三、轴向拉伸与压缩
强度、刚度、稳定性的概念
强度：构件在一定的载荷下抵抗破坏的能力。
刚度：在一定的载荷左右下抵抗变形的能力
稳定性：构件保持其几何平衡状态的能力。
构件的承载能力：在保证足够的强度、刚度和稳定性的前提下，构件所能承受的最大载荷为构件的承载能力。
弹性变形：载荷卸除后能消失的变形
塑性变形：载荷卸除后不能消失的变形。
对变形固体进行如下三类假设：
连续性假设：认为构成变形固态的物质无空隙地充满了固体所占的几何空间。
均匀性假设：认为变形固体内部各点处的力学性能完全相同。
各向同性假设：认为变形固体在任意一点处沿各个方向都具有相同的力学性能。
小变形：构件的变形量远小于其原始尺寸的变形。
杆件：长度方向尺寸远大于其它两方向尺寸的构件。
轴线：杆内各横截面形心的连线
曲杆：轴线为曲线的杆为曲杆。
直杆：轴线为直线的杆为直杆
1 轴向拉伸和压缩的概念
举例拉伸和压缩现象
拉伸和压缩杆件的受力特点：作用在直杆上的两个力大小相等、方向相反、作用线与杆的轴线重合。
杆件的变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。
这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。
2 截面法、轴力与轴力图
2.1 内力的概念
因外部载荷作用而变形时，其内部各质点的相互作用力发生变化，因外力作用引起的构件内部作用力力的改变量，称为附加内力，简称内力。
影响因素：外部载荷、构件的强度、刚度、稳定性。
2.2 截面法、轴力与轴力图
垂直于杆件轴线的截面，称为横截面。
横截面上的内力是指横截面上分布内力的合力。
为了显示内力，假想地用横截面将物体截开，分成两部分，内力就转化为外力显示出来，并用静力平衡条件求内力的大小和方向，称为截面法。其主要求解步骤可以概括为截、留、代、平。
一截：在欲求内力的截面1－1处，沿该截面假想地将杆件截分为两部分。
二留：保留其中一段任何部分为研究对象，舍弃另一部分。
三代：用内力代替舍弃部分对保留部分的作用。
四平：根据保留部分的平衡条件，确定该截面内力的大小和方向。
即∑F＝0
得到FN＝F
由于轴向拉、压都作用在轴线上，故截面上内力的作用线与轴线重合。所以把轴向拉伸和压缩时横截面上的内力称为轴力。
轴力的方向判断：拉伸时轴力规定为正，即轴力背离截面，这样的轴力为拉力。压缩时轴力规定为负，即轴力指向截面时为负，此时的轴力为压力。
2、为了表明各截面上的轴力沿轴线的变化情况，按选定的比例尺，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，再取垂直于轴线的坐标表示横截面上的轴力，绘出表示轴力和横截面位置关系的图线，这种图线称为轴力图。
例4－1（P.86）
例4－2（P.86）
3 横截面上的应力
3.1 应力的概念
应力的概念
在截面上任一点O的周围取微小截面△A,设在微面积△A上分布内力的合力为△F，一般情况下△F与截面不垂直，则△F与△A的比值为微面积△A上的平均应力，用pm表示
即pm＝△F/△A
为了精确地描述内力的分布情况，令△A趋近于零，因此平均应力pm的极限值p可以表示为
p＝ 称p为O点处的应力，它是一个矢量，可以分为与截面垂直的分量σ和与截面相切的分量τ。σ为正应力，τ为切应力。
应力单位为Pa,1Pa＝1N/m2。 1M Pa＝106N/m2；1G Pa＝109N/m2
3.2 横截面上的正应力
拉杆横截面上的正应力
平面假设：受拉伸的杆件变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，仅沿轴线产生了相对平移，仍与杆的轴线垂直，这个假设为平面假设。
假定认为杆件由无数条纵向纤维所组成，根据平面假设，在任意两个横截面之间的各条纤维的伸长相同，即变形相同。
正应力：横截面上各点处的应力大小相等，其方向与横截面上轴力FN一致，垂直于横截面，称为正应力。
σ＝FN/A
A为横截面面积，正应力符号与轴力的符号一致，拉应力为正，压应力为负。
例题4.3
FP为800Kn,求最大正应力。
解：求轴力：FN=－FP＝－800kN
