基本电路理论
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
§ 4.3 节点分析法系统方法
在第一章网络图论中已得到 KCL,KVL矩阵方程
其中 A为降阶关联矩阵,Ib为支路电流列向量,Vb为支路电
压列向量,En为节点电压列向量。
AIb=0,Vb=ATEn
典型支路
特性方程
Skiki Skvkv kg???
()
()
k S k k k S k
k k k S k S k
i i g v v
i g v v i
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对具有 b条支路的网络所有支路电流、电压有
Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb,Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb
其中 ISb,VSb分别为支路电流、电压源列向量,Gb,Rb分别
为支路电导、电阻矩阵，都是 b× b阶对角阵。
KCL AIb=0 ①
支路方程 Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb ③
KVL Vb=ATEn ②
支路将 ③ → ① AIb=AGbVb-AGbVSb+AISb=0
AGbVb=AGbVSb-AISb ④
将 ② → ④ AGbATEn =AGbVSb-AISb
定义 节点电导矩阵 Gn=AGbAT
定义节点电流源列向量 IS = AGbVSb-AISb
则 GnEn = IS
其中 Gn称节点电导矩阵,En是节点电压（对参考节点）
列向量,IS为节点电流源列向量。
节点电导矩阵 Gn 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n
n n n n
g g g
g g g
G
g g g
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主对角线元素 gii为自电导，
总是正的，非主对角线元素
gij为互电导，总是负的。
由 Gn=AGbAT，进行转置,GnT=(AGbAT)T =( AT)T(AGb)T
=AGbTAT=AGbAT，所以 Gn是对称阵。
求解支路电压、支路电流
由节点方程 Gn En = IS,求得节点电压 En = Gn-1IS
已知 En得支路电压 Vb=ATEn，支路电流 Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb
在无受控源时，所得节点方程和视察法所得节
点方程完全一样。
若是正弦稳态情况，则矩阵方程中的列向量均为相量列
向量，支路电导矩阵和节点电导矩阵将成为支路导纳矩
阵 Yb和节点导纳矩阵 Yn。此时 Yb=Yb(j?),Yn=Yn(j?)，
称符号 (或复数 )导纳，都是 j?的函数。
对具有互感的电路，支路符
号导纳矩阵将不再是对角矩
阵，而是对称矩阵。设支路
1,2间有互感，则
对具有受控源的电路,Yb和 Yn,Gb和 Gn一般就不再是对
角阵或对称阵。当电路中含有受控源时，可以有两种处理
方法
1 1 1 2
2 1 2 2
33
0
0
00
b
bb
yy
yy
Yy
y
??
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?
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① 在建立支路矩阵（支路导纳矩阵或支路符号导纳矩阵）
时将受控源考虑进去
② 先将受控源按独立源处理，最后转移到 Gn或 Yn中去。
§ 4.4 网孔分析法
根据对偶原理，在已知平面网络的节点矩阵和节
点方程的情况下，完全可以得到有关网孔分析的
方程。
定义：设网络 N具有 b条支路,m+1个网孔 (包括外网孔 )，
网孔方向为：内网孔顺时针方向，外网孔逆时针方向。于
是可得网孔关联支路的 (m+1)× b阶的网孔矩阵 Ma=(mik)
网孔矩阵 Ma（其对偶矩阵是关联矩阵 Aa）
k
k
k
ik
b
b
b
m
?
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网 孔 与 支 路 关 联, 网 孔 方 向 与 支 路 方 向 一 致
网 孔 与 支 路 关 联, 网 孔 方 向 与 支 路 方 向 相 反
网 孔 与 支 路 无 关 联0
?
?
?
1
- 1
网孔矩阵的秩 由 r(Aa)=nt-1，可推知 r(Ma)=(m+1)-1=m
网孔矩阵 Ma（其对偶矩阵是关联矩阵 Aa）
降阶网孔矩阵 在关联矩阵 Aa中，把与参考节点对应的
一行划去得降阶关联矩阵 A。在网孔矩阵 Ma中，把与外
网孔对应的一行划去得降阶网孔矩阵 M。 M的秩仍为 m
KVL MVb=0
KCL Ib=MTJm
支路特性方程
Skiki Skvkvkr???
