1
()
0
0
0
x
x
x
x
?
?
? ? ?
?
?
?
数列极限是考察数列在 n →∞ 这一过程中的变化
总趋势 (即有无极限 ),而对于函数 y=?(x),当考察它的
变化总趋势时,因自变量的连续变化过程有许多情况,
如 x→∞,x → -∞,x →0,x →x 0+,x →x 0- 等,
§ 2.2函数的极限
1y
x?
如图
a r c t a nyx?
o o x x
y y
0
x
x
x
? ??
? ??
?
2
xye?
( 0,)xx?? ? ? ?
xye??
logayx?
( 0 1)a??
o
o
x
x
y
lnyx?
(,)xx? ? ? ? ? ? (,)xx? ? ? ? ? ?
( 0,)xx?? ? ? ?
由以上几例可看得出,同一个函数的自变量在不同
的变化过程中,相应的函数变化趋势不一样,因而有必
要分情况考察,
一 · x → ＋ ∞ 时函数 ?(x)的极限
1.直观描述,对函数 ?(x),当 x取正值无限增大时 (即 x
→ ＋ ∞ ),如果 ?(x)无限接近某常数 A,则称 A是函数 ?(x)
当 x → ＋ ∞ 时的极限,
3
由以上几例可看得出,同一个函数的自变量在不
同的变化过程中,相应的函数变化趋势不一样,因而
有必要分情况考察,
一 · x→∞ 时函数 ?(x)的极限
1· 直观描述：对函数 ?(x),当 x取正值无限增大时 (即
x→∞ ),如果 ?(x)无限接近某常数 A,则称 A是函数 ?(x)
当 x→∞ 时的极限,
结论 1,函数 y=1/x,y=arctan x,y=e-x 当 x→∞ 时,以某
个确定的常数为极限,而 y=ln x,y=ex,y=logax 却不会与
常数任意接近,
4
注：函数 y =?(x)当 x→∞ 时有极限与数列极限的不同
点在于自变量一个是连续递增的,一个是取自然数递
增的 (是函数极限的特殊情形 ),
2.函数 (“ε — M”) 定义 设函数 ?(x),当 x>a时有定义,
对 使得当 x>M时,|?(x)–A|< ε恒成立, 则
称函数 ?(x)当 x→∞ 时以 A为极限,记
0,0,M?? ? ? ?
l i m ( ) x f x A? ? ? ? 或
( ) ( ),f x A x? ? ? ?
则有 1
l i m 0,l i m 0,l i m a r c t a n,
2
x
x x x
ex
x
??
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
仿数列,ε— N” 定义有
5
及 y =A+ε.则总存在区间 (M,+∞),
当 x→∞ 时,以什么为极限?极限是否存在?
可作两条直线 y=A–ε 0,???
几何意义
(,)xM? ? ?
o x
y
A+ε
A
A–ε
M
考虑
1
,a r c t a n,;
l n,,l o g
x
x
a
y y x y e
x
y x y e y x
?? ? ?
? ? ?
y=?(x)
当 时，对应的函数曲
线介于这两条直线之间
6
3.直观描述, 对函数 ?(x),当 x取负值而绝对值无限增
大时 (即 x→ － ∞),如果 ?(x)无限接近某常数 A,则称 A是
函数 ?(x)当 x→ － ∞ 时的极限,
4.函数 (,ε— M”) 定义 设函数 ?(x),当 x<–a时有
定义, 使得当 x<– M时,|?(x)– A|< ε
恒成立,则称函数 ?(x)当 x→ － ∞ 时以 A为极限,
0,0,M?? ? ? ?
l i m ( ) x f x A? ? ? ?记 为 或 ( ) ( ),f x A x? ? ? ?
则有 1
l i m 0,l i m 0,
l i m a r c t a n,
2
x
xx
x
e
x
x
?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
??
几何意义如右图, o
x
y
A+ε
A–ε
A
–M
y=?(x)
7
问题,如果既有
l i m ( )x f x A? ? ? ? l i m ( )x f x A? ? ? ?
l i m ( )x f x A?? ?
