1
函数 ?(x)的单调性与极值是函数的重要性态,如图,
曲线弧 AB是单增的曲线, 但从 A到 C的曲线是向下弯
(或凸 )的 ; 从 C到 B的曲线是向上弯 (或凹 )的, 显然,曲线
的弯曲方向和弯曲方向的转变点对我们研究函数的性
态是十分重要的, 这就是下面讨论的凹性与拐点,
§ 4.5 曲线的凹性与拐点
B
A
? C
2
定义 1 设函数 y = ?(x)在区间 (a,b)内可导, 若
该函数曲线在 (a,b)内总是位于其上任意一点
的切线上方,则称该曲线在 (a,b)内是上凹的 ;
区间 (a,b)为该曲线的上凹区间,
o x
y
y =?(x)
一,曲线的 凹性
3
若该函数曲线在 (a,b)内总是位于
其上任意一点的切线下方,则称该曲线
在 (a,b)内是下凹的 ; 区间 (a,b)为该
曲线的下凹区间,
人们常将曲线所具有的上凹或下凹的性质称为曲线
的凹性, 定义 1的等价定义为
o x
y
y=?(x)
定义 若曲线 y = ?(x)在区间 (a,b)内连续,1?
12
1 2 1 2
1(,),( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
22
xxx x a b f f x f x?? ? ? ? ? ?均 有 或
则称曲线在该区间内是下 (上 )凹的,
4
o x
y
? ? A B
o x
y
A
B ? ?
1x 1x2x 2x122xx?
12
1 [ ( ) ( ) ]
2 f x f x?
12
2
xx?
12
1 [ ( ) ( ) ]
2 f x f x?
显然用定义来判别曲线的凹性是极不方
便的, 由定义 1知下凹曲线从点 A移到点 B 时,
对应的切线斜率 单调减少的,
A
A
B
B
()fx?
()fx?
而上凹曲线从点 A移到点 B时,对应的切线斜率
单调增加的, 从而当 存在时,则可用
二阶导数的符号来判别曲线的凹性,
()fx??
y = ?(x) y = ?(x)
5
定理 11 设函数 y = ?(x)在区间 (a,b)内具有二阶导数,则
( 1 ) (,),( ) 0,( ) (,) x a b f x y f x a b??? ? ? ?均 有 曲 在 是 上 凹 的
+
–
o x
y
a
? ?
b
y= ?(x)
? 00(,( ))x f x
(,( ))x f x
(,)xy
0x x
分析, 只需证明 即可, ( ) 0f x y??
,(,),( ) ( )x a b f x f x? ???? 存 在,存 在
}
00( ) (,( ) )y f x x f x?曲 线 上 任 意 一 点 的 切 线 方 程 为
0 0 0 ( ) ( ) ( )y f x f x x x?? ? ?
(,( ) ),x f x设 为 曲 线 上 的 另 一 个 任 意 点 则
0 ( ) f x x x由 在 与 之 间 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理
( 2 ) (,),( ) 0,( ) (,) x a b f x y f x a b??? ? ? ?均 有 则 曲 线 在 内 是 下 凹 的
6
0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( 0 1,)??f x f x f x x x x x x?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得
y且切线上对应点的纵坐标 必满足
00( ) ( )y f x f x x?? ? ?
00( ) [ ( ) ( ) ] ( 0 1 ),??f x y f x x f x x??? ? ? ? ? ? ? ?
( ) 0,( ) (,) f x f x a b?? ?? 在 内 单 调 增 加
000,( ) ( ) 0?x f x x f x??? ? ? ? ? ? ?当 时 有
0,( ) 0,x f x y? ? ? ? ?恒有
00(,( ) ) (,( ) )x f x x f x则 由 点 与 的 任 意 性 知
( ) (,), ( 2 ),y f x a b?曲 线 在 内 是 上 凹 的 同 理 可 证
000,( ) ( ) 0?x f x x f x??? ? ? ? ? ?当 时 有
7
o x
y y= ?(x)
a
A
B
b c
C
二,曲线的拐点的定义
定义 2 设函数 y = ?(x)在区间 (a,b)内连续,
则曲线 y = ?(x) 在该区间内上凹 (从 A 到 C)
与下凹 (从 C到 B)部分的分界点 C(c,?(c))称
为曲线的拐点,
注 1:拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需用横坐标与
纵坐标同时表示,不能仅用横坐标表示,这与驻点及极值
点的表示方法不一样,
例 30 判断曲线 的凹性,并求其拐点, 23,y x y x??
22 ( ) 2,( ) 2 0x x x? ??? ? ?解
2 (,),yx? ? ? ? ? ?曲 线 在 内 上 凹 的
? o x
y 2yx?
?
8
32 ( ) 3xx? ?
3 0,0 ( ) 6
0,0
x
xx
x
???
?? ? ?
???
当
当
3 (,0 ) ; ( 0,) yx ? ? ? ? ?曲 线 在 内 下 凹 的 在 内 上 凹 的
3( 0,0 ),yx?点 是 曲 线 的 拐 点
注 2:由拐点的定义知,要讨论曲线的凹性须先寻找它的拐
点,那么拐点在哪些点之中去寻找呢?
? o x
y 3yx?
定理 12 (拐点的必要条件 ) 若函数 y = ?(x)在 处的二阶导数
存在,且点 为曲线 y = ?(x)的拐点,则
0x
0()fx??
00(,( ) )x f x 0( ) 0,fx?? ?
0 0 0 0 (,( ) ),( ),x f x x f x?? ??为 曲 线 的 拐 点 则 点 的 两 侧 异 号证
0( ) fx??且 由 已 知 存 在,则 0
( ) 0fx?? ?
9
注 3,所确定的点 不一定是拐点,如 即
00(,( ) )x f x
0( ) 0fx?? ? 00(,( ) )x f x
4yx?
即这些点只是可能的拐点,是否真为拐点呢?
是点为 拐点的必要条件而非充分条件,
定理 13.若函数 y = ?(x)在 处 且在 两
侧的二阶导数变号,则点 为曲线 y = ?(x)的
拐点, 在 两侧的二阶导数保号,则点 不
为曲线 y = ?(x)的拐点,
0x 0( ) 0fx?? ?
00(,( ) )x f x
0x
0x00(,( ) )x f x
10
注 4:有两种特殊情形要注意,
(1)?(x)在 处一阶导数存在而二阶导数不存在, 如果在点
左右邻近二阶导数存在且符号相反,则 为拐点 ;
若符号相同,则不是拐点,
0x
0x
00(,( ) )x f x
0x
0x 00(,( ) )x f x
(2) ?(x)在 处连续,而一、二阶导数都不存在, 如果
在点 左右邻近二阶导数存在且符号相反,则 为拐
点 ; 若符号相同,则不是拐点,
11
例 31 判断曲线 的凹性,并求其拐点, 3 5( 1 )y x x??
52
3385
33y x x
? ??而 ( -,)? ? ?解 定 义 域 为
3
1 0 4 1 1,0
94
xy x y
x
??? ??? ? ? ?当时
0,.,xy ???当 时 不 存 在 列 表 如 下
x 0 (0,)
+ 不存在 – 0 +
y 拐点 (0,0) 拐点
y??
(,0)?? 1
(,)4 ??
1
4
11(,( ))
44f
1
4
12
结论, 曲线在 内是上凹的 ; 曲线在
内是下凹的 ;
1(,0 ) (,)
4? ? ? ? ?
3
13(,),
4 1 6 1 6?
拐点为 (0,0)和
1(0,)
4