1
函数改变量的变化情况,
x?y
x
y y?x
?x?y
则其面积为 S=xy，是 x和 y的二
?S=(x+?x)(y+?y)?xy =y??x+x??y+?x??y
一,全微分的概念
§ 8.4 全微分及其应用
本节研究二元函数在两个自变量都有微小变化时,
如图所示的矩形长和宽为 x和 y,
函数,若边长 x和 y分别取得微小
改变量 ?x和 ?y，则面积 S也相应有一个改变量
而 ?x??y 22( ) ( )xy? ? ? ? ?
较高阶的无穷小量,故可将它略去,
(当 ?x→0,?y→0 时 )是比
而用 ?x, ?y的线性
2
定义 8 若函数 z=?(x,y)在点 (x,y)处的全增量
?z=?(x+?x,y+?y)??(x,y)
可表示为 ?z=A?x+B?y+o(ρ)
其中 A, B与 ?x, ?y无关,o(ρ)是比 22( ) ( )xy? ? ? ? ?
较高阶的无穷小量，则称 ?z的线性主部 A?x+B?y是
函数 z=?(x,y)在点 (x,y)处的全微分，记作 dz,即
dz=A?x+B?y
此时又称函数 z=?(x,y)在 (x,y)处可微,
部分 y??x+x??y近似表示 ?S，类似于一元函数的微分,
也称它为 S的全微分,
3
定理 2 若函数 z=?(x,y)在点 (x,y)处可微，则函数 z=?(x,y)在
?z=A?x+B?y+o(ρ) →0,
22( ) ( ) 0xy? ? ? ? ? ?
0
0
li m
x
y
z
??
??
??
0
0
l i m [ (,) (,) ] 0
x
y
f x x y y f x y
??
??
? ? ? ? ? ?
0
0
l i m (,) (,),
x
y
f x x y y f x y
??
??
? ? ? ? ? ?
则函数 z=?(x,y)在 (x,y)处连续,
若 z=?(x,y)在区域 D上每一点都可微,则此时又称 ?在区域
D上可微,
(x,y)处必连续,
证 因 z=?(x,y)在点 (x,y)处可微，则当
时,也有 从而可得
4
定理 3 若函数 z=?(x,y)在点 (x,y)处可微，则函数 z=?(x,y)
(,) (,)xyd z f x y x f x y y??? ? ? ?
则对点 (x,y)的某个邻域内的任意一点 (x+ ?x,y+?y),均有
特别地，当 ?y=0时即为
0
(,) (,)l i m
x
f x x y f x y A
x??
? ? ???
?
(,)xf x y A???
,0,(,),yx f x y B?? ? ?同 理 令 可 得
(,) (,),xyd z f x y x f x y y??? ? ? ? ?
在 (x,y)处的偏导数必存在，且其全微分为
证 因 z=?(x,y)在点 (x,y)处可微,
?z=A?x+B?y+o(ρ)
?(x+?x,y+?y)??(x,y)=A?x+o(∣ ?x∣ )
5
也不一定是 ?(x,y)的全微分,
(,) (,)xyf x y x f x y y??? ? ?
[ (,) (,) ]xyz f x y x f x y y??? ? ? ? ?
是 ρ的 高
重要结论,函数 z=?(x,y)的 各偏导数存在,仅是全微分
22
22
22
2
0
()
00
xy
xy
xyf x,y
xy
?
???
?? ?
? ??
?
(,) ( 0,0 ),f x y但 可 验 证 在 点 处 不 可 微
( 0,0 ) 0 ( 0,0 ) 0 ( ) ;xyff?? ??的 偏 导 数, 都 存 在
注 3 对于二元函数 z=?(x,y),若它的偏导数都存在,但
因此时并不能保证
阶无穷小,
存在的必要条件,而非充分条件,如例 14已证明
6
0
[ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ]
l i m xy
z f x f y
? ??
??? ? ? ? ?
实际上
0
(,) ( 0,0 ) ( 0,0 ) ( 0,0 )
l i m xy
f x y f f x f y
? ??
??? ? ? ? ? ? ?
?
22
0
2
l i m
xy
xy
? ??
??
? ? ?
?
22
2 3 6 2 3 300
22
l i m l i m
(1 ) (1 )xx
y k x y k x
k x k x
k x k x??? ? ? ?
??
??
??
? ? ? ? ?
0 2 2 3
0
2l i m
()x
y
xy
xy??
??
???
? ? ?
0.?
[ (,) (,) ]xyz f x y x f x y y??? ? ? ? ? ?不是的 ρ高阶无穷小,
7
则函数 z=?(x,y)
zz
xy
??
??与
以下定理为全微分存在的充分条件,
定理 4 若函数 z=?(x,y)的 偏导数 在点 (x,y)的
某个邻域内存在且在点 (x,y)处连,
在 (x,y)处 可微,且
(,) (,)xyd z f x y d x f x y d y????,zzd z d x d y
xy
????
??
