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第十章 微分方程
§ 10.1 微分方程的基本概念
§ 10.2 一阶微分方程
§ 10.3 高阶微分方程
§ 10.4 微分方程的应用
( ) ( )dy f x g ydx ?
2
第十章 微分方程
微积分研究的主要对象是函数, 因此,如何寻找函数
关系,这在实践中具有十分重要的意义,
在自然科学、生物科学以及经济与管理科学的许多领
域中,反映变量之间内在联系的函数关系,往往都不能直接
得到,而必须通过建立实际问题的数学模型 —— 微分方程,
并求解这个微分方程才能得到,
什么是 微分方程呢? 下面通过具体的实例来引入 微分
方程的概念,
3
§ 10.1 微分方程的基本概念
例 1 求过点 (1,3 ) 且斜率为 2 x的曲线方程,
解 设所求曲线的方程为 y = y (x)
再将 (2)式代入 (3) 式, 得 c = 2
又将 c = 2代入 (3) 式, 即得所求曲线方程为 y = x 2 + 2
则由题意可知，方程应满足
2 ( 1 )
( 1 ) 3 ( 2 )
dy
x
dx
y
?
??
?
? ??
22 ( 3 )y x d x x c? ? ??
将方程 (1)两端积分,得
4
例 2 某种商品的需求量 Q 对价格 p 的弹性为 -1.5p,已
知该商品的最大需求量 (即 p = 0 时的需求量 ) 为 800,求需
求量 Q 与价格 p 的函数关系,
解 设所求的函数关系为 Q = Q (p)
再将 (2)式代入 (3) 式，得 c = 800
又将 c = 800代入 (3) 式, 即得所求函数关系为
1, 5800 pQe ??
则由题意可知，它应满足 1, 5 ( 1 )
( 0 ) 8 0 0 ( 2 )
p d Q
p
Q d p
Q
?
? ? ??
?
? ?
?
1, 5 ( 3 )pQ c e ??将 (1)式整理积分，得
5
上述两个例子,有一个共同特点,
定义 10.1 含有未知函数的导数 (或偏导数 )的方程,称为
微分方程, 当未知函数是一元函数时,称为常微分方程 ; 当未
知函数是多元函数时,称为偏微分方程, 微分方程有时也简称
方程,
一, 微分方程及其阶的定义
它们都是把一个实际问题归结为一个含有未知函数
导数的方程的求解问题, 数学上,人们把这种方程称为
微分方程,
例如,方程
,2' s i n," 2 ' 3 0,d y x y x y x y y yd x y? ? ? ? ? ? ?
等都是常微分方程, ( 4 ) 20yx??
6
2 2 2 2
2 2 2 20,4
u u u u u
yx y z x
? ? ? ? ?? ? ? ?
?? ? ? ?
等都是偏微分方程, 而方程
定义 10.2 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数
的阶数,称为微分方程的 阶,
例如,方程
,' ( ) ( )d y x y p x y q xd x y? ? ? ?
都是一阶微分方程,
2" 2 ' 3y y y x? ? ? 都是二阶微分方程, 方程
一般地,n阶微分方程的形式为
()(,,',,) 0nF x y y y ?
其中 F 是 x,y,y ’,…,y (n) 的已知函数,x 为自变量,y
为未知函数,且方程中一定含有 y(n),
7
( ) ( 1 )(,,',,)nny f x y y y ??
其中 f 是 x,y,y’,…,y ( n - 1) 的已知函数, 这种已就
最高阶导数解出的方程, 称为 正规形微分方程,
n阶微分方程的另一种形式为
如果微分方程中所含的未知函数和未知函数的各阶导
数都是一次的, 则称方程为 线性微分方程, 线性微分方程
的一般形式为,
( ) ( 1 )1 ( ) ( ) ( )nn ny a x y a x y f x?? ? ? ?
其中 a1(x), …, a n-1 (x),a n (x),f (x) 都是 x 的已
知函数,
不是线性方程的微分方程,统称为 非线性微分方程,
8
例如,方程 32 23' s i n," 'y x y x y y y x? ? ? ? ?是线性微分方程
方程 32( " ) ' 2 0," ' 0y y y y y y? ? ? ? ? ?是非线性微分方程,
二, 微分方程的解
定义 10.3 设函数 y =φ(x) 在区间 Ｄ 上有连续的 n阶导
数,并且对任意的 x∈ Ｄ,均有
()(,( ),' ( ),,( ) ) 0nF x x x x? ? ? ?
