1
由牛顿 —莱布尼兹公式知, 计算定积分
()ba f x d x?
因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新
变量,故用凑微分法计算定积分时,也应自始至终不改
变积分限, 下面举例说明,
§ 6.4 定积分的计算方法
一,凑微分法
第五章知求函数的原函数 (即不定积分 )的方法有凑微分法、
换元法和分部积分法, 因而在一定条件下,也可用这几
种方法来计算定积分,
的关键在于求出 ?(x)在 [a,b]上的一个原函数 F(x); 而由
2
例 11 计算 1 2
0(1 ) 1x x d x??
1
211 2 2 2
00
1 1 ( 1 ) ( 1 )
2x x d x x d x? ? ? ???解
3
2 2 112 ( 1 )
023
x? ? ?
35
0
( 2 ) s i n s i nI x x d x????
33
222211[ ( 1 1 ) ( 1 0 ) ] ( 2 2 1 )
33? ? ? ? ? ?
3 5 3 2s i n s i n s i n ( 1 s i n )x x x x? ? ?解因
3
2c o s s i nxx??
3
332
22
20
s i n s i n s i n s i nx d x x d x
?
?
?????
55
222
2
2 2 4s i n s i n
05 5 5
xx
?
?
?
? ? ?
2
2
33
22
0
c o s s i n c o s s i nI x x d x x x d x
?
?
?
? ? ? ???故
3
2
3
2
c o s s i n [ 0,)
2
c o s s i n [,]
2
x x x
x x x
?
?
?
?
???
?
? ?
?
? ? ?
??
4
(1) 在 [α,β]上单调连续且具有连续导数 ;
(2) ?(α)= a,?(β)= b,则 ( ) ( ( ) ) ( )b
a f x d x f t t d t
?
? ??
????
二,换元积分法
定理 8 若 ?(x)在 [a,b]上连续,而 x =?(t) 又满足
证 设 F(x)是 ?(x)的一个原函数,( ) ( )F x f x? ?即
( ) ( ) ( )ba f x d x F b F a???故
[ ( ) ] [ ( ) ] ( )d F t F t tdt ? ? ?????而 [ ( ) ] ( )f t t?? ???
[ ( ) ] [ ( ) ] ( )F t f t t? ? ? ??是 的 一 个 原 函 数,且
5
[ ( ) ] ( )f t t d t?? ?? ????
( ) [ ( ) ] ( )ba f x d x f t t d t?? ?? ?????
——此式称为定积分的换元公式,
(3) 求出 [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] f t t t F t? ? ??? ? ?的一个原函数
[ ( ) ]Ft ??
?
[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( )F F F b F a? ? ? ?? ? ? ?
在应用换元公式计算定积分时,应注意以下几个问题,
(1) 所选择的代换式 x=?(t)必须满足定理中的两个条件 ;
(2) 换元积分的关键是换限,记住“上限对上限,下限对下限” ;
求不定积分那样把 ?(t)还原成 x 的函数,而只须直接将 t
的上、下限代入相减即可,
后,不必象
6
例 12 当 a > 0时,计算
0
(1 )
1
a dx
x??
2 ( 0 ),,2,x t t t x d x t d t? ? ? ?解 令 则 有 且
0
12 (1 ) 2 [ l n (1 ) ]
1 0
a a
d t t t
t
? ? ? ? ?
??
0,0,,x t x a t a? ? ? ?
00
2
11
aad x t dt
tx ? ????故
2 [ l n ( 1 ) ]aa? ? ?
7
22 s i n,c o s,c o sx a t a x a t d x a t d t? ? ? ?解 令 有
0,0 ;,2x t x a t ?? ? ? ?且
22
0 ( 2 )
a a x d x??
22 22
00
c o s c o s c o sa t a t d t a t d t
??
? ? ???220a a x d x??
2 2
0
1 c o s 2
2
ta d t? ?? ?
2
22 1( 2 s i n 2 )
044
a t t a? ?? ? ?
注 1 由几何意义知,此定积分 即为圆 22
0
a a x d x??
8
2 2 2x y a?? 在第 Ι象限的面积,
性质 1 设 ?(x)在 [?a,a]上连续,则
0
2 ( ),( )
()
0,( )
a
a
a
f x d x f x
f x d x
fx
?
??
? ?
??
?? 当 为 偶 函 数 时
当 为 奇 函 数 时
证 0
0( ) ( ) ( )
aaf x d x f x d x f x d x
?? ??? ? ?因
(1)若为 ?(x)偶函数,则有 ?(x)=?(? x)
令 x = ?t,则 d x = ?d t,且 00( ) ( ) ( )
aaf x d x f t d t? ? ? ???
9
从而
00( ) ( ) ( )
a a a
a f x d x f x d x f x d x? ??? ? ?
0
0( ) ( )
a
a f t d t f x d x? ? ???
