1
§ 7.3 任意项级数
本节讨论一般的常数项级数,即各项符号不尽相同
的变号级数 (任意项级数 ),如级数
一,交错级数
1
11
12( 1 ) s i n
( 1 ) !
n
nn
n
nn ?
??
?
??
? ??? 及
下面讨论任意项级数的敛散性的判别法,首先讨论其中
的一种各项正负相间的特殊情形 —— 交错级数,它是一种
常见而有实用价值的特殊级数,
定义 4 正负项相间的级数,称为交错级数,其一般形式为
1
1 2 3 4 2 1 2
1
( 1 )
( 0,1,2,)
n
n k k
n
n
u u u u u u u
un
?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
?
2
1 2 3 4 2 1 2
1
( 1 ) n n k k
n
u u u u u u u
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??或
定理 11 (Leibnitz判别法 ) 若交错级数 1
1
( 1 ) ( 0 )n nn
n
uu
?
?
?
???
满足条件,
1( 1 ) ( 1,2,) ;nnu u n???
( 2 ) l i m 0nn u?? ?
2 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( )k k kS u u u u u u?? ? ? ? ? ? ?
? ?2kS
1,nnRu??则交错级数收敛,且其和 1,su?
证 因为
则序列 单増,
21lim kk S s u?? ??于是
2 1 2 3 4 5 2 2 2 1 2( ) ( ) ( )k k k kS u u u u u u u u??? ? ? ? ? ? ? ? ?而 1u?
? ?2,kS 有上界则序列
余项
( 0,1,2,) nun??
3
2 1 2 2 1l i m l i m l i m 0k k kk k kS S u s s??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
12n n nR u u??? ? ?因
1,nnRu??
2 1 2 2 1k k kS S u????又因
l i m,nn Ss?? ?
则无论 n是奇数还是偶数均有
于是交错级数 1
1
( 1 ) n n
n
u
?
?
?
?? 收敛,且其和 1,su?
也是交错级数,同样满足定理给
出的两个条件,从而
例 14 判定下列交错级数的敛散性,
11
1
1 1 1 1 1( 1 ) 1 ( 1 )
2 3 4
nn
n nn
?
??
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??
1
11 ( 1,2,)
1nnu u nnn ?? ? ? ??解因
1l i m l i m 0
nnnu n? ? ? ???而
1
1
1( 1 ) n
n n
?
?
?
???
收敛,
4
由于任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正
项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的,但当我们
定义 5 若级数 每项取绝对值构成的级数 收敛,
1
n
n
u
?
?
?
1
n
n
u
?
?
?
二,任意常数项级数
可 借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了,
绝对收敛 ;
1
n
n
u
?
?
? 1 nn u
?
?
?
1
n
n
u
?
?
?
1
n
n
u
?
?
?
例如级数
是条件收敛的,
是绝对收敛的 ; 1
2
1
1( 1 ) n
n n
?
?
?
??
1
1
1( 1 ) n
n n
?
?
?
??
它的每一项取绝对值后组成的级数 —— 正项级数,便 考察
收敛,则称级数
则称级数 若级数 发散,而级数
条件收敛,
5
定理 12 若级数 收敛,则级数 必定收敛,
即绝对收敛的级数必收敛,
1
n
n
u
?
?
?
1
n
n
u
?
?
?
1 ()
2n n nv u u??
0,nnvu??有
1
n
n
v
?
?
?于是
2n n nu v u??
1
n
n
u
?
?
? ?
证 设
收敛,
收敛,
注 1 所有正项级数的收敛都是绝对收敛,
注 2 一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来
判定任意常数项级数是否绝对收敛,从而收敛,
,0
00
nn
n
uu
u
? ?
? ?
??
1 ( )
2n n nv u u? ? ?而
6
而不能断定它必为发散,
(2) 若用比值法和根值法判别级数,得出级数
1l i m,n
n
n
u l
u
?
??
? 或 l i m,n nn ul?? ?
1
n
n
u
?
?
?
1
n
n
u
?
?
?
1
n
n
u
?
?
?
1
n
n
u
?
?
?
注意,
1
n
n
u
?
?
?
定理 13 若任意项级数 满足条件
1
n
n
u
?
?
?
则 (1)当 l < 1时,级数绝对收敛 ;
(2)当 l > 1时,级数发散,
(1) 当 发散时,就只能断定
此时需进一步用其他方法来判
的敛散性, 定
发散,则可断言级数 一定发散,
非绝对收敛,
1
n
n
u
?
?
?
7
1l i m 1 ( l i m 1 )n n
nnn
n
u l u l
u
?
? ? ? ?
? ? ? ?因 若 或
l i m 0nn u???? l i m 0
nn u????
