1
2
0,1,J r D ??仅 在 处 为 零 故 不 论 闭 区 域 是 否 含 有 极 点注
,换 元 公 式 仍 成 立 即
(,) ( c o s,s i n ),
DD
f x y d x d y f r r r d r d? ? ?
?
??? ??
注 2 因在极坐标变换下,上式中的积分区域 D与
是同一平面区域,只是 D的边界方程是关于 x,y的方
程,而 的边界方程是关于 r,θ 的方程,故上式又可
写成,
D?
D?
(,) ( c o s,s i n ),
DD
f x y d x d y f r r r d r d? ? ???? ??
注 3 当二重积分的积分区域 D的边界曲线用极坐标
表示比较方便 (如 D为圆形、环形、扇形等 )或被积函
数用极坐标变量 r,θ 表示比较简 单 (如被积函数为
3
4
2
1
()
()
( c o s,s i n ) ( c o s,s i n )r
r
D
f r r r d r d d f r r r d r??
??
? ? ? ? ? ??? ? ? ?
而积分区域 D为如图所示的曲边扇形,
有两种特殊情形需注意,
(1) 极点 o在区域 D的边界上,此时
1 ( ) 0,r ? ?
r
D
α
β
()rr??
θ=β
θ=α
O
可用 不等式表示为
20 ( ),rrD ?
? ? ?
???
? ??
?
且有
()
0
( c o s,s i n ) ( c o s,s i n )r
D
f r r r d r d d f r r r d r??
?
? ? ? ? ? ??? ? ? ?
5
(2) 极点 o在区域 D的内部 (如图 ),此时积分区域 D可用
r
D
θ
()rr??
O
20 ( ):
02
rr
D
?
??
???
? ??
?
且有
2 ( )
00
( c o s,s i n ) ( c o s,s i n )r
D
f r r r d r d d f r r r d r??? ? ? ? ? ??? ? ? ?
不等式表示为
22 221 4,,1,xy
D
I e d x d y D x y??? ? ???例 计 算 其 中 为 圆 域
r
D
θ 1r?O 01
,:
02
r
D
??
???
? ??
?
解 在 极 坐 标 系 下
6
22 xy
D
I e d x d y??? ??则
2r
D
e r d r d ??? ??
221
00
rd e r d r? ? ?? ??
2 11
0
12 [ ] ( 1 ),
2
ree????? ? ? ?
注 5 此题如不用极坐标而用直角坐标,因 2xe d x??
用 初等函数表示,积分就难以进一步计算,故采用
坐标,
积分之值,
不能
极
不仅可简化计算,甚至 只有它才能计算出二重
7
2 2 2 21 5,2
D
x y d D x y x?? ? ???例 计 算 其 中 是 由 圆
2 cosr ??
x o
222x y x??2
?? ??
D
θ
2
???
.所围成的区域
解 积分区域 D如图所示,并
c o s
s i n
xr
yr
?
?
??
? ?
?
令
则 D的边界方程为 r=2cosθ,
0 2 c o s
,:
22
r
D
?
??
?
???
?
?
? ? ??
?
故在极坐标系下
22
DD
x y d r r d r d??? ? ??? ??则
2 c o s 2
2
0
2
d r d r
? ?
? ??? ??
y
8
22 2 1 1
0 0 2 2 0
1 6 ( ) ( )
.
xxyy
I d x f d y d x f d y
xx
?
??? ? ? ?例 把 积 分
化为极坐标形式的累次积分
x
y
o
D θ
22
(,)2 2 2 2?
解 在直角坐标系下积分区域 D如图所示,显然
1
01
,
04
r
D
??
???
? ??
?
即
14
00
( t a n )I d f r r d r? ???? ??
区域 D为扇形,则将其转换为极坐标形式,
32
0
1 6 3 2 c o s
3 9,
d
?
?????32
2
8 c o s
3
d
?
? ???? ?
