1
通过上节的学习知道,任何一个幂级数在其收敛区间
内,均可表示成一个函数 (即和函数 ).但在实际中为了便于
研究和计算,
(3) 展开后的幂级数是否唯一?
2,)？
§ 7.5 函数的幂级数展开式
级数,这正好和原来
常常需将一个函数在某点附近表示 成一个幂
“求一个幂级数的和函数, 问题相反,
下面将解决这样一些问题,
(1) 对于给定的函数 ?(x),在什么条件下它才能展开成幂
级数?
(2) 如果可以展开,怎样求这个幂级数的系数 ( 0,1
nan ?,
2
称为此函数的 幂级数展开 ; 称此幂级数为该函数的幂
级数展开式,
0
n
n
n
ax
?
?
?
由 第四章定理 4 (泰勒 Taylor中值定理 )知,若函数 ?(x)
在 x0 的某邻域内具有直到 (n+1)阶导数,则对于
均有
()
200
0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
n
n
n
f x f xf x f x f x x x x x x x R x
n
???? ? ? ? ? ? ? ?
(,),x a b??
0xx?
我们称此等式为函数 ?(x)在 处的 n阶泰勒
Taylor公式或泰勒 Taylor展开式,
( 1 )
1
00
()( ) ( ) (
( 1 ) !
n
n
n
fR x x x x x
n
? ?? ???
? 介 于 与 之
其中 间 ),
定义 5 若一个函数 ?(x)能表示成一个幂级数,
3
显然一个函数的 n阶泰勒公式与幂级数有一定的相似
之处, 故为了讨论函数的幂级数展开,先来讨论泰勒级数,
由泰勒中值定理知,当 ?(x)在 x0 的某邻域内内具有
直到 (n+1)阶导数,那么在该邻域内必有 ( ) ( ) ( ),
nnf x P x R x??
( ) l i m [ ( ) ( ) ]nnnf x P x R x????
l i m ( ) 0,nn Rx?? ?若 必 有
()
0
0
0
()( ) ( )
!
k
k
k
fxf x x x
k
?
?
???
—— 函数 ?(x)在 x0 处的泰勒级数或泰勒展开式,
特别地,在 时,上式即为
0 0x ?
一,泰勒级数
从而当 ?(x)在该邻域内具有任意阶导数时,有
()
0
( 0 )()
!
k
k
k
ff x x
k
?
?
? ?
—— 函数 ?(x)在 处的马克劳林级数或马克劳林展开式,
4
定义 6 称马克劳林级数的前 (n+1)项的和
()
2( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )
2 ! !
n
nfff f x x x
n
???? ? ?
?(x)与 n阶泰勒多项式的差值
()
2( 0 ) ( 0 )( ) ( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ]
2 ! !
n
n
n
ffR x f x f f x x x
n
???? ? ? ? ?
叫做 ?(x)的 n阶泰勒余项,
()nRx
常见的 的形式是
( 1 )
1()( ) ( 0
( 1 ) !
n
n
n
fR x x x
n
? ?? ??
?
介 于 与 之
( 1 )
1() ( ) ( 0 1 )
( 1 ) !
n
n
n
fxR x x
n
? ?? ?? ? ?
?
或
—— 称为泰勒余项
()nRx
当 n=0时,就是拉格朗日中值公式,
间 ),
为 ?(x)的 n阶泰勒多项式,
的拉格朗日型,
5
二,函数展开成幂级数的充要条件
定理 18 若函数 ?(x)在 (-R,R)内有任意阶导数,则 ?(x)可
展成马克劳林级数的充分必要条件是 ?(x)的泰勒余项
满足
()nRx
l i m ( ) 0,nn Rx?? ?
()
0
( 0 )( ) ( )
!
kn
k
n
k
fR x f x x
k??? ?
(,),x R R??
()
0
( 0 )( ) l i m
!
kn
k
n k
ff x x
k?? ?
? ?所以
()
0
( 0 )l i m [ ( ) ] 0
!
kn
k
n k
ff x x
k?? ?? ? ??
l i m ( ) 0nn Rx????
