第七章 无穷级数
§ 7.1 数项级数的概念与性质
§ 7.2 正项级数
§ 7.3 任意项级数
§ 7.4 幂级数
§ 7.5 函数的幂级数展开式
1
nn
n
ax
?
?
??
2
第七章 无穷级数
定义 1 设有一个无穷序列
12,,,,nu u u
用加号把此序列的项依次连接起来的表达式
12 nu u u? ? ? ?
称为无穷级数 (简称级数 ),常缩写为
1
,n
n
u
?
?
? 其中第 n 项 nu
叫做级数的一般项或通项,
12
1
nn
n
u u u u
?
?
? ? ? ? ??
表达式
无穷级数已广泛地应用于工程技术、数理统计、数
值计算及其它领域, 无穷级数是研究函数的工具,
本章主要介绍无穷级数的概念、性质,
又可用它求得一些函 作为一个函数或一个数的表达式,
它既可
数的近似公式；
收敛与发散的判别法、幂级数以及一些简单函数的幂级
数展开式。
3
由级数 的第 n 项 的结构给出了两大类级数,
1
n
n
u
?
?
? nu
(1)若 只是 n 的函数,
nu
1
n
n
u
?
?
?
(2)若 是 x 的函数,
1
()n
n
ux
?
?
?nu
中前 n 项的和,称为级数
1
n
n
u
?
?
?
而式 中除去 后其余各项的和称为级数 的余项,
记为,即
的部分和,记为 即
nS
12
1
n
n i n
i
S u u u u
?
? ? ? ? ??
1
n
n
u
?
?
? nS
1
n
n
u
?
?
?
nR 12,n n nR u u??? ? ?
就称级数 为常数项级数 ;
就称级数 为函数项级数,
4
§ 7.1 数项级数的概念与性质
12
1
nn
n
u u u u S
?
?
? ? ? ? ? ??
它们之间的差值 称为级数的
余项,
nS
12n n n nR S S u u??? ? ? ? ?
nS
.nR
一, 数项级数的概念
定义 2 若级数 的部分和数列 的极限
存在,
1
n
n
u
?
?
? {}nS lim n
n S??
1
n
n
u
?
?
? lim n
n SS?? ?
1
n
n
u
?
?
?
1
n
n
u
?
?
?并把 S称为级数 的和,记为
则称级数 收敛 ; 否则就发散 ; 当 时,称
级数 收敛于 S,
注 1 当级数收敛时,前 n项的和 是级数和 S 的近似值,
用 作 S的近似值所产生的误差,就是余项的绝
对值
5
1n
a a a a
?
?
? ? ? ? ??
故级数发散,
nS na? l i m l i m,nnnS n a? ? ? ?? ? ?
例 1 讨论级数 的敛散性,
例 2 判定级数
1
1 1 1 1
( 1 ) 1 2 2 3 ( 1 )n n n n n
?
?
? ? ? ? ?? ? ? ? ??
的敛散性, 若收敛,则求出其和,
解 因 1 1 1 ( 1,2,)
( 1 ) 1nunn n n n? ? ? ?? ? ?
1 1 1
1 2 2 3 ( 1 )且 nS nn? ? ? ?? ? ? ?
1 1 1 1 1( 1 ) ( ) ( )
2 2 3 1nn? ? ? ? ? ? ? ?
11
1n?? ?
1l i m l i m ( 1 ) 1
1所以 nnnS n? ? ? ?? ? ??
故级数收敛,其和为 1,
解 因 则
6
例 3 讨论几何级数 (或等比级数 )
1 2 1
1
nn
n
a q a a q a q a q
?
??
?
? ? ? ? ? ??
解 当 q ≠1 时,部分和
( 1 )
1
naq
q
??
?
(1)当 ∣ q ∣ < 1时,( 1 )
l i m l i m 11
n
nnn
aq aS
qq? ? ? ?
???
??
(2)当 ∣ q ∣>1 时,( 1 )
l i m l i m 1
n
nnn
aqS
q? ? ? ?
?? ? ?
?
(其中 a≠0,q 称为级数的公比,为它的一般项 ) 1n
nu a q ??
(3)当 ∣ q ∣=1 时,
的敛散性, 若收敛,则求出其和,
21 nnS a a q a q a q ?? ? ? ? ?
