1
利用直接积分法求出的不定积分是很有限的,
一,凑微分法
例 计算
c o s 2 x d x?
分析,此不定积分的被积函数是复合函数,在积分表中查不到,
§ 5.3 基本积分法
为了求出更多函数的不定积分,下面建立一些有效地积分法,
这是因为被积函数 cos2x的变量是, 2x”,与积分变量, x”不
同, 但如果能把被积表达式改变一下,使得被积函数的变量与
积分变量变得相同,那么就可用公式
c o s s i nu d u u C???
求出此不定积分, (u是 x的函数 )
2
1c o s 2 c o s 2 ( 2 )
2x d x x d x? ? ???
12 c o s
2u x u d u? ?令
1 c o s 2 ( 2 )
2 x d x? ?
1 s i n
2 uC??
1 s i n 2
2u x C?回代
注, 这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用
恒等变形将原来的微分 dx凑成新的微分 d?(x) (可不必换元 ),
使原积分变成一个可直接用积分公式来计算,
这种方法称为凑微分法, 其理论依据为
1 2
2d x d x?解
3
定理 4
( ) ( ),( ),f u d u F u C u x?? ? ??设 且 具 有 连 续 导 数 则
[ ( ) ] ( ) [ ( ) ],f x d x F x C? ? ????
证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可,
[ ( ( ) ) ] ( ( ) ) ( )uxF x C F u f x x? ? ?????? ? ? ? ?
注 1.定理 4中,若 u为自变量时,当然有
( ) ( )f u d u F u C???
当 u 换为 ?(x)时,就有
[ ( ) ] ( ) [ ( ) ]f x d x F x C? ? ????
成立, ——不定积分的这一性质称为积分形式的不变性,
注 2,凑微分法的关键是, 凑,,凑的目的是把被积函数的
中间变量变得与积分变量相同, 即
[ ( ) ] ( )f x x d x?? ?? 凑[ ( ) ] ( ),f x d x???
成立,
4
(1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式,
依据恒等变形的原则,把 dx凑成 d?(x), 如
2 2 211 ( 2 ),
22
x x xe d x e d x e C? ? ???
(2)把被积函数中的某一因子与 dx凑成一个新的微分 d?(x),如
“凑微分, 的方法有,
ln x dx
x?
方法 1较简单,而方法 2则需一定的技巧,请同学们务必记牢
以下常见的凑微分公式！
3
22l n l n ( l n )
3x d x x C? ? ??
5
1 1, ( )d x d a x
a?
112, ( 1 ),
1x d x d x
?? ?
?
?? ? ?
?
1 ( ) (,,0 )d a x b a b a
a? ? ?为常数
2
4, ( a r c s i n ) ( a r c c o s )
1
dx d x d x
x
? ? ?
?
1 ( 2 )d x d x
x
?
3,,ln
x
x aa d x d
a?
,xxe d x d e? ()xx ee d x d ??
?
?
? ??
25, ( a r c t a n ) ( c o t )1
dx d x d a r c x
x ? ? ??
6, l n,dx dxx ? l n ( 1 )1 dx dxx ???
7, s i n c o s,c o s s i nx d x d x x d x d x? ? ?
6
例 8 求下列各式的不定积分
32 1( 2 ),xe d x???
1 ( 2 )( 1 )
3 2 2 3 2
d x d x
xx
???
????解
33
2211 3
2
2( 2 ) 1
3
xxe d x e d x? ? ? ?? ? ? ???解 （ ）
结论 1,1( ) ( ) ( )f a x b d x f a x b d a x b
a? ? ? ???
8, ( s i n c o s ) ( c o s s i n )x x d x d x x? ? ? ?
29, ( 2 1 ) ( )x d x d x x? ? ? 21 0, t a n
c o s
dx dx
x ?
21 1, c o ts i n
dx dx
x ??
1 ( 3 2 )
2 3 2
dx
x
???
??
1 l n 3 2
2 xC? ? ? ?
3
2 12
3
xeC??? ? ?
( 1 ) ;32dx x??
7
22( 3 )
dx
ax??
1 1 1 [ ]
2 dxa a x a x?? ???解 原 式
1 1 1 1( ) ( )
22 d a x d a xa a x a a x? ? ? ?????
11l n l n
22a x a x Caa? ? ? ? ?
1 ln
2
ax C
a a x
???
?
22
( 4 ) ( 0 )dx a
ax
?
??
22( 1 ( ) )
dx
x
a
a
?
?
?解 原 式 2
()
( 1 ( ) )
x
ad
a
x
a
a
?
?
??
?
2
()
(1 ( ) )
x
d
a
x
a
?
?
?
a r c s i n x Ca??
8
22( 5 )
dx
ax??
22( 1 ( ) )
dx
x
a
a
?
?
?解 原 式 2 2
()
1
1 ( )
x
ad
a
xa
?
?
?
?
2
()
11
a r c t a n
1 ( )
x
d
xa
C
xa a a
a
? ? ?
?
?
例 9 求下列各式的不定积分
2
3
32( 1 )
23
x dx
xx
?
???
3
3
( 2 3 )
23
d x x
xx
???
???解 原 式
3l n 2 3x x C? ? ? ?
结论 2,'( )
l n ( )()fx d x f x Cfx ???
( 2 ) t a n x d x?
s i n
c o s
x dx
x? ?解 原 式
c o s
c o s
dx
x?? ?
l n c o s l n s e c,x C x C? ? ? ? ?
9
同理可得 c o t l n s i n l n c s cx d x x C x C? ? ? ? ??
1 l n( 3 ) x dx
x
??
1 l n l nx d x???解 原 式 1 l n (1 l n )x d x? ? ??
3
22 ( 1 l n )
3 xC? ? ?
例 10 求下列各式的不定积分
( 4 )
1
x
x
e dx
e ??
( 1 )
1
x
x
de
e
??
??
解 原 式 21
xeC? ? ?
2
( 1 )
34
x d x
x ??
2
2
1
2 34
dx
x
?
??
解 原 式
2
2
1 ( 3 4 )
3 2 3 4
dx
x
??
??
21 34
3 xC? ? ?
10
结论 3,
1 1( ) ( ) ( )n n n nx f a x b d x f a x b d a x b
an
? ? ? ? ???
s i n( 4 ) x dx
x?
2 3 2( 2 ) ( 1 )x x d x??
3 2 31 ( 1 ) ( 1 )
3 x d x? ? ??解 原 式
331 ( 1 )
9 xC? ? ?
2
11( 3 ) c o s dx
xx?
11c o s ( )d
xx?? ?解 原 式
1s i n C
x? ? ?
2 s i n x d x? ?解 原 式 2 c o s xC? ? ?
11
( 5 ) s e c x d x?