()
()
k S k k k S k
k k k S k S k
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v r i i v
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∴ Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb
Rb是 b× b阶对角阵
1 0
0 b
r
r
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KVL MVb=0 ①
支路方程 Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb ③
KCL Ib=MTJm ②
支路将 ③ → ① MVb=MRbIb-MRbISb+MVSb=0
MRbIb=MRbISb-MVSb ④
将 ② → ④ MRb MTJm =MRbISb-MVSb
定义 Rm= MRbMT
VS = MRbISb-MVSb
则 Rm Jm = VS
其中 Jm是网孔电流列向量,VS为网孔电压源列向量，
Rm称网孔电阻矩阵。
网孔方程
网孔电阻矩阵
对主对角线元素 rii为自电阻，
总是正的，非主对角线元素 rij
为互电阻，总是负的 (网孔电
流全取顺时针方向 )。 Rm是对
称矩阵,rij=rji。
如果是正弦稳态情况，则列向量 → 相量列向量,Rb→Z b支
路阻抗矩阵,Rm→Z m网孔阻抗矩阵
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
m
m
m
m m m m
r r r
r r r
R
r r r
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对具有互感的电路,Zb→ 对称矩阵
对求解支路电流、支路电压
由网孔方程 Rm Jm = VS可求得网孔电流 Jm = Rm-1VS,
已知 Jm得支路电流 Ib=MTJm，支路电压 Vb=Mb(Ib-ISb)+VSb
§ 4.5 基本回路分析法
网孔分析有一定的局限性，而回路分析不受平面
网络的限制，具有根大的灵活性。
网络图论基本定理指出，具有 b 条支路,nt个节点
的连通图有一个 n = nt-1条树支组成的树，有 l =
b-nt+1= b-n 条连支，并且每一条连支都可以和一
些树支构成一个唯一的回路，即基本回路。
根据 KVL，对每个基本回路可得一个回路方程，
总共为 l 个回路方程。由于每个基本回路中，总有
一条新的连支，所以 l 个回路方程是彼此独立的 。
基本回路是由一条连支和一些树支组成的闭合路径，因此
它与树的选择有关，一旦树被确定，就可得一个基本回路
矩阵，对基本回路矩阵的建立作如下的规定,① 支路的编
号按先连支、后树支的次序编排,② 基本回路的方向取与
连支的方向一致。于是有基本回路矩阵中各元素 bik
基本回路矩阵 Bf 123456① 1452456② 356③
k
k
k
ik
b
b
b
b
?
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?
?
基 本 回 路 中 含 支 路, 且 方 向 相 同
基 本 回 路 中 含 支 路, 且 方 向 相 反
基 本 回 路 中 不 含 支 路0
?
?
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1
- 1
基本回路矩阵 Bf 123456① 1452456② 356③
1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
fB
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，并总可表示成 Bf =(1l┆ F)
因为在 Bf中含有 l 阶单位阵，所
以 r (Bf)=l，即基本回路矩阵的
秩是 l，是满秩的。
根据 KVL BfVb=0
1
2
1
3
2
4
3
5
6
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
111
0 1 1
i
i
j
i
j
i
j
i
i
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根据 KCL 上面网络的支路
电流 ib与回路电流 jl
123456① 1452456② 356③
1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
fB
???
????
???
矩阵是 6× 3阶矩阵，前三行三列为
单位阵，后三行三列正好是矩阵 F
的转置。所以，上面的 6× 3阶矩阵
是基本回路矩阵 Bf的转置 BfT。
1
2
1
3
2
4
3
5
6
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
111
0 1 1
i
i
j
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j
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j
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i
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Bf =(1l┆ F)
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b f l L
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F
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??
??
