1
§ 6.6 定积分的应用
定积分的应用极其广泛,以下仅介绍它在几何与经
济上的应用 ; 并希望同学们通过本章的学习能熟练地的
运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法 ——
一,微元法的基本思想
o x
y=?(x)
a b
B
A
x+Δx x
H
C
D
E F
如图,曲边梯形 AabB 的面积为
定积分
( ),ba f x d x?
y
微元法,
(元素法 )
表达式 ?(x)dx,正好是区间 [a,b]上
的任意小区间 [ x,x + ? x] 上的窄曲边
梯形
而这个积分的被积
DEFH 面积 ΔS 的近似值,而
2
(2) 以微分表达式 ?(x)dx为被积表达式,在 [a,b]上作定积分
根据微分的定义有 ?(x)dx = dS,即
求曲边梯形 AabB 的面积 S 的方法为,
(1) 在 [a,b]上任取一个小区间 [x,x + dx],并求出总量 S 的
微分 dS = ?(x)dx ;
()bbaaS d S f x d x????
当 ?x = dx→0 时,ΔS=?(x)dx + o(dx),
o x
y=?(x)
a b
B
A
x+Δx x
H
C
D
E F
y
(面积微元 )
即可。
(面积微元进行求和累加 )
3
抛开 S 的具体含义，把这种思想加以抽象,就得到
微元法思想的表述,
数学上将这种思想方法称之为微元法, 总量 A的微
分 dA=?(x)dx,称为总量 A 的积分微元,
则有 dA=?(x)dx且总量为
( ),baA f x d x? ?
可加性 (即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之
和 );
若总量与变量 x 的变化区间 [a,b]有关,且对区间具有
在区间 [x,x + d x ] 上对应分量的近似值 为 ?(x)dx,
4
二,平面图形的面积
o
y
y=?(x)
a b x+dx x
y=g(x)
(2) 写出面积微元 dS
x
求平面图形面积的步骤,
(1) 选取 积分变量 x
或 y
(3) 作定积分
()baS f x d x? ?
注, 在选择积分变量时,还要考虑图形特征,
(过点 x作垂直于 x 轴的直线穿区域 D,是 一进一出 )
(过点 y 作垂直于 y 轴的直线穿区域 D,是一进一出 )
及积分区间,
o
x=φ(y)
c
d
y+dy
y x=ψ(y)
x
y
5
1,若平面图形 D 被夹在直线 x = a与 x = b之间,且其
上下边界的方程分别为 y = ?(x)和 y = g(x) 则图形的面积为
[ ( ) ( ) ]baS f x g x d x???
则以 dx为底,?(x) – g(x)为高的小窄矩形面积微元
o
y
y=?(x)
a b x+dx x
y=g(x)
x
分析, 对任意的 x∈ [a,b],
作垂直于 x轴的直线穿区域 D,
是从 g(x) 进,从 ?(x)出 ;
dS = [?(x)–g(x)]dx
6
例 24 计算由两条抛物线, 所围成图形的面积。,22y x y x??
解
o x
2yx?
(1,1)
x x+dx 1
2yx?
yx?
y
为了求出面积,一般先划出两条曲线所围成的图形。
为了定出图形的所在范围,应先求
出这两条抛物线的交点，为此,
解方程组 2
2
yx
yx
? ?
? ?
?
01,xx
yy
?????
??
??
即这两条抛物线的交点为 (0,0) 及 (1,1)。
从而知道这图形在直线 x = 0 及 x = 1 之间。
取 x 为积分变量,且 x ∈ [0,1],微元为 2()d S x x d x??
1 2
0 ()S x x d x???
则 3 3
2
121[]
03 3 3
xx? ? ?
7
2,若平面图形 D 被夹在直线 y = c 与 y = d 之间，且其左
右边界的方程分别为 x =φ (y) 及 x =ψ (y),则图形的面积为
[ ( ) ( ) ]dcS y y d y?????
o
x=φ(y)
c
d
y+dy
y
x=ψ(y) x
则以 dy为底,φ(y)–ψ(y)为高的小窄矩形面积微元
y
分析, 对任意的 y∈ [c,d],
作垂直于 y 轴的直线穿区域 D,
是从 ψ(y)进,从 φ(y)出 ;
ds = [φ(y)–ψ(y)] dy
8
o
y
– 4
(2,– 2)
y
y+dy
y=x–4
2 2yx?