1
c o s dxx? ?解 原 式
或原式 t a n s e c
s e c t a n s e cxxx d xxx??? ??
同理可得
c s c l n c s c c o tx d x x x C? ? ??
22
c o s s i n
c o s 1 s i n
x d xdx
xx?? ???
1 1 s i nln
2 1 s i n
x C
x
???
?
21 1 s i n
ln
2 c o s
x C
x
???
2s e c t a n s e c
t a n s e c
x x x dx
xx
??
??
( s e c t a n )
t a n s e c
d x x
xx
??
??
l n s e c t a nx x C? ? ?
l n s e c t a nx x C? ? ?
12
2(1 ) s i n x d x?
1 c o s 2
2
x dx?? ?解 原 式 1 [ c o s 2 ]
2 d x x d x????
11 c o s 2 ( 2 )
24d x x d x????
11 s i n 2
24x x C? ? ?
例 11 求下列各式的不定积分
同理可得
2 11c o s s i n 2
24x d x x x C? ? ??
结论 4,一般地,对形如 s i n,c o snnx d x x d x??
3( 2 ) s i n x d x?
2s i n c o sx d x x?? ?解 原 式 2( c o s 1 ) c o sx d x??? 31 c o s c o s,
3 x x c? ? ?
这样的不定积分
13
当 n为偶数时应先降次后再积分；当 n为奇数时应先凑微分
再积分；
2( 3 ) s i n c o sx x d x?
23 1s i n s i n s i n
3x d x x C? ? ??解 原 式
s i n c o snmx x d x?一般地,对形如
这样的不定积分
若 n≠m，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；
若同为偶，则化为
s i n,c o snnx d x x d x?? 来积分.
1 s i n 2
2
nn m x d x? ?若, 则 化 为 （ ） 来 积 分,
14
( 4 ) s i n s i nm x n x d x?
1 [ c o s ( ) c o s ( ) ]
2 m n x m n x d x? ? ? ??解 原 式
对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分,
s i n ( ) s i n ( )
2 ( ) 2 ( )
m n x m n x C
m n m n
??? ? ?
15
课堂练习, 求下列各式
3
2
1, 1 2 ;
2, ;
3, 3 ;
x
ex
x
x d x
e d x
x e d x
?
?
??
?
?
1
2
2
32
4, ;
5, c o s ;
6, s i n c o s ;
x
a
dx
x
x d x
x x d x
?
?
?
16
22
2
2
1
7, ;
s i n c o s
8, ;
1 6 2 5
9, ;
49
dx
xx
dx
x
dx
x
?
?
?
?
?
2
1 0, ;
1 c o s
a r c s i n
1 1, ;
1
c o t
1 2,,
s i n
dx
x
x
dx
x
d
?
?
?
?
?
?
?
?
17
注,对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数
的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差一个
常数,如
21s i n c o s s i n s i n s i n
2x x d x x d x x C? ? ???
21s i n c o s c o s c o s c o s
2x x d x s x d x x C? ? ? ? ???
1 1 1s i n c o s s i n 2 s i n 2 2 s 2
2 4 4x x d x x d x x d x c o x C? ? ? ? ?? ? ?
法一,
法二,
法三,
18
二,换元法
1 x dx
x
??例 1 2 求
注,用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的,但作变换
1 ( 0 )x t t? ? ?
2 1xt??即 2d x td t??
2 21
t t d t
t????原式
()f x d x?
[ ( ) ] ( )f t t d t?? ??
从而
2
22
12 2 [ 1 ]
11
t d t d t
tt? ? ?????
2 2 a r c t a n 2 1 2 a r c t a n 1tt t C x x C? ? ? ? ? ? ? ?回代
注,这种经过适当选择变量代换 x=?(t)将积分
求出此积分后回代 t,称此方法为换元积分法,
化为积分
19
定理 5 设函数 ?(x)连续,x=?(t)单调可微,且,而 ( ) 0t? ? ?
[ ( ) ] ( ) ( ),f t t d t F t C?? ? ??? 1( ) [ ( ) ]f x d x F x C? ????
证明
[ ( ) ] ( ) ( ),( ) [ ( ) ] ( ),f t t d t F t C F t f t t? ? ? ?? ? ?? ? ?? 则
1( ) ( ),F t t x? ??由 和 复 合 而 成
1{ [ ( ) ] } [ ( ) ] txF x C F t t? ? ? ? ?? ? ?
即
1( ) [ ( ) ]f x d x F x C? ????
只是在此方法中要注意两个问题,
[ ( ) ] ( )f t t?? ?1.函数 的原函数存在,
2,要求代换式 x=?(t)的反函数存在且唯一,
1 [ ( ) ]Fx? ?而，
由复合函数和反函数求导法则得
1()
t
Ft
x
???
?
1[ ( ) ] ( ) ( ( ) ) ( )
()f t t f t f xt? ? ??
?? ? ? ??
1[ ( ) ] ( ),F x f x? ?则 是 的 一 个 原 函 数
则
20
注 1:换元积分法是先换元,再积分,最后回代,这与凑微分法
(先凑后换元 )不一样,
n a x b?
2 2 2 2,.nna x x a??
2 2 2 2,.a x x a??
注 2,本节利用换元积分法来求解被积函数为无理函数的
不定积分,
换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的积分,
分两类讲,
1.根号里是一次式的,即
2.根号里是二次式的,即
主要讲
1.被积函数含有 的因子时,可令
( 0,)n a x b a n?? 为正整数
,nt a x b??
例 13 求下列各式
化简函数后再积分,
21
1( 1 )
11
x dx
x
?
???
2 2 2
1 1 2,
1 ( 1 )
x t d tt x d x
x tt
? ? ? ? ? ? ?
??
解 令 则
2 1 1 2x t x t d x t d t? ? ? ? ? ? ?解令
22
2 11ttt d t d ttt? ? ?????原式
2 1 1 1
2 2 [ ( 1 ) ]11t d t t d ttt??? ? ? ?????
22( 1 ) l n 1 ( 1 1 ) l n 1 1t t C x x C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
22
2 2 2
( 1 ) 2 2
( 1 ) 1
t t t d t t d t
tt
?? ? ? ?
????
原式 2 12 [ 1 ]1 dtt? ? ? ??
11( 2 ) x dx
xx
??
22
1
1
1 1 1 1
2 l n 2 l n
2 1 2 1
1
x
tx x
t C C
x
x
?
?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
?
434 2 2 4,x t x t d x t d t? ? ? ? ? ? ?令则
4
( 3 )
22
dx
xx? ? ??
()请同学们自行求解
3( 4 )
dx
xx??
3 2 2
2
4 1 144
11
t d t t d t t dt
tttt
??? ? ?