则称函数 y = φ(x) 为微分方程在区间 Ｄ 上的 解,
如可以验证函数
2 ' 2 0xy e y y?? ? ?是 方 程 的 解
s i n,c o s " 0y x y x y y? ? ? ?都 是 方 程 的 解
9
定义 10.4 若 n阶微分方程的解中,含有 n个独立任意
常数, 则称其为方程的 通解 ; 若 n阶微分方程的解中不含
有任意常数, 则称其为方程的 特解,
2 ' 2 0xy e y y?? ? ?是 方 程 的 特 解
例如 2 ' 2 0xy c e y y?? ? ?是 方 程 的 通 解
12s i n c o s " 0y c x c x y y? ? ? ?是 方 程 的 通 解
通常将确定微分方程任意常数的条件称为初始条件,
n阶微分方程确定任意常数的附加条件为
00 0
( 1 )
0 1 1
0 0 1 1
,',,
,,,,
n
nx x x x xx
n
y y y y y y
x y y y n
?
??? ?
?
? ? ?
其 中 是 待 定 的 + 1 个 常 数,
10
我们称这些条件为微分方程的初始条件, 微分方程
满足初始条件的求解问题称为 初值问题, n阶微分方程
的初值问题通常记作
00 0
( ) ( 1 )
( 1 )
0 1 1
(,,',,)
,',,
nn
n
nxx
x
y f x y y y
y y y y y y
?
?
?
? ?
?
?
? ? ??
?
微分方程解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分
曲线, 初值问题的几何意义,就是求微分方程的通过点
的那条积分曲线,
00(,)xy
11
例 1 验证 函数 y = c1cos2x + c2 sin2x是微分方程
" 4 0yy??的通解,并求满足初始条件
的特解,
001,' 0xxyy????
解 因为
-4(c1 cos2x + c2 sin 2x + 4 (c1cos 2x + c2 sin 2x) ≡ 0
于是函数 y = c1cos 2x + c2 sin 2x 是给定方程的解
所以把
12' 2 s i n 2 2 c o s 2y c x c x? ? ?
12
12
' 4 s i n 2 4 c o s 2
4 ( s i n 2 c o s 2 )
y c x c x
c x c x
? ? ?
? ? ?
'"yy与 代入原方程，得
12
又因为解中含有两个独立的任意常数,所以函数
y = c1cos2x + c2sin2x 是给定方程的通解,
代入通解中,求得
将初始条件
001,' 0xxyy????
c1 = 1,c2 = 0
所以 满足初始条件
001,' 0xxyy????
的特解为
y = cos2x
第十章 微分方程
§ 10.1 微分方程的基本概念
§ 10.2 一阶微分方程
§ 10.3 高阶微分方程
§ 10.4 微分方程的应用
( ) ( )dy f x g ydx ?
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第十章 微分方程
微积分研究的主要对象是函数, 因此,如何寻找函数
关系,这在实践中具有十分重要的意义,
在自然科学、生物科学以及经济与管理科学的许多领
域中,反映变量之间内在联系的函数关系,往往都不能直接
得到,而必须通过建立实际问题的数学模型 —— 微分方程,
并求解这个微分方程才能得到,
什么是 微分方程呢? 下面通过具体的实例来引入 微分
方程的概念,
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§ 10.1 微分方程的基本概念
例 1 求过点 (1,3 ) 且斜率为 2 x的曲线方程,
解 设所求曲线的方程为 y = y (x)
再将 (2)式代入 (3) 式, 得 c = 2
又将 c = 2代入 (3) 式, 即得所求曲线方程为 y = x 2 + 2
则由题意可知，方程应满足
2 ( 1 )
( 1 ) 3 ( 2 )
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将方程 (1)两端积分,得
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例 2 某种商品的需求量 Q 对价格 p 的弹性为 -1.5p,已
知该商品的最大需求量 (即 p = 0 时的需求量 ) 为 800,求需
求量 Q 与价格 p 的函数关系,
解 设所求的函数关系为 Q = Q (p)
再将 (2)式代入 (3) 式，得 c = 800
又将 c = 800代入 (3) 式, 即得所求函数关系为
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则由题意可知，它应满足 1, 5 ( 1 )
( 0 ) 8 0 0 ( 2 )
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1, 5 ( 3 )pQ c e ??将 (1)式整理积分，得
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上述两个例子,有一个共同特点,
定义 10.1 含有未知函数的导数 (或偏导数 )的方程,称为
微分方程, 当未知函数是一元函数时,称为常微分方程 ; 当未
知函数是多元函数时,称为偏微分方程, 微分方程有时也简称
方程,
一, 微分方程及其阶的定义
它们都是把一个实际问题归结为一个含有未知函数
导数的方程的求解问题, 数学上,人们把这种方程称为
微分方程,
例如,方程
,2' s i n," 2 ' 3 0,d y x y x y x y y yd x y? ? ? ? ? ? ?