(2)若为 ?(x)奇函数,则有 ?(x)=??(? x)
令 x = ?t,则 d x = ?d t,且
00( ) ( ) ( )
aaf x d x f t d t? ? ? ???
0
0( ) ( )
a
a f t d t f x d x? ? ???
从而
00( ) ( ) ( ) 0
a a a
a f x d x f x d x f x d x? ? ? ? ?? ? ?
02 ( )
a f x d x? ?
10
注 2 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的
定积分的计算,
例 13 计算 2 7 421
222
( a r c t a n ) c o s 2( 1 ) ( 2 )
( 1 )5
x x x d xdx
xx?? ????
解 (1) 被积函数为奇函数, 则原式 = 0,
11
2 2 2 210 2( 1 ) ( 1 )
d x d x
xx? ?????
令 x = tanu,则 2s e cd x u d u?
0,0,1,4x u x u ?? ? ? ?且
(2) 被积函数为偶函数,故
1 2
4
2 2 410
11 2 s e c
( 1 ) s e c
d x u d u
xu
?
?
??
???
24
0
2 c o s udu
?
? ?
2 2 4( 1 ) s e cxu??
11
例 14.设 2 4
1
,0
( ),( 2 ),1
,1 0
1 c o s
xx e x
f x f x d x
x
x
?? ?
?
???
? ? ??
??
?求
解 设 x = t +2,则 t = x–2,d x = d t
1,1,4,2x t x t? ? ? ? ?且
4
0
1 ( 1 c o s 2 ) 2
2 u d u
?
??? 411( 2 s i n 2 ) ( 1 )02 2 2uu
? ?
? ? ? ?
42
11( 2 ) ( )f x d x f t d t?????
02
10( ) ( )f t d t f t d t?????
41 1 1t a n
2 2 2e
?? ? ?
202
10
1
1 c o s
td t t e d t
t
?
?
?????
202 2
102
11
()
22 c o s
2
td t e d t
t
?
?
? ? ???
12
性质 2 设 ?(x)在 [0,1]上连续,则
22
00
( 1 ) ( s i n ) ( c o s )f x d x f x d x
??
???
,,,
22
x t t x d x d t??? ? ? ? ? ?则证 令有
,,x t t x d x d t??? ? ? ? ? ?令证 则有
0
22
00
2
( s i n ) ( c o s ) ( c o s )f x d x f t d t f x d x
??
?? ? ? ?? ? ?
0,,,022x t x t??? ? ? ?且
0,,,0x t x t??? ? ? ?且
00
( 2 ) ( s i n ) ( s i n )
2
x f x d x f x d x?? ????
13
0
0
( s i n ) ( ) [ s i n ( ) ]x f x d x t f t d t?
?
??? ? ? ???
00
( s i n ) ( s i n )2x f x d x f x d x?? ?????
00( s i n ) ( s i n )f x d x x f x d x
???????
00
( s i n ) ( s i n )f t d t t f t d t???????
三,分部积分法
定理 9 若 u = u(x)及 v = v(x)在 [a,b]上有连续导数,则
bb
aa
b
u d v u v v d u
a
????
14
证 因 d(uv) = udv + vdu,两边积分得
( ),
b b b b
a a a a
b
u d v d u v v d u u v v d u
a
? ? ? ?? ? ? ?
注 3
bb
aa
b
u d v u v v d u
a
????,
bb
aa
b
u v d x u v u v d x
a
??? ? ???
注 4 用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量,故
在计算过程中自始至终均不变限,u, v的选择与不定积
分的分部积分法相同,
例 15 计算 1
0( 1 ) a r c t a nx x d x?
15
11 2
00
1 a r c t a n a r c t a n
2
x x d x x d x???解
122
0
11
[ a r c t a n a r c t a n ]
02
x x x d x?? ?
11
200
11[]
82 1d x d xx
?? ? ?
???
21
20
1 []
24 1
x dx
x
???
??
11 1 1a r c t a n
08 2 2 4 2
x??? ? ? ? ?
16
2
0
( 2 ) s i nxe x d x
?
?
22
00
s i n s i nxxe x d x x d e
??
???解 2 2
0
s i n c o s
0
xxe x e x d x
??
?? ?
2 2
0
c o s xe x d e
? ?
?? ?
22 2
0
[ c o s s i n ]
0
xxe e x e x d x
? ??
? ? ? ?
2 2
0
1 s i nxe e x d x
? ?
? ? ? ?
2 2
0
1 s i n ( 1 )
2
xe x d x e
? ?
???故
17
例 16 设 在 [0,1]上连续,求 ()fx? 1
()
0 [ 1 ( ) ],
fxx f x e d x???
解 11 ( ) ( )
00( ) ( )
f x f xx f x e d x x e d f x? ???
1 ()
0 [ 1 ( ) ]
fxx f x e d x????故
1 ()
0
fxx d e? ?
1( ) ( )
0
1
0
f x f xx e e d x?? ?
( ) ( 1 )1
0
f x fx e e?