定理 1.函数 y =?(x)当 x→∞ 时极限存在且为 A的充要
条件是函数 y =?(x)当 x→ ＋ ∞ 与 x→ － ∞ 时极限都
存在且等于 A,即
l i m ( ) l i m ( ) l i m ( )x x xf x A f x f x A? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
5.精确定义 (―ε—M‖) 设函数 ?(x),当 |x|>a时有定义,
对 使得当 |x|>M时,|?(x)–A|< ε恒
成立, 则称函数 ?(x)当 x→∞ 时以 A为极限, 记为
0,0,M?? ? ? ?
l i m ( ) ( ) ( ),x f x A f x A x?? ? ? ? ?或
又有
是否有 呢？
8
几何意义 如右图,
o x
y
A+ε
A–ε
A
M –M
y=?(x)
例 3 用,ε—M, 定
义证明
1
( 1 ), l i m 0 ;
1
( 2 ), l i m 0 ( 0 ) ;
( 3 ), l i m 0,
x
k
x
x
x
x
k
x
e
??
? ? ?
?
? ? ?
?
??
?
9
1 1 1
0,0,
1
.
x x x
x
??
?
? ? ? ? ? ?
?
证 ( 1 ) 要 使 不 等 式
只 要 即 可
11
0,0,0
1
l i m 0,
x
M x M
x
x
??
?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
?
取 正 数 则 当 时,有
恒 成 立, 故 由 函 数 极 限 的 定 义 知
11
0,0,
1
kk
xx
x
??
?
? ? ? ? ?
? k
证 ( 2 ) 要 使 不 等 式 只 要
即 可,
1
0,0,
1
0
1
l i m 0 ( 0 ),
k
k
k
x
M x M
x
k
x
?
?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
??
取 正 数 则 当 时,
有 恒 成 立, 故 由 函 数 极 限 的 定 义 知
10
0 ( 1 ),
0,l n
xx
e e x
??
??
??
? ? ?
? ? ? ? ?
证 ( 3 ) 不 妨 假 设 要 使
不 等 式 只 要
即 可,
0,l n 0,
0
l i m 0,
x
x
x
M x M
e
e
??
?
?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
??
?
取 正 数 则 当 时,
有 恒 成 立, 故 由 函 数 极 限 的 定 义
知
11
二, x→x 0 时函数 ?(x)的极限
当 x从大于 1和小于 1的方向趋于 1即当
x→ 1时,函数 ?(x)无限接近于 1,记为 f(x)→ 1
?
?
?
o x
y
1
1 y = x (1,1)
由前知,?(x)与 1的接近程度可由 |?(x)–1|< ε 来刻
划 ; 那么 x与 1的接近又怎样来刻划呢？
0???
由 |?(x)–1|= |x–1|知,要使 |?(x)–1|< ε,只须
|x–1|<ε 即可,
0,???
0,0,1 ( ) 1 x f x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?当 时, 恒 成 立,
例 4 函数 y =?(x) = x (如右图 )
显然,此时可表示 x与 1的无限接近了,即 ε可刻划 x 与
1的接近程度,若记 δ = ε >0,则有,当 x→ １ 时，
f(x)→ １,的精确描述,
12
1.精确定义 (“ε — δ”) 函数 ?(x),在 x0 的某邻域
内 (可去心 )有定义,
00,0,0 x - x? ? ?? ? ? ? ? ?使 得 当 时
0
0l i m ( ) ( ) ( ),xx f x A f x A x x? ? ? ?或
恒有 | ?(x) – A |< ε成立,
则称函数 ?(x)当 x→x 0 时以 A为极限,记为
从而
10l i m 1,l i m a r c t a n 0,xxxx????
13
几何意义
即在该去心邻域内对应的函数曲线一步
y=f(x)介于这两条直线之间,如下图,
0,???
0
0(,),Ux ?
0
0 (,) x U x ??当 时
o
° o x
y
A+ε
A
A–ε
y=?(x)
0x ?? 0x 0x ??
