1
§ 8.3 偏导数
这种变化率称之为偏导数,
在研究一元函数时,已经看到了函数关于自变量的
变化率 (导数 )的重要性, 对于二元函数也同样有一个处于
重要地位的函数变化率问题, 因二元函数有两个自变量,
且这两个自变量是彼此无关的,故可考虑 函数关于其中
的一个自变量的变化率,此时将另一个自变量看作不变,
2
一, 偏导数的概念及计算
设函数 z=?(x,y)在点 的某个邻域内有定义,则
00(,)xy
0x 0yy?
000 0(,) (,)x yz f x x f x y? ? ? ? ?
称为函数 z=?(x,y)在
00(,)xy,x f?
处 对 y的偏增量,亦可记为
0000(,) (,)y z f y y f yxx? ? ? ? ?
00(,)xy,y f?
1.偏导数的概念
称 x在 处取得改变量 ?x且
改变量
保持不变时,函数 z的
处 对 x的偏增量,亦可记为
同样可将
称为函数 z=?(x,y)在
在上述意义下,把 x,y在
?x,?y时,函数 z的改变量
00(,)xy
处同时取得改变量
3
0 0 0 0(,) (,)z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?
处的 全增量,亦可记为 ??,
设函数 z=?(x,y)在点 的某个邻域内有定义,
0
0000
0
(,) (,)l i m l i mx
xx
z f x x f
xx
yy x
? ? ? ?
? ? ? ??
??
00(,)xy
x的偏导数,并记为
00(,)xy
0 0 0 0(,) (,)x y x y
zf
xx
??或
00[ (,) ] x x xfx y ???
称为函数 z=?(x,y)在
00(,)xy
定义 7
若极限
存在，则称此极限值为 函数 z=?(x,y)在 点 处对
0 0 0 0(,) (,),xxz x y f x y??或或
4
0
0
000
0
(,) (,)l i m l i my
yy
z f y yxx fy
yy? ? ? ?
? ? ? ?
?
??
00[ (,) ] y y yfyx ???
y的偏导数,并记为
00(,)xy
0 0 0 0(,) (,)x y x y
zf
yy
??或
如果函数 z=?(x,y)平区域 D内每点 (x,y)处对 x(或 y) 的偏
导数存在,则称函数 ?(x,y)在 D内有对 x(或 y)的偏导函数,
简称偏导数,记作
(,)xxzff x y zxx??????或 或 或 ； (,),yyzff x y z
yy
????
??或 或 或
同理若极限
存在，则称此极限值为 函数 z=?(x,y)在 点 处对
0 0 0 0(,) (,),yyz x y f x y??或或
5
2,偏导数的几何意义
,曲面与平面的交线在点 处
0(,)z f x y?
0yy?
0yy?
1L
0 0 0(,,)M x y z
00(,)xf x y?
为,曲面与平面 的交线
00(,)yf x y?
2L
0xx?
0(,)z f x y?
z
y O
x
0(,)z f x y?
0yy?
1L
0xx?
2L
M,
因 是曲面 z=?(x,y)与平面 的交线在
平面 上的方程, 故偏导数 的几何意义为
线 的斜率, (如图 ),
而偏导数 的几何意义
处沿 y轴方向的切线
0 0 0(,,)M x y z
的斜率, (如图 ),
在点
沿 x轴方向 的切
6
3,偏导数的计算
(1).要求函数 ?(x,y)对自变量 x的偏导数,只须将 自变量
由偏导数的定义知,
用一元函数的求导法则对 x求导；
(2).要求函数 ?(x,y)对 自变量 y的偏导数,只须将 自变量
y看成 常数,
x看成 常数,用一元函数的求导法则对 y求导,
7
例 11 求函数 在点 (1,0)处的偏导数,
a r c t a n yz x?
(,)z yxx??解 把 看 成 常 量 对 求 导
2
1
()
1 ( )
x
y
y x
x
???
?
2 2 2
2
1
()
1 ( )
yy
y x x y
x
? ? ? ? ?
??
( 1 0 ) 0.
z
x
???
?,
(,)z xy
y
?
?
把 看 成 常 量 对 求 导
2
1
()
1 ( )
y
y
y x
x
???
?
22
2
11
1 ( )
x
y x x y
x
? ? ?
??
( 1 0 ) 1.
z
y
???
?,
8
例 12 求下列函数的偏导数, ( 1 ) ; ( 2 ),y y z xz x u x y z??
( 1 ) ( ) )y xz xx? ???解 （ 幂 函 数 的 导 数
1 ;yyx ??
( ) )y yz xy? ??? （指数函数的导数
ln,yxx?
( 2 ),遇到多个部分的乘积可采用取对数的方法
l n l n l n l nu y x z y x z? ? ?
两边对 x求导
( l n ),y z xx yu x y z zx?? ? ?lnxu y zux? ??
两边对 y求导
( l n ),y z xy zu x y z x
y
?? ? ?lny
u z
x
uy
?
??
两边对 z求导
( l n ),y z xz xu x y z y z?? ? ?lnz
u xy
uz
? ??
9
21 3 (,) 3ff x y x
x
? ?
?例 设 函 数 有 一 阶 连 续 偏 导 数 且
2 (,) 3,ff x y x
x
? ?
?解 因 函 数 有 一 阶 连 续 偏 导 数
3(,) ( ) ;ff x y d x x c y
x
?? ? ?
??
3322 3 (,) ( ) 2,x x x c x??将 代 入 上 式 有
32 2,( ) 2x y c y y? ? ?令 则 有
32(,) 2f x y x y? ? ? ?
2.f yy?? ? ??
3
2(,)
(,) 2,.
xx
ff x y
y
??
?
