六、平面弯曲内力
1 概念
1.1 基本概念
一般来说，当杆件受到垂直于杆轴的外力或在杆轴平面内受到外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这样的变形形式称为弯曲变形。
※凡以弯曲为主要变形的构件，通常称为梁。
※工程中大多数梁的横截面都具有对称轴。梁的轴线和截面纵向对称轴构成的平面称为纵向对称面。
若梁上的外力都作用在纵向对称面内，而且各力都与梁的轴线垂直，则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。
1.2 梁的计算简图及分类
工程上梁的截面形状、载荷及支承情况一般都比较复杂，为了便于分析和计算，必须对梁进行简化，包括梁本身的简化、载荷的简化以及支座的简化等。
不管直梁的截面形状多么复杂，都简化为一直杆并用梁的轴线来表示。
作用于梁上的外力，包括载荷和支座反力，可以简化为集中力、分布载荷和集中力偶三种形式。当载荷的作用范围较小时，简化为集中力；若载荷连续作用于梁上，则简化为分布裁荷。沿梁轴线单位长度上所受的力即载荷集度，以g(N／m)表示。集中力偶可理解为力偶的两力分布在很短的一段梁上。
根据支座对梁约束的不同特点，支座可简化为静力学中的三种形式：活动铰链支座、固定铰链支座和固定端支座，因而简单的梁有三种类型：
1．简支梁 一端是活动铰链支座、另一端为固定铰链支座的梁。
2．外伸梁 一端或两端伸出支座之外的简支梁
3．悬臂梁 一端为固定端支座、另一端自由的梁
上述三种类型的粱在承受载荷后，其支座反力均可由静力平衡方程完全确定，这些梁称为静定梁。如梁的支座反力的数目大于静力平衡方程的数目，应用静力平衡方程无法确定全部支座反力，这种梁称为超静定梁。
2 剪力与弯矩
平面弯曲梁横截面上的内力分析是对梁进行强度和刚度计算的基础。
2.1 截面法求内力
现欲求图所示简支梁任意横截回l—l上的内力。根据梁的静力平衡条件，先求出梁在载荷作用下的支座反力FA和FB，然后采用截面法求横截面1—l上的内力。假想在横截面l—1处将梁截开，梁分成左、右两段。若取左段为研究对象，由平衡条件可知，在横截面l—1上必定有维持左段梁平衡的横向力Fs以及力偶M。按平衡条件，有
以截面形心Cl为矩心，有
如取右段为研究对象，同样可以求得横截面l—1上的内力FS和M，两者数值相等，方向相反(图c)。
2.2 剪力与弯矩
Fs是横截面上切向分布内力分量的合力，称为横截面1—1上的剪力。M是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，称为横截面l—1上的弯矩。
※为了使按截面法求左、右两侧的剪力和弯矩不但数值相等，而且还具有相同的正负号，通常对剪力和弯矩的正、负作如下规定：
(1)剪力正、负的规定：研究截面左上右下为正。
(2)弯矩正、负的规定：使梁变形后凹面向上为正。
※在应用时假设内力都为正，然后列式求解。
例题7-1 （P127）
1 剪力方程和弯矩方程
在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变化的。
如果把梁轴线作为轴，截面的位置可用表示，则Q、M都是的函数，即：
——剪力方程
——弯矩方程
上述两式即为梁的剪力方程和弯矩方程。在列剪力方程和弯矩方程时，应根据梁上载荷的分布情况分段进行，集中力(包括支座反力)、集中力偶的作用点和分布载荷的起、止点均为分段点。
2 剪力图与弯矩图
为了清楚地看出梁各截面上和M的大小、正负以及最大值所在的截面位置，把剪力和弯矩方程用其函数图像表示，分别称为剪力图和弯矩图。
绘制剪力图和弯矩图的基本方法是先建立剪力、弯矩方程，然后按方程作图。
利用剪力图和弯矩图很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，找出梁危险截面的位置。所以，正确绘制剪力图和弯矩图是梁的强度和刚度计算的基础。
下面举例说明如何列剪力方程和弯矩方程以及绘制剪力图和弯矩田的方法。
例7．2 图所示简支梁AB，受向下均布载荷q作用。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解 1)求支座反力 由梁的对称关系，可得
2)列剪力方程和弯矩方程 取图所示坐标系，假想在距A端x处将梁截开，取左段梁为研究对象，可得剪力方程和弯矩方程分别为
例7．3 图所示简支梁AB，在C点受集中力罗作用试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
例7．4 图所示简支梁AB ，在C截面处受集中力偶MC作用。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩
（P131）
习题讨论：利用q、Q与M之间的关系，画出下列各题的Q、M图，并标出∣Q∣max与∣M∣max。
1、已知F=1kN，m＝1.5kN.m。