为了定出图形的所在范围,应先
求出抛物线和直线的交点，为此,
212xy?
例 25 计算由抛物线 与直线 y = x - 4 所围成图
形的面积。
2 2yx?
解 为了求出面积,一般先划出两条曲线所围成的图形。
(8,4)
即这两条抛物线的交点为 (2,-2) 及 (8,4)。
解方程组
2 2
4
yx
yx
? ?
? ??
?
28,
24
xx
yy
?????
??? ? ???
从而知道这图形在直线 y = -2 及 y = 4 之间。
取 y 为积分变量,且 y ∈ [-2,4],微元为
21( 4 )
2d S y y d y? ? ?
x
x=y+4
9
4 2
2
1( 4 )
2A y y d y?? ? ??
23 411( 4 ) 1 8
226y y y? ? ? ??
则
思考, 若选 x 为积分变量，应该如何做? 请同学们课后
自己作一下,
o x
y
(2,– 2)
(8,4)
4 8
– 4
10
例 26 设曲线 x 轴与 y 轴在第一象限所围的图形
被曲线 分为面积相等的两部分，试确定的值。
21,yx??
2 ( 0 )y a x a??
解 如图,
1(,)
11
a
aa ??得交点
而 1
221
1 0 ( 1 )aS x a x d x?? ? ??
2
31 a
?
?
再由
1
1
2SS?
1 2
0
21 ( 1 )
231 x d xa ??? ?
2
2
1yx
y a x
? ??
? ?
?
3
1
1
[ ( 1 ) ] 1
3
0
x a x a? ? ? ?
得
3a ?解之得
1
3?
21yx??
2y ax?
1
a
a?
1
1 a?
y
x0 1
1S
2S
解方程组
11
于 [a,b]上的任意点 x处,o
x
y
a b x
S(x)
二, 立体的体积
以下只讨论两种特殊立体的体积,
1.平行截面面积已知的立体的体积
设某立体被夹在过 x轴上
的点 x = a 与 x = b 并垂直
于 x 轴的两平面之间,对 应
垂直于 x 轴的截面面积 S(x) 是 x 的连续函数,下面用
微元法来求它的体积,
12
dV = S(x)dx
()baV S x d x? ?
在 [a,b]上作定积分得
o x
y
a b x x+dx
S(x)
在 [a,b]上任取一个小区间 [x,x+dx],得一薄片的体积
微元 (近似值 )为
13
类似地，若立体被夹在过 y 轴上的点 y = c 与 y = d并
垂直于 y 轴的两平面之间,在 [c,d]上的任意点 y处垂直于
y 轴的截面面积 S(y) 是 y的连续函数,则立体的体积为
()d
c
V S y d y? ?
14
例 27 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心,并与
底面交成角 α,计算这平面截圆柱体所得立体的体积,
解 建立如图所示的坐标系,
o
x
y
x y
2 2 2x y R??
– R
α
α
R
S(x)
2 2 2x y R??
面积为 S(x),则由三角形的面积公式,有
设 x为 [–R,R]上之任意一点,
过该点且垂直 x 轴的截面
211( ) t a n t a n
22S x y y y??? ? ?
221 ( ) t a n
2 Rx ???
()R RV S x d x?? ? 221 ( ) t a n
2
R
R
R x d x?
?
??? 32 t a n3 R ??
则
从而底面圆的方程为
15
都可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形
绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的
直径旋转一周而成的立体,所以它们都是旋转体。
2.旋转体的体积
圆柱、圆锥、圆台、球体
o x
y
y=?(x)
a b
旋转体就是由一个平面图形
绕这平面内一条直线旋转一周而
成的立体, 这直线叫做旋转轴,
上述旋转体都可以看作是由连续曲线 y =?(x), 直线
x = a, 直线 x = b及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴
16
旋转一周而成的立体,
的体积微元 (近似
2[ ( ) ]d V f x d x??