7
(ⅰ) 若 q = 1时,则
l i m l i mnnnS n a? ? ? ?? ? ?
(ⅱ) 若 q =– 1时,则级数成为 a – a+a – a+…+a – a+…,
0nS ?
当 n 为偶数时,
当 n 为奇数时,
,nSa? lim n
n S??
几何级数,
1 2 1
1
nn
n
a q a a q a q a q
?
??
?
? ? ? ? ? ??
1
a
q?
故原级数发散,
从而 不存在,
综上所述有重要结论,
当 ∣ q ∣ ≥1时,发散,
当 ∣ q ∣ <1时,收敛于
8
二, 级数的基本性质
11
和nn
nn
uv
??
??
??
也收敛,且
1
()nn
n
uv
?
?
??
1 1 1
( ),n n n n
n n n
u v u v
? ? ?
? ? ?
? ? ?? ? ?
定理 1 若级数 收敛,则级数
1 1 1
,,( ) 的部分和n n n n
n n n
u v u v
? ? ?
? ? ?
?? ? ?
1 1 2 2( ) ( ) ( )n n nW u v u v u v? ? ? ? ? ? ?
nnST??
l i m,l i mnnnnS a T b? ? ? ???
1 2 1 2( ) ( )nnu u u v v v? ? ? ? ? ? ? ?
证 设
且令
分别为
则
l i m l i m ( )所以 n n nnnW S T a b? ? ? ?? ? ? ?
1 1 1
()故 n n n n
n n n
u v u v
? ? ?
? ? ?
? ? ?? ? ?
,,,n n nS T W
9
注 3 此定理反之不一定成立,例级数
1
[ 1 ( 1 ) ]
n
?
?
???
11
1 ( 1 )与
nn
??
??
???
注 2 两个无穷级数必须收敛才能相加,而不象有限
项情形,逐项相加总是可行的,
收敛,但级数 发散,
1
n
n
u
?
?
?定理 2 若级数
1
n
n
cu
?
?
?
11
nn
nn
u c u
??
??
??与 的 部 分 和
12n n nT c u c u c u c S? ? ? ? ?
l i m l i mnnnnT c S c a? ? ? ???
1
即 n
n
c u c a
?
?
??
也收敛于 ca,
收敛于 a,c是一个常数,则级数
,nnST证 设 分别为
则级数
1
n
n
cu
?
?
? 收敛于 ca,
10
一个不为零的数,所得的级数与原级数具有相同的敛散性,
1
,,n n n
n
T c S u
?
?
? ?由 知 若 lim n
n S??
lim nn T??
11
1
22与nnnn
a??
??
??
定理 3 在级数中增加或去掉有限项,级数的敛散性不变。
证 因在级数中增加或去掉有限项,总可通过在该级数
前增加或去掉有限项来实现,故只须证在级数前增加或
去掉有限项而其敛散性不变,
设在级数
中去掉 前 m项,则得级数
c≠0时,必有
注 4 发散,则 不存在,从而 当
不存在, 这表明, 级数的每一项同乘 以
例, 级数 都是收敛的,
1 2 1 ( 1 )m m m nu u u u u??? ? ? ? ? ? ?
12 ( 2 )m m m nu u u? ? ?? ? ? ?
11
12mmS u u u? ? ? ?
n m n mT S S???
12n m m m nT u u u? ? ?? ? ? ?
令级数 (1)的部分和为
级数 (2)的部分和为
于是
若 (1)收敛于 S,则
l i m l i m ( )n m n m mnnT S S S S?? ? ? ?? ? ? ?
同理可证在级数 (1)前增加有限项,所得级数与级
数 (1)有相同的敛散性,
lim nn T??
例 级数
1
12 4 1 0 0
2 nn
?
?
? ? ? ? ? 2
1
2 4 1 0 0,
n
n
?
?
? ? ? ? ?
故 (2)也收敛,
若 (1)发散,则 不存在,故 (2)也发散,
和级数
前者是收敛的,后者是发散的,
12
定理 4 收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和,
11 1 2 nv u u u? ? ? ?
1 1 22 1 2n n nv u u u??? ? ? ?
1112k k kk n n n
v u u u
????
? ? ? ?
*
12
1
的部分和是
kk k k n
n
v S v v v S
?
?
? ? ? ? ??
,,,而 由 知 若 必 有kkn k k n? ? ? ? ?
