二、平面力系 力系的分类： 平面力系——各力的作用线都在同一平面内的力系。 空间力系——各力的作用线不在同一平面内的力系。 汇交力系——作用线交于一点的力系。 平面力偶系---- （仅由力偶组成） 平行力系——作用线相互平行的力系。 任意力系——作用线任意分布（既不完全交于一点又不完全平行）的力系。 1 平面任意力系的简化 1.1 平面任意力系向一点简化    1.2 简化结果的讨论 平面任意力系向—点简化，一船可得一力(主矢)和一力偶(主矩)，但这并不是简化的最终结果。当主矢和主矩出现不同值时，简化最终结果将会是下表所列的情形。 四种结果  例题 （P30） 2 平面力系的平衡方程及其应用 2.1 平面任意力系的平衡方程 由表2．1中式(2．5)得知，平面任意力系平衡的充分和必要条件为主矢与主矩同时为零，即  得到  式(2．6)称为平圃任意力系的平衡方程基本形式，可简称为二投影一矩式。它表明平圃任意力系平衡的解析充要条件为：力系中各力在乎团内两个任选坐标轴的每个轴上投影的代数和均等于零，各力对平面内任意一点之矩的代数和也等于零。式(2．6)最多能够求得包括力的大小和方向在内的3个未知量。 平面任意力系平衡方程除了式(2．6)的基本形式外，还有其它两种形式：  解题步骤与方法 确定研究对象，画出受力图 应将已匆力和未知力共同作用的物体作为研究对象分离体画受力图。 2)选取投影坐标釉和矩心，列平衡方程 列平衡方程前应先确定力的投影坐标轴和矩心的位置，然后列方程。若受力图上有两个未知力相互平行，可选垂直于此：—力的直线为投影轴；若无两未知力相互平行，则选两未知力的交点力矩心；若有两正交未知力，则分别选取两未知力所在直线为投影坐标轴，选两未知力的交点力矩心。恰当选取坐标轴和矩心，可使单个平衡方程中未知量的个数减少，便于求解。 3)求解末知量，讨论结果 将已知条件代人平衡方程式中，联立方程求解未知量。必要时可对影响求解结果的因素进行讨论；还可以另选一不独立的平衡方程，对某一解答进行验算。 例题 （P32、33） 2.3 平面特殊力系的平衡方程 平面交汇力系的平衡方程 由于平面汇交力系中备力作用线汇交了一点，显然，于是得其平衡的必要且充分条件为：力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。即  式(2．9)称为平面汇交力系的平衡方程，最多可求解包括力的大小和方向在内的2个未知量。 平面力偶系的平衡方程 按式(1．11)平面力偶系简化结果为一合力偶，所以平面力偶系平衡的充要条件为：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即  式(2．10)称为平面力偶系的平衡方程，此方程只能求解1个未知量。 平面平行力系的平衡方程  式(2。11)表明平面平行力系平衡的充要条件为：力系中各力在与力平行的坐标轴上投影的代数和为零，各力对任意点之矩的代数和也为零 平面平行力系的平衡方程另一种形式为二矩式，即  例题（P35、36、37、38） 3 静定与超静定问题 物系的平衡 3.1 静定与超静定问题的概念 静定问题：在物体平衡计算问题中，应求解未知量的个数均未超过其相应的独立平衡方程个数，可以求得惟一解，此类问题即为静定问题。静力学只研究静定问题。 对工程中多数构件与结构，为了提高其安全可靠性，常采用增加约束的方法，从而使所受未知力的个数增加，超过了相应的独立平衡方程的个数。对此类问题，仅用静力学平衡方程不能求得全部未知力，力学中称此类问题称为超静定问题。求解超静定问题必须考虑物体受力后产生的变形，建立变形协调方程，然后才能解出全部未知力。具体解法将在第4章、第8章中介绍（材料力学中）。  a，b静定问题 c，d一次超静定问题 3.2 物系的平衡 若干个物体以—定的约束方式组合在—起即成物体系统，简称物系。对静定的物系平衡问题，由于系统内的每个物体或某一局部也都处于平衡状态，这时，既可选择整个物系为研究对象，也可选择某一局部的几个物体，或单个物体为研究对象，作用于研究对象上的力系都满足平衡方程，所有末切力也均可以通过平衡方程求得。 为了简化计算过程，必须有序地选取研究对象。对简单的静定物系平衡问题，可按下列步骤进行： 1)在具体求解前，画出系统整体、局部及每个物体的分离体受力图。 2)分析各受力图。可能出现三类情况：一是有的受力图上未知力的个数等于或少于相应的独立平衡方程个数，这类受力图是可解的；二是有的受力图上未知力的个数大于相应的独立平衡方程个数，但仍可求出部分未知力。如受平面任意力系作用的分离体上有4个未知力，其中3个末细力汇交于一点(或相互平行)，取交点为矩心(或取投影袖垂直于三力)，列出力矩平衡方程(或投影平衡方程)，即可求出第四个未知力，这类受力图是局部可解的；三是所有受力图的未知力暂时都无法求解，这类受力图是暂不可解的。 3)在分析基础上确定求解顺序。先从可解的或局部可解的分离体着手，求出某些末细力。将已求出的未知力视为已知力，从而使其它暂不可解的分离体转化为可解的分离体，这样按题意可依次解出待求的未知力。对物系中各受力图均为暂不可解的，则应选取两个相同未知力的分离体，列出乎衡方程联立求解，从而同样达到转化暂不可解分离体的目的。 