计算最大正应力，在横截面最小的部位。
Amin=πd2/4=(π×702)/4=3848㎜2
σmin＝FN/A=(－800×103)/(3848×10-6)=-208Mpa
习题讨论：试画出图中所示杆件的轴力图，并计算出各杆指定截面上的正应力。
1、
2、
4 轴向拉伸杆的变形
4.1 纵向线应变和横向线应变
1、绝对变形
轴向拉伸(压缩)时，杆件长度的伸长(缩短)量称为纵向绝对变形。
2、相对变形
绝对变形与杆件的原长度有关，为消除原长度的影响，引入相对变形的概念。
单位长度的变形称为相对变形或线应变。沿轴线方向单位长度的变形称为纵向相对变形或纵向线应变。
纵向线应变
1、绝对变形
轴向拉伸(压缩)时，杆件横向尺寸的缩小(增大)量称为横向绝对变形。
是正确的，则杆件在该截面上受拉伸。
2、相对变形
横向单位长度的变形称为横向相对变形或横向线应变。
横向线应变
实验证明：对于同一种材料，在弹性范围内，其横向相对变形与纵向相对变形之比的绝对值为一常数，即：
——泊松比或横向变形系数(无量纲)
因与的正负号恒相反，故：
4.2 胡克定律
实验表明：轴向拉伸或压缩的杆件，当其应力不超过某一限度时，正应力σ和相应的纵向线应变ε成正比，这一关系称为胡克定律
E——弹性模量(表7－1)
—→—→(胡克定律的又一表达形式)
轴向拉伸或压缩的杆件，当其应力不超过某一限度时，杆的轴向变形与轴向载荷及杆件长度成正比，与杆件横截面面积成反比。
①对、A相同，FN亦相等的等截面直杆，E越大，越小。所以E表示材料抵抗拉伸或压缩变形的能力——表示材料的弹性性质；
②FN、相等的杆件，EA愈大，则杆件的绝对变形愈小，所以EA称为抗拉(压)刚度，它表示杆件抵抗拉伸或压缩变形的能力。
当应力不超过某一极限时(比例极限)，应力和应变成正比。
例题讲解：
例4.4
例题2
AAB=AAC=400㎜2,ACD=200㎜2,弹性模量E＝200Gpa。受力情况为FP1=30KN,FP2=10KN,各长度如图所示。求杆的总变形。
解：1.作出轴力图如图b所示
2.计算杆的变形，用虎克定律求出各段杆的变形。
总的变形为
总的结果为负，说明杆的总变形为缩短。
5 材料在轴向拉压时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力作用下其强度和变形方面所表现的性能。它是强度计算和选用材料的重要依据。材料的力学性能一般是通过各种试验方法来确定。我们只讨论在常温和静载条件下材料在铀向拉压时的力学性能。所谓常温就是指室温；静载是指乎稳缓慢加载至一定值后不再变化的载荷。
主要讨论介绍材料在常温(室温)、静载(指加载速度缓慢平稳)情况下的力学性质。
5.1 拉伸试验和应力－应变曲线
标准试样
拉伸试验的试件要按国家标准规定的形状和尺寸，做成标准试件，以便比较不同材料的试验结果。对于金属材料，通常采用如图6—10所示的圆柱形标准试件。试件中部等截面段的直径为d，试件中段用来测量变形的长度l称标距。标距l与直径d之比，一般规定有l＝10d和l＝5d两种。在拉伸的过程中，自动绘图仪能自动绘出载荷Fp与相府的伸长变形△l之间的关系曲线，称为拉伸图、如下图a所示。试件的拉伸图与试件的几何尺寸有关。为了消除试件几何尺寸的影响，将拉伸图的纵坐标除以试件的原始横截面面积A0，横坐标除以标距l，则得应力σ与应变ε的关系曲线。如图b所示。
5.2 低碳钢拉伸时的力学性质能
低碳钢是工程上广泛使用的金属材料，它在拉仲时表现出来的力学性能具有典型性。图413a，b分别是低碳钢因截面标准试样拉伸时曲线。由图可知，整个拉伸过程大致可分为4个阶段，现分别说明如下：
1、弹性阶段
在Oa′范围内应力与应变成正比，即：。
与a′点对应的应力，即应力与应变成正比的最高限，称为材料的比例极限，。
在Oa阶段内，材料的变形是弹性的，所以Oa阶段称为弹性阶段，与a点对应的应力称为弹性极限。
由于a与a′非常接近，实际应用时将二者视为相等。
2、屈服阶段
当应力达到b1点的相应值时，应力不再增加而应变却在急剧增长，材料暂时失去了抵抗变形的能力，这种现象称为屈服现象。b1c阶段称为屈服阶段(在试件上出现45°角的滑移线)。
