1
bx
ax
D
f x y d d x f x y d y
?
?
? ?? ? ? ? 2
1
()
()
(,) (,)
dy
cy
D
f x y d d y f x y d x
?
?
? ?? ? ? ? 2
1
()
()
(,) (,)
x O
D
2 ()xy??
1 ()xy??
y
y
x
y
O
2 ()yx??
1 ()yx??
a b x
D
在直角坐标系下二重积分的计算的公式有
d
c
2
§ 9.3 二重积分的换元法
在计算定积分时,换元法是一种强有力的方法, 在计
D
f x y d ??? (,)
不易计算时,
算二重积分时,也常用此法, 特别是二重积分
(,)
(,)
x u v
y u v
?
?
??
? ?
?
上的二重积分,以达到简化二重积分的计算,
1D
那么这两个二重积分有何关系呢？
把 xy 平面内区域 D上的二重积分,变成 uv 平面内区域
?(x,y)的特点,用一个适当的变换
我们也可根据积分区域 D的形状 和被积函数
3
定理 2 若 ?(x,y)在 xy 平面的闭区域 D上连续,且变换
(,)
(,)
x u v
y u v
?
?
??
? ?
?
(1) 与 在 uv 平面的闭区域 上具有一阶连续
1D
(2)它将 xy平面上的区域 D 一对一地变为 uv平面上的区域 ；
1D
xyDJ
uv
???
?1
(,)( 3 ) 0,
(,)
在 区 域 上 的 雅 可 比 行 列 式
则在此变换下,二重积分为
偏导数；
1
(,)
(,) [ (,),(,) ]
(,)DD
xy
f x y d x d y f u v u v d u d v
uv
??
?
?
?? ? ? ?
满足,
(,)uv? (,)uv?
4
注 2 换元法计算二重积分的关键是根据 被积 函数
( J a c o b i x y u,v)1,雅 可 比 行 列 式 为 对 的 偏 导 数 所
构成的函数
行列
注
式, 记 为
?(x,y)的特点和区域 D的形状,构造变换式,
注 3 的实质就是变换前后 D与 的伸缩率 (或比
J 1D
例 系数 ),
111,; 1,D D D DJ S S J S S? ? ? ?当 时 当 时
x y x y
u v v u
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
xx
xy uv
J
u v y y
uv
??
? ??
??
? ? ?
??
(,)
(,)
5
14 JD若 雅 可 比 行 列 式 只 在 内 个 别 点 上 或注 一条曲线
,上 为 零 而 在 其 他 点 上 为 不 为 零,则 换 元 公 式 仍 然 成 立
,,212
yx
yx
D
e d x d y D x y x y
?
? ????计 算 其 中 是 由 轴 轴 和 直 线例
所围成的闭区域.
解 区域 D 的图形如右图
解得变换式 2
2
vu
x
vu
y
??
?
??
?
??
?
??
令 u = y ? x,v = y + x
x
y
O
D
x+ y=2
6
则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
? ?D u v v u v v? ? ? ? ? ?1 (,),0 2,如 右图,
xx
xy uv
J
u v y y
uv
??
? ??
??
? ? ?
??
(,)
(,)
且
11
22
11
22
?
?
1
1
2
yx u
yx v
DD
e d x d y e d u d v
?
? ??? ? ? ?故
2
0
1
2
uv
v
v
d v e d u
?
? ??
2 1
0
1 ()
2
e e v d v????
u
v
O
1D
u=? v
v=2
u=v
1ee???
1
2??
2
0
1
()
2
vu
v
v
v e d v
?
? ?
7
D
A d x d y? ??解 设 所 求 面 积 为
.D所 围 成 闭 区 域 的 面 积c d a b? ? ? ?( 0,0 )
二重积分直接化为二次积分较麻烦,
现采用换元法, 令
,11v u vxy uu????解 得
作出区域 D 的图形如右图
,yu v x yx? ? ?
x y c x y d y a x y b x? ? ? ? ? ?,,,13 由直线例 计算
? ?1 (,),D u v a u b c v d? ? ? ? ?,如下图
x
y
O
D x+y=c
x+y=d y=ax
y=bx d
c d
则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
8
2
2
1
1( 1 )(,)
(,)
1( 1 )
v
uuxy
J
u v v u
uu
?
???
??
?
??
且
12 0 (,)( 1 )
v u v D
u
? ? ? ?
?
D
A d x d y? ??故
1
2( 1 )
D
v d u d v
u
??
???
2( 1 )
bd
ac
du v d v
u
?
???
22( ) ( )
2 ( 1 ) ( 1 )
b a d c
ab
???
??
211( ) ( )
12
bd
ac
v
u
? ? ?
?
O
c
d
a b u
v
1D
则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
9
2
1
( ),
xy
x y d x d y
??
??? 计算例 1 4
解 作出区域 D 的图形如右图
现采用换元法, 令
,22解 得 u v u vxy????,u x y v x y? ? ? ?
? ?1 (,) 1 1,1 1D u v u v? ? ? ? ? ? ?,如右图
xy
J
uv
?
??
?
?
11
(,) 22
(,) 1 1
22
且
x
y
O
D
?x+y =1
x?y =1 x+y = ?1
x+y =1
O u
v
1
1
–1
–1 D1
??12
则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
10
1
22
1
1
( ) [ ) ]
2 2 2x y D
u v u v
x y d x d y d u d v
??
??
? ? ? ? ?? ? ? ?故（
1
221 = ( 2 2 2 )
8 D
u v u v u v d u d v? ? ? ???
11 22
11
1 ( 2 2 2 )
8
d u u v u v u v d v
??
? ? ? ? ???
u u d u
?
? ? ??
1 2
1
12( 2 4 )
83 ?
1
3