???? ? ?原式
14 ( 1 )
1t d tt? ? ? ??
214 [ l n ( 1 ) ]
2 t t t C? ? ? ? ?
4414 [ 2 2 l n ( 2 1 ) ]
2 x x x C? ? ? ? ? ? ? ?
23
22ax?
22ax?
22xa?
s i n ( ),22x a t t??? ? ? ?令
2 2 2 2 ( 1 t a n ) s e c,a x a t a t? ? ? ?则
2 2 2 2 ( s e c 1 ) t a n,x a a t a t? ? ? ?则
2 2 2 2 (1 s i n ) c o s,a x a t a t? ? ? ?则
t a n ( ),22x a t t??? ? ? ?令
s e c ( 0 ),2x a t t ?? ? ?令
但在具体求解时要根据被积函数所含二次根式的不同情况
作不同的三角代换,作法如下,
2 2 2 2,( 0 )a x x a a? ? ?
2.被积函数含有 的因子时,
可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化,
24
s i n ( ) a r c s i n,22 xx a t t t a??? ? ? ? ?但 令 则
22(1 ) a x d x??
2 2 2 2 2 a x t x a t? ? ? ? ? ?解 若 令
2 2 2 2c o s c o s c o sa x d x a t a t d t a t d t? ? ? ?? ? ?
2 1 c o s 2
2
ta d t?? ?
22
2 ( 0 )
2
t d t t d td x x
x at
?? ? ? ?
?
若
c o sd x a td t?
221
( s i n 2 ) ( s i n c o s )
2 2 2
aat t C t t t C? ? ? ? ? ?
例 14 求下列各式
25
?t
a x
22ax?
2 2 2
( a r c s i n )
2
t a x x a x
C
a a a
?? ? ? ?回代原式
s i n xt a?
22
c o s axt
a
??
如图
2
221a r c s i n,
22
ax x a x C
a
? ? ? ?
26
2 t a n ( ) s e c
22x a t t d x a t d t
??? ? ? ? ? ?解 令 则
?t a
x
22ax?
2
22
s e c s e c
s e c
d x a t d t t d t
atxa
??
?? ? ?
1l n s e c t a nt t C? ? ?
如图
t a n xt a?
22
c o s at
ax
?
?
22
( 2 ) dx
xa??
22
1ln
a x x
C
aa
?
? ? ?
22
1l n ( l n ),x a x C C a? ? ? ? ? ?
27
22
s e c t a n s e c
t a n
d x a t t d t t d t
atxa
???
?? ? ?
s e c ( 0 ) s e c t a n2x a t t d x a t t d t?? ? ? ? ? ?解 令 则
?t a 22xa?
x
22
( 3 ) dx
xa??
22
22
1l n l n
x x a
C x x a C
aa
?
? ? ? ? ? ? ?
1l n s e c t a nt t C? ? ?
28
3.倒代换 ——当被积函数的分母的次数与分子的次数之差
大于 1时,利用倒代换可消去被积函数分母中的变量因子 x,
例 15 求 2
4
1x dx
x
??
2
11,,x d x d t
t t? ? ?解 令 则 从 而
1
2 2( 1 )t t d t? ? ??2
4
1x dx
x
??
1
2221 ( 1 ) ( 1 )
2 t d t? ? ? ??
2
2
4
1
1
1
()
1
t
dt
t
t
?
???
3
3 2 2
2 2
3
1 1 ( 1 )( 1 )
33
xt C C
x
?? ? ? ? ? ? ?
29
例 16 求
2
( 0 )
1
dx x
xx
?
??
法一, 三角代换令
s e c t a n
s e c t a n
tt d t d t t C
tt
? ? ? ?
???
法二, 根式代换令
法三,凑微分法,原式 =
2 2 2
1
()
11
1 ( ) 1 ( )
d
dx x
x
xx
??
??
??
2
22
1,
11
t d ttx
t t t
? ? ?
? ? ??
原式
原式 =
s e c ( 0 ),2x t t ?? ? ?
2 a r c t a n1
dt tC
t? ? ???
?t
2 1x ?
x
1
1a r c c o s Cx??
2a r c t a n 1xC? ? ?
1a r c s i n C
x? ? ?
30
法四, 倒代换令
2
2
2
1
11 1
( ) 1
dt
dtt
t
tt
?
? ? ?
?
?
??原式
1t
x?
1a r c s i n C
x? ? ?
回代
a r c s i n tC? ? ?
解 由题意知 ( ) a r c t a nf x d x x C???
则 2 2 21
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2x f x d x f x d x? ? ? ? ??? 21 a r c t a n ( 1 )2 xC? ? ? ?
例 17(1) 设函数 ?(x)的一个原函数是 arctanx,求不定积分
2(1 ),x f x d x??
31
(2) 若己知
( ) ( )f x d x F x C???
,求,
22()xxe f e d x???
22 ( )xxe f e d x???故
( ) ( )f x d x F x C???解因
21 ()
2
xF e C?? ? ?221 ()
2
xxf e d e???? ?
211
( 3 ) ( ) ( ),( ) ( ),' ( ) ( ),
( ) ( )
( ) 1,( ),
4
F x f x G x f x F x G x
f x f x
f f x
?
? ? ? ? ?
?
设
且求
'2( ) ( )F x G x?解 ''2
22
( ) 1( ) ( ) 2
( ) ( )
fxf x f x
f x f x
? ? ? ?而
' 2 2 2( ) [ ( ) 1 ] [ ( ) 1 ]f x f x f x? ? ?由已知
32
'
2
()
1 ( )
f x d x dx
fx
??
??? 2
() a r c t a n ( )
1 ( )
d f x f x x C
fx
? ? ?
??
( ) 1 04fC? ??又 代 入 上 式 得 ( ) t a nf x x??
'
2
() 1
1 ( )
fx
fx
?
?
故 两 端 积 分,得
通过上述几种积分方法的学习,可将以下几个公式补充在
基本积分表里,
t a n l n c o s l n s e cx x C x C? ? ? ? ??
c o t l n s i n l n c s cx d x x C x C? ? ? ? ??
33
s e c l n s e c t a nx d x x x C? ? ??
c s c l n c s c c o tx d x x x C? ? ??
2
2 2 2 21a r c s i n
22
axa x d x x a x C
a
? ? ? ? ??
22
22
lndx x x a C
xa
? ? ? ?
??
22
1 ln
2
d x a x C
a a xax
???
???
34
l n,a r c t a n,s i nxx d x x d x e x d x? ? ?
定理 5 设函数 u=u(x)及 v=v(x)具有连续的导数,则
u d v u v v d u????