证 因余项为
而级数收敛,则当
()
0
( 0 )()
!
k
k
k
ff x x
k
?
?
? ?
时
6
则 ?(x)在 (-R,R)内可展为
1( 1 )
1() ( )
( 1 ) ! ( 1 ) !
nn
n
n
xf
R x x k
nn
?
??
?? ? ?
??
1
0 ( 1 ) !
n
n
x
n
??
? ?
?而
1
l i m 0 ( )
( 1 ) !
n
n
x
x
n
?
??
? ? ? ? ?
? l i m ( ) 0nn Rx????
() ()nf x k?
证
收敛,其收敛半径为 +∞
注 1 若 ?(x)在 处能展成幂级数,则其幂级数展开
0xx?
推论 若对任意 x∈ (-R,R)内,如果存在一个正常数 K,
(n=1,2,… ),使得
x 的幂级数,
式必为泰勒级数 ; 若 ?(x)在 x = 0处能展成幂级数,则其幂
级数展开式必为马克劳林级数,
7
三,将初等函数展开成幂级数的方法
0
n
n
n
ax
?
?
?0
0
() nn
n
a x x
?
?
?? 与
要讨论如何将 ?(x) 展开成 x 的幂级数 (即马克
劳林级数 ),
0
n
n
n
ax
?
?
?
幂级数的方法,称为 直接展开法,
()
0
( 0 )()
!
n
n
n
ff x x
n
?
?
? ?
1.直接展开法
因级数 可相互转化,故下面主
利用式 直接将 ?(x)展开成一个
8
(3) 证明在收敛区间内余项
l i m ( ) 0,nn Rx?? ?
(4) 写出 ?(x)的展开式, ()
0
( 0 )()
!
n
n
n
ff x x
n
?
?
? ?,
(1) 求出 ?(x)在 x=0处的各阶导数值, () ( 0 ) ( 1,2,) ;nfn ?
(2) 写出 ?(x)的马克劳林级数,并给出收敛区间 ;
直接展开法的计算步骤为,
并写出收敛区间,
9
例 22 将下列函数展开成 x的幂级数,
( 1 ) ( ) xf x e?
() ( ) ( 0,1,2,)nxf x e n??解因 () ( 0 ) 1 ( 0,1,2,)nfn? ? ?
()
00
( 0 ) 1
!!
n
nn
nn
f xx
nn
??
??
???
且其收敛区间为 (－ ∞,+ ∞)
11
0 ( )
( 1 ) ! ( 1 ) !
nxxn
n
exex
Rx
nn
? ?? ?
? ? ?
??
而
11
0( 1 ) ! ( 1 ) !
nn
n
xx
nn
?? ?
???
?且 是 的 一 般
恒有
项,则对
于是
(,),x? ? ? ? ? ?
23
0
1
! 2 ! 3 ! !
nn
x
n
x x x xex?
?
? ? ? ? ? ? ? ??故
( )x? ? ? ? ? ?
l i m ( ) 0nn Rx?? ??l i m ( ) 0nn Rx?? ?
10
() ( ) s i n ( ) ( 0,1,2,)
2
nf x x n n?? ? ? ?解 因
( 0 ) 0,( 0 ) 1ff ???有
( 2 ) ( 2 1 )( 0 ) 0,( 0 ) ( 1 ),k k kff ?? ? ?
( 0 ) 0,( 0 ) 1,,ff?? ???? ? ?
( ) 3 5 7 2 1
0
( 0 ) ( 1 )
! 3 ! 5 ! 7 ! ( 2 1 ) !
nn
nn
n
f x x x xxx ??
?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
于是
且其收敛区间为 (－ ∞,+ ∞),
21
0
( 1 )
( 2 1 ) !
k
k
k
x
k
??
?
??
??
( 2 ) ( ) s i nf x x?
2323
230 ( ) s i n [ ]
2 ( 2 3 ) ! ( 2 3 ) !
kk
k
xkx
R x x
kk
??