可作两条直线 y = A– ε及 y = A+ε,
则在 x轴上总存在以 x０ 为心,δ为半径的去心
邻域
14
例 4 用,ε—δ” 定义证明 (关键由 |?(x)–A|< ε 解
出 0<|x-x0|<g(ε）,得到 δ )
0
0
0
0
0
0
0
0
00
2
1
( 1 ), l i m ( C ) ;
( 2 ), l i m ( ) ; ( 4 7
l i m,
,l i m,
0,l i m,
22
( 3 ), l i m 4, (
1
xx
xx
xx
nn
xx
n
n
xx
x
CC
a x b a x b p
xx
n x x
x x x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
??
?
?
?
为 常 数
讲, 看 书 ）
特 别 地,
当 为 正 整 数 时
当 时
选 讲 ）
15
222
()
1
xfx
x
??
?
0,???
222
( ) 4 2 2 2 11xf x A x xx ??? ? ? ? ? ? ? ??
只须 1
2x
???
0,0,0 - 1
2
x?? ? ?? ? ? ? ? ? ?当 时,
恒有 2
22 4
1
x
x ?
? ??
?
2
1
22l i m 4,
1x
x
x?
? ?
?
例 4的 (3)的证明
由于当 x=1时
要使 |?(x)–A|< ε 即
无定义,则当 x≠1 时,
成立,即
即可,故可取 δ= ε/2,
16
注,此例中函数虽在 x=1处无定义,但 x→ １时极限
却存在,这说明函数在 x0点的极限是否存在与函数
在 x0 处有无定义无关,这是因为函数在 x0点的极限
是函数在 x0 附近的变化趋势,而不是在 x0处函数
值,这就是在定义中为啥假设 ?(x)可在 x0 处无定义
的原因了,
17
中所讨论的 x→x 0 即 x可从 x0 的左右
如
三, 函数 ?(x)的左、右极限
0
l i m ( )xx f x A? ?
( 0 )y x x??
1.左极限的直观描述及精确定义 (“ε — δ”)
当 x 从 x0 左侧 (小于 )趋于 x0 时,?(x)以 A为极
限, 则 A是 ?(x)在 x0处的左极限, 记为
0
0l i m ( ) ( ),xx f x A f x A? ?? ??或
00,0,0 ( ),x x f x A? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?当 时, 恒 成 立
,ε—δ” 定义
则只能考察 x 从 0 的右侧趋于
0 时的极限, 因而必须引进左、右极限的概念,
两侧趋于 x0, 但有时可考察 x 仅从 x0 的左侧或右侧趋
近时函数 (特别是分段函数在分段点处 )的极限,
18
2.右极限的直观描述及精确定义 (“ε — δ”)
当 x从 x0 右侧 (大于 )趋于 x0 时,?(x)以 A为极限, 则 A是
?(x)在 x0 处的右极限, 记为
0
0l i m ( ) ( ),xx f x A f x A?
?
?
??或
,ε— δ” 定义
00,0,0 ( ),x x f x A? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?当 时, 恒 成 立
左极限和右极限统称为单侧极限, 它们之间有如下关系,
定理 2,函数 y = ?(x)当 x→x 0 时极限存在且为 A的充
要条件是函数 y = ?(x)的左极限和右极限都存在且等于
A,即
注,
00
11l i m,l i m,
xxxx????
? ? ? ? ? ?
19
此定理给出了怎样利用单侧极限判断函数极
限存在的方法 ; 特别对分段函数适用,
例 5.设 ?(x)=|x|,求
,0
,0
xxx
xx
????
? ?
?
0l i m ( ),x fx?
解 因
00
00
( 0 ) l i m ( ) l i m 0,
( 0 ) l i m ( ) l i m ( ) 0,
xx
xx
f f x x
f f x x
??
??
?
??
?
??
? ? ?
? ? ? ?
则
故
0l i m 0,x x? ?
讨论下列函数当 x→ ０ 时的极限,
( 1 ), ( ) ; 4 9 5
( 2 ), ( ), 4 5 2
f x x x p
x
f x p
x
?
?
（ 习 题 ）
（ 例 ）
o x
y
?
y =|x|
0
l i m ( )xx f x A? ? ?
00
l i m ( ) l i m ( )x x x xf x f x A???? ??
20
例 6,y = [x]在 x→1 时极限是否存在？
解 因
1
1
( 1 ) l i m ( ) 1,
( 1 ) l i m ( ) 0,
x
x
f f x
f f x
?