三,分部积分法
直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问
题 ;但对形如 等类型的不定积分,
采用这两种方法却无法,换元积分法是在复合函数求导法则
的基础上得到的,下面利用两个函数乘积的求导法则来推得
分部积分法,
证 由 d(uv)=vdu+udv,得 udv= d(uv)–vdu,
对此式两边同时求不定积分,得
35
而不定积分 易于计算,
udv? vdu?
则可采用分部积分公式,使计算大为简化,
u d v u v v d u? ? ??? u v d x u v v u d x??????
注 1:不定积分 不易计算,
例 15 求
( 1 ) l n ( 2 )x d x a r c t g x d x??
解 (1) 设 u=lnx,dv=dx,则 v=x,由分部积分公式得
l n l n l nx d x x x x d x????
( 2 ) a r c t a n a r c t a nx x x d x?? ?原式
1l n l nx x x d x x x x C
x? ? ? ? ? ??
2a r c t a n 1
xx x d x
x
??
??
21a r c t a n l n ( 1 )
2x x x C? ? ? ?
36
(2),要比 容易积出,
( ) ( ),f x g x d x?
vdu? udv?
一般按, 反对幂指三, 的顺序,后者先凑入的方法确定 u
和 v,
注 2:分部积分法是基本积分法之一,常用于被积函数是两种
不同类型函数乘积的积分
这类积分在具体计算过程中,如何正确地选定 u和 v却显得非
常重要,一般说来要考虑以下两点,
(1),V要容易求得 ;
例 18 求
c o sx x d x?
c o s s i nx x d x x d x???解
s i n s i n s i n c o sx x x d x x x x C? ? ? ? ??
37
比原积分更难积出,
例 19 求下列不定积分
( 1 )
( 2 ) a r c t a n
xx e d x
x x d x
?
?
xxx e d x x d e???(1) 解
21 ( 2 ) a r c t a n
2
x d x? ?原式
否则若 22
21c o s c o s c o s s i n
2 2 2
xxx x d x x d x x x d x? ? ?? ? ?
x x x xx e e d x x e e C? ? ? ? ??
221 [ a r c t a n a r c t a n ]
2
x x x d x?? ?
2
2
2
1 [ a r c t a n ]
2 1
xx x d x
x
??
??
2
2
2
1 1 1[ a r c t a n ]
2 1
xx x d x
x
????
??
21 [ a r c t a n a r c t a n ],
2
x x x x C? ? ? ?
38
2
2
l n ( 1 )
1
x d xx x x
x
? ? ? ?
??
2( 3 ) l n ( 1 )x x d x???
22l n ( 1 ) l n ( 1 )x x x x d x x? ? ? ? ? ??解 原 式
2
2
2
2
1
21
l n ( 1 )
1
x
x
x x x x d x
xx
?
?
? ? ? ? ?
??
?
2
2
2
1 ( 1 )l n ( 1 )
2 1
dxx x x
x
?? ? ? ?
??
1
22 2l n ( 1 ) ( 1 )x x x x C? ? ? ? ? ?
39
11
22ln l n 2 l nx d x x x d x x d x
x
?
??? ? ?解
ln( 4 ),x dx
x?
2 l n 2 l nx x x d x?? ?
1
22 l n 2x x x d x??? ?
练习,
2
2
( 1 )
( 2 ) ( 2 ) c o s
xx e d x
x x d x
?
?
?
?
2 l n 4,x x x C? ? ?
40
例 20 求
s i nxe x d x?
s i n s i nxxe x d x x d e???解
这是一个关于 的方程,移项并两边同除以 2,得 s i nxe x d x?
1s i n ( s i n c o s )
2
xxe x d x e x x C? ? ??
注,有些不定积分需要将积分的几种方法综合起来使用,
s i n s i nxxe x e d x?? ?
s i n c o sxxe x e x d x?? ? s i n c o sxxe x x d e?? ?
s i n c o s s i nx x xe x e x e x d x? ? ? ?
41
3
c o s( 2 )
s i n
xx dx
x?
例 21 求
( 1 ) xe d x?
解 令 2,,2x t x t d x t d t? ? ?则
2te t d t???原式 2 ttd e? ?
22ttt e e C? ? ?
22ttt e e d t?? ?
2
2
1 1 1 c s c
2 s i n 2
x d x d x
x
? ? ? ???
3
s i n
s i n
x d x
x?
解 原 式 ＝
221 ( c s c c s c )
2
x x x d x? ? ? ?
21 ( c s c c o t )
2
x x x C? ? ? ?
22xxx e e C? ? ?
42
a r c s i n
2
a r c s i n( 3 )
1
xxe
dx
x
?
??
a r c s i na r c s i n a r c s i nxx e d x??解 原 式 ＝
a r c s i na r c s i n xx d e?＝
a r c s i n a r c s i na r c s i n a r c s i nxxx e e d x?＝－
a r c s i n a r c s i na r c s i n xxx e e C?＝－
(4)设 f(x) 有连续的二阶导函数, 求
1" ( 2 ), '( 2 )
2x f x d x x d f x???解
" ( 2 ),x f x d x?
11'( 2 ) '( 2 )
22x f x f x d x?? ?
11'( 2 ) ( 2 )
24x f x f x C? ? ?
43
sin x
x '( )x f x d x?
是 f(x)的一个原函数,求
解 '( ) ( ) ( )x f x d x x f x f x d x????
又已知
(5)已知
sin x
x
是 f(x)的一个原函数
1
s i n() xf x d x C
x???即
1
c o s s i n s i n '( ) ( )x x x xx f x d x C C C
xx
?? ? ? ? ? ??
'
2
s i n c o s s i n( ) ( )x x x xfx
x x
???
c o s 2 s i nx x x C
x
???
44
一般 可用分部积分法求积分的类型,
( ),
( s i n,c o s ),
kx
ux
d v e d x d v a x d x d v a x d x? ? ?
0
1 若被积函数是幂函数与指数函数或三角函数的乘积,
一 般 选 取 为 幂 函 数 将 指 数 函 数 或 三 角 函 数 凑 微 分
即或
2
( ),
( ) l n,a r c s i n,a r c t a n,( )n
ux
u x x x x d v P x d x??
0
若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的
乘 积,一 般 选 取 为 对 数 函 数 或 反 三 角 函 数 将 幂 函
数凑微分即
3
u x u x( ) ( ),
,
0 若被积函数是指数函数与三角函数的乘积,即可选
取 为 指 数 函 数,也 可 选 取 为 三 角 函 数 积 分 要
进 行 两 次 出 现 循 环 方 程,
45
()
?
?
??
?? ?
?
?
?
??
直接积分法
凑 微 分 法 第 一 换 元 积 分 法
积 分 法 换 元 积 分 法
第二换元积分法
分部积分法
04,若被积函数是复合函数或抽象函数 这时往往需要换元
积分法与分部积分法去综合运用求积分.