??
?? ? ? ? ?
??
而
11
21
0
s i n ( ) ( 1 )
( 2 1 ) !
n
n
n
xx
n
??
?
??
??
故
3 5 7 2 1
( 1 )
3 ! 5 ! 7 ! ( 2 1 ) !
n
nx x x xx
n
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
( )x? ? ? ? ? ?
( 3 ) ( ) ( 1 ) ( )f x x R? ?? ? ?
() ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1,2,)nnf x n x n?? ? ? ?? ? ? ? ? ?解 因
( 0 ) 1,( 0 ),( 0 ) ( 1 )f f f? ? ?? ??? ? ? ?有
() ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) nfn? ? ?? ? ? ?
(,),x? ? ? ? ? ? 恒有l i m ( ) 0k
k Rx?? ?
下面略去证明过程有
1
( 1 ) ( 1 )( 1 ) 1
!
n
n
nxx
n
? ? ? ?
?
?
? ? ?? ? ? ?
12
2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1
2 ! !
nnx x x
n
? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
( 1 1 )x? ? ?
称这个公式为二项展开式,
注 2 此级数在端点处的敛散性完全由 α 的具体取值而定,
直接展开法麻烦不说,要证明 的难度
有时很大 ;
l i m ( ) 0nn Rx?? ?
xe
2.间接展开法
式 (如几何级数、指数函数 和正弦函数 sinx),进行逐
下面利用幂级数的性质与已知幂级数的展开
项积分或逐项微分或令变量替换等方法,
的幂级数展开式
求出一些函数
— — 间接展开法,
13
1
1 q ??已知
例 22 21 ( 1 1 )nq q q q? ? ? ? ? ? ? ?
将函数 展开成 x 的幂级数, 1
l n ( 1 ),a r c t a n,l n 1 xxx x?? ?
22,,q x x x? ? ? 得
231 1 ( 1 ) ( 1 1 )
1
nnx x x x x
x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
2 4 6 2
2
1 1 ( 1 ) ( 1 1 )
1
nnx x x x x
x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
2 4 6 2
2
1 1 ( 1 1 )
1
nx x x x x
x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
解 在几何级数中,分别令
2
1 1 1 1()
2 1 11 xxx ?? ???而
14
将上述三式两端分别从 0到 x (-1< x <1)积分,得
l n ( 1 )x?? 12311 ( 1 )
2 3 1
n
n xx x x
n
?
? ? ? ? ? ??
1
0
( 1 ) ( 1 1 )1
n
n
n
x x
n
??
?
? ? ? ? ???
a r c t a n x ? 213511 ( 1 )
3 5 2 1
n
n xx x x
n
?
? ? ? ? ? ??
21
0
( 1 ) ( 1 1 )
21
n
n
n
x x
n
??
?
? ? ? ? ?
??
1ln
1
x
x
? ?
?
21
35112 ( )
3 5 2 1
nx
x x x n
?
? ? ? ? ? ??
21
0
2 ( 1 1 )
21
n
n
x x
n
??
?
? ? ? ? ?
??
15
例 24 将下列函数展开成 x的幂级数 —— 马克劳林级数,
( 1 ) ( ) c o s ( 2 ) ( ) xf x x f x a??
( 1 ) ( s i n ) c o s,xx? ?解 因 利 用 21
0
s i n ( ) ( 1 )
( 2 1 ) !
n
n
n
xx
n
??
?
??
??
21
0
c o s ( s i n ) [ ( 1 ) ]
( 2 1 ) !
n
n
n
xxx
n
??
?
??? ? ?
??
ln( 2 ) ( ),x x af x a e??因
0
!
n
x
n
xe
n
?
?
? ?而
0
ln ( )
!
n
n
n
a xx
n
?
?
? ? ? ? ? ? ??
逐项微分得
2
0
( 1 ) ( )( 2 ) !
n
n
n
x x
n
?
?
? ? ? ? ? ? ? ??
ln x x aae?故
16
例 25 按要求完成下列各题,
1( 1 ) ( )
6fx x? ?