?
?
?
?
?
??
??
故
11l i m l i m [ ] xxyx??? 不 存 在,
o x
y
° ?
° ?
1
1
2,0 1
( ) 0,1,l i m ( ),
3,1 2
x
xx
f x x f x
xx
?
???
?
???
? ? ? ?
?
求
例 7,
解 因
11
11
( 1 ) l i m ( ) l i m ( 3 ) 2,
( 1 ) l i m ( ) l i m 2 2,
xx
xx
f f x x
f f x x
??
??
?
??
?
??
? ? ? ?
? ? ?
1l i m ( ) 2,x fx???由 定 理 2 有
21
例 8,
2
1
21
,1
( ),l i m ( ),1
,1
x
xx
x
f x f xx
xx
??
? ??
???
? ??
? ??
?
求
解 因
11
2
11
2
1
( 1 ) l i m ( ) l i m 1,
21
( 1 ) l i m ( ) l i m
1
2 ( 1 ) 3 ( 1 )
l i m 3,
1
xx
xx
x
f f x x
xx
f f x
x
xx
x
??
??
?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
??
? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
?
由于左右极限存在但不相等,所以 f (x) 的极限
不存在,
22
四,函数极限的几个重要性质
为了叙述方便,将 ?(x)在 x→∞ 或 x→x 0 时的极限
A 统一表述为, 对 总存在那么一个时刻,在此
时刻以后,就恒有 | ?(x) – A |< ε,并记为
0,???
定理 3.(唯一性 ) 若 lim ?(x) = A存在,则极限值 A 唯一,
其证明同 § 2.1的性质 1.(略 )
{ ( 1) },n?
lim ?(x) = A
注, 若不唯一,变化趋势不定, 例
23
定理 4.(有界性 ) 若 lim ?(x) = A存在,则一定存在
那么一个时刻,在此时刻以后,?(x)必定有界,
其理论证明 (略 ).直观地可由几何意义 (介于 A–ε及 y
=A+ε之间 )说明,
()
0
0
0
x
x
x
x
?
?
? ? ?
?
?
?
数列极限是考察数列在 n →∞ 这一过程中的变化
总趋势 (即有无极限 ),而对于函数 y=?(x),当考察它的
变化总趋势时,因自变量的连续变化过程有许多情况,
如 x→∞,x → -∞,x →0,x →x 0+,x →x 0- 等,
§ 2.2函数的极限
1y
x?
如图
a r c t a nyx?
o o x x
y y
0
x
x
x
? ??
? ??
?
2
xye?
( 0,)xx?? ? ? ?
xye??
logayx?
( 0 1)a??
o
o
x
x
y
lnyx?
(,)xx? ? ? ? ? ? (,)xx? ? ? ? ? ?
( 0,)xx?? ? ? ?
由以上几例可看得出,同一个函数的自变量在不同
的变化过程中,相应的函数变化趋势不一样,因而有必
要分情况考察,
一 · x → ＋ ∞ 时函数 ?(x)的极限
1.直观描述,对函数 ?(x),当 x取正值无限增大时 (即 x
→ ＋ ∞ ),如果 ?(x)无限接近某常数 A,则称 A是函数 ?(x)
当 x → ＋ ∞ 时的极限,
3
由以上几例可看得出,同一个函数的自变量在不
同的变化过程中,相应的函数变化趋势不一样,因而
有必要分情况考察,
一 · x→∞ 时函数 ?(x)的极限
1· 直观描述：对函数 ?(x),当 x取正值无限增大时 (即
x→∞ ),如果 ?(x)无限接近某常数 A,则称 A是函数 ?(x)
当 x→∞ 时的极限,
结论 1,函数 y=1/x,y=arctan x,y=e-x 当 x→∞ 时,以某
个确定的常数为极限,而 y=ln x,y=ex,y=logax 却不会与
常数任意接近,
4
注：函数 y =?(x)当 x→∞ 时有极限与数列极限的不同
点在于自变量一个是连续递增的,一个是取自然数递
增的 (是函数极限的特殊情形 ),
2.函数 (“ε — M”) 定义 设函数 ?(x),当 x>a时有定义,
对 使得当 x>M时,|?(x)–A|< ε恒成立, 则
称函数 ?(x)当 x→∞ 时以 A为极限,记
0,0,M?? ? ? ?
l i m ( ) x f x A? ? ? ? 或
( ) ( ),f x A x? ? ? ?