利用直接积分法求出的不定积分是很有限的,
一,凑微分法
例 计算
c o s 2 x d x?
分析,此不定积分的被积函数是复合函数,在积分表中查不到,
§ 5.3 基本积分法
为了求出更多函数的不定积分,下面建立一些有效地积分法,
这是因为被积函数 cos2x的变量是, 2x”,与积分变量, x”不
同, 但如果能把被积表达式改变一下,使得被积函数的变量与
积分变量变得相同,那么就可用公式
c o s s i nu d u u C???
求出此不定积分, (u是 x的函数 )
2
1c o s 2 c o s 2 ( 2 )
2x d x x d x? ? ???
12 c o s
2u x u d u? ?令
1 c o s 2 ( 2 )
2 x d x? ?
1 s i n
2 uC??
1 s i n 2
2u x C?回代
注, 这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用
恒等变形将原来的微分 dx凑成新的微分 d?(x) (可不必换元 ),
使原积分变成一个可直接用积分公式来计算,
这种方法称为凑微分法, 其理论依据为
1 2
2d x d x?解
3
定理 4
( ) ( ),( ),f u d u F u C u x?? ? ??设 且 具 有 连 续 导 数 则
[ ( ) ] ( ) [ ( ) ],f x d x F x C? ? ????
证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可,
[ ( ( ) ) ] ( ( ) ) ( )uxF x C F u f x x? ? ?????? ? ? ? ?
注 1.定理 4中,若 u为自变量时,当然有
( ) ( )f u d u F u C???
当 u 换为 ?(x)时,就有
[ ( ) ] ( ) [ ( ) ]f x d x F x C? ? ????
成立, ——不定积分的这一性质称为积分形式的不变性,
注 2,凑微分法的关键是, 凑,,凑的目的是把被积函数的
中间变量变得与积分变量相同, 即
[ ( ) ] ( )f x x d x?? ?? 凑[ ( ) ] ( ),f x d x???
成立,
4
(1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式,
依据恒等变形的原则,把 dx凑成 d?(x), 如
2 2 211 ( 2 ),
22
x x xe d x e d x e C? ? ???
(2)把被积函数中的某一因子与 dx凑成一个新的微分 d?(x),如
“凑微分, 的方法有,
ln x dx
x?
方法 1较简单,而方法 2则需一定的技巧,请同学们务必记牢
以下常见的凑微分公式！
3
22l n l n ( l n )
3x d x x C? ? ??
5
1 1, ( )d x d a x
a?
112, ( 1 ),
1x d x d x
?? ?
?
?? ? ?
?
1 ( ) (,,0 )d a x b a b a
a? ? ?为常数
2
4, ( a r c s i n ) ( a r c c o s )
1
dx d x d x
x
? ? ?
?
1 ( 2 )d x d x
x
?
3,,ln
x
x aa d x d
a?
,xxe d x d e? ()xx ee d x d ??
?
?
? ??
25, ( a r c t a n ) ( c o t )1
dx d x d a r c x
x ? ? ??
6, l n,dx dxx ? l n ( 1 )1 dx dxx ???
7, s i n c o s,c o s s i nx d x d x x d x d x? ? ?
6
例 8 求下列各式的不定积分
32 1( 2 ),xe d x???
1 ( 2 )( 1 )
3 2 2 3 2
d x d x
xx
???
????解
33
2211 3
2
2( 2 ) 1
3
xxe d x e d x? ? ? ?? ? ? ???解 （ ）
结论 1,1( ) ( ) ( )f a x b d x f a x b d a x b
a? ? ? ???
8, ( s i n c o s ) ( c o s s i n )x x d x d x x? ? ? ?
29, ( 2 1 ) ( )x d x d x x? ? ? 21 0, t a n
c o s
dx dx
x ?
21 1, c o ts i n
dx dx
x ??
1 ( 3 2 )
2 3 2
dx
x
???
??
1 l n 3 2
2 xC? ? ? ?
3
2 12
3
xeC??? ? ?
( 1 ) ;32dx x??
7
22( 3 )
dx
ax??
1 1 1 [ ]
2 dxa a x a x?? ???解 原 式
1 1 1 1( ) ( )
22 d a x d a xa a x a a x? ? ? ?????
11l n l n
22a x a x Caa? ? ? ? ?
1 ln
2
ax C
a a x
???
?
22
( 4 ) ( 0 )dx a
ax
?
??
22( 1 ( ) )
dx
x
a
a
?
?
?解 原 式 2
()
( 1 ( ) )
x
ad
a
x
a
a
?
?
??
?
2
()
(1 ( ) )
x
d
a
x
a
?
?
?
a r c s i n x Ca??
8
22( 5 )
dx
ax??
22( 1 ( ) )
dx
x
a
a
?
?
?解 原 式 2 2
()
1
1 ( )
x
ad
a
xa
?
?
?
?
2
()
11
a r c t a n
1 ( )
x
d
xa
C
xa a a
a
? ? ?
?
?
例 9 求下列各式的不定积分
2
3
32( 1 )
23
x dx
xx
?
???
3
3
( 2 3 )
23
d x x
xx
???
???解 原 式
3l n 2 3x x C? ? ? ?
结论 2,'( )
l n ( )()fx d x f x Cfx ???
( 2 ) t a n x d x?
s i n
c o s
x dx
x? ?解 原 式
c o s
c o s
dx
x?? ?
l n c o s l n s e c,x C x C? ? ? ? ?
9
同理可得 c o t l n s i n l n c s cx d x x C x C? ? ? ? ??
1 l n( 3 ) x dx
x
??
1 l n l nx d x???解 原 式 1 l n (1 l n )x d x? ? ??
3
22 ( 1 l n )
3 xC? ? ?
例 10 求下列各式的不定积分
( 4 )
1
x
x
e dx
e ??
( 1 )
1
x
x
de
e
??
??
解 原 式 21
xeC? ? ?
2
( 1 )
34
x d x
x ??
2
2
1
2 34
dx
x
?
??
解 原 式
2
2
1 ( 3 4 )
3 2 3 4
dx
x
??
??
21 34
3 xC? ? ?
10
结论 3,
1 1( ) ( ) ( )n n n nx f a x b d x f a x b d a x b
an
? ? ? ? ???
s i n( 4 ) x dx
x?
2 3 2( 2 ) ( 1 )x x d x??
3 2 31 ( 1 ) ( 1 )
3 x d x? ? ??解 原 式
331 ( 1 )
9 xC? ? ?
2
11( 3 ) c o s dx
xx?
11c o s ( )d
xx?? ?解 原 式
1s i n C
x? ? ?
2 s i n x d x? ?解 原 式 2 c o s xC? ? ?
11
( 5 ) s e c x d x?
