3 2
ms
m
R R R i v
R R R i i?
??? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
1 2 2 1 1
2 3 2 3 3 2 0
m s
m
R R R i v
R R R i??
??? ? ? ? ??
?? ? ? ? ??
? ? ? ? ??? ? ? ?
网络含有受控电源时，其互电阻 R12 ≠ R21
1R 3R2R2i1mi 2mi1Sv 32ri
例 具有纯电
流源支路 (无伴电
流源支路 )网络网
孔方程的建立
虚网孔电流法,取一个网孔电流，且仅仅一个网孔电流
流经电流源。由于该网孔电流就等于电流源电流，故该
网孔电流是虚设的，故称虚网孔电流法。
I1=IS
-R1I1+(R1+R3+R4)I2-R4I3=-VS3-VS4
4SV
SI 5R21R3I2I1I4R3
3SV ????
-R2I1-R4I2+(R2+R4+R5)I3=VS4
例 求输入电阻 Ri
解 设输入端电压为 V1，并
将受控电流源等效变换成
受控电压源，求出输入电
流 I1，即可求得 Ri= V1/ I1
iR ?25?100?10k10k 10.99I1I1V25?100?10k10k1I
19900 I1I 2I
11
21
1 2 5 1 0 0
99001 0 0 2 0 1 0 0
IV
II
? ? ? ? ??? ?
? ? ? ?????? ? ? ? ? 1 1
2
1 2 5 1 0 0
1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0
I V
I
? ??? ? ? ??
??? ? ? ??? ? ? ???
1
1
20100
1512500
VI ?
1
1
75i VR
I
??
§ 4.2 节点分析法
节点分析法是以各节点的电位作为未知变
量来列写方程 (节点方程 )。
任选一个节点为基准节点 (参考节点 )，且
电位恒取为零。其他节点的电位就是它们
与基准节点之间的电压，称为节点电压。
从节点方程求得节点电压以后，再求出各
支路电压和电流。
根据 KCL,KVL和支路特性，以节点电压 vn1、
vn2和 vn3表示的网络节点方程为
在右图网络中，已标出各
支路电流的参考方向。网
络共有四个节点，选节点
④ 为基准节点。
1 3 5 5 3 1 1 1
5 4 5 6 6 2 6 6
3 6 2 3 6 3 2 2 6 6
ns
ns
n s s
G G G G G v G v
G G G G G v G v
G G G G G v G v G v
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
3R
1R 2R6R4R1i 2i
i
4i5i 6iSv1Sv 2SvR① ② ③④
简写成
1 3 5 5 3 1 1 1
5 4 5 6 6 2 6 6
3 6 2 3 6 3 2 2 6 6
ns
ns
n s s
G G G G G v G v
G G G G G v G v
G G G G G v G v G v
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
1 1 1 2 1 3 1 1 1
2 1 2 2 2 3 2 2 2
3 1 3 2 3 3 3 3 3
ns
ns
ns
G G G v i
G G G v i
G G G v i
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
G11为节点 ① 的自电导； G22为节点 ② 的自电导； G33则
为节点 ③ 的自电导；自电导总是为正。
G12等于 G21，为节点 ①, ② 间支路电导之总和，称节
点 ① 与 ② 的互电导；互电导总是负的。
is11是流入节点 ① 的所有电流源电流的代数和。
具有 n个独立节点的网络矩阵方程为
1 1 1 2 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2 2
12
n n s
n n s
n n n n n n s n n
G G G v i
G G G v i
G G G v i
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
可表示为 GV = IS
其中 V称节点电压列向量,IS称节点电流源列向量,
系数矩阵 G称节点电导矩阵,为对称矩阵。
Gii 称为第 i个节点的自电导
Gij 是第 i个节点与第 j个节点的互电导
Gij = Gji,即节点电导矩阵具有对称性
上式的解式为
式中
1 1 1 2 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2 2
12
n n s
n n s
n n n n n n s n n
G G G v i
G G G v i
G G G v i
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
1
1 1,2,,n
n i s j j j i
j
v i i n
?
? ? ?? ?,
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
G G G
G G G
G G G
??
凭借对方程中各种变量及各系数的理解，通过观察网络
直接写出方程的方法称为视察法。
例 应用节点分析法确
定右图所示电路中由电
源流出的电流。
解 用视察法列出所示电路的节点方程为
由电源流出的电流为
解方程组得
vn1 = 11.30 V
vn2 = -22.32 V
12
11( 5 0 1 1, 3 0 ) 1 9, 3 5 [ 1 0 0 ( 2 2, 3 2 ) ] 1 9, 4 2
24i A i A? ? ? ? ? ? ?,
1
2
3
1 1 1 1 1 50
2 2 5 2 5 2
1 1 1 1 1 1 0 0
2 4 2 8 8 4
01 1 1 1 1
5 8 2 0 8 5
n
n
n
v
v
v
?? ??