2[ ( ) ]b
a
V f x d x?? ?
在 [a,b]上作定积分得
下面用微元法来求它的体积,
o x
y=?(x)
a b x x+dx
y
在 [a,b]上任取一个小区间 [x,x + dx],
窄曲边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片
则此小区间上的
近似值 )为
o x
y
y=?(x)
a b x x+dx
17
注 1 若此图形绕 y 轴旋转一周,对应的薄片体积微元为
则所得的旋转体的体积为
2 ( )x f x d x??
2 ( )b
a
V x f x d x?? ?
o x
y
y=?(x)
a
b x x+dx
22[ ( ) ] ( )d V x d x x f x??? ? ? ?
18
o x=φ(y)
c
d
y+dy
y
x
y
类似地,由曲线 x =φ(y), 直线 y = c, = d(c<d)与
y 轴所围成的曲边梯形,绕 y轴旋转一周而成的旋转体的
体积为
2[ ( ) ]d
cV y d y??? ?
19
注 2 一般地,由连续曲线 y =?(x), y =g(x) 和
直线 x = a, x = b所围成的平面图形绕 x 轴旋转一
周而成的立体的体积为
o x
y
y=?(x)
a b x x+dx
y=g(x)
22[ ( ) ( ) ]b
x aV f x g x d x????
20
o x
y
y=?(x)
a b x x+dx
y=g(x)
则平面图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为
2 [ ( ) ( ) ]by
a
V x f x g x d x????
o x
y
y=?(x)
a
b x x+dx 2 ( )bx aV x f x d x?? ?
由前第 17张幻灯片知,
21
22[ ( ) ( ) ]d
y cV y y d y? ? ????
绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为
2 [ ( ) ( ) ]dx cV y y y d y? ? ????
类似地，由曲线 x =φ(y),x =ψ(y)(φ(y) ≤ψ(y)) 及
直线 y = c,y = d(c<d) 与 y轴所围成的曲边梯形,绕 y 轴旋
转一周而成的旋转体的体积为
22
例 28 求曲线 和 y = 0所围成的图形分别绕
x 轴及 y 轴旋转所得旋转体的体积,
22y x x??
o
y
22y x x??
(1,1)
(2,0) x
解 为了确定积分区间,应先求
两曲线之交点,
( 0,0 ),( 2,0 ) ; ( 1,1 )得 交 点 顶 点
22
0
y x x
y
? ??
? ?
?
0 2,0 1xy? ? ? ?从而
则绕 x 轴旋转的体积微元为
22( 2 )xd V x x d x???
x 解方程组
在 [0,2]上作定积分得 2 22
0
16( 2 )
15xV x x d x??? ? ??
23
22 2 ( 1 ) 1y x x x y? ? ? ? ? ?因 11xy? ? ? ?
则绕 y 轴旋转的体积微元为
o x
y (1,1)
(2,0) 1
22[ ( 1 1 ) ( 1 1 ) ]yd V y y d y?? ? ? ? ? ?
1
041yV y d y????
11xy? ? ?
11xy? ? ?
41 y d y???
11
2
0
84 ( 1 ) ( 1 )
3y d y??? ? ? ??
故
24
四,经济应用
在经济问题中,经常都要涉及到各种经济量的总量,
这些总量,在一定条件下,也可用定积分来进行计算,
1.已知边际 (变化率 ),求总量,
下面介绍两个常用问题,
若总量 P(t)在某区间 I上可导,且 [a,x]∈ I,则有
( ) ( ) ( )xaP x P t d t P a????
注 1 在上式中,当 x为产量且 a = 0时,只要将 P(x)代之以总
成本 C(x)、总收益 R(x)、总利润 L(x),则有
25
0( ) ( ) ( 0 )
xC x C t d t C????
00
( ) ( ) ( 0 ) ( )xxR x R t d t R R t d t??? ? ???
00( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 )
xxL x L t d t L L t d t C??? ? ? ???
注 2 当 x从 a变到 b时,P(x)的改变量即为
( ) ( ) ( )b
a
P P b P a P t d t?? ? ? ? ?
