1 1
由第一章知, 显函数 y = ?(x),也可写成 F(x,y)
= y –?(x) = 0,由方程 F(x,y) = 0 确定的隐函数可能
有两种情形, y 是 x 的函数 y = ?(x) 或 x 是 y 的函
数 x = φ(y); 但并非所有隐函数都可化为一个显函
数, 如
因而有必要研究隐函数的求导方法,下面通过几个例
子来介绍,
s i n 2 2 0.yy e x y? ? ?
§ 3.5 隐函数的导数
例 14.设方程 x2+y2=R2 确定函数 y = y(x),求
.dydx
解 方程两端逐项对 x 求导 (y 是 x 的函数 )得
2 2 0x y y ?? ? ? ( (,) ),xy x y
y
? ?? 圆 周 上 点 的 切 线 斜 率
1 2
例 15 求曲线 y+x-exy=0 在点 (0? 1)处的切线方程,
解 方程两端逐项对 x 求导 (y 是 x 的函数 )得
1 ( ) 0xyy y x y e??? ? ? ? ?1
1
xy
xy
yey
xe
?? ??
? 0
1
0x
y
y ?
?
? ?
1 0 ( 1 ) 1,y x y? ? ? ? ?则 切 线 方 程 为 即
例 16.求由方程 x3 + y3 – a = 0(a 是常数 ) 确定的隐函数
y(x) 的二阶导数,
解 方程两端逐项对 x 求导 (y 是 x 的函数 )并解得
2
2
d y x
dx y
??
1 3
2 2 2
24
22d y x y x y y
d x y
?????
上式两端再对 x 求导 ( y 是 x 的函数 )得
下面介绍一个重要的求导方法 —— 对数求导法,
例 17.设 23( 1 ) ( 3 1 ) ( 2 )
,.
5
x x x
yy
x
? ? ? ?
?
?
求
33
55
2 ( ) 2,x y x x a
yy
?? ? ? ?
解 取已知函数的绝对值的对数,得
21
33
1
2
1 3 1 2
l n l n
5
x x x
y
x
? ? ?
?
?
2 1 1l n l n 1 l n 3 1 l n 2 l n 5
3 3 2y x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?
,,x利 用 隐 函 数 求 导 法 则 上 式 两 端 对 求 导 得
1 4
l n ( 1 ) l n ( 2 ) l n ( ) l n ( 1 ) l n ( 2 ) l n ( )x x x n x x x n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
§ 3.2中的例 7 也可
用此法求解,
( 1 ) ( 2 ) ( )( ),( ),
( 1 ) ( 2 ) ( )
x x x nf x f x
x x x n
? ? ? ??
? ? ?
求
1 2 3 1 1 1 1
1 3 3 1 3 2 2 5
y
y x x x x
? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
23( 1 ) ( 3 1 ) ( 2 )1 2 1 1
[]
1 3 1 3 ( 2 ) 2 ( 5 ) 5
x x xy
x x x x x
? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
l n ( ) l n [ ( 1 ) ( 2 ) ( ) ] l n [ ( 1 ) ( 2 ) ( ) ]f x x x x n x x x n? ? ? ? ? ? ? ?解
' ( ) 1 1 1 1 1 1
( ) 1 2 1 2
fx
f x x x x n x x x n
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 1 1 1 1 1' ( ) ( ) [ ]
1 2 1 2
f x f x
x x x n x x x n
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 5
定义 6,称形如 这样的函数为幂指函
数,下面来研究幂指函数的求导方法,
()[ ( ) ] gxy f x?
例 18,求幂指函数 的导数
( t a n ) xyx?
解一, 一个显函数, 如
,,x利 用 隐 函 数 求 导 法 则 两 端 对 求 导 得
l n l n ( t a n ) l n ( t a n ) ( l n s i n l n c o s )xy x x x x x x? ? ? ?
c o s s i nl n s i n l n c o s ( ) l n t a n c o t t a n
s i n c o s
y x xx x x x x x x x
y x x
?
? ? ? ? ? ? ?
( t a n ) ( l n t a n c o t t a n )xy x x x x x x? ? ? ?
1 6
l n ( t a n ) l n t a n ( l n s i n l n c o s )( t a n ) xx x x x x x xy x e e e ?? ? ? ?
上述利用对数性质及隐函数求导法则来简化导数
计算的方法,称为对数求导法, 这种方法适用于幂
指函数和一些连乘连除式子的求导,
解二,
( l n s i n l n c o s )()x x xye ????
( t a n ) ( c o t t a n l n t a n )xx x x x x x? ? ?
( l n s i n l n c o s ) [ ( l n s i n l n c o s ) ]x x xe x x x? ???
利用复合函数求导法则,得