则有 1
l i m 0,l i m 0,l i m a r c t a n,
2
x
x x x
ex
x
??
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
仿数列,ε— N” 定义有
5
及 y =A+ε.则总存在区间 (M,+∞),
当 x→∞ 时,以什么为极限?极限是否存在?
可作两条直线 y=A–ε 0,???
几何意义
(,)xM? ? ?
o x
y
A+ε
A
A–ε
M
考虑
1
,a r c t a n,;
l n,,l o g
x
x
a
y y x y e
x
y x y e y x
?? ? ?
? ? ?
y=?(x)
当 时，对应的函数曲
线介于这两条直线之间
6
3.直观描述, 对函数 ?(x),当 x取负值而绝对值无限增
大时 (即 x→ － ∞),如果 ?(x)无限接近某常数 A,则称 A是
函数 ?(x)当 x→ － ∞ 时的极限,
4.函数 (,ε— M”) 定义 设函数 ?(x),当 x<–a时有
定义, 使得当 x<– M时,|?(x)– A|< ε
恒成立,则称函数 ?(x)当 x→ － ∞ 时以 A为极限,
0,0,M?? ? ? ?
l i m ( ) x f x A? ? ? ?记 为 或 ( ) ( ),f x A x? ? ? ?
则有 1
l i m 0,l i m 0,
l i m a r c t a n,
2
x
xx
x
e
x
x
?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
??
几何意义如右图, o
x
y
A+ε
A–ε
A
–M
y=?(x)
7
问题,如果既有
l i m ( )x f x A? ? ? ? l i m ( )x f x A? ? ? ?
l i m ( )x f x A?? ?
定理 1.函数 y =?(x)当 x→∞ 时极限存在且为 A的充要
条件是函数 y =?(x)当 x→ ＋ ∞ 与 x→ － ∞ 时极限都
存在且等于 A,即
l i m ( ) l i m ( ) l i m ( )x x xf x A f x f x A? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
5.精确定义 (―ε—M‖) 设函数 ?(x),当 |x|>a时有定义,
对 使得当 |x|>M时,|?(x)–A|< ε恒
成立, 则称函数 ?(x)当 x→∞ 时以 A为极限, 记为
0,0,M?? ? ? ?
l i m ( ) ( ) ( ),x f x A f x A x?? ? ? ? ?或
又有
是否有 呢？
8
几何意义 如右图,
o x
y
A+ε
A–ε
A
M –M
y=?(x)
例 3 用,ε—M, 定
义证明
1
( 1 ), l i m 0 ;
1
( 2 ), l i m 0 ( 0 ) ;
( 3 ), l i m 0,
x
k
x
x
x
x
k
x
e
??
? ? ?
?
? ? ?
?
??
?
9
1 1 1
0,0,
1
.
x x x
x
??
?
? ? ? ? ? ?
?
证 ( 1 ) 要 使 不 等 式
只 要 即 可
11
0,0,0
1
l i m 0,
x
M x M
x
x
??
?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
?
取 正 数 则 当 时,有
恒 成 立, 故 由 函 数 极 限 的 定 义 知
11
0,0,
1
kk
xx
x
??
?
? ? ? ? ?
? k
证 ( 2 ) 要 使 不 等 式 只 要
即 可,
1
0,0,
1
0
1
l i m 0 ( 0 ),
k
k
k
x
M x M
x
k
x
?
?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
??
取 正 数 则 当 时,
有 恒 成 立, 故 由 函 数 极 限 的 定 义 知
10
0 ( 1 ),
0,l n
xx
e e x
??
??
??
? ? ?
? ? ? ? ?
证 ( 3 ) 不 妨 假 设 要 使
不 等 式 只 要
即 可,
0,l n 0,
0
l i m 0,
x
x
x
M x M
e
e
??
?