11
6 4 ( 2 )xx?? ? ?解因
11
24
1
4
x
??
?
?
0
1 ( 1 1 )
1
n
n
xxx
?
?
? ? ? ?? ?而
2( 1 1 )
4
x ?? ? ?
1
0
1 1 ( 2 ) ( 2 6 )
64 4
n
n
n
x x
x
?
?
?
?? ? ? ?
? ?
故
将 f(x) 展为 x - 2的幂级数,
0
1 1 2
6 4 4
n
n
x
x
?
?
??
? ?于 是 （ ）
17
2
11 ( )
2 ( 2 ) ( 1 )fx x x x x??? ? ? ?解因
1 1 1
3 1 2xx????（）
1 1 1 1
[]
3 1 2 1
2
xx
? ? ?
? ??（）
0
1 ( 1 1 ),
1
n
n
xx
x
?
?
? ? ? ?
? ?
而
0
1
( ) ( 2 2 )
21
2
n
n
x
x
x
?
?
? ? ? ? ?
?
?于 是
00
11( ) [ ( ) ]
3 2 2
nn
nn
xf x x??
??
? ? ???所以
1
0
11[ 1 ( 1 ) ] ( 1 1 )
3 2
nn
n
n
xx
?
?
?
? ? ? ? ? ??
2
1( 2 ) ( )
2fx xx? ??
将 f(x) 展为 x 的幂级数,
18
( 3 ) ( ) s i nf x x?
s i n s i n [ ( ) ]44xx ??? ? ?解 因
2 [ c o s ( ) s i n ( ) ]
2 4 4xx
??? ? ? ?
3511 s i n ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 3 ! 4 5 ! 4x x x x x
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2411 c o s ( ) 1 ( ) ( ) ( )
4 2 ! 4 4 ! 4x x x x
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?而
( 1 )
2
0
21 ( 1 ) ( ) ( )
2 ! 4
nn
n
n
xxn ?
??
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??
232 1 1s i n [ 1 ( ) ( ) ( )
2 4 2 ! 4 3 ! 4x x x x
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?故
4x
??将 f(x) 展为 的幂级数,
s i n c o s ( ) c o s s i n ( )4 4 4 4xx? ? ? ?? ? ? ?
通过上节的学习知道,任何一个幂级数在其收敛区间
内,均可表示成一个函数 (即和函数 ).但在实际中为了便于
研究和计算,
(3) 展开后的幂级数是否唯一?
2,)？
§ 7.5 函数的幂级数展开式
级数,这正好和原来
常常需将一个函数在某点附近表示 成一个幂
“求一个幂级数的和函数, 问题相反,
下面将解决这样一些问题,
(1) 对于给定的函数 ?(x),在什么条件下它才能展开成幂
级数?
(2) 如果可以展开,怎样求这个幂级数的系数 ( 0,1
nan ?,
2
称为此函数的 幂级数展开 ; 称此幂级数为该函数的幂
级数展开式,
0
n
n
n
ax
?
?
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由 第四章定理 4 (泰勒 Taylor中值定理 )知,若函数 ?(x)
在 x0 的某邻域内具有直到 (n+1)阶导数,则对于
均有
()
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0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
n
n
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n
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(,),x a b??
0xx?
我们称此等式为函数 ?(x)在 处的 n阶泰勒
Taylor公式或泰勒 Taylor展开式,
( 1 )
1
00
()( ) ( ) (
( 1 ) !
n
n
n
fR x x x x x
n
? ?? ???
? 介 于 与 之
其中 间 ),
定义 5 若一个函数 ?(x)能表示成一个幂级数,
3
显然一个函数的 n阶泰勒公式与幂级数有一定的相似
之处, 故为了讨论函数的幂级数展开,先来讨论泰勒级数,
由泰勒中值定理知,当 ?(x)在 x0 的某邻域内内具有
直到 (n+1)阶导数,那么在该邻域内必有 ( ) ( ) ( ),
nnf x P x R x??