26
例 29 设某产品的总成本 C(单位,万元 )的边际成本是产量
x(单位, 百台 )的函数 总收入 R(单位,万元 )的
边际收入 是产量 x 的函数
( ) 4 4xCx? ??
( ) 9R x x? ??
(1)求产量由 1百台增加到 5百台时总成本与总收入各
增加多少?
(2)已知固定成本 C(0)=1万元,分别求出总成本、总收益,
总利润与产量 x 的函数关系式 ;
(3)产量为多少时,总利润最大 ; 并求此时的最大总利润,
总成本及总收益各为多少?
27
5
1
( 4 ) 1 9 ( )4xC d x? ? ?? 万元
5
1 ( 9 ) 2 4 ( )R x d x? ? ?? 万元
0( ) ( 0 ) ( )
xC x C C t d t??? ?
2
0
1( ) ( 9 ) 9
2
xR x t d t x x? ? ? ??
解 (1)由注 2知产量由 1百台增加到 5百台时总成本与总
收入分别为
(2)因总成本是固定成本与可变成本的和,则总成本
函数为
总收益为
2
0
11 ( 4 ) 1 4
48
x t d t x x? ? ? ? ? ??
则总利润函数为 L(x) = R(x) - C(x) =
2551
8xx??
28
注 3,第一问可这样求解 ΔC=C(5)–C(1),
( 4 ) 0L ?? ?而
故当产量 x = 4(百台 )时,有最大利润 L(4) = 9(万元 ),
25 ( ) 5 1
8
L x x x? ? ?由 5( ) 5 4L x x? ??得
( ) 0Lx? ?令
得驻点 x = 4
2.已知净投资函数 (流量 ),求总资本量,
此时的总成本为 C(4) =19 (万元 )
R(4) = 28 (万元 ),及总收入为
29
由于资本形成的过程就是资本总量增加的过程,而资
本总量又是随时间的变化而变化的,所以资本总量是时间
t 的函数,即 K = K(t ),称之为资本函数,
()dK t
dt
当资本函数 K = K(t )可导时,总资本形成率为
由经济学知资本总量的新增部分就是净投资, 因而净
投资 I=I(t)是一个关于 t的连续函数,从而投资者在时刻 t处
的净投资 I(t)即为总资本在时刻 t处的瞬时增量,
而由第三章导数定义的引入知,, 一个量在某点的瞬时
增量实质上就是这个量在该点的充分小邻域内的平均改变
量的极限 (导数 ),即
30
0
( ) ( ) ( )lim
t
K t t K t d K t
t d t??
? ? ? ?
?
() ()d K t It
dt??
此式两边从 0 到 t 作定积分,有
0( ) ( ) ( 0 )
tK t I x d x K???
任意时刻 t的总资本量 K(t) 等于区间 [0,t ]内的新
增资本 与初始时刻 t = 0 时的资本（即初始
资本 )K(0)之和,
0 ()
t I x d x?
此公式的经济意义,
这三量的直观意义如下图,
31
o t
K
t
K=K(t)
K(0)
0 ()
t I x dx?﹜
o t
I
t
I=I(t)
0 ()
t I x dx?
显然在时间间隔 [a,b]上,总资本的追加部分 (即
[a,b]上的净投资量 )为
( ) ( ) ( )ba I x d x K b K a???
32
例 30 设净投资函数 (百万元 /年 )且当 t = 0 时
资本总量为 100(百万元 ),试求,
1
2( ) 1 0I t t?
解 13
22
0
20( 1 ) ( ) 1 0 ( 0 ) 1 0 0
3
tK t x d x K t? ? ? ??