*l i m l i m故
kkknknS S s? ? ? ???
证 设
12
1
的 部 分 和 是 且n n n
n
u S u u u
?
?
? ? ? ??
收敛于 S
则设级数按某一规律加括号所得的新级数为
1
且k
k
v
?
?
?
则
lim即 k
k nn
Ss?? ?
13
加括号仍为收敛级数,
注 5 此定理表明收敛级数适合结合律,即 收敛级数
注 6 其逆否命题为, 若加括号后所成的级数发散,
则
原级数也发散,”
是收敛的,
1( 1 ) na a a a a?? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( ) 0a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?
注 8 收敛级数去括号后不一定收敛,
注 7 发散级数加括号后级数有可能收敛,即
“加括号后所成的级数收敛,原级数不一定收敛,”
例级数 是发散级数,
但将相邻的两项加括号后所得级数
14
定理 5 (收敛的必要条件 ) 若级数
1
n
n
u
?
?
?
l i m 0nn u?? ?
1l i m l i m且nnnnS s S s?? ? ? ???
1由 n n nu S S ??? 1l i m l i m ( ) 0有 n n n
nnu S S ?? ? ? ?? ? ?
l i m 0 ( ),nn u?? ?,若 包 括 不 存 在 情 形
注 9 各项均非负的级数,无论加括号还是去括号,都不
影响其敛散性,
收敛,则
证 设
12
1
的 部 分 和 是 且n n n
n
u S u u u
?
?
? ? ? ??
收敛于 S
则级数
1
n
n
u
?
?
? 发散,
注 10 其逆否命题为
15
“收敛级数通项必有
l i m 0nn u?? ?
例 4 证明调和级数
1
1 1 1 11
23n nn
?
?
? ? ? ? ? ??
1l i m 0,
n n??
?
注 11 仅是收敛的必要条件而非充分条件,即
l i m 0,nn u?? ?
1
1
n n
?
?
?
2l i m ( ) 0nnn S S S S?? ? ? ? ?
1lim
22n
n
n????
证 反证法 若 收敛,设级数的和为 S,则有
2
1 1 1l i m ( ) l i m ( )
1 2 2nnnnSS n n n? ? ? ?? ? ? ? ???
发散,
而
与前者矛盾, 故调和级数发散, 但
但通项极限为零的级数却
不一定收敛,,
1 1 1l i m ( )
2 2 2n n n n??? ? ? ?
16
11
lim
k
knnnn
?
????
???
1
1lim k
k n
k
nk?? ????
1
11lim k
nk
n k k?? ?
???
1
0
11 ln
0
d x x
x
? ? ? ? ??
法二, 可以 用定积分的定义来证明调和级数的发散性,
17
在 [n,n+1]上对 应用拉格朗日中值定理得 ( ) l nf x x?
1l n ( 1 ) l n ( 1 )n n n n?
?? ? ? ? ? ?
将前 n个不等式两边相加得
1 1 1l n ( 1 ) l n
1 nnnn ?? ? ? ? ? ??
1 l n 3 l n 2,,
3 ??
1 l n ( 1 ) l n,
1 nnn ? ? ??
1
1 1 1 11 l n l i m l n
23n nnS n nnn
?
???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
1 1 1
1nn????而
1 l n 2 l n 1,
2 ??
法三, 也可用拉格朗日中值定理证明,
有
18
例 5 判定级数
11
11, ; 2,
1 nnn
n
n n
??
???
??
1
1 1 1 1 1
23n nn
?
?
? ? ? ? ? ??因
1 1 1 1 1 1 1( ) ( )
2 4 4 8 8 8 8? ? ? ? ? ? ? ?
1
1
2n
?
?
? 1
1
n n
?
?
?
1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 7 8? ? ? ? ? ? ? ? ?
而级数 发散,则由比较判别法知 发散
的敛散性,
解 (1) 因为
l i m 11
n
n
n?? ??
1( 2 ) l i m 1
nn n??
?
所以级数
1 1n
n
n
?
? ?
? 发散,
所以级数 发散,
1
1
n
n n
?
?
?
法四,
111
222? ? ? ?
19
11
lim
k
knnnn
?
????
???
1
1lim k
k n
k
nk?? ????
1
11lim k
nk
n k k?? ?
???
1
0
11 ln
0
d x x
x
? ? ? ? ??