?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
??
?
取 正 数 则 当 时,
有 恒 成 立, 故 由 函 数 极 限 的 定 义
知
11
二, x→x 0 时函数 ?(x)的极限
当 x从大于 1和小于 1的方向趋于 1即当
x→ 1时,函数 ?(x)无限接近于 1,记为 f(x)→ 1
?
?
?
o x
y
1
1 y = x (1,1)
由前知,?(x)与 1的接近程度可由 |?(x)–1|< ε 来刻
划 ; 那么 x与 1的接近又怎样来刻划呢？
0???
由 |?(x)–1|= |x–1|知,要使 |?(x)–1|< ε,只须
|x–1|<ε 即可,
0,???
0,0,1 ( ) 1 x f x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?当 时, 恒 成 立,
例 4 函数 y =?(x) = x (如右图 )
显然,此时可表示 x与 1的无限接近了,即 ε可刻划 x 与
1的接近程度,若记 δ = ε >0,则有,当 x→ １ 时，
f(x)→ １,的精确描述,
12
1.精确定义 (“ε — δ”) 函数 ?(x),在 x0 的某邻域
内 (可去心 )有定义,
00,0,0 x - x? ? ?? ? ? ? ? ?使 得 当 时
0
0l i m ( ) ( ) ( ),xx f x A f x A x x? ? ? ?或
恒有 | ?(x) – A |< ε成立,
则称函数 ?(x)当 x→x 0 时以 A为极限,记为
从而
10l i m 1,l i m a r c t a n 0,xxxx????
13
几何意义
即在该去心邻域内对应的函数曲线一步
y=f(x)介于这两条直线之间,如下图,
0,???
0
0(,),Ux ?
0
0 (,) x U x ??当 时
o
° o x
y
A+ε
A
A–ε
y=?(x)
0x ?? 0x 0x ??
可作两条直线 y = A– ε及 y = A+ε,
则在 x轴上总存在以 x０ 为心,δ为半径的去心
邻域
14
例 4 用,ε—δ” 定义证明 (关键由 |?(x)–A|< ε 解
出 0<|x-x0|<g(ε）,得到 δ )
0
0
0
0
0
0
0
0
00
2
1
( 1 ), l i m ( C ) ;
( 2 ), l i m ( ) ; ( 4 7
l i m,
,l i m,
0,l i m,
22
( 3 ), l i m 4, (
1
xx
xx
xx
nn
xx
n
n
xx
x
CC
a x b a x b p
xx
n x x
x x x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
??
?
?
?
为 常 数
讲, 看 书 ）
特 别 地,
当 为 正 整 数 时
当 时
选 讲 ）
15
222
()
1
xfx
x
??
?
0,???
222
( ) 4 2 2 2 11xf x A x xx ??? ? ? ? ? ? ? ??
只须 1
2x
???
0,0,0 - 1
2
x?? ? ?? ? ? ? ? ? ?当 时,
恒有 2
22 4
1
x
x ?
? ??
?
2
1
22l i m 4,
1x
x
x?
? ?
?
例 4的 (3)的证明
由于当 x=1时
要使 |?(x)–A|< ε 即
无定义,则当 x≠1 时,
成立,即
即可,故可取 δ= ε/2,
16
注,此例中函数虽在 x=1处无定义,但 x→ １时极限
却存在,这说明函数在 x0点的极限是否存在与函数
在 x0 处有无定义无关,这是因为函数在 x0点的极限
是函数在 x0 附近的变化趋势,而不是在 x0处函数
值,这就是在定义中为啥假设 ?(x)可在 x0 处无定义
的原因了,
17
中所讨论的 x→x 0 即 x可从 x0 的左右
如
三, 函数 ?(x)的左、右极限
0
l i m ( )xx f x A? ?
( 0 )y x x??