∴
KVL BfVb=0 ①
支路方程 Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb ③
KCL Ib=BfTJl ②
支路将 ③ → ① BfVb=BfRbIb-BfRbISb+BfVSb=0
BfRbIb=BfRbISb-BfVSb ④
将 ② → ④ BfRbBfTJl =BfRbISb-BfVSb
定义 Rl=BfRbBfT
ES = BfRbISb-BfVSb
则 Rl Jl = ES
其中 Rl称基本回路电阻矩阵,Jl是基本回路电流列向量，
ES为基本回路电压源列向量。
基本回路方程
回路方程的形式和网孔方程
的形式是相似的。对于基本
回路电阻矩阵
主对角线元素 rii为自电阻，总是正的，非主对角线元素
rij为互电阻，互电阻的正负取决于回路 i与回路 j在公共
支路上的方向，一致时取正，否则取负。
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
l
l
l
l l l l
r r r
r r r
R
r r r
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例 设 6条支路的电阻分别为 R1,R2,…, R6,用视察
法求回路电阻矩阵和回路方程。
1 4 5 4 5 5 1 1 1
4 5 2 4 5 6 5 6 2 2 2
5 5 6 3 5 6 3 3 3
S
S
S
R R R R R R J V
R R R R R R R R J V
R R R R R R J V
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123456① 145456② 35③
例 用视察法求电路的回路电阻矩阵和基本回路方程 ??1R 4mgv1
i 6R5R4R3R 21Sv4v 2ri6ii4i3i 2i 1J6532
解 将受控源当独立
源处理，用视察法建
基本回路方程。
1 4 4 4 1 1
4 2 4 5 6 4 6 2 6 4
4 4 6 3 4 5 6 3 2 6 4
S
m
m
R R R R J v
R R R R R R R J R g v
R R R R R R R J r i R g v
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1 l
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T
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F
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1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1
fB
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1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 1
0 0 1
0 1 1
T
f
B
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用连支电流表示支路电流
即 i2=J2,v4=R4i4=R4(J1-J2-J3)
??1R 4mgv1i 6R5R4R3R 21Sv4v 2ri6ii4i3i 2i 1J6532
解 将受控源当独立
源处理，用视察法建
基本回路方程。
1 4 4 4 1 1
4 2 4 5 6 4 6 2 6 4
4 4 6 3 4 5 6 3 2 6 4
S
m
m
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R R R R R R R J R g v
R R R R R R R J r i R g v
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用连支电流表示支路电流，即 i2=J2,v4=R4i4=R4(J1-J2-J3)
1 4 4 4 1 1
6 4 4 2 4 5 6 6 4 4 6 6 4 2
6 4 4 6 6 4 3 4 5 6 6 4 3
0
0
S
m m m
m m m
R R R R J v
R g R R R R R R R g R R R R g R J
R g R R R r R g R R R R R R g R J
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§ 4.6 基本割集分析法
在网络拓扑图中，树支和连支、基本割集和基本回路是互
为对偶的元素，割集分析法和回路分析法是互为对偶的方
法。只是互为对偶的基本割集和基本回路是由同一个树决
定。
基本割集矩阵 Qf
4C12356C 6C
建立基本割集矩阵的规定
① 支路编号与建立基本回路时的编号
一致
② 取树支的方向为基本割集的方向
k
k
k
ik
b
b
b
g
?
?
? ?
?
?
基 本 割 集 中 含 支 路, 且 方 向 相 同
基 本 割 集 中 含 支 路, 且 方 向 相 反
基 本 割 集 中 不 含 支 路0
?
?
?
1
- 1
基本割集矩阵 Qf
4C12356C 6C
建立基本割集矩阵的规定
① 支路编号与建立基本回路时的编号
一致
② 取树支的方向为基本割集的方向
k
k
k
ik
b
b
b
g
?
?
? ?
?
?
基 本 割 集 中 含 支 路, 且 方 向 相 同
基 本 割 集 中 含 支 路, 且 方 向 相 反
基 本 割 集 中 不 含 支 路0
?
?
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1
- 1
1 1 0 1 0 0
1 1 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1
fQ
????
