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§ 5.4 有理函数及三角函数有理式的积分
1
01
1
01
()
()
()
nn
nn
mm
m m
P x a x a x a
fx
Qx b x b x b
?
?
? ? ?
??
? ? ?
( 1,2,,) ( 1,2,,)ija i n b j m?? 与 为 常 数
000,0,ab??且 ( ),( )nmP x Q x
的函数, 即
一,有理函数的积分
定义 3 有理函数是指可以表示成两个多项式的商的形式
其中 m,n是非负整数,
互质,
当 n ? m时,?(x)为假分式,利用多项式的除法,总可
化为一个多项式与一个真分式之和,
当 n < m时,R(x)为真分式 ;
2
43
3 1( ) 1
11
x x xf x x
xx
??? ? ? ?
??
例 20
多项式的积分问题已解决,故本节重点讨论真分式的
积分法, 为此需 注意以下几个问题,
1.由代数学知,任何多项式 在实数范围内总能分
解成一次因式和二次质因式的乘积,即
()mQx
220( ) ( ) ( ) ( ) ( )ksmQ x b x a x b x p x q x r x t??? ? ? ? ? ? ?
其中 为常数 ; k…,s? α,…,β为正整
数,且
0,,,,,,,,b a b p q r t
222 2 ; 4 0,,4 0,k s m p q r t??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3
2.任何一个真分式 均可唯一地分解为若干个部分
分式之和,
()
()
n
m
Px
Qx
2
21
56
x dx
xx
?
???求
例 21
解
2
2 1 2 1
( 3 ) ( 2 )56
xx
xxxx
???
????因
22
2 1 ( 2 ) ( 3 )
325 6 5 6
x A B A x B x
xxx x x x
? ? ? ?? ? ?
??? ? ? ?
通分
设
比较等式两端 x同次幂的系数,得
25
2 3 1 3
A B A
A B B
? ? ???
???
? ? ? ???
4
2
2 1 5 3
3255
x d x d x d x
xxxx
? ??
????? ? ?则
5 l n 3 3 l n 2x x C? ? ? ? ?
5
3
( 3 )
l n
2)
x
C
x
?
??
?
2( 2 5 ) 6
dx
x
?
???
解 原 式
2 4 2 0 3 1
dx
xx???求
22
( 2 5 )1
2 ( 2 5 ) ( 6 )
dx
x
??
???
1 2 5a r c t a n
2 6 6
x C???
例 22
5
3
2 2 2 2 2
21
( 1 ) 1 ( 1 )
x x A x B C x D
x x x
? ? ? ???
? ? ?
解设
3
22
21
( 1 )
xx dx
x
??
??
求
例 23
比较等式两端 x同次幂的系数,得 22
00
11
11
AA
BB
A C C
B D D
????
??
??
???
? ? ? ???
? ? ? ? ???
2
22
( ) ( 1 ) ( )
( 1 )
A x B x C x D
x
? ? ? ??
?
通分
6
3
2 2 2 2 2
2 1 2 1,[ ]
( 1 ) 1 ( 1 )
x x x xd x d x
x x x
? ? ???
? ? ???
于是
22
2 2 2 2 2
( 1 ) 1 ( 1 )
21 ( 1 ) ( 1 )
d x d x d x
x x x
??? ? ?
? ? ?? ? ?
2
2 2 2
1l n 1
2 ( 1 ) ( 1 )
dxx
xx
? ? ? ?
?? ?
2
22
1 t a n c o s ( 1 c o s 2 )
2( 1 )
dx x t t d t t d t
x
? ? ?
?? ? ?
而
2
1 1 1 s i n 2 a r c t a n
2 4 2 2 ( 1 )
xt t C x C
x
? ? ? ? ? ?
?
3
2
2 2 2
2 1 1 1 l n 1 [ a r c t a n ]
2( 1 ) 1
x x xd x x x C
xx
? ? ?? ? ? ? ?
???
则
7
二,三角函数 有理式的积分
当被积函数为 三角函数 有理式时，有时采用“万能代换”
更加有利于不定积分的计算。
特别地，当被积函数中的正、余弦函数的角变量为 x
或 2x时，通常
便可使计算得以简化。
t a n 2xu ?设, 则 有 22s i n,1 ux u? ?
2
2
1c o s,
1
ux
u
??
?
t a n ux?或 令 亦 可 。
2
2 t a n,
1
ux
u
?
?
例 24
s i n t a ndxxx??求
8
2
2
1
dudx
u
??
?
s i n t a ndxxx??
t a n 2xu ?解 设, 则 有 22s i n,
1
ux
u
?
?
2
2 t a n,
1
ux
u
?
?
2
22
2
1
22
11
du
u
uu
uu
??
?
?
＋
－
21
2
u du
u
?? ?
11()
2 u d uu???
21
ln
24
uuC? ? ?
211l n t a n t a n
2 2 4 2
xx C? ? ?