3
220( 2 ) ( 9 ) 9 1 0 0 2 8 0 ( )
3
K ? ? ? 百万元
9
4( 3 ) ( ) ( 9 ) ( 4 ) 2 2 6, 6 7 ( )I t d t K K? ? ?? 百万元
(3) 从第 4年末到第 9年末这段时间间隔内总资本的追
加部分的数量,
(1) 资本函数 K(t)的表达式 ;
(2) 第 9年末的资本总量 ;
§ 6.6 定积分的应用
定积分的应用极其广泛,以下仅介绍它在几何与经
济上的应用 ; 并希望同学们通过本章的学习能熟练地的
运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法 ——
一,微元法的基本思想
o x
y=?(x)
a b
B
A
x+Δx x
H
C
D
E F
如图,曲边梯形 AabB 的面积为
定积分
( ),ba f x d x?
y
微元法,
(元素法 )
表达式 ?(x)dx,正好是区间 [a,b]上
的任意小区间 [ x,x + ? x] 上的窄曲边
梯形
而这个积分的被积
DEFH 面积 ΔS 的近似值,而
2
(2) 以微分表达式 ?(x)dx为被积表达式,在 [a,b]上作定积分
根据微分的定义有 ?(x)dx = dS,即
求曲边梯形 AabB 的面积 S 的方法为,
(1) 在 [a,b]上任取一个小区间 [x,x + dx],并求出总量 S 的
微分 dS = ?(x)dx ;
()bbaaS d S f x d x????
当 ?x = dx→0 时,ΔS=?(x)dx + o(dx),
o x
y=?(x)
a b
B
A
x+Δx x
H
C
D
E F
y
(面积微元 )
即可。
(面积微元进行求和累加 )
3
抛开 S 的具体含义，把这种思想加以抽象,就得到
微元法思想的表述,
数学上将这种思想方法称之为微元法, 总量 A的微
分 dA=?(x)dx,称为总量 A 的积分微元,
则有 dA=?(x)dx且总量为
( ),baA f x d x? ?
可加性 (即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之
和 );
若总量与变量 x 的变化区间 [a,b]有关,且对区间具有
在区间 [x,x + d x ] 上对应分量的近似值 为 ?(x)dx,
4
二,平面图形的面积
o
y
y=?(x)
a b x+dx x
y=g(x)
(2) 写出面积微元 dS
x
求平面图形面积的步骤,
(1) 选取 积分变量 x
或 y
(3) 作定积分
()baS f x d x? ?
注, 在选择积分变量时,还要考虑图形特征,
(过点 x作垂直于 x 轴的直线穿区域 D,是 一进一出 )
(过点 y 作垂直于 y 轴的直线穿区域 D,是一进一出 )
及积分区间,
o
x=φ(y)
c
d
y+dy
y x=ψ(y)
x
y
5
1,若平面图形 D 被夹在直线 x = a与 x = b之间,且其
上下边界的方程分别为 y = ?(x)和 y = g(x) 则图形的面积为
[ ( ) ( ) ]baS f x g x d x???
则以 dx为底,?(x) – g(x)为高的小窄矩形面积微元
o
y
y=?(x)
a b x+dx x
y=g(x)
x
分析, 对任意的 x∈ [a,b],
作垂直于 x轴的直线穿区域 D,
是从 g(x) 进,从 ?(x)出 ;
dS = [?(x)–g(x)]dx
6
例 24 计算由两条抛物线, 所围成图形的面积。,22y x y x??
解
o x
2yx?
(1,1)
x x+dx 1
2yx?
yx?
y
为了求出面积,一般先划出两条曲线所围成的图形。
为了定出图形的所在范围,应先求
出这两条抛物线的交点，为此,
解方程组 2
2
yx
yx
? ?
? ?
?
01,xx
yy
?????
??
??
即这两条抛物线的交点为 (0,0) 及 (1,1)。
从而知道这图形在直线 x = 0 及 x = 1 之间。
取 x 为积分变量,且 x ∈ [0,1],微元为 2()d S x x d x??
1 2
0 ()S x x d x???
则 3 3
2
121[]
03 3 3
xx? ? ?
7
2,若平面图形 D 被夹在直线 y = c 与 y = d 之间，且其左
右边界的方程分别为 x =φ (y) 及 x =ψ (y),则图形的面积为
[ ( ) ( ) ]dcS y y d y?????
o
x=φ(y)
c
d
y+dy
y
x=ψ(y) x
则以 dy为底,φ(y)–ψ(y)为高的小窄矩形面积微元
y
分析, 对任意的 y∈ [c,d],
作垂直于 y 轴的直线穿区域 D,
是从 ψ(y)进,从 φ(y)出 ;
ds = [φ(y)–ψ(y)] dy
8
o
y
– 4
(2,– 2)
y
y+dy
y=x–4
2 2yx?