???
????
，可以表示成 Qf =(E┆ 1n)
Qf中含有 n阶单位阵，所以 r (Qf) = n，基本割集矩阵 Qf
是满秩矩阵
基本割集矩阵 Qf
4C12356C 6C
k
k
k
ik
b
b
b
g
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基 本 割 集 中 含 支 路, 且 方 向 相 同
基 本 割 集 中 含 支 路, 且 方 向 相 反
基 本 割 集 中 不 含 支 路0
?
?
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1
- 1
1 1 0 1 0 0
1 1 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1
fQ
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???
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,Qf =(E┆ 1n)
由 KCL Qf Ib=0
由 KVL
1
T
T
b f t t
n
E
V Q V V
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??
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Vt割集电压列向量，即树支
电压列向量。由树支电压表
示支路电压。
KCL QfIb=0 ①
支路方程 Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb ③
KVL Vb=QfTVt ②
支路将 ③ → ① QfIb=QfGbVb-QfGbVSb+QfISb=0
QfGbVb=QfGbVSb-QfISb ④
将 ② → ④ QfGbQfTVt=QfGbVSb-QfISb
令 Gt=QfGbQfT
JS = QfGbVSb-QfISb
则 GtVt= JS
其中 Gt称基本割集电导矩阵,Vt是基本割集电压列向量，
也即树支电压列向量,JS为基本割集电流源列向量 。
基本割集方程
基本割集电导矩阵 Gt
主对角线元素 gii为自电导，总是
正的，非主对角线元素 gij为互电
导, 互电导的正负取决于割集 i与
割集 j在公共支路上的方向，一致
时取正，否则取负。
例 用视察法求图示电路的基本
割集电导矩阵和基本割集方程。
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
t
t
t
t t t t
g g g
g g g
G
g g g
??
??
?
??
?? ??1R
4mgv1
i 6R5R4R3R 21Sv 4v 2ri6ii4i3i 2i
1 2 3 4 3 2 3 4 1 1
3 3 5 3 5 5 2
2 3 3 2 3 6 6 4
CS
C
Cm
G G G G G G G v G v
G G G G v G r i
G G G G G G v g v
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4C653216C5C 解 用视察法建立基本割集方程，先将受控源当独立源处理。
例 用视察法求图示电路的基本
割集电导矩阵和基本割集方程。
??1R 4mgv1i 6R5R4R3R 21Sv 4v 2ri6ii4i3i 2i
1 2 3 4 3 2 3 4 1 1
3 3 5 3 5 5 2
2 3 3 2 3 6 6 4
CS
C
Cm
G G G G G G G v G v
G G G G v G r i
G G G G G G v g v
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4C653216C5C 解 用视察法建立基本割集方程，先将受控源当独立源处理。
用割集电压（即树支电压）表示受控量，
可根据 Vb= QfTVt 得 v4= vC4。
另外,i2=G2v2=G2(vC4-vC6) → -G5ri2=-G2G5r(vC4-vC6)
1 2 3 4 3 2 3 4 1 1
2 5 3 3 5 3 2 5 5
2 3 3 2 3 6 6
0
0
CS
C
mC
G G G G G G G v G v
r G G G G G G r G G v
G G g G G G G v
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在网络中不含受控源的情况下，回路电阻矩阵
Rl和割集电导矩阵 Gt完全可由视察法求出。
在网络中含受控源的情况下，受控源可先按独
立源处理，再移项。移项可在求支路电阻矩阵
Rb和支路电导矩阵 Gb时进行，也可在最后求回
路电阻矩阵 Rl和割集电导矩阵 Gt时进行。
在回路方程中的受控电流或电压，最后一定要
用回路电流（即连支电流）来表示；在割集方
程中的受控电流或电压，最后一定要用割集电
压（即树支电压）来表示。
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
§ 4.3 节点分析法系统方法
在第一章网络图论中已得到 KCL,KVL矩阵方程
其中 A为降阶关联矩阵,Ib为支路电流列向量,Vb为支路电
压列向量,En为节点电压列向量。
AIb=0,Vb=ATEn
典型支路
特性方程
Skiki Skvkv kg???