( ) l i m [ ( ) ( ) ]nnnf x P x R x????
l i m ( ) 0,nn Rx?? ?若 必 有
()
0
0
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()( ) ( )
!
k
k
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k
?
?
???
—— 函数 ?(x)在 x0 处的泰勒级数或泰勒展开式,
特别地,在 时,上式即为
0 0x ?
一,泰勒级数
从而当 ?(x)在该邻域内具有任意阶导数时,有
()
0
( 0 )()
!
k
k
k
ff x x
k
?
?
? ?
—— 函数 ?(x)在 处的马克劳林级数或马克劳林展开式,
4
定义 6 称马克劳林级数的前 (n+1)项的和
()
2( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )
2 ! !
n
nfff f x x x
n
???? ? ?
?(x)与 n阶泰勒多项式的差值
()
2( 0 ) ( 0 )( ) ( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ]
2 ! !
n
n
n
ffR x f x f f x x x
n
???? ? ? ? ?
叫做 ?(x)的 n阶泰勒余项,
()nRx
常见的 的形式是
( 1 )
1()( ) ( 0
( 1 ) !
n
n
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fR x x x
n
? ?? ??
?
介 于 与 之
( 1 )
1() ( ) ( 0 1 )
( 1 ) !
n
n
n
fxR x x
n
? ?? ?? ? ?
?
或
—— 称为泰勒余项
()nRx
当 n=0时,就是拉格朗日中值公式,
间 ),
为 ?(x)的 n阶泰勒多项式,
的拉格朗日型,
5
二,函数展开成幂级数的充要条件
定理 18 若函数 ?(x)在 (-R,R)内有任意阶导数,则 ?(x)可
展成马克劳林级数的充分必要条件是 ?(x)的泰勒余项
满足
()nRx
l i m ( ) 0,nn Rx?? ?
()
0
( 0 )( ) ( )
!
kn
k
n
k
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k??? ?
(,),x R R??
()
0
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()
0
( 0 )l i m [ ( ) ] 0
!
kn
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l i m ( ) 0nn Rx????
证 因余项为
而级数收敛,则当
()
0
( 0 )()
!
k
k
k
ff x x
k
?
?
? ?
时
6
则 ?(x)在 (-R,R)内可展为
1( 1 )
1() ( )
( 1 ) ! ( 1 ) !
nn
n
n
xf
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nn
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0 ( 1 ) !
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n
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? l i m ( ) 0nn Rx????
() ()nf x k?
证
收敛,其收敛半径为 +∞
注 1 若 ?(x)在 处能展成幂级数,则其幂级数展开
0xx?
推论 若对任意 x∈ (-R,R)内,如果存在一个正常数 K,
(n=1,2,… ),使得
x 的幂级数,
式必为泰勒级数 ; 若 ?(x)在 x = 0处能展成幂级数,则其幂
级数展开式必为马克劳林级数,
7
三,将初等函数展开成幂级数的方法
0
n
n
n
ax
?
?
?0
0
() nn
n
a x x
?
?
?? 与
要讨论如何将 ?(x) 展开成 x 的幂级数 (即马克
劳林级数 ),
0
n
n
n
ax
?
?
?
幂级数的方法,称为 直接展开法,
()
0
( 0 )()
!
n
n
n
ff x x
n
?
?
? ?
1.直接展开法
因级数 可相互转化,故下面主
利用式 直接将 ?(x)展开成一个
8
(3) 证明在收敛区间内余项
l i m ( ) 0,nn Rx?? ?
(4) 写出 ?(x)的展开式, ()
0
( 0 )()
!
n
n
n
ff x x
n
?
?
? ?,
(1) 求出 ?(x)在 x=0处的各阶导数值, () ( 0 ) ( 1,2,) ;nfn ?
(2) 写出 ?(x)的马克劳林级数,并给出收敛区间 ;
直接展开法的计算步骤为,
并写出收敛区间,
9
例 22 将下列函数展开成 x的幂级数,
( 1 ) ( ) xf x e?