1
c o s dxx? ?解 原 式
或原式 t a n s e c
s e c t a n s e cxxx d xxx??? ??
同理可得
c s c l n c s c c o tx d x x x C? ? ??
22
c o s s i n
c o s 1 s i n
x d xdx
xx?? ???
1 1 s i nln
2 1 s i n
x C
x
???
?
21 1 s i n
ln
2 c o s
x C
x
???
2s e c t a n s e c
t a n s e c
x x x dx
xx
??
??
( s e c t a n )
t a n s e c
d x x
xx
??
??
l n s e c t a nx x C? ? ?
l n s e c t a nx x C? ? ?
12
2(1 ) s i n x d x?
1 c o s 2
2
x dx?? ?解 原 式 1 [ c o s 2 ]
2 d x x d x????
11 c o s 2 ( 2 )
24d x x d x????
11 s i n 2
24x x C? ? ?
例 11 求下列各式的不定积分
同理可得
2 11c o s s i n 2
24x d x x x C? ? ??
结论 4,一般地,对形如 s i n,c o snnx d x x d x??
3( 2 ) s i n x d x?
2s i n c o sx d x x?? ?解 原 式 2( c o s 1 ) c o sx d x??? 31 c o s c o s,
3 x x c? ? ?
这样的不定积分
13
当 n为偶数时应先降次后再积分；当 n为奇数时应先凑微分
再积分；
2( 3 ) s i n c o sx x d x?
23 1s i n s i n s i n
3x d x x C? ? ??解 原 式
s i n c o snmx x d x?一般地,对形如
这样的不定积分
若 n≠m，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；
若同为偶，则化为
s i n,c o snnx d x x d x?? 来积分.
1 s i n 2
2
nn m x d x? ?若, 则 化 为 （ ） 来 积 分,
14
( 4 ) s i n s i nm x n x d x?
1 [ c o s ( ) c o s ( ) ]
2 m n x m n x d x? ? ? ??解 原 式
对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分,
s i n ( ) s i n ( )
2 ( ) 2 ( )
m n x m n x C
m n m n
??? ? ?
15
课堂练习, 求下列各式
3
2
1, 1 2 ;
2, ;
3, 3 ;
x
ex
x
x d x
e d x
x e d x
?
?
??
?
?
1
2
2
32
4, ;
5, c o s ;
6, s i n c o s ;
x
a
dx
x
x d x
x x d x
?
?
?
16
22
2
2
1
7, ;
s i n c o s
8, ;
1 6 2 5
9, ;
49
dx
xx
dx
x
dx
x
?
?
?
?
?
2
1 0, ;
1 c o s
a r c s i n
1 1, ;
1
c o t
1 2,,
s i n
dx
x
x
dx
x
d
?
?
?
?
?
?
?
?
17
注,对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数
的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差一个
常数,如
21s i n c o s s i n s i n s i n
2x x d x x d x x C? ? ???
21s i n c o s c o s c o s c o s
2x x d x s x d x x C? ? ? ? ???
1 1 1s i n c o s s i n 2 s i n 2 2 s 2
2 4 4x x d x x d x x d x c o x C? ? ? ? ?? ? ?
法一,
法二,
法三,
18
二,换元法
1 x dx
x
??例 1 2 求
注,用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的,但作变换
1 ( 0 )x t t? ? ?
2 1xt??即 2d x td t??
2 21
t t d t
t????原式
()f x d x?
[ ( ) ] ( )f t t d t?? ??
从而
2
22
12 2 [ 1 ]
11
t d t d t
tt? ? ?????
2 2 a r c t a n 2 1 2 a r c t a n 1tt t C x x C? ? ? ? ? ? ? ?回代
注,这种经过适当选择变量代换 x=?(t)将积分
求出此积分后回代 t,称此方法为换元积分法,
化为积分
19
定理 5 设函数 ?(x)连续,x=?(t)单调可微,且,而 ( ) 0t? ? ?
[ ( ) ] ( ) ( ),f t t d t F t C?? ? ??? 1( ) [ ( ) ]f x d x F x C? ????
证明
[ ( ) ] ( ) ( ),( ) [ ( ) ] ( ),f t t d t F t C F t f t t? ? ? ?? ? ?? ? ?? 则
1( ) ( ),F t t x? ??由 和 复 合 而 成
1{ [ ( ) ] } [ ( ) ] txF x C F t t? ? ? ? ?? ? ?
即
1( ) [ ( ) ]f x d x F x C? ????
只是在此方法中要注意两个问题,
[ ( ) ] ( )f t t?? ?1.函数 的原函数存在,
2,要求代换式 x=?(t)的反函数存在且唯一,
1 [ ( ) ]Fx? ?而，
由复合函数和反函数求导法则得
1()
t
Ft
x
???
?
1[ ( ) ] ( ) ( ( ) ) ( )
()f t t f t f xt? ? ??
?? ? ? ??
1[ ( ) ] ( ),F x f x? ?则 是 的 一 个 原 函 数
则
20
注 1:换元积分法是先换元,再积分,最后回代,这与凑微分法
(先凑后换元 )不一样,
n a x b?
2 2 2 2,.nna x x a??
2 2 2 2,.a x x a??
注 2,本节利用换元积分法来求解被积函数为无理函数的
不定积分,
换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的积分,
分两类讲,
1.根号里是一次式的,即
2.根号里是二次式的,即
主要讲
1.被积函数含有 的因子时,可令
( 0,)n a x b a n?? 为正整数
,nt a x b??
例 13 求下列各式
化简函数后再积分,
21
1( 1 )
11
x dx
x
?
???
2 2 2
1 1 2,
1 ( 1 )
x t d tt x d x
x tt
? ? ? ? ? ? ?
??
解 令 则
2 1 1 2x t x t d x t d t? ? ? ? ? ? ?解令
22
2 11ttt d t d ttt? ? ?????原式
2 1 1 1
2 2 [ ( 1 ) ]11t d t t d ttt??? ? ? ?????
22( 1 ) l n 1 ( 1 1 ) l n 1 1t t C x x C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
22
2 2 2
( 1 ) 2 2
( 1 ) 1
t t t d t t d t
tt
?? ? ? ?
????
原式 2 12 [ 1 ]1 dtt? ? ? ??
11( 2 ) x dx
xx
??
22
1
1
1 1 1 1
2 l n 2 l n
2 1 2 1
1
x
tx x
t C C
x
x
?
?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
?
434 2 2 4,x t x t d x t d t? ? ? ? ? ? ?令则
4
( 3 )
22
dx
xx? ? ??
()请同学们自行求解
3( 4 )
dx
xx??
3 2 2
2
4 1 144
11
t d t t d t t dt
tttt
??? ? ?
???? ? ?原式
14 ( 1 )
1t d tt? ? ? ??