()
()
k S k k k S k
k k k S k S k
i i g v v
i g v v i
? ? ?
? ? ?
对具有 b条支路的网络所有支路电流、电压有
Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb,Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb
其中 ISb,VSb分别为支路电流、电压源列向量,Gb,Rb分别
为支路电导、电阻矩阵，都是 b× b阶对角阵。
KCL AIb=0 ①
支路方程 Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb ③
KVL Vb=ATEn ②
支路将 ③ → ① AIb=AGbVb-AGbVSb+AISb=0
AGbVb=AGbVSb-AISb ④
将 ② → ④ AGbATEn =AGbVSb-AISb
定义 节点电导矩阵 Gn=AGbAT
定义节点电流源列向量 IS = AGbVSb-AISb
则 GnEn = IS
其中 Gn称节点电导矩阵,En是节点电压（对参考节点）
列向量,IS为节点电流源列向量。
节点电导矩阵 Gn 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n
n n n n
g g g
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G
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主对角线元素 gii为自电导，
总是正的，非主对角线元素
gij为互电导，总是负的。
由 Gn=AGbAT，进行转置,GnT=(AGbAT)T =( AT)T(AGb)T
=AGbTAT=AGbAT，所以 Gn是对称阵。
求解支路电压、支路电流
由节点方程 Gn En = IS,求得节点电压 En = Gn-1IS
已知 En得支路电压 Vb=ATEn，支路电流 Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb
在无受控源时，所得节点方程和视察法所得节
点方程完全一样。
若是正弦稳态情况，则矩阵方程中的列向量均为相量列
向量，支路电导矩阵和节点电导矩阵将成为支路导纳矩
阵 Yb和节点导纳矩阵 Yn。此时 Yb=Yb(j?),Yn=Yn(j?)，
称符号 (或复数 )导纳，都是 j?的函数。
对具有互感的电路，支路符
号导纳矩阵将不再是对角矩
阵，而是对称矩阵。设支路
1,2间有互感，则
对具有受控源的电路,Yb和 Yn,Gb和 Gn一般就不再是对
角阵或对称阵。当电路中含有受控源时，可以有两种处理
方法
1 1 1 2
2 1 2 2
33
0
0
00
b
bb
yy
yy
Yy
y
??
??
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① 在建立支路矩阵（支路导纳矩阵或支路符号导纳矩阵）
时将受控源考虑进去
② 先将受控源按独立源处理，最后转移到 Gn或 Yn中去。
§ 4.4 网孔分析法
根据对偶原理，在已知平面网络的节点矩阵和节
点方程的情况下，完全可以得到有关网孔分析的
方程。
定义：设网络 N具有 b条支路,m+1个网孔 (包括外网孔 )，
网孔方向为：内网孔顺时针方向，外网孔逆时针方向。于
是可得网孔关联支路的 (m+1)× b阶的网孔矩阵 Ma=(mik)
网孔矩阵 Ma（其对偶矩阵是关联矩阵 Aa）
k
k
k
ik
b
b
b
m
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网 孔 与 支 路 关 联, 网 孔 方 向 与 支 路 方 向 一 致
网 孔 与 支 路 关 联, 网 孔 方 向 与 支 路 方 向 相 反
网 孔 与 支 路 无 关 联0
?
?
?
1
- 1
网孔矩阵的秩 由 r(Aa)=nt-1，可推知 r(Ma)=(m+1)-1=m
网孔矩阵 Ma（其对偶矩阵是关联矩阵 Aa）
降阶网孔矩阵 在关联矩阵 Aa中，把与参考节点对应的
一行划去得降阶关联矩阵 A。在网孔矩阵 Ma中，把与外
网孔对应的一行划去得降阶网孔矩阵 M。 M的秩仍为 m
KVL MVb=0
KCL Ib=MTJm
支路特性方程
Skiki Skvkvkr???