() ( ) ( 0,1,2,)nxf x e n??解因 () ( 0 ) 1 ( 0,1,2,)nfn? ? ?
()
00
( 0 ) 1
!!
n
nn
nn
f xx
nn
??
??
???
且其收敛区间为 (－ ∞,+ ∞)
11
0 ( )
( 1 ) ! ( 1 ) !
nxxn
n
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Rx
nn
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? ? ?
??
而
11
0( 1 ) ! ( 1 ) !
nn
n
xx
nn
?? ?
???
?且 是 的 一 般
恒有
项,则对
于是
(,),x? ? ? ? ? ?
23
0
1
! 2 ! 3 ! !
nn
x
n
x x x xex?
?
? ? ? ? ? ? ? ??故
( )x? ? ? ? ? ?
l i m ( ) 0nn Rx?? ??l i m ( ) 0nn Rx?? ?
10
() ( ) s i n ( ) ( 0,1,2,)
2
nf x x n n?? ? ? ?解 因
( 0 ) 0,( 0 ) 1ff ???有
( 2 ) ( 2 1 )( 0 ) 0,( 0 ) ( 1 ),k k kff ?? ? ?
( 0 ) 0,( 0 ) 1,,ff?? ???? ? ?
( ) 3 5 7 2 1
0
( 0 ) ( 1 )
! 3 ! 5 ! 7 ! ( 2 1 ) !
nn
nn
n
f x x x xxx ??
?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
于是
且其收敛区间为 (－ ∞,+ ∞),
21
0
( 1 )
( 2 1 ) !
k
k
k
x
k
??
?
??
??
( 2 ) ( ) s i nf x x?
2323
230 ( ) s i n [ ]
2 ( 2 3 ) ! ( 2 3 ) !
kk
k
xkx
R x x
kk
??
??
?? ? ? ? ?
??
而
11
21
0
s i n ( ) ( 1 )
( 2 1 ) !
n
n
n
xx
n
??
?
??
??
故
3 5 7 2 1
( 1 )
3 ! 5 ! 7 ! ( 2 1 ) !
n
nx x x xx
n
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
( )x? ? ? ? ? ?
( 3 ) ( ) ( 1 ) ( )f x x R? ?? ? ?
() ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1,2,)nnf x n x n?? ? ? ?? ? ? ? ? ?解 因
( 0 ) 1,( 0 ),( 0 ) ( 1 )f f f? ? ?? ??? ? ? ?有
() ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) nfn? ? ?? ? ? ?
(,),x? ? ? ? ? ? 恒有l i m ( ) 0k
k Rx?? ?
下面略去证明过程有
1
( 1 ) ( 1 )( 1 ) 1
!
n
n
nxx
n
? ? ? ?
?
?
? ? ?? ? ? ?
12
2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1
2 ! !
nnx x x
n
? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
( 1 1 )x? ? ?
称这个公式为二项展开式,
注 2 此级数在端点处的敛散性完全由 α 的具体取值而定,
直接展开法麻烦不说,要证明 的难度
有时很大 ;
l i m ( ) 0nn Rx?? ?
xe
2.间接展开法
式 (如几何级数、指数函数 和正弦函数 sinx),进行逐
下面利用幂级数的性质与已知幂级数的展开
项积分或逐项微分或令变量替换等方法,
的幂级数展开式
求出一些函数
— — 间接展开法,
13
1
1 q ??已知
例 22 21 ( 1 1 )nq q q q? ? ? ? ? ? ? ?
将函数 展开成 x 的幂级数, 1
l n ( 1 ),a r c t a n,l n 1 xxx x?? ?
22,,q x x x? ? ? 得
231 1 ( 1 ) ( 1 1 )
1
nnx x x x x
x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
2 4 6 2
2
1 1 ( 1 ) ( 1 1 )
1
nnx x x x x
x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
2 4 6 2
2
1 1 ( 1 1 )
1
nx x x x x
x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
解 在几何级数中,分别令
2
1 1 1 1()
2 1 11 xxx ?? ???而
14
将上述三式两端分别从 0到 x (-1< x <1)积分,得
l n ( 1 )x?? 12311 ( 1 )
2 3 1
n
n xx x x
n
?