214 [ l n ( 1 ) ]
2 t t t C? ? ? ? ?
4414 [ 2 2 l n ( 2 1 ) ]
2 x x x C? ? ? ? ? ? ? ?
23
22ax?
22ax?
22xa?
s i n ( ),22x a t t??? ? ? ?令
2 2 2 2 ( 1 t a n ) s e c,a x a t a t? ? ? ?则
2 2 2 2 ( s e c 1 ) t a n,x a a t a t? ? ? ?则
2 2 2 2 (1 s i n ) c o s,a x a t a t? ? ? ?则
t a n ( ),22x a t t??? ? ? ?令
s e c ( 0 ),2x a t t ?? ? ?令
但在具体求解时要根据被积函数所含二次根式的不同情况
作不同的三角代换,作法如下,
2 2 2 2,( 0 )a x x a a? ? ?
2.被积函数含有 的因子时,
可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化,
24
s i n ( ) a r c s i n,22 xx a t t t a??? ? ? ? ?但 令 则
22(1 ) a x d x??
2 2 2 2 2 a x t x a t? ? ? ? ? ?解 若 令
2 2 2 2c o s c o s c o sa x d x a t a t d t a t d t? ? ? ?? ? ?
2 1 c o s 2
2
ta d t?? ?
22
2 ( 0 )
2
t d t t d td x x
x at
?? ? ? ?
?
若
c o sd x a td t?
221
( s i n 2 ) ( s i n c o s )
2 2 2
aat t C t t t C? ? ? ? ? ?
例 14 求下列各式
25
?t
a x
22ax?
2 2 2
( a r c s i n )
2
t a x x a x
C
a a a
?? ? ? ?回代原式
s i n xt a?
22
c o s axt
a
??
如图
2
221a r c s i n,
22
ax x a x C
a
? ? ? ?
26
2 t a n ( ) s e c
22x a t t d x a t d t
??? ? ? ? ? ?解 令 则
?t a
x
22ax?
2
22
s e c s e c
s e c
d x a t d t t d t
atxa
??
?? ? ?
1l n s e c t a nt t C? ? ?
如图
t a n xt a?
22
c o s at
ax
?
?
22
( 2 ) dx
xa??
22
1ln
a x x
C
aa
?
? ? ?
22
1l n ( l n ),x a x C C a? ? ? ? ? ?
27
22
s e c t a n s e c
t a n
d x a t t d t t d t
atxa
???
?? ? ?
s e c ( 0 ) s e c t a n2x a t t d x a t t d t?? ? ? ? ? ?解 令 则
?t a 22xa?
x
22
( 3 ) dx
xa??
22
22
1l n l n
x x a
C x x a C
aa
?
? ? ? ? ? ? ?
1l n s e c t a nt t C? ? ?
28
3.倒代换 ——当被积函数的分母的次数与分子的次数之差
大于 1时,利用倒代换可消去被积函数分母中的变量因子 x,
例 15 求 2
4
1x dx
x
??
2
11,,x d x d t
t t? ? ?解 令 则 从 而
1
2 2( 1 )t t d t? ? ??2
4
1x dx
x
??
1
2221 ( 1 ) ( 1 )
2 t d t? ? ? ??
2
2
4
1
1
1
()
1
t
dt
t
t
?
???
3
3 2 2
2 2
3
1 1 ( 1 )( 1 )
33
xt C C
x
?? ? ? ? ? ? ?
29
例 16 求
2
( 0 )
1
dx x
xx
?
??
法一, 三角代换令
s e c t a n
s e c t a n
tt d t d t t C
tt
? ? ? ?
???
法二, 根式代换令
法三,凑微分法,原式 =
2 2 2
1
()
11
1 ( ) 1 ( )
d
dx x
x
xx
??
??
??
2
22
1,
11
t d ttx
t t t
? ? ?
? ? ??
原式
原式 =
s e c ( 0 ),2x t t ?? ? ?
2 a r c t a n1
dt tC
t? ? ???
?t
2 1x ?
x
1
1a r c c o s Cx??
2a r c t a n 1xC? ? ?
1a r c s i n C
x? ? ?
30
法四, 倒代换令
2
2
2
1
11 1
( ) 1
dt
dtt
t
tt
?
? ? ?
?
?
??原式
1t
x?
1a r c s i n C
x? ? ?
回代
a r c s i n tC? ? ?
解 由题意知 ( ) a r c t a nf x d x x C???
则 2 2 21
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2x f x d x f x d x? ? ? ? ??? 21 a r c t a n ( 1 )2 xC? ? ? ?
例 17(1) 设函数 ?(x)的一个原函数是 arctanx,求不定积分
2(1 ),x f x d x??
31
(2) 若己知
( ) ( )f x d x F x C???
,求,
22()xxe f e d x???
22 ( )xxe f e d x???故
( ) ( )f x d x F x C???解因
21 ()
2
xF e C?? ? ?221 ()
2
xxf e d e???? ?
211
( 3 ) ( ) ( ),( ) ( ),' ( ) ( ),
( ) ( )
( ) 1,( ),
4
F x f x G x f x F x G x
f x f x
f f x
?
? ? ? ? ?
?
设
且求
'2( ) ( )F x G x?解 ''2
22
( ) 1( ) ( ) 2
( ) ( )
fxf x f x
f x f x
? ? ? ?而
' 2 2 2( ) [ ( ) 1 ] [ ( ) 1 ]f x f x f x? ? ?由已知
32
'
2
()
1 ( )
f x d x dx
fx
??
??? 2
() a r c t a n ( )
1 ( )
d f x f x x C
fx
? ? ?
??
( ) 1 04fC? ??又 代 入 上 式 得 ( ) t a nf x x??
'
2
() 1
1 ( )
fx
fx
?
?
故 两 端 积 分,得
通过上述几种积分方法的学习,可将以下几个公式补充在
基本积分表里,
t a n l n c o s l n s e cx x C x C? ? ? ? ??
c o t l n s i n l n c s cx d x x C x C? ? ? ? ??
33
s e c l n s e c t a nx d x x x C? ? ??
c s c l n c s c c o tx d x x x C? ? ??
2
2 2 2 21a r c s i n
22
axa x d x x a x C
a
? ? ? ? ??
22
22
lndx x x a C
xa
? ? ? ?
??
22
1 ln
2
d x a x C
a a xax
???
???
34
l n,a r c t a n,s i nxx d x x d x e x d x? ? ?
定理 5 设函数 u=u(x)及 v=v(x)具有连续的导数,则
u d v u v v d u????