b1点的应力值——上屈服点
b2点的应力值——下屈服点(作为材料的屈服点)
与屈服点对应的应力值称为屈服极限。
在这一阶段，如果卸载，将出现不能消失的塑性变形。这在工程中一般是不允许的。所以屈服极限是衡量材料强度的一个重要指标。
3、强化阶段
经过屈服阶段以后，从c点开始曲线又逐渐上升，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形，必须增加应力。这种现象称为材料的强化。从c点至d点称为强化阶段。
曲线的最高点d所对应的应力称为强度极限。强度极限是衡量材料强度的另一个重要指标。
在强化阶段内，任选一点k，若此时缓慢卸载，曲线将沿着与Oa′近似平行的直线回到O1点。
O1k1是消失了的弹性变形，而OO1是残留下来的塑性变形。
※若卸载后立即重新加载，曲线将沿着O1kde变化。重新加载时，材料的比例极限得到提高，但断裂后的塑性变形将减小。
这种将材料预拉到强化阶段，使之出现塑性变形后卸载，再重新加载，出现比例极限提高而塑性变形降低的现象，称为冷作硬化。
4、颈缩阶段
在强度极限前试件的变形是均匀的，在强度极限后，即de部分，变形集中在试件的某一局部，纵向变形显著增加，横截面面积显著减小，出现颈缩现象。
由于局部横截面面积显著减少，试件迅速被拉断。
试件拉断后，弹性变形消失了，只剩下残余变形。残余变形标志着材料的塑性。
衡量材料塑性性质的两个重要指标：
①延伸率
一般把≥5％的材料称为塑性材料。把＜5％的材料称为脆性材料。
②截面收缩率
※材料的塑性越好，则、值也就越大。
※对于有的塑性材料，如合金钢、硬铝，在拉伸时没有明显的屈服阶段，工程中通常以产生0.2％塑性应变的应力作为屈服应力，称为材料的条件屈服应力或条件屈服极限，用表示。
5.3 其他材料在拉伸时的力学性能
其它金属材料的拉神试验和低矽钢拉伸试验的方法相同，图6—13给出了结钢、退火球墨铸铁、低碳钢、青铜等材料的应力—应变曲线。由图中可见，当应力较小时，这四种材料的，与ε也成直线关系，符合虎克定律，其次，它们的伸长率虽各不相同，但都大于10％，故都是塑性材料。不过与低碳钢相比，其它三种塑性材料并没有明显的屈服阶段，因此得不到明确的屈服点。对于没有明显屈服阶段的塑性材料，工程上规定，取试件产生0.2％的塑性应变时的应力值为材料的规定非比例伸长应力，以σp0.2表示。
铸铁的σ－ε曲线如图所示，从图中可以看出，铸铁拉伸时图中没有明显的直线阶段，也没有屈服阶段。断裂是突然发生的，断口与轴线垂直，塑性变形很小。由于铸铁的σ－ε图中没有明显的直线部分，所以它不符合胡克定律。但由于铸铁构件总是在较小的应力范围内工作，故这时可近似地以割线(图6—15中的虚线)代替曲线．认为胡克定律在较小应力的范围内可以近似地使用。
。
※衡量铸铁强度的唯一指标是强度极限。
由于铸铁总是在较小的应力范围内工作，故可近似地以直线Oa代替曲线，也就是认为在较小应力时符合虎克定律，且有不变的E。
一般规定试件在产生ε＝0.1％时所对应的应力范围作为弹性范围，并认为在这个范围内服从胡克定律。
5.4 材料压缩时的力学性能
金属材料的压缩试件一般做成圆柱形，且试件的高度为直径的1.5－3.0倍。
1.低碳钢的曲线
通过比较可知：比例极限、屈服极限和弹性模量在拉伸和压缩时是相同的。
只是超过屈服点后，试件被愈压愈扁，不可能压断，故得不到强度极限。而压缩时的图中没有强度极限(试件越压越扁)。
塑性材料的抗拉、压能力都很强，且抗冲击的能力也强，因此在工程中，齿轮、轴等零件多用塑性材料制造。
2.铸铁的曲线
压缩时的曲线与拉伸时的曲线相似。
※压缩时的强度极限远高于拉伸时的强度极限(约4～5倍)，最后试件沿与轴线成45°～50°角的斜面破坏。
※受压构件多用脆性材料制造。
6 轴向拉压杆的强度计算
6.1 极限应力 许用应力 安全因数
材料丧失正常工作能力即为失效。由塑性材料制成的构件，当应力达到屈服点应力时，虽未破坏，但已产生明显的塑性变形，影响其正常工作；脆性材料制成的构件，在外力作用下，变形很小就会突然断裂。因此、断裂和屈服都是因强度不足引起的失效。材料失效时的应力称为极限应力，用表示。对于塑性材料，取＝；对于脆性材料，取＝或＝。