? ? ? ? ? ??
1
0
( 1 ) ( 1 1 )1
n
n
n
x x
n
??
?
? ? ? ? ???
a r c t a n x ? 213511 ( 1 )
3 5 2 1
n
n xx x x
n
?
? ? ? ? ? ??
21
0
( 1 ) ( 1 1 )
21
n
n
n
x x
n
??
?
? ? ? ? ?
??
1ln
1
x
x
? ?
?
21
35112 ( )
3 5 2 1
nx
x x x n
?
? ? ? ? ? ??
21
0
2 ( 1 1 )
21
n
n
x x
n
??
?
? ? ? ? ?
??
15
例 24 将下列函数展开成 x的幂级数 —— 马克劳林级数,
( 1 ) ( ) c o s ( 2 ) ( ) xf x x f x a??
( 1 ) ( s i n ) c o s,xx? ?解 因 利 用 21
0
s i n ( ) ( 1 )
( 2 1 ) !
n
n
n
xx
n
??
?
??
??
21
0
c o s ( s i n ) [ ( 1 ) ]
( 2 1 ) !
n
n
n
xxx
n
??
?
??? ? ?
??
ln( 2 ) ( ),x x af x a e??因
0
!
n
x
n
xe
n
?
?
? ?而
0
ln ( )
!
n
n
n
a xx
n
?
?
? ? ? ? ? ? ??
逐项微分得
2
0
( 1 ) ( )( 2 ) !
n
n
n
x x
n
?
?
? ? ? ? ? ? ? ??
ln x x aae?故
16
例 25 按要求完成下列各题,
1( 1 ) ( )
6fx x? ?
11
6 4 ( 2 )xx?? ? ?解因
11
24
1
4
x
??
?
?
0
1 ( 1 1 )
1
n
n
xxx
?
?
? ? ? ?? ?而
2( 1 1 )
4
x ?? ? ?
1
0
1 1 ( 2 ) ( 2 6 )
64 4
n
n
n
x x
x
?
?
?
?? ? ? ?
? ?
故
将 f(x) 展为 x - 2的幂级数,
0
1 1 2
6 4 4
n
n
x
x
?
?
??
? ?于 是 （ ）
17
2
11 ( )
2 ( 2 ) ( 1 )fx x x x x??? ? ? ?解因
1 1 1
3 1 2xx????（）
1 1 1 1
[]
3 1 2 1
2
xx
? ? ?
? ??（）
0
1 ( 1 1 ),
1
n
n
xx
x
?
?
? ? ? ?
? ?
而
0
1
( ) ( 2 2 )
21
2
n
n
x
x
x
?
?
? ? ? ? ?
?
?于 是
00
11( ) [ ( ) ]
3 2 2
nn
nn
xf x x??
??
? ? ???所以
1
0
11[ 1 ( 1 ) ] ( 1 1 )
3 2
nn
n
n
xx
?
?
?
? ? ? ? ? ??
2
1( 2 ) ( )
2fx xx? ??
将 f(x) 展为 x 的幂级数,
18
( 3 ) ( ) s i nf x x?
s i n s i n [ ( ) ]44xx ??? ? ?解 因
2 [ c o s ( ) s i n ( ) ]
2 4 4xx
??? ? ? ?
3511 s i n ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 3 ! 4 5 ! 4x x x x x
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2411 c o s ( ) 1 ( ) ( ) ( )
4 2 ! 4 4 ! 4x x x x
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?而
( 1 )
2
0
21 ( 1 ) ( ) ( )
2 ! 4
nn
n
n
xxn ?
??
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??
232 1 1s i n [ 1 ( ) ( ) ( )
2 4 2 ! 4 3 ! 4x x x x
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?故
4x
??将 f(x) 展为 的幂级数,
s i n c o s ( ) c o s s i n ( )4 4 4 4xx? ? ? ?? ? ? ?
