1
讨论导数,即讨论 的极限是否存在,而不
是研究改变量本身, 实践中,我们关心的是, 当
自变量 x 有微小改变量 Δx 时,函数 y 相应的改变量
Δy 与 Δx 有何关系,大小又如何？
0
lim
x
y
x??
?
?
§ 3.6 函数的微分
先看一个实际例子, 正方形的边长由 x 变到 x+Δx
时,其面积改变多少？由 S = x2 知,
2 2 2( ) ( ) ( ) 2 ( )S S x x S x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2
x
2Sx?
xΔx } Δx 2x?
显然 ΔS分成两部分, 2xΔx和 (Δx)2,而 2xΔx 是 Δx 的
线性函数,(Δx)2 是当 Δx→0 时比 Δx 高阶的无穷小,
即 (Δx)2 = o(Δx),
由此可见, 当 Δx→0 时,(Δx)2 比 2xΔx 小得多,几
乎可忽略不计 ; 从而用 2xΔx 近似代替 ΔS.几乎可
忽略不计 ; 从而用 2xΔx 近似代替 ΔS.并且把 2xΔx 叫
做正方形面积 S = x2 的微分,
xΔx
3
其中 A 是不依赖于 Δx 的常数, 则称 ?(x) 在点 x 处可
微 ;称 Δy的线性 (当 A ≠ 0 时称为线性主要 )部分 AΔx 为
函数 y = ?(x) 在点 x处的微分, 记为
定理 6,函数 y = ?(x)在点 x 处可微的充要条件是 y = ?(x)
在点 x 处可导,且 A = f′(x),从而有 dy = f′(x)Δx
定义 7.设函数 y =?(x) 在 x 的某邻域内有定义,且当自
变量有增量 Δx 时,如果函数的增量 Δy 可表为
Δy = AΔx + o(Δx)
d y = d? = AΔx
问题, y = ?(x)在什么条件下才可微呢？ A与 ?(x)有何关
系呢？
一,微分的概念
4
" " ( ) y f x x??证 在 点 可 微()y A x o x? ? ? ? ? ?
()y o xA
xx
????
0
( ) l i m
x
yf x A
x??
?? ??
?
()d y f x x???
0
" " ( ) l i m
x
yfx
x??
????
?
()y f x xx? ?? ? ?? 是 一 个 关 于 的 无 穷 小 量
0
l i m [ ( ) ] 0
x
y fx
x??
? ???
?有
( ) ( ) ( 0,( ) 0 )y f x x x x
x
??? ?? ? ? ? ? ? ?
?
设
( ) y f x x?? 在 处 可 微,
( ) ( ) ( ) ( )y f x x x x f x x o x???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则
结论 1 函数的可微性与可导性等价, 即可微必可导,
可导必可微,
5
结论 2 若 y =?(x) = x,则 ( ) ( )d y d x f x x x x x??? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ),dyd y f x d x f xdx??? ? ?
结论 3 求函数的微分,可先求出函数的导数,再乘
以 dx便可得函数的微分,求导数与求微分的方法都叫
做微分法,
从而 y =?(x) 的微分又可记为
.因 而 导 数 也 称 为 微 商
例 19,求函数 y = 3arctan x
(1) 在 x 处的微分 ; (2) Δ x = 0.01时的微分 ;
(3) 当 x 由 2 变到 2.01 时的微分,
2
3( 1 )
1y x
? ?
?
0, 0 1 0, 0 122
3 0, 0 3( 2 )
11xx
dxdy
xx? ? ? ?
??
??
解
2
3
1
dxdy
x
??
?
6
22 2
0, 0 1 0, 0 1
3
( 3 )
1xx
dx
dy
x??
? ? ? ?
?
?
例 20.求函数 的微分, l n ( t a n )5 xy ?
解
l n ( t a n )
l n ( t a n ) 2
5 l n 5 [ l n ( t a n ) ]
5 l n 5 c o t s e c
x
x
yx
xx
????
? ? ?
0, 0 3 0, 0 0 6
5??
l n ( t a n ) 25 l n 5 c o t s e cxd y x x d x? ? ? ?
7
}
曲线 y = ?(x) 在点 M 的横坐标 x 有一个
改变量 Δx时,MN = dx,PN = Δy,
o x
y y =?(x)
}
K
(x,y)M
(x+Δx,y+Δy) P
x x+Δx
dy
N
Δy {
?α
?α
()f x d x d y???
二,微分的几何意义
当 |Δx|很小时,|Δy – dy |=PK 比
|Δx|小得多, 故当 |Δx|→0 时,可“以
直代曲” —— 总可以用切线段 MK
去代替曲线弧 MP,用 NK = dy 去近似
代替 NP =Δy,
NK = MN tan α
则相应的微分 dy 就是曲线过点
M 的切线的纵坐标的相应增量,
8
需要强调的一点是, 根据函数增量与微分的关系可用微
分来作近似计算, 即
( ) ( ) ( ) ( 0 )f x x f x y d y f x x x?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
注 由导数与微分的关系知,有一个导数公式就有一个
相应的微分公式,
三,基本初等函数的微分公式
1
2
0
11
l o g l n
ln
l n
s i n c o s c o s s i n
t a n s e c
a
x x x x
d C d x x d x
d x d x d x d x
x a x
d a a a d x d e e d x
d x x d x d x x d x
d x x d x
??
?
?
??
??
??
? ? ?
?
2
c o t c s c
s e c s e c t a n c s c c s c c o t
d x x d x
d x x x d x d x x x d x
??
? ? ?
9
(1) d(u ± v) = du ± dv (2) d(u·v) = vdu +udv
2( 3 ) ( ) ( ( ) 0 )
u v d u u d vd v x
vv
???
设 y = ?(u)与 u = φ(x) 都可微则复合函数 y =?[φ(x)]
的微分为
22
22
11
s i n c o s
11
t a n c o t
11
d a r c x d x d a r c x d x
xx
d a r c x d x d a r c x d x
xx
? ? ?
??
? ? ?
??
四,微分的四则运算
设函数 u(x) 与 v(x) 在点 x 处可微,则
五,复合函数的微分法则
[ ( ) ] [ ( ) ] ( )d f xd y d x f x x d x
dx
? ??????
10
( ),d u x d x? ?? ( ),d y f u d u??
结论 无论 u 是自变量还是自变量的可微函数,微分
形式 dy = f′(u)du 都保持不变,微分的这一性质称为微
分形式不变性,
例 21.求下列函数的微分
23( 1 ) l n ( 1 s i n ) ; ( 2 ) c o s 2,xy x y e x?? ? ?
2 ( 1 ) l n ( 1 s i n )d y d x??解
33( 2 ) c o s 2 c o s 2xxd y x d e e d x????
而 u = φ(x),则 从而
2
2
( 1 s i n )
1 s i n
dx
x
??
?
22
2
( c o s )
1 s i n
x d x
x
??
?
2
2
2 c o s
1 s i n
xx dx
x
??
?
3 ( 3 c o s 2 2 s i n 2 ),xe x x d x?? ? ?
11
例 23,求
2
s i n()
()
dx
d x x
2
s i n
()
s i n
( )
( ) 2
x
d
dx x
d x x x d x
?解
2
c o s s i n
2
x x x
dx
x
xdx
?
?
3
c o s s i n
2
x x x
x
??
例 22,求由 xey = y-1 确定的函数的微分 dy,
( ) ( 1 )yd x e d y??解 yye d x x e d y d y??
1
y
y
e
d y d x
xe
??
?