()
()
k S k k k S k
k k k S k S k
v v r i i
v r i i v
? ? ?
? ? ?
∴ Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb
Rb是 b× b阶对角阵
1 0
0 b
r
r
??
??
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??
KVL MVb=0 ①
支路方程 Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb ③
KCL Ib=MTJm ②
支路将 ③ → ① MVb=MRbIb-MRbISb+MVSb=0
MRbIb=MRbISb-MVSb ④
将 ② → ④ MRb MTJm =MRbISb-MVSb
定义 Rm= MRbMT
VS = MRbISb-MVSb
则 Rm Jm = VS
其中 Jm是网孔电流列向量,VS为网孔电压源列向量，
Rm称网孔电阻矩阵。
网孔方程
网孔电阻矩阵
对主对角线元素 rii为自电阻，
总是正的，非主对角线元素 rij
为互电阻，总是负的 (网孔电
流全取顺时针方向 )。 Rm是对
称矩阵,rij=rji。
如果是正弦稳态情况，则列向量 → 相量列向量,Rb→Z b支
路阻抗矩阵,Rm→Z m网孔阻抗矩阵
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
m
m
m
m m m m
r r r
r r r
R
r r r
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??
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对具有互感的电路,Zb→ 对称矩阵
对求解支路电流、支路电压
由网孔方程 Rm Jm = VS可求得网孔电流 Jm = Rm-1VS,
已知 Jm得支路电流 Ib=MTJm，支路电压 Vb=Mb(Ib-ISb)+VSb
§ 4.5 基本回路分析法
网孔分析有一定的局限性，而回路分析不受平面
网络的限制，具有根大的灵活性。
网络图论基本定理指出，具有 b 条支路,nt个节点
的连通图有一个 n = nt-1条树支组成的树，有 l =
b-nt+1= b-n 条连支，并且每一条连支都可以和一
些树支构成一个唯一的回路，即基本回路。
根据 KVL，对每个基本回路可得一个回路方程，
总共为 l 个回路方程。由于每个基本回路中，总有
一条新的连支，所以 l 个回路方程是彼此独立的 。
基本回路是由一条连支和一些树支组成的闭合路径，因此
它与树的选择有关，一旦树被确定，就可得一个基本回路
矩阵，对基本回路矩阵的建立作如下的规定,① 支路的编
号按先连支、后树支的次序编排,② 基本回路的方向取与
连支的方向一致。于是有基本回路矩阵中各元素 bik
基本回路矩阵 Bf 123456① 1452456② 356③
k
k
k
ik
b
b
b
b
?
?
? ?
?
?
基 本 回 路 中 含 支 路, 且 方 向 相 同
基 本 回 路 中 含 支 路, 且 方 向 相 反
基 本 回 路 中 不 含 支 路0
?
?
?
1
- 1
基本回路矩阵 Bf 123456① 1452456② 356③
1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
fB
???
????
???
，并总可表示成 Bf =(1l┆ F)
因为在 Bf中含有 l 阶单位阵，所
以 r (Bf)=l，即基本回路矩阵的
秩是 l，是满秩的。
根据 KVL BfVb=0
1
2
1
3
2
4
3
5
6
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
111
0 1 1
i
i
j
i
j
i
j
i
i
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????
根据 KCL 上面网络的支路
电流 ib与回路电流 jl
123456① 1452456② 356③
1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
fB
???
????
???
矩阵是 6× 3阶矩阵，前三行三列为
单位阵，后三行三列正好是矩阵 F
的转置。所以，上面的 6× 3阶矩阵
是基本回路矩阵 Bf的转置 BfT。
1
2
1
3
2
4
3
5
6
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
111
0 1 1
i
i
j
i
j
i
j
i
i
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Bf =(1l┆ F)
1 l
T
b f l L
T
I B J J
F
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??
??