1.左极限的直观描述及精确定义 (“ε — δ”)
当 x 从 x0 左侧 (小于 )趋于 x0 时,?(x)以 A为极
限, 则 A是 ?(x)在 x0处的左极限, 记为
0
0l i m ( ) ( ),xx f x A f x A? ?? ??或
00,0,0 ( ),x x f x A? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?当 时, 恒 成 立
,ε—δ” 定义
则只能考察 x 从 0 的右侧趋于
0 时的极限, 因而必须引进左、右极限的概念,
两侧趋于 x0, 但有时可考察 x 仅从 x0 的左侧或右侧趋
近时函数 (特别是分段函数在分段点处 )的极限,
18
2.右极限的直观描述及精确定义 (“ε — δ”)
当 x从 x0 右侧 (大于 )趋于 x0 时,?(x)以 A为极限, 则 A是
?(x)在 x0 处的右极限, 记为
0
0l i m ( ) ( ),xx f x A f x A?
?
?
??或
,ε— δ” 定义
00,0,0 ( ),x x f x A? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?当 时, 恒 成 立
左极限和右极限统称为单侧极限, 它们之间有如下关系,
定理 2,函数 y = ?(x)当 x→x 0 时极限存在且为 A的充
要条件是函数 y = ?(x)的左极限和右极限都存在且等于
A,即
注,
00
11l i m,l i m,
xxxx????
? ? ? ? ? ?
19
此定理给出了怎样利用单侧极限判断函数极
限存在的方法 ; 特别对分段函数适用,
例 5.设 ?(x)=|x|,求
,0
,0
xxx
xx
????
? ?
?
0l i m ( ),x fx?
解 因
00
00
( 0 ) l i m ( ) l i m 0,
( 0 ) l i m ( ) l i m ( ) 0,
xx
xx
f f x x
f f x x
??
??
?
??
?
??
? ? ?
? ? ? ?
则
故
0l i m 0,x x? ?
讨论下列函数当 x→ ０ 时的极限,
( 1 ), ( ) ; 4 9 5
( 2 ), ( ), 4 5 2
f x x x p
x
f x p
x
?
?
（ 习 题 ）
（ 例 ）
o x
y
?
y =|x|
0
l i m ( )xx f x A? ? ?
00
l i m ( ) l i m ( )x x x xf x f x A???? ??
20
例 6,y = [x]在 x→1 时极限是否存在？
解 因
1
1
( 1 ) l i m ( ) 1,
( 1 ) l i m ( ) 0,
x
x
f f x
f f x
?
?
?
?
?
?
??
??
故
11l i m l i m [ ] xxyx??? 不 存 在,
o x
y
° ?
° ?
1
1
2,0 1
( ) 0,1,l i m ( ),
3,1 2
x
xx
f x x f x
xx
?
???
?
???
? ? ? ?
?
求
例 7,
解 因
11
11
( 1 ) l i m ( ) l i m ( 3 ) 2,
( 1 ) l i m ( ) l i m 2 2,
xx
xx
f f x x
f f x x
??
??
?
??
?
??
? ? ? ?
? ? ?
1l i m ( ) 2,x fx???由 定 理 2 有
21
例 8,
2
1
21
,1
( ),l i m ( ),1
,1
x
xx
x
f x f xx
xx
??
? ??
???
? ??
? ??
?
求
解 因
11
2
11
2
1
( 1 ) l i m ( ) l i m 1,
21
( 1 ) l i m ( ) l i m
1
2 ( 1 ) 3 ( 1 )
l i m 3,
1
xx
xx
x
f f x x
xx
f f x
x
xx
x
??
??
?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
??
? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
?
由于左右极限存在但不相等,所以 f (x) 的极限
不存在,
22
四,函数极限的几个重要性质
为了叙述方便,将 ?(x)在 x→∞ 或 x→x 0 时的极限
A 统一表述为, 对 总存在那么一个时刻,在此
时刻以后,就恒有 | ?(x) – A |< ε,并记为
0,???
定理 3.(唯一性 ) 若 lim ?(x) = A存在,则极限值 A 唯一,
其证明同 § 2.1的性质 1.(略 )
{ ( 1) },n?
lim ?(x) = A
注, 若不唯一,变化趋势不定, 例
23
定理 4.(有界性 ) 若 lim ?(x) = A存在,则一定存在
那么一个时刻,在此时刻以后,?(x)必定有界,
其理论证明 (略 ).直观地可由几何意义 (介于 A–ε及 y
=A+ε之间 )说明,