为了定出图形的所在范围,应先
求出抛物线和直线的交点，为此,
212xy?
例 25 计算由抛物线 与直线 y = x - 4 所围成图
形的面积。
2 2yx?
解 为了求出面积,一般先划出两条曲线所围成的图形。
(8,4)
即这两条抛物线的交点为 (2,-2) 及 (8,4)。
解方程组
2 2
4
yx
yx
? ?
? ??
?
28,
24
xx
yy
?????
??? ? ???
从而知道这图形在直线 y = -2 及 y = 4 之间。
取 y 为积分变量,且 y ∈ [-2,4],微元为
21( 4 )
2d S y y d y? ? ?
x
x=y+4
9
4 2
2
1( 4 )
2A y y d y?? ? ??
23 411( 4 ) 1 8
226y y y? ? ? ??
则
思考, 若选 x 为积分变量，应该如何做? 请同学们课后
自己作一下,
o x
y
(2,– 2)
(8,4)
4 8
– 4
10
例 26 设曲线 x 轴与 y 轴在第一象限所围的图形
被曲线 分为面积相等的两部分，试确定的值。
21,yx??
2 ( 0 )y a x a??
解 如图,
1(,)
11
a
aa ??得交点
而 1
221
1 0 ( 1 )aS x a x d x?? ? ??
2
31 a
?
?
再由
1
1
2SS?
1 2
0
21 ( 1 )
231 x d xa ??? ?
2
2
1yx
y a x
? ??
? ?
?
3
1
1
[ ( 1 ) ] 1
3
0
x a x a? ? ? ?
得
3a ?解之得
1
3?
21yx??
2y ax?
1
a
a?
1
1 a?
y
x0 1
1S
2S
解方程组
11
于 [a,b]上的任意点 x处,o
x
y
a b x
S(x)
二, 立体的体积
以下只讨论两种特殊立体的体积,
1.平行截面面积已知的立体的体积
设某立体被夹在过 x轴上
的点 x = a 与 x = b 并垂直
于 x 轴的两平面之间,对 应
垂直于 x 轴的截面面积 S(x) 是 x 的连续函数,下面用
微元法来求它的体积,
12
dV = S(x)dx
()baV S x d x? ?
在 [a,b]上作定积分得
o x
y
a b x x+dx
S(x)
在 [a,b]上任取一个小区间 [x,x+dx],得一薄片的体积
微元 (近似值 )为
13
类似地，若立体被夹在过 y 轴上的点 y = c 与 y = d并
垂直于 y 轴的两平面之间,在 [c,d]上的任意点 y处垂直于
y 轴的截面面积 S(y) 是 y的连续函数,则立体的体积为
()d
c
V S y d y? ?
14
例 27 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心,并与
底面交成角 α,计算这平面截圆柱体所得立体的体积,
解 建立如图所示的坐标系,
o
x
y
x y
2 2 2x y R??
– R
α
α
R
S(x)
2 2 2x y R??
面积为 S(x),则由三角形的面积公式,有
设 x为 [–R,R]上之任意一点,
过该点且垂直 x 轴的截面
211( ) t a n t a n
22S x y y y??? ? ?
221 ( ) t a n
2 Rx ???
()R RV S x d x?? ? 221 ( ) t a n
2
R
R
R x d x?
?
??? 32 t a n3 R ??
则
从而底面圆的方程为
15
都可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形
绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的
直径旋转一周而成的立体,所以它们都是旋转体。
2.旋转体的体积
圆柱、圆锥、圆台、球体
o x
y
y=?(x)
a b
旋转体就是由一个平面图形
绕这平面内一条直线旋转一周而
成的立体, 这直线叫做旋转轴,
上述旋转体都可以看作是由连续曲线 y =?(x), 直线
x = a, 直线 x = b及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴
16
旋转一周而成的立体,
的体积微元 (近似
2[ ( ) ]d V f x d x??