? ? ? ?
?? ??
?? ??
?? ??
? ? ? ? ? ?
???? ??
?? ????
??? ? ? ?
???? ????
20?84?2?5?2?100 V50V1i2i ①② ③
例 试列出右图所
示电路的节点方程。
解 图示电路含有受控电源，应用视察法列写节点方程，
可先将受控电源当作独立电源处理，然后用节点电压来表
示受控电源的控制量。电路方程为
代入并移项整理，得
用节点电压表示受控源的控制变量,v2 = vn1-vn2
1 2 2 1 1
2 2 3 2 2
nS
nm
G G G v i
G G G v g v
??? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
1 2 2 1 1
2 2 3 2 0
n S
m m n
G G G v i
G g G G g v
??? ? ? ? ??
?? ? ? ? ??
? ? ? ? ??? ? ? ?
3R2R1R2v1Si 2mgv②①
例 含理想运放电路如
右图所示，试列该电路
节点方程。
由于运放的输出电流 io未知，且不能用节点电压表示，
故不宜选节点 ⑤ 列写节点方程。
解 根据理想运放虚断和虚
短特性,ia=ib = 0,vn1-vn2=0。
对电路的五个独立节点
1
1 3 3 11
2
2 5 5 22
3
3 3 4 7 7 4
4
5 7 5 6 7
5
0 0 0
0 0 0
0 0
00 0
n
S
n
S
n
n
n
v
G G G Gv
v
G G G Gv
v
G G G G G G
v
G G G G G
v
??
???? ????
?? ????
??
???? ?
??? ? ? ? ? ??
????
? ? ? ? ????
??
??
∞
3R2R1 4R
5R 6R7aibi Oi SCv1Sv 2Sv①②
③④ ⑤
例 试列图示电路节点方程
电路方程为
解 电路中出现纯电压源支路 (无伴
电压源支路 )，也可用虚节点电压方
法求解。支路 5与节点 ① 有 vn1=vS5，
即节点 ① 的电位为已知, 称虚节点 。
同样，支路 6与节点 ②,节点 ③ 的关
系有 vn2-vn3=vS6，可形成一个广义节
点，如图所示。
6Sv5Sv 4R321R③②① 6Sv5Sv
4R321③②①
? ? ? ?
15
2 3 6
1 2 1 1 3 2 2 4 3( ) 0
nS
n n S
n n n
vv
v v v
G G v G G v G G v
? ?
?
???
? ? ? ? ? ? ? ???
???
例 电路如图所示，试用电源转
移方法和虚节点电压方法列电路的
节点方程
(1) 电源转移方法
① 3G4G2G1 5③②④ 1Sv 2Si①
3G4
G
2G1G③②④ 2Si1S
vSv ①
34GG?12?③② ④ 2S
i
41SGv11SGv1 2 2 1 1 2
3 4 3 4 1 2
0
0
n S S
n S S
G G v G v i
G G v G v i
??? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
纯电流源支路可认为电导是 0的电阻与电流源并联
(2) 虚节点电压方法
直接由右上电路图可得 ? ?? ?
11
1 1 1 2 2 2
4 1 3 4 3 2
nS
n n S
n n S
vv
G v G G v i
G v G G v i
??
?
? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
?
将方程 1代入方程 2、方程 3即为电源转移方法所得方程
例 电路如图所示，试求节
点电压 Vna,Vnb,Vnc
节点 a (0.15+0.2)Vna - 0.15Vnb - 0.2Vnc = -11
解得
0.25 S0.05 S25A8A?
3A?400V0.15 S?0.2S???
广义节点 -(0.15+0.2)Vna+(0.05+0.15)Vnb+(0.25+0.2)Vnc=28
且 -Vnb+Vnc=440
0, 3 5 0, 1 5 0, 2 1 1
0, 3 5 0, 2 0, 4 5 2 8
0 1 1 4 4 0
na
nb
nc
V
V
V
? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
90
310
130
na
nb
nc
V
VV
V
?? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
解
例 试求图示电路的节点电
压 Vna,Vnb,Vnc和 ix 。
解 对广义节点
解得
60?xi 30xiab180?2A cd90?90?
1 1 1 1 1 2
9 0 9 0 6 0 9 0 6 0n a n b n cV V V
? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
2Vna -5Vnb +5Vnc =360
对点 b 1 1 1 1 1
09 0 9 0 6 0 1 8 0 6 0n a n b n cV V V??? ? ? ? ? ?????
-2Vna +6Vnb -3Vnc = 0
另外 ? ?3030
90n a n c x n a n bV V i V V? ? ? ?
2Vnb +Vnb-3Vnc = 0
2 5 5 3 6 0
2 6 3 0
2 1 3 0
na
nb
nc
V
V
V
?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
135
108
126
na
nb
nc
V
VV
V
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
,ix =0.3A