三,分部积分法
直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问
题 ;但对形如 等类型的不定积分,
采用这两种方法却无法,换元积分法是在复合函数求导法则
的基础上得到的,下面利用两个函数乘积的求导法则来推得
分部积分法,
证 由 d(uv)=vdu+udv,得 udv= d(uv)–vdu,
对此式两边同时求不定积分,得
35
而不定积分 易于计算,
udv? vdu?
则可采用分部积分公式,使计算大为简化,
u d v u v v d u? ? ??? u v d x u v v u d x??????
注 1:不定积分 不易计算,
例 15 求
( 1 ) l n ( 2 )x d x a r c t g x d x??
解 (1) 设 u=lnx,dv=dx,则 v=x,由分部积分公式得
l n l n l nx d x x x x d x????
( 2 ) a r c t a n a r c t a nx x x d x?? ?原式
1l n l nx x x d x x x x C
x? ? ? ? ? ??
2a r c t a n 1
xx x d x
x
??
??
21a r c t a n l n ( 1 )
2x x x C? ? ? ?
36
(2),要比 容易积出,
( ) ( ),f x g x d x?
vdu? udv?
一般按, 反对幂指三, 的顺序,后者先凑入的方法确定 u
和 v,
注 2:分部积分法是基本积分法之一,常用于被积函数是两种
不同类型函数乘积的积分
这类积分在具体计算过程中,如何正确地选定 u和 v却显得非
常重要,一般说来要考虑以下两点,
(1),V要容易求得 ;
例 18 求
c o sx x d x?
c o s s i nx x d x x d x???解
s i n s i n s i n c o sx x x d x x x x C? ? ? ? ??
37
比原积分更难积出,
例 19 求下列不定积分
( 1 )
( 2 ) a r c t a n
xx e d x
x x d x
?
?
xxx e d x x d e???(1) 解
21 ( 2 ) a r c t a n
2
x d x? ?原式
否则若 22
21c o s c o s c o s s i n
2 2 2
xxx x d x x d x x x d x? ? ?? ? ?
x x x xx e e d x x e e C? ? ? ? ??
221 [ a r c t a n a r c t a n ]
2
x x x d x?? ?
2
2
2
1 [ a r c t a n ]
2 1
xx x d x
x
??
??
2
2
2
1 1 1[ a r c t a n ]
2 1
xx x d x
x
????
??
21 [ a r c t a n a r c t a n ],
2
x x x x C? ? ? ?
38
2
2
l n ( 1 )
1
x d xx x x
x
? ? ? ?
??
2( 3 ) l n ( 1 )x x d x???
22l n ( 1 ) l n ( 1 )x x x x d x x? ? ? ? ? ??解 原 式
2
2
2
2
1
21
l n ( 1 )
1
x
x
x x x x d x
xx
?
?
? ? ? ? ?
??
?
2
2
2
1 ( 1 )l n ( 1 )
2 1
dxx x x
x
?? ? ? ?
??
1
22 2l n ( 1 ) ( 1 )x x x x C? ? ? ? ? ?
39
11
22ln l n 2 l nx d x x x d x x d x
x
?
??? ? ?解
ln( 4 ),x dx
x?
2 l n 2 l nx x x d x?? ?
1
22 l n 2x x x d x??? ?
练习,
2
2
( 1 )
( 2 ) ( 2 ) c o s
xx e d x
x x d x
?
?
?
?
2 l n 4,x x x C? ? ?
40
例 20 求
s i nxe x d x?
s i n s i nxxe x d x x d e???解
这是一个关于 的方程,移项并两边同除以 2,得 s i nxe x d x?
1s i n ( s i n c o s )
2
xxe x d x e x x C? ? ??
注,有些不定积分需要将积分的几种方法综合起来使用,
s i n s i nxxe x e d x?? ?
s i n c o sxxe x e x d x?? ? s i n c o sxxe x x d e?? ?
s i n c o s s i nx x xe x e x e x d x? ? ? ?
41
3
c o s( 2 )
s i n
xx dx
x?
例 21 求
( 1 ) xe d x?
解 令 2,,2x t x t d x t d t? ? ?则
2te t d t???原式 2 ttd e? ?
22ttt e e C? ? ?
22ttt e e d t?? ?
2
2
1 1 1 c s c
2 s i n 2
x d x d x
x
? ? ? ???
3
s i n
s i n
x d x
x?
解 原 式 ＝
221 ( c s c c s c )
2
x x x d x? ? ? ?
21 ( c s c c o t )
2
x x x C? ? ? ?
22xxx e e C? ? ?
42
a r c s i n
2
a r c s i n( 3 )
1
xxe
dx
x
?
??
a r c s i na r c s i n a r c s i nxx e d x??解 原 式 ＝
a r c s i na r c s i n xx d e?＝
a r c s i n a r c s i na r c s i n a r c s i nxxx e e d x?＝－
a r c s i n a r c s i na r c s i n xxx e e C?＝－
(4)设 f(x) 有连续的二阶导函数, 求
1" ( 2 ), '( 2 )
2x f x d x x d f x???解
" ( 2 ),x f x d x?
11'( 2 ) '( 2 )
22x f x f x d x?? ?
11'( 2 ) ( 2 )
24x f x f x C? ? ?
43
sin x
x '( )x f x d x?
是 f(x)的一个原函数,求
解 '( ) ( ) ( )x f x d x x f x f x d x????
又已知
(5)已知
sin x
x
是 f(x)的一个原函数
1
s i n() xf x d x C
x???即
1
c o s s i n s i n '( ) ( )x x x xx f x d x C C C
xx
?? ? ? ? ? ??
'
2
s i n c o s s i n( ) ( )x x x xfx
x x
???
c o s 2 s i nx x x C
x
???
44
一般 可用分部积分法求积分的类型,
( ),
( s i n,c o s ),
kx
ux
d v e d x d v a x d x d v a x d x? ? ?
0
1 若被积函数是幂函数与指数函数或三角函数的乘积,
一 般 选 取 为 幂 函 数 将 指 数 函 数 或 三 角 函 数 凑 微 分
即或
2
( ),
( ) l n,a r c s i n,a r c t a n,( )n
ux
u x x x x d v P x d x??
0
若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的
乘 积,一 般 选 取 为 对 数 函 数 或 反 三 角 函 数 将 幂 函
数凑微分即
3
u x u x( ) ( ),
,
0 若被积函数是指数函数与三角函数的乘积,即可选
取 为 指 数 函 数,也 可 选 取 为 三 角 函 数 积 分 要
进 行 两 次 出 现 循 环 方 程,
45
()
?
?
??
?? ?
?
?
?
??
直接积分法
凑 微 分 法 第 一 换 元 积 分 法
积 分 法 换 元 积 分 法
第二换元积分法
分部积分法
04,若被积函数是复合函数或抽象函数 这时往往需要换元
积分法与分部积分法去综合运用求积分.