等都是常微分方程, ( 4 ) 20yx??
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等都是偏微分方程, 而方程
定义 10.2 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数
的阶数,称为微分方程的 阶,
例如,方程
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都是一阶微分方程,
2" 2 ' 3y y y x? ? ? 都是二阶微分方程, 方程
一般地,n阶微分方程的形式为
()(,,',,) 0nF x y y y ?
其中 F 是 x,y,y ’,…,y (n) 的已知函数,x 为自变量,y
为未知函数,且方程中一定含有 y(n),
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( ) ( 1 )(,,',,)nny f x y y y ??
其中 f 是 x,y,y’,…,y ( n - 1) 的已知函数, 这种已就
最高阶导数解出的方程, 称为 正规形微分方程,
n阶微分方程的另一种形式为
如果微分方程中所含的未知函数和未知函数的各阶导
数都是一次的, 则称方程为 线性微分方程, 线性微分方程
的一般形式为,
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其中 a1(x), …, a n-1 (x),a n (x),f (x) 都是 x 的已
知函数,
不是线性方程的微分方程,统称为 非线性微分方程,
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例如,方程 32 23' s i n," 'y x y x y y y x? ? ? ? ?是线性微分方程
方程 32( " ) ' 2 0," ' 0y y y y y y? ? ? ? ? ?是非线性微分方程,
二, 微分方程的解
定义 10.3 设函数 y =φ(x) 在区间 Ｄ 上有连续的 n阶导
数,并且对任意的 x∈ Ｄ,均有
()(,( ),' ( ),,( ) ) 0nF x x x x? ? ? ?
则称函数 y = φ(x) 为微分方程在区间 Ｄ 上的 解,
如可以验证函数
2 ' 2 0xy e y y?? ? ?是 方 程 的 解
s i n,c o s " 0y x y x y y? ? ? ?都 是 方 程 的 解
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定义 10.4 若 n阶微分方程的解中,含有 n个独立任意
常数, 则称其为方程的 通解 ; 若 n阶微分方程的解中不含
有任意常数, 则称其为方程的 特解,
2 ' 2 0xy e y y?? ? ?是 方 程 的 特 解
例如 2 ' 2 0xy c e y y?? ? ?是 方 程 的 通 解
12s i n c o s " 0y c x c x y y? ? ? ?是 方 程 的 通 解
通常将确定微分方程任意常数的条件称为初始条件,
n阶微分方程确定任意常数的附加条件为
00 0
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其 中 是 待 定 的 + 1 个 常 数,
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我们称这些条件为微分方程的初始条件, 微分方程
满足初始条件的求解问题称为 初值问题, n阶微分方程
的初值问题通常记作
00 0
( ) ( 1 )
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(,,',,)
,',,
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y y y y y y
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微分方程解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分
曲线, 初值问题的几何意义,就是求微分方程的通过点
的那条积分曲线,
00(,)xy
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例 1 验证 函数 y = c1cos2x + c2 sin2x是微分方程
" 4 0yy??的通解,并求满足初始条件
的特解,
001,' 0xxyy????
解 因为
-4(c1 cos2x + c2 sin 2x + 4 (c1cos 2x + c2 sin 2x) ≡ 0
于是函数 y = c1cos 2x + c2 sin 2x 是给定方程的解
所以把
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4 ( s i n 2 c o s 2 )
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又因为解中含有两个独立的任意常数,所以函数
y = c1cos2x + c2sin2x 是给定方程的通解,
代入通解中,求得
将初始条件
001,' 0xxyy????
c1 = 1,c2 = 0
所以 满足初始条件
001,' 0xxyy????
的特解为
y = cos2x