∴
KVL BfVb=0 ①
支路方程 Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb ③
KCL Ib=BfTJl ②
支路将 ③ → ① BfVb=BfRbIb-BfRbISb+BfVSb=0
BfRbIb=BfRbISb-BfVSb ④
将 ② → ④ BfRbBfTJl =BfRbISb-BfVSb
定义 Rl=BfRbBfT
ES = BfRbISb-BfVSb
则 Rl Jl = ES
其中 Rl称基本回路电阻矩阵,Jl是基本回路电流列向量，
ES为基本回路电压源列向量。
基本回路方程
回路方程的形式和网孔方程
的形式是相似的。对于基本
回路电阻矩阵
主对角线元素 rii为自电阻，总是正的，非主对角线元素
rij为互电阻，互电阻的正负取决于回路 i与回路 j在公共
支路上的方向，一致时取正，否则取负。
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
l
l
l
l l l l
r r r
r r r
R
r r r
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?
??
??
例 设 6条支路的电阻分别为 R1,R2,…, R6,用视察
法求回路电阻矩阵和回路方程。
1 4 5 4 5 5 1 1 1
4 5 2 4 5 6 5 6 2 2 2
5 5 6 3 5 6 3 3 3
S
S
S
R R R R R R J V
R R R R R R R R J V
R R R R R R J V
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123456① 145456② 35③
例 用视察法求电路的回路电阻矩阵和基本回路方程 ??1R 4mgv1
i 6R5R4R3R 21Sv4v 2ri6ii4i3i 2i 1J6532
解 将受控源当独立
源处理，用视察法建
基本回路方程。
1 4 4 4 1 1
4 2 4 5 6 4 6 2 6 4
4 4 6 3 4 5 6 3 2 6 4
S
m
m
R R R R J v
R R R R R R R J R g v
R R R R R R R J r i R g v
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1 l
T
b f l L
T
I B J J
F
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1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1
fB
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????
???
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 1
0 0 1
0 1 1
T
f
B
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??
??
??
? ??
????
??
??
??
用连支电流表示支路电流
即 i2=J2,v4=R4i4=R4(J1-J2-J3)
??1R 4mgv1i 6R5R4R3R 21Sv4v 2ri6ii4i3i 2i 1J6532
解 将受控源当独立
源处理，用视察法建
基本回路方程。
1 4 4 4 1 1
4 2 4 5 6 4 6 2 6 4
4 4 6 3 4 5 6 3 2 6 4
S
m
m
R R R R J v
R R R R R R R J R g v
R R R R R R R J r i R g v
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? ? ? ? ? ?
用连支电流表示支路电流，即 i2=J2,v4=R4i4=R4(J1-J2-J3)
1 4 4 4 1 1
6 4 4 2 4 5 6 6 4 4 6 6 4 2
6 4 4 6 6 4 3 4 5 6 6 4 3
0
0
S
m m m
m m m
R R R R J v
R g R R R R R R R g R R R R g R J
R g R R R r R g R R R R R R g R J
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§ 4.6 基本割集分析法
在网络拓扑图中，树支和连支、基本割集和基本回路是互
为对偶的元素，割集分析法和回路分析法是互为对偶的方
法。只是互为对偶的基本割集和基本回路是由同一个树决
定。
基本割集矩阵 Qf
4C12356C 6C
建立基本割集矩阵的规定
① 支路编号与建立基本回路时的编号
一致
② 取树支的方向为基本割集的方向
k
k
k
ik
b
b
b
g
?
?
? ?
?
?
基 本 割 集 中 含 支 路, 且 方 向 相 同
基 本 割 集 中 含 支 路, 且 方 向 相 反
基 本 割 集 中 不 含 支 路0
?
?
?
1
- 1
基本割集矩阵 Qf
4C12356C 6C
建立基本割集矩阵的规定
① 支路编号与建立基本回路时的编号
一致
② 取树支的方向为基本割集的方向
k
k
k
ik
b
b
b
g
?
?
? ?
?
?
基 本 割 集 中 含 支 路, 且 方 向 相 同
基 本 割 集 中 含 支 路, 且 方 向 相 反
基 本 割 集 中 不 含 支 路0
?