求
x则 上 式 两 边 对 积 分 有
10
4.多元函数的偏导数与连续性之间的关系
中,,若函数 ?(x,y) 在某点的两个偏导数 ff
xy
??
??与 均 存 在,
(,),f x y而 函 数 在 该 点 却 不 一 定 连 续
22
22
22
2
0
1 4 ( ),
00
xy
xy
xyf x,y
xy
?
???
?? ?
? ??
?
例 证 明 的 偏 导 数 存 在
多元函数的偏导数与连续性之间的关系，与一元函
数的可导与连续的关系，有着本质的区别,
一元函数有, 可导必连续, 的性质； 但在二元函数
( 0,0 ),但 在 点 处 不 连 续
11
( 0,0 )xf ?解
0
(,0 ) ( 0,0 )l i m 0
0x
f x f
x?
???
? ；
0
( 0,0 ) ( 0,0 )( l i m 0 )
x
f x f
x??
? ? ???
?或
( 0,0 )yf ?
0
( 0,) ( 0,0 )l i m 0
0y
f y f
y?
???
?；
0
( 0,0 ) ( 0,0 )( l i m 0 )
y
f y f
y??
? ? ???
?
或
(,) ( 0 0 )l i m ( )xy f x,y?,但 22(,) ( 0,0 )
2l i m
xy
xy
xy?
?
?
(,) ( 0 0 )l i m ( ),xy f x,y?, 不存在
220
22
l i m
11x
y k x
kk
kk?
?
??
??
其值随 k而变,则
12
0
000,l i m ( )xxy f x,y??当时
0
0 0 0
002 2 2 2
0 0 0
22l i m (,),
xx
x y x y f x y
x y x y?
? ? ?
??
0000
0,l i m ( ) l i m ( 0 )x x x xy f x,y f x,????而 当 时
(,) ( 0,0 ),f x y从 而 在 处 不 连 续
但此函数对变量 x(而变量 y的值固定 ) 或 y(而变量 x的值固
定 )却是连续的,实际上
0 0 0( 0 ) ( ) ;f x,f x,y??
故函数 ?(x,y)对变量 x是连续的,
同理可证函数 ?(x,y)对变量 y是连的,
而且当 (x,y)不是原点时，函数 ?(x,y) 却是连续的,
13
一般说来还是 x,y的二元函数,
,xyzz??
二,高阶偏导数的概念及计算
函数 z=?(x,y)的偏导数
如果这两个偏导函数对自变量 x和 y的偏导数还存在，则
称这些偏导数为 ?(x,y)的二阶偏导数, 依照对变量求导的
先后不同次序，共有下列四个二阶偏导数,
2
2()
zz
x x x
? ? ?
? ? ??
记
2
()zz
y x x y
? ? ?
? ? ? ??
记
(,)x x x xz f x y?? ??或 或 ；
(,)x y x yz f x y?? ??或 或 ；
2
()zz
x y y x
? ? ?
? ? ? ??
记
(,)y x y xz f x y?? ??或 或 ；
14
2
2()
zz
y y y
? ? ?
? ? ??
记
22
,(,),zz f x y
x y y x
??
? ? ? ?
其 中 叫 做 的 二 阶 混 合 偏 导 数
仿此还可定义比二元函数更高阶的偏导数,如
2 3 2 3 2 3
2 3 2 2( ),( ),( ),
z z z z z z
x x x y x x y x x y x y x
? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
(,)y y y yz f x y?? ??或 或 ；
15
22 1 2 6 5,z x x y y
x
? ? ? ?
?解
2 3 1 0 2,z x x y
y
? ? ? ?
?
2
2 2 4 6,
z xy
x
? ??
?
2
2 1 0,
z x
y
? ??
?
2
6 1 0,z xy
xy
? ??
??
2
6 1 0,z xy
yx
? ??
??
3
3 24.
z
x
? ?
?
注 1 此例中两个二阶的混合偏导数是相等的，即
22
.zz
x y y x
???
? ? ? ?
3 2 2
3
3
1 5 4 3 5 2,
.
z x x y x y y
z
x
? ? ? ?
?
?
例 设 求 它 的 各 二 阶 偏 导 数 及
三阶偏导数
16
定理 1 如果函数 z=?(x,y)的两个二阶的混合偏导数
22
,zz
x y y x
??
? ? ? ?
22
.zz
x y y x
???
? ? ? ?
在区域 D内 连续,则在该区域内的每一点
上这两个混合偏导数都相等,即
注 2 此定理告诉我们二阶混合偏导数在连续的条件下
与求导的次序无关,
17
22
22
221 5 l n 0,
zzz x y
xy
??? ? ? ?
??
例 验 证 函 数 满 足
2 2 2 21 l n l n ( ),
2z x y x y? ? ? ?解因
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2,
( ) ( )
z x y y x y
y x y x y
? ? ? ???
? ? ?
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2,
( ) ( )
z x y x y x
x x y x y
? ? ? ???
? ? ?
22
22 0.
zz
xy
??? ? ?
??
2 2 2 2,,
z x z y
x x y y x y
????
? ? ? ?
而
18
2
2
1 6 2,(,0 ) 1,(,0 ),(,)
.
y
f
x f x f x x f x y
y
?
?? ? ?
?
例 已 知 求 的 函 数
关系式
1(,) 2 2 ( ),yy f x y x d y x y x?? ? ? ??两 边 对 积 分 有
1(,0 ) ( )yf x x x x?? ??将 代 入 上 式 有
y此 式 两 边 再 对 积 分 有
(,) 2,yf x y x y x?? ? ?
2
2(,) ( 2 ) ( ),f x y x y x d y x y x y x?? ? ? ? ??
2(,0 ) 1,( ) 1,f x x???由得
2(,) 1,f x y x y x y? ? ? ?
2
2 2,
f x
y
? ?
?
解因