2[ ( ) ]b
a
V f x d x?? ?
在 [a,b]上作定积分得
下面用微元法来求它的体积,
o x
y=?(x)
a b x x+dx
y
在 [a,b]上任取一个小区间 [x,x + dx],
窄曲边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片
则此小区间上的
近似值 )为
o x
y
y=?(x)
a b x x+dx
17
注 1 若此图形绕 y 轴旋转一周,对应的薄片体积微元为
则所得的旋转体的体积为
2 ( )x f x d x??
2 ( )b
a
V x f x d x?? ?
o x
y
y=?(x)
a
b x x+dx
22[ ( ) ] ( )d V x d x x f x??? ? ? ?
18
o x=φ(y)
c
d
y+dy
y
x
y
类似地,由曲线 x =φ(y), 直线 y = c, = d(c<d)与
y 轴所围成的曲边梯形,绕 y轴旋转一周而成的旋转体的
体积为
2[ ( ) ]d
cV y d y??? ?
19
注 2 一般地,由连续曲线 y =?(x), y =g(x) 和
直线 x = a, x = b所围成的平面图形绕 x 轴旋转一
周而成的立体的体积为
o x
y
y=?(x)
a b x x+dx
y=g(x)
22[ ( ) ( ) ]b
x aV f x g x d x????
20
o x
y
y=?(x)
a b x x+dx
y=g(x)
则平面图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为
2 [ ( ) ( ) ]by
a
V x f x g x d x????
o x
y
y=?(x)
a
b x x+dx 2 ( )bx aV x f x d x?? ?
由前第 17张幻灯片知,
21
22[ ( ) ( ) ]d
y cV y y d y? ? ????
绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为
2 [ ( ) ( ) ]dx cV y y y d y? ? ????
类似地，由曲线 x =φ(y),x =ψ(y)(φ(y) ≤ψ(y)) 及
直线 y = c,y = d(c<d) 与 y轴所围成的曲边梯形,绕 y 轴旋
转一周而成的旋转体的体积为
22
例 28 求曲线 和 y = 0所围成的图形分别绕
x 轴及 y 轴旋转所得旋转体的体积,
22y x x??
o
y
22y x x??
(1,1)
(2,0) x
解 为了确定积分区间,应先求
两曲线之交点,
( 0,0 ),( 2,0 ) ; ( 1,1 )得 交 点 顶 点
22
0
y x x
y
? ??
? ?
?
0 2,0 1xy? ? ? ?从而
则绕 x 轴旋转的体积微元为
22( 2 )xd V x x d x???
x 解方程组
在 [0,2]上作定积分得 2 22
0
16( 2 )
15xV x x d x??? ? ??
23
22 2 ( 1 ) 1y x x x y? ? ? ? ? ?因 11xy? ? ? ?
则绕 y 轴旋转的体积微元为
o x
y (1,1)
(2,0) 1
22[ ( 1 1 ) ( 1 1 ) ]yd V y y d y?? ? ? ? ? ?
1
041yV y d y????
11xy? ? ?
11xy? ? ?
41 y d y???
11
2
0
84 ( 1 ) ( 1 )
3y d y??? ? ? ??
故
24
四,经济应用
在经济问题中,经常都要涉及到各种经济量的总量,
这些总量,在一定条件下,也可用定积分来进行计算,
1.已知边际 (变化率 ),求总量,
下面介绍两个常用问题,
若总量 P(t)在某区间 I上可导,且 [a,x]∈ I,则有
( ) ( ) ( )xaP x P t d t P a????
注 1 在上式中,当 x为产量且 a = 0时,只要将 P(x)代之以总
成本 C(x)、总收益 R(x)、总利润 L(x),则有
25
0( ) ( ) ( 0 )
xC x C t d t C????
00
( ) ( ) ( 0 ) ( )xxR x R t d t R R t d t??? ? ???
00( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 )
xxL x L t d t L L t d t C??? ? ? ???
注 2 当 x从 a变到 b时,P(x)的改变量即为
( ) ( ) ( )b
a
P P b P a P t d t?? ? ? ? ?
