1
§ 5.2 基本积分表
()k x k? ?
1( ) ( 1 )xx???? ? ??
导数公式表 积分公式表
k d x k x C???
0C? ? 0 d x C??
11 (1
1x d x x C
?? ?
?
?? ? ? ?
??
1( l n )x
x
? ? 1 lnd x x Cx ???
( ) l nxxa a a? ? 1
ln
xxa d x a C
a???
()xxee? ? xxe d x e C???
2
导数公式表 积分公式表
( s i n ) c o sxx? ?
( c o s ) s i nxx? ??
c o s s i nx d x x C???
2( c o t ) c s cxx? ??
( s e c ) s e c t a nx x x? ?
2( t a n ) s e cxx? ?
s i n c o sx d x x C? ? ??
2s e c t a nx d x x C???
2c s c c o tx d x x C? ? ??
s e c t a n s e cx x d x x C???
( c s c ) c s c c o tx x x? ?? c s c c o t c s cx x d x x C? ? ??
2
1( a r c s i n )
1
x
x
? ?
? 2 a r c s i n1
dx xC
x
??
??
2
1( a r c t a n )
1x x
? ?
? 2 a r c t a n1
dx xC
x ????
以上基本积分公式是求不定积分的基础,必须记牢！
3
例 4 求下列不定积分
3
( 3 ) dx
xx?
2 ( 2 ),x x xe d x e d x???解
3(1)
dx
x?
-3
3
dx x d x
x ???解
2( 2 ) x x d x?
5
2 2x x d x x d x???解
-21
2 xC? ? ?
77
2212
5 7
1
2
x C x C? ? ? ?
?
( 4 ) 2 xxe d x?
4
3
3
dx x d x
xx
?
???解
1
33 xC?? ? ?
( 2 )
l n 2
xe
C
e
??
4
直接积分法
利用基本积分公式和性质求不定积分的方法称为直接
积分法,用直接积分法可求出某些简单函数的不定积分,
例 5 求下列不定积分
2
3
( 2 )( 1 ) x dx
x
??
22
33
( 2 ) 4 4x x xd x d x
xx
? ? ????解
23
1 1 144d x d x d x
x xx? ? ?? ? ?
2
42ln xC
x x? ? ? ?
5
42
2
2( 2 )
1
xx dx
x
?
??
4 2 4 2
22
2 2 1 1
11
x x x xd x d x
xx
? ? ? ??
????
解
22
2
( 1 ) 1
1
x dx
x
???
??
2
2
1( 1 )
1x d x d xx? ? ? ???
31 a r c t a n
3 x x x C? ? ? ?
2( 3 ) c o s
2
x dx?
2 1 c o sc o s
22
xxd x d x????解 1 ( s i n )
2 x x C? ? ?
6
( c o s s i n )x x d x???
s i n c o s,x x C? ? ?
例 6 一种流感病毒每天以 的速率增加,其
中 t是首次爆发后的天数,如果第一天有 50个病人,试问在
第 10天有多少个人被感染？
2( 2 4 0 3 ) /t? 人秒
解 设在第 t天有 Q(t)个人被感染,则
2( ) ( 2 4 0 3 )Q t t d t??? 22 4 0 3t d t t d t????
231 2 0,t t C? ? ?
c o s 2( 4 ),
s i n c o s
x dx
xx??
22c o s 2 c o s s i n
.
s i n c o s s i n c o s
x x xd x d x
x x x x
??
????
解
7
由题意知当 t = 1时,Q(t) = 50,
代入上式可解出 C = –69,则
23( ) 1 2 0 6 9Q t t t? ? ?
10( ) 1 0 9 3 1tQt ? ?
即在第 10天有 10931个人被感染,
例 7 已知
2
2 1 1( ),( ),
2 1
xxf x f x d x
xx
????
? ??
? ?
求
解 当 x < 1时,有 2
1( ) ( 2 1 ), f x d x x d x x x C? ? ? ? ???
当 x > 1时,有 3
2
2 ( ) ( 2 ) 2,3
xf x d x x d x x C? ? ? ? ???
由原函数的定义知原函数在 x = 1处可导且连续,
8
3
2x1l i m ( 2 )3
x xC
??
? ? ? 2 1x1l i m ( )x x C?? ??
12
1
3CC??
2
3
1
() 1
2 1
33
x x C x
f x d x x
x C x
? ? ? ?
?
? ?
? ? ? ??
?
?
从而有