1,( 1 )nn n nn u u u l? ? ? ?充 分 大 的 均 有 或
如级数收敛的定义,级数的一些基本性质等进行判别,
证
则对
1
n
n
u
?
?
? ?
发散,
注 3 对于任意项级数
1
n
n
u
?
?
?
① 首先判断它是否绝对收敛
1
n
n
u
?
?
?
② 再看它是否为交错级数 ;
1
n
n
u
?
?
?
是否收敛 );
(即用正项级数的判
别法,判别
若是交错级数，就用
莱布尼兹判别法判别 是否收敛 ;
③ 若前面方法失效,就考虑用其它方法 ;
8
例 15 判定下列级数的敛散性,
31
c o s( 1 )
n
n
nn
??
? ?
?
1
1
1( 2 ) ( 1 ) ( 0,0 )n
n
aba b n
?
?
?
? ? ???
33
c o s 1 ( 1 ) n
n n n n
? ?
??
解因
3
2
3
1
l i m 1
1n
nn
n
??
?
?而
由比较判别法的极限形式知
故原级数 绝对 收敛,
1
1
l i m,
1n
a b n
b
n
??
? ?解因
1
1
n n
?
?
?而
发散,
收敛,
31
1
n nn
?
? ?
?
9
11
1
( 3 ) ( 1 ) ( 1 )nn
n
n
?
?
?
???
从而原级数不绝对收敛；
1
11
( 1 )nnuua b n a b n ?? ? ?? ? ?
则原级数条件收敛,
1 1 0,n
nun? ? ?解 因 而
1 ln
1
lim
1
n n
n
e
n
??
?
2
2
1
( 1 l n )
lim
1n
n
n
n
??
??
? ? ?
?
1 ln()
x
x
xf x x e?? ln
2
1 l n() xx xf x e
x
??? ? ?设
但它却是满足莱布尼兹条件
的交错级数,即
1l i m l i m 0
nnnu a b n? ? ? ???? 且
1
lim
1
n
n
n
n
??
?
?
10
( ) 0fx? ??
1 ( 3,4,)nnu u n e?? ? ?于是
ln
l i m ( ) l i m
x
x
xx
f x e
? ? ? ? ? ?
?而
lnlim
0 1x
x
xee? ? ?? ? ?
l i m l i m ( ( ) 1 ) 0nnnu f n? ? ? ?? ? ? ?
故原级数条件收敛,
当 x > e 时,单减,则
nu
3
1
1( 4 ) ( 1 ) ( c o s )nn
n n
?
?
??
2
2 21l i m ( 1 s i n )
n
n n??
?
22 1 1
l i m ( s i n ) 2 2 1n nnee?? ?? ?? ? ?
1
n
n
u
?
?
?由根值判别法知 收敛, 故原级数绝对收敛,
()fx 单减；
21l i m l i m ( c o s ) n
n
nnn u n? ? ? ???解因
11
例 16 判定下列级数的敛散性,
1
( 1 ) ( 1 ) (,,,0,)
p
n
qn
nr p q r s
ns
?
?
???
?
? 均为常数
2
1l i m 1
q
p
pqn
nr
ns n ????
? ?
? 2
1
q
p
pq
nr
ns n ??
?
?
所以
( ) 1 0,2qI I p? ? ? ?若
? ?l i m 0nnn uu?? ?但且 递减,则原级数条件收敛,
( ) 0,2qIp? ? ?解若 l i m 0nn u????
则原级数发散,
2
qp ?即
122qqp ? ? ?即
则原级数绝对收敛,
( ) 0 1,2qI I I p? ? ? ? 1
22
qqp? ? ?即
则原级数不绝对收敛,
0,2qp? ? ?若
12
1? ?
则原级数条件收敛 ;
1? ?
1
1
21n n
?
? ?
?而
而原级数为此两级数的和,则原级数发散 ;
1 1 1( 2 ) 1
324??? ? ? ?
解 当 时,级数为 1 1 11
2 3 4? ? ? ?
当 时,
11
1 1 1,
( 2 ) 2 ( )nnnn? ? ?
??
??
???因
1
1
( 2 )n n ?
?
?
?于是
收敛 ; 发散,
当 时,1? ? 将原级数加括号后所得级数为
1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )
2 3 4 5 ( 2 ) 2 1nn? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??
13
n
11
21( 2 )
l i m
1
( 2 )
nn
n
?
?
??
?
?
而
n
( 2 )l i m [ 1 ] 1
21
n
n
?
??
? ? ??
1
1
( 2 )n n ?
?
?
?且
发散,
故原级数发散, 从而加括号后所得级数为发散的,