26
例 29 设某产品的总成本 C(单位,万元 )的边际成本是产量
x(单位, 百台 )的函数 总收入 R(单位,万元 )的
边际收入 是产量 x 的函数
( ) 4 4xCx? ??
( ) 9R x x? ??
(1)求产量由 1百台增加到 5百台时总成本与总收入各
增加多少?
(2)已知固定成本 C(0)=1万元,分别求出总成本、总收益,
总利润与产量 x 的函数关系式 ;
(3)产量为多少时,总利润最大 ; 并求此时的最大总利润,
总成本及总收益各为多少?
27
5
1
( 4 ) 1 9 ( )4xC d x? ? ?? 万元
5
1 ( 9 ) 2 4 ( )R x d x? ? ?? 万元
0( ) ( 0 ) ( )
xC x C C t d t??? ?
2
0
1( ) ( 9 ) 9
2
xR x t d t x x? ? ? ??
解 (1)由注 2知产量由 1百台增加到 5百台时总成本与总
收入分别为
(2)因总成本是固定成本与可变成本的和,则总成本
函数为
总收益为
2
0
11 ( 4 ) 1 4
48
x t d t x x? ? ? ? ? ??
则总利润函数为 L(x) = R(x) - C(x) =
2551
8xx??
28
注 3,第一问可这样求解 ΔC=C(5)–C(1),
( 4 ) 0L ?? ?而
故当产量 x = 4(百台 )时,有最大利润 L(4) = 9(万元 ),
25 ( ) 5 1
8
L x x x? ? ?由 5( ) 5 4L x x? ??得
( ) 0Lx? ?令
得驻点 x = 4
2.已知净投资函数 (流量 ),求总资本量,
此时的总成本为 C(4) =19 (万元 )
R(4) = 28 (万元 ),及总收入为
29
由于资本形成的过程就是资本总量增加的过程,而资
本总量又是随时间的变化而变化的,所以资本总量是时间
t 的函数,即 K = K(t ),称之为资本函数,
()dK t
dt
当资本函数 K = K(t )可导时,总资本形成率为
由经济学知资本总量的新增部分就是净投资, 因而净
投资 I=I(t)是一个关于 t的连续函数,从而投资者在时刻 t处
的净投资 I(t)即为总资本在时刻 t处的瞬时增量,
而由第三章导数定义的引入知,, 一个量在某点的瞬时
增量实质上就是这个量在该点的充分小邻域内的平均改变
量的极限 (导数 ),即
30
0
( ) ( ) ( )lim
t
K t t K t d K t
t d t??
? ? ? ?
?
() ()d K t It
dt??
此式两边从 0 到 t 作定积分,有
0( ) ( ) ( 0 )
tK t I x d x K???
任意时刻 t的总资本量 K(t) 等于区间 [0,t ]内的新
增资本 与初始时刻 t = 0 时的资本（即初始
资本 )K(0)之和,
0 ()
t I x d x?
此公式的经济意义,
这三量的直观意义如下图,
31
o t
K
t
K=K(t)
K(0)
0 ()
t I x dx?﹜
o t
I
t
I=I(t)
0 ()
t I x dx?
显然在时间间隔 [a,b]上,总资本的追加部分 (即
[a,b]上的净投资量 )为
( ) ( ) ( )ba I x d x K b K a???
32
例 30 设净投资函数 (百万元 /年 )且当 t = 0 时
资本总量为 100(百万元 ),试求,
1
2( ) 1 0I t t?
解 13
22
0
20( 1 ) ( ) 1 0 ( 0 ) 1 0 0
3
tK t x d x K t? ? ? ??
3
220( 2 ) ( 9 ) 9 1 0 0 2 8 0 ( )
3
K ? ? ? 百万元
9
4( 3 ) ( ) ( 9 ) ( 4 ) 2 2 6, 6 7 ( )I t d t K K? ? ?? 百万元
(3) 从第 4年末到第 9年末这段时间间隔内总资本的追
加部分的数量,
(1) 资本函数 K(t)的表达式 ;
(2) 第 9年末的资本总量 ;