?
?
1
- 1
1 1 0 1 0 0
1 1 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1
fQ
????
???
????
，可以表示成 Qf =(E┆ 1n)
Qf中含有 n阶单位阵，所以 r (Qf) = n，基本割集矩阵 Qf
是满秩矩阵
基本割集矩阵 Qf
4C12356C 6C
k
k
k
ik
b
b
b
g
?
?
? ?
?
?
基 本 割 集 中 含 支 路, 且 方 向 相 同
基 本 割 集 中 含 支 路, 且 方 向 相 反
基 本 割 集 中 不 含 支 路0
?
?
?
1
- 1
1 1 0 1 0 0
1 1 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1
fQ
????
???
????
,Qf =(E┆ 1n)
由 KCL Qf Ib=0
由 KVL
1
T
T
b f t t
n
E
V Q V V
??
??
?? ??
??
??
Vt割集电压列向量，即树支
电压列向量。由树支电压表
示支路电压。
KCL QfIb=0 ①
支路方程 Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb ③
KVL Vb=QfTVt ②
支路将 ③ → ① QfIb=QfGbVb-QfGbVSb+QfISb=0
QfGbVb=QfGbVSb-QfISb ④
将 ② → ④ QfGbQfTVt=QfGbVSb-QfISb
令 Gt=QfGbQfT
JS = QfGbVSb-QfISb
则 GtVt= JS
其中 Gt称基本割集电导矩阵,Vt是基本割集电压列向量，
也即树支电压列向量,JS为基本割集电流源列向量 。
基本割集方程
基本割集电导矩阵 Gt
主对角线元素 gii为自电导，总是
正的，非主对角线元素 gij为互电
导, 互电导的正负取决于割集 i与
割集 j在公共支路上的方向，一致
时取正，否则取负。
例 用视察法求图示电路的基本
割集电导矩阵和基本割集方程。
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
t
t
t
t t t t
g g g
g g g
G
g g g
??
??
?
??
?? ??1R
4mgv1
i 6R5R4R3R 21Sv 4v 2ri6ii4i3i 2i
1 2 3 4 3 2 3 4 1 1
3 3 5 3 5 5 2
2 3 3 2 3 6 6 4
CS
C
Cm
G G G G G G G v G v
G G G G v G r i
G G G G G G v g v
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4C653216C5C 解 用视察法建立基本割集方程，先将受控源当独立源处理。
例 用视察法求图示电路的基本
割集电导矩阵和基本割集方程。
??1R 4mgv1i 6R5R4R3R 21Sv 4v 2ri6ii4i3i 2i
1 2 3 4 3 2 3 4 1 1
3 3 5 3 5 5 2
2 3 3 2 3 6 6 4
CS
C
Cm
G G G G G G G v G v
G G G G v G r i
G G G G G G v g v
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4C653216C5C 解 用视察法建立基本割集方程，先将受控源当独立源处理。
用割集电压（即树支电压）表示受控量，
可根据 Vb= QfTVt 得 v4= vC4。
另外,i2=G2v2=G2(vC4-vC6) → -G5ri2=-G2G5r(vC4-vC6)
1 2 3 4 3 2 3 4 1 1
2 5 3 3 5 3 2 5 5
2 3 3 2 3 6 6
0
0
CS
C
mC
G G G G G G G v G v
r G G G G G G r G G v
G G g G G G G v
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? ? ? ? ? ?
在网络中不含受控源的情况下，回路电阻矩阵
Rl和割集电导矩阵 Gt完全可由视察法求出。
在网络中含受控源的情况下，受控源可先按独
立源处理，再移项。移项可在求支路电阻矩阵
Rb和支路电导矩阵 Gb时进行，也可在最后求回
路电阻矩阵 Rl和割集电导矩阵 Gt时进行。
在回路方程中的受控电流或电压，最后一定要
用回路电流（即连支电流）来表示；在割集方
程中的受控电流或电压，最后一定要用割集电
压（即树支电压）来表示。