考虑到载荷估计的准确程度、应力计算方法的精确程度、材料的均匀程度以及构件的重要性等因家，为了保证构件安全可靠地工作．应使它的最大工作应力与材料失效时的极限应力之间国有适当的强度储备。一般把极限应力除以大于l的安全因数n，所得结果称为许用应力，即
6.2 拉(压)杆的强度条件
为了保证拉(压)扦安全正常地工作，必须使杆内的最大工作应力不超过材料的拉伸(或压缩)许用应力，即
上式称为拉(压)杆的强度条件。对于拉伸与压缩许用应力不等的材料，须分别校核最大拉应力、最大压应力强度条件。对于等截面杆件，式(4．9)可写成
利用强度条件，可以解决下列三种强度计算问题；
1．校核强度 已知杆件的尺寸、所受载荷和材料的许用应力，根据式(4．9)校核杆件是否满足强度条件。
2．设计截面 已知杆件所承受的载荷及材料的许用应力，确定杆件所需的最小横截面积A。由式(4．10)得
3．确定承载能力 已知杆件的横截面尺寸及材料的许用应力，确定许用荷载。由式(4．10)确定杆件最大许用轴力
然后即可求出结构的许用载荷。
例题（P45）
7 拉压超静定问题简介
7.1 超静定的概念及其解法
在静力学中，当未知力的个数未超过独立平衡方程的数目时，则由平衡方程可求解全部未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构即为静定结构。若未知力的个数超过了独立平衡方程的数目．仅由平衡方程无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问题，相应的结构即为超静定结构。未知力的个数与独立的平衡方程数之差称为超静定次数。
超静定结构是根据特定工程的安全可靠性要求在静定结构上增加了一个或几个约束，从而使未知力的个数增加。这些在静定结构上增加的约束称为多余约束。多余约束的存在改变了结构的变形几何关系。因此建立变形协调的几何关系(即变形协调方程)是解决超静定问题的关键。下面举例说明。
例题（P98）
7.2 装配应力与温度应力介绍
所有构件在制造中都会有—些误差。这种误差，在静定结构中不会引起任何应力。而存超静定结构中出构件制造误差，装配时会引起应力。例如，图4．24所示的二杆柜架结构，若杆3制造时短了5，为了能将三根杆装配在一起，则必须将杆3拉长，杆1，2压短，这种强行装配会在杆3中产生拉应力，而在杆l，2今产生压应力。如误差较大，这种应力会达到很大的数值。这种由于装配而引起杆内产生的应力，称为装配应力。装配应力是在载荷作用前结构中已经具有的应力，因而是一种初应力。在工程中，对于装配应力的存在，有时是不利的，应予以避免；但有时却有意识地利用它，比如机械制造中的紧密配合和土木结构中的预应力钢筋泥凝土等等。
在工程实际中，杆件遇到温度的变化，其尺寸将有微小的变化。在静定结构中，由丁杆件能自由变形．不会在杆内产生应力。但在超静定结构中，由于杆件受到相互制约而不能自由变形，这将使其内部产生应力。这种因温度变化而引起的杆内应力称为温度应力。温度应力也是——种初应力。在工程k常采用一些措施来降低或消除温度应力，例如蒸汽管道中的伸缩节，铁道两段钢轨间预先留有适当空隙，钢桥衍架一端采用活动铰链支座等，都是为了减少或预防产生温度应力而常用的方法。
8 压杆稳定的概念
在4．6节研究压杆的强度问题时，认为只要压杆满足强度条件，就能保证安全工作。这个结论对于短粗压杆是正确的，但对细长压杆就不适用了。例如，一根宽30mm，厚2mm，长400mm的钢板条，其材料的许用应力为160MPa。按压缩强度条件计算，它的承载能力为
但实验发现，当压力还没有达到70 N时，它就开始弯曲，如图4。25；着压力继续增大，则弯曲变形急剧增加，最后折断，此时的压力远小于9．6Mv。压杆之所以丧失工作能力，是由于它不能保持原来的直线状态造成的。由此可见，细长压杆的承载能力不是取决于它的压缩强度条件，而是取决于它保持直线平衡状态的能力。压杆丧失保持原有直线平衡状态的能力而破坏的现象称为失稳。
由于细长压杆失稳时杆件的工作压应力远低于许用压应力，且失稳现象又常常突然发生，这势必会导致一些难以预料的严重用果，甚至导致整个结
构物的倒塌，因此必须高度重视细长压杆的稳定性问题。