下面举例说明物系平衡问题的解法。 例题（P41、42、34） 在研究物系的平衡问题时，我们把物系以外的物体作用于物系的力称为该物系的外力；把物系内各物体间相互作用的力，称为该物系的内力。对整个物系来说，内力总是成对出现的，所以在研究整个物系的平衡问题时，内力无需考虑。 内力与外力是相对的。当研究物系中某一物体的平衡时，物系中其他物体对所研究物体作用的力就转化为外力。 当整个物系平衡时，组成该物系的每一个物体必处于平衡状态。因此对于每一个物体，在一般情况下可以写出三个独立的平衡方程。 设物系由个物体，有个独立方程。 ①若物系中未知量(包括内力转化为外力的未知量)的数目等于个，则所有未知量都可求得——静定问题 ②若物系中未知量的数目多于个时，仅仅用平衡方程就不能完全求出这些未知量——静不定问题或超静定问题。 注意：个独立方程是针对任意力系来说的，如果有汇交、平行，则方程数目相应减少。 求解物系的平衡问题，习惯上常用两种解法 先整体后拆开 先取整个物系为研究对象，列出三个方程，解出部分未知量，再将物系拆开，选取物系中某个(或某些)物体作为研究对象，列出对应的平衡方程，求出所需的全部未知量。 (2)逐次拆开 当选取整体为研究对象根本不能解出未知量时，则需逐次将物系拆开，选择单个物体为研究对象，列出对应的平衡方程，求出所需的全部未知量。 例题讲解 1.直角弯杆，q1＝3kN/m, q2=0.5kN/m，M=2kN·m。求面定端A与支座B的约束力和铰链C的内力。  BC段：  AC段：  2.AC=BC=L=3m，AD=BE=L/5。F1=0.8KN,F2=0.4KN，求横杆DE的拉力和铰C和A、B的反力。 2.  对整体分析  再对BC段分析  4 考虑摩擦时的平衡问题 摩擦是一种普通存在的现象。在一些问题中，摩擦对物体的受力情况影响很小，为了计算方便而忽略不计。但在工程上有些摩擦问题是不能忽略的。 按照接触物体之间可能会相对滑动或相对滚动，摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩擦。 4.1 滑动摩擦 互相接触的两个物体，当它们发生相对滑动或有滑动趋势时，在两物体的接触面上，就会出现阻碍彼此滑动的力，称为滑动摩擦力。 滑动摩擦力的方向与物体相对运动(或相对运动趋势)的方向相反。 当两物体尚未发生滑动而仅有滑动趋势时，两物体间的摩擦力称为静滑动摩擦力(简称静摩擦力)；当两物体已经滑动时，两物体间的摩擦力称为动滑动摩擦力(简称动摩擦力)。 当拉力不大时，物体处于平衡，因此摩擦力与拉力大小相等，即：。 若拉力逐渐增大，滑动的趋势增大，静摩擦力也相应地增大。 临界状态时： 是物体处于临界平衡状态时的摩擦力。称为最大静滑动摩擦力(简称最大静摩擦力)。  静摩擦力的性质： 1、当物体与约束面之间有法向力，且有滑动趋势时，沿接触面的切线方向有静摩擦力存在，其方向与滑动趋势的方向相反。 2、静摩擦力的大小由平衡条件确定，其数值决定于使物体产生滑动趋势的外力，且在零与最大静摩擦力之间，即：  3、当物体处于临界平衡状态时，摩擦力达到最大值。 ※实验证明：最大静摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力(即法向反力)成正比，即： ＝ 静滑动摩擦定律 比例常数——静滑动摩擦系数(简称静摩擦系数) 表2.2（P45） ※对于动摩擦力，通过实验得：  动滑动摩擦定律 ——动滑动摩擦系数(简称动摩擦系数) 动摩擦系数一般小于静摩擦系数，即：。 ※摩擦力的具体计算： 1、静止时 静摩擦力的大小由静力平衡条件确定，其值在0与之间，随作用于物体上的其他外力的大小而变化。 2、临界状态时：＝ 3、相对滑动时：(对一般工程中的非精确计算，可近似采用)。 4.2 摩擦角与自锁现象 摩擦角表示材料摩擦性质的物理量。  摩擦角的正切等于静摩擦系数 ※摩擦角表示全反力能够生成的范围，如物体与支承面的摩擦系数在各个方向均相同，则这一个范围在空间就形成一个锥体，称为摩擦锥。全反力的作用线不可能超出这个摩擦锥。 若外力(所有主动力合力)作用在摩擦锥范围以内，则全反力必与外力构成平衡，如，则不论外力的值增加到多大，都不会使物体滑动，这种情况称为自锁。 ——自锁条件 4.3 考虑摩擦的平衡问题 有摩擦的平衡问题，仍可应用平衡方程求解，不过在画受力图和列平衡方程式时，都必须考虑摩擦力。 由于静摩擦力可在零与之间变化，因此其解答往往具有一个变化范围。  例题讲解：书482.13 不下滑的F1最小值，摩擦力向上，图b所示。  不上滑的F1最大值，摩擦力向下，图C所示。  所以保持静止的F1的条件为 例题1  A物重W=100N，与支承面之间的静摩擦因数为fs＝0.2，当W2=30N,W1分别为10N，30N，40N，60N时，A 是否滑动？  将W1式中，可以得到如下情况：  4.4 滚动摩擦简介 当搬运重物时，若在重物底下垫上辊轴，则比直接将重物放在地面上推或拉要省力得多，这说明用辊轴的滚动宋代替箱底的滑动，所受到的阻力要小。车辆用轮子“行走”，机器中用滚动轴承，都是为了减少摩擦阻力(图2．20)。