9
22 3 2 2
22
1 7 [ s i n l n ( 1 ) 2 ],
, ( 2 ) 4,
yx
D
I e x y x e x y d
D x y
?? ? ? ? ?
? ? ?
??例 计 算
其中
分析,此题的被积函数非常复杂,无论是何种坐标系,
223 2 2 s i n l n ( 1 )yxe x y x e x y??和
x
y
o
D 2
但如图,积分区域 D关于 y轴对称,
223 2 2s i n l n ( 1 ) 2yxe x y x e x y? ? ? ?
因被积函数
的原函数
都求不出来,常规解法已失效,
何种积分次序,
关于 x是 奇函数,则
22 3 2 2[ s i n l n ( 1 ) ] 0yx
D
e x y x e x y d ?? ? ? ???
故此时可 先对 x再 对 y进行累次积分计,
10
定理 3 若函数 ?(x,y)在闭区域 D上连续,区域 D关于
(1) 若 ?(x,y)关于 x是奇函数,即 ?(–x,y)=–?(x,y),则
(,) 0
D
f x y d ? ???
(2) 若 ?(x,y)关于 x是偶函数,即 ?(–x,y)=?(x,y),则
1
(,) 2 (,)
DD
f x y d f x y d????? ??
y轴对称,
1D D y其 中 为 区 域 在 轴 右 边 的 子 区 域,
2
D
Id ??? ?? 2 8,
D
d ??????
11
注 6 关于 x轴对称的区域 D,对于坐标 y,函数 ?(x,y)
221 8 ( ),,( 1 ) 1,
D
x y d D x y?? ? ? ???例 计 算 其 中
(同学们课后做 !)
注 7 极坐标系中的面积元素为 dσ = rdrdθ,从而
D
r d r d??? ??
有类似的计算性质,
2 2 2 2 2 21 9, ( ) 2 ( )
0,
D x y a x y
x
? ? ?
?
例 已 知 区 域 由 双 纽 曲 线
所围成且,D求 区 域 的 面 积
12
x
O
y
2a
D
解 D的边界为双纽曲线,在点 (0,0)处不可导,
c o s
s i n
xr
yr
?
?
??
? ?
?
令
则 D的边界方程为
2 2 2 2( ) 2 c o s 2r a r ??
222 c o s 2ra ??? 22 c o s 2ra ???
44
???? ? ? ?
22 c o s 2ra ??
20 2 c o s 2
:
44
ra
D
?
??
?
? ??
?
?
? ? ??
?
故区域
D
r d r d???? ??
22 c o s 2
4
0
4
a
d r d r
? ?
? ??? ??
2.a?
13
2 2 2 22 0 2,z x y z x y? ? ? ? ?例 求 与 所 围 立 体 体 积
y O
x
2
1
1 ·
解 由题意,所围立体图形如图所示,
利用二重积分的几何
22
22
2
z x y
z x y
? ? ? ?
?
???
则交线为
22 1
1
xy
z
? ??
? ?
?
即
从而将立体投影在 xy平面,得区域
22, 1xyD x y??
01
,:,
02xy
r
D
??
???
? ??
?
在极坐标系下
xyD
z
意义,有
2 2 2 2[ ( 2 ) ( ) ]
xyD
V x y x y d x d y? ? ? ? ???
14
21 2
00 ( 2 2 )d r r d r
? ????? ??
2 2 2
2 1,( ) (,) ( 0 ),
x y t
f F t f x y d x d y t
??
????例 已 知 函 数 连 续 且
x
y
o
D
r=t
θ=0
θ=2π
c o s
,
s i n
xr
yr
?
?
??
? ?
?
解令
0
:
02
rt
D
??
???
? ??
?
则区域
2 2 2
( ) (,)
x y t
F t f x y d x d y
??
?? ??
( ),Ft?求
2
00 ( c o s,s i n )
td f r r r d r? ? ? ?? ??
2
00 ( ( c o s,s i n ) )
t f r r r d d r? ? ? ?? ??
2
0( ) ( c o s,s i n ),F t f t t t d
? ? ? ???? ?