或
证 因 ?z=?(x+?x,y+?y)??(x,y)
=[?(x+?x,y+?y)??(x,y+?y)]+[?(x,y+?y)??(x,y)]
注意两个括号中,前者 y+?y未变 ;后者 x未变 ;因而皆可视
为一元函数之差,而两个偏导数在 (x,y)的某个邻域内存
在,故可由 Lagrange中值定理，得
8
12(,) (,)xyz f x x y y x f x y y y????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
120 1,0 1,??? ? ? ?其中
而两个偏导数在 (x,y)的某个邻域内连续，则
1 0(,) (,),l i m 0xxf x x y y f x y ?? ? ????? ? ? ? ? ? ?其 中 ；
2 0(,) (,) l i m 0,yyf x y y f x y ?? ? ????? ? ? ? ?，其中
(,) (,),xyz f x y x f x y y x y????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
10l i m (,) (,),xxf x x y y f x y? ?? ??? ? ? ? ?
20l i m (,) (,),yyf x y y f x y? ?? ??? ? ?
0 x y x y? ? ? ? ??
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?而，
9
( ),x y o? ? ?? ? ? ? ?
故函数 z=?(x,y)在 (x,y)处可微，且
(,) (,)xyd z f x y x f x y y??? ? ? ?,
而 ?x=dx,?y=dy,则函数 z=?(x,y)的全微分为
0
l i m 0xy
?
??
??
? ? ???
(,) (,)xyd z f x y d x f x y d y????,zzd x d y
xy
????
??
的 全微分等于它的两个 偏微分之和,即
(,)xf x y d x? ;xdz
(,)yf x y d y?,
ydz
.xyd z d z d z??
注 4 在上式中称 为 z对 x的偏微分,并记为
称 为 z对 y的偏微分,并记为 从而二元函数
10
注 5 此定理并未说明“函数 z=?(x,y)的偏导数在点 (x,y)
( 0,0 )在 处 可 微,,但偏导数却不连续
处不连续,就一定有函数 z=?(x,y)在 (x,y)处不可微”,
同学们课后可自行验证
2 2 2 2
22
22
1
( ) s i n,0
( )
0,0
x y x y
f x,y xy
xy
?
? ? ??
? ??
?
???
函数
( 0,0 )xf ?解
0
(,0 ) ( 0,0 )l i m 0
0x
f x f
x?
???
? ；
( 0,0 ) 0,yf ? ?同理
11
0
[ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ]
l i m xy
f f x f y
? ??
??? ? ? ? ?
而
22
22
220
1
( ) s i n
()
l i m
()
xy
xy
xy? ?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?0
1l i m s i n 0,
?
? ?
?
??
则函数 ?(x,y)在 (0,0)处可微,
2 2 2 2 2 2
11 ( ) 2 s i n c o s
x
xf x,y x
x y x y x y
? ??
? ? ?
22 0 ( 0 0 ) 0 ;xx y f,?? ? ?而 当 时,
0
0
l i m ( ) ;x
x
y
f x,y
?
?
?? 不存在
( ) 0 ( 0,0 ) ;xf x,y? ?则 在 点 处 不 连 续
22 0 xy??但 当 时,
( ) 0 ( 0,0 ),yf x,y? ?同 理 在 点 处 不 连 续
12
2,yz xex? ??解因 2 2,yz x e y
y
? ??
?
22 ( 2 ),yyzzd z d x d y x e d x x e y d y
xy
??? ? ? ? ?
??
二,全微分在近似计算中的应用
由定义 8知：改变量 ∣ ?x∣ 和 ∣ ?y∣ 都很小时,
(,) (,)xyf x y x f x y y??? ? ??z-dz=o(ρ);则 ?z和
接近的, 即可以用全微分 dz作为全增量 dz的近似值,
之值是十分
故有 近似公式
221 7,yz x e y??例 求 函 数 的 全 微 分
?z≈dz (,) (,)
xyf x y x f x y y??? ? ? ?
13
或 ?(x+?x,y+?y)??(x,y)≈ (,) (,)
xyf x y x f x y y??? ? ?
或 ?(x+?x,y+?y)≈ (,) (,) (,)
xyf x y f x y x f x y y??? ? ? ?
2, 0 21 8 ( 1, 0 1 ),例 计 算 的 近 似 值
( ),yf x,y x?解 设 函 数
2 0, 0 2 ( 1, 0 1,2, 0 2 ) ( 1 0, 0 1 ),f ???即 的 近 似 值
则可取 x=1,?x=0.01,y=2,?y=0.02,
1, 0 1,2, 0 2xy??此题问题就变为此函数在 的函数值
1(,) yxf x y y x ?? ?而 (,) l ny
yf x y x x? ?( 1,2 ) 2,xf ???
( 1,2 ) 0,yf ???
且 ?(1,2)=1
2, 0 2( 1, 0 1 ) ( 1,2 ) ( 1,2 ) ( 1,2 ) 1, 0 2,xyf f x f y??? ? ? ? ? ?
14
例 19 某厂生产甲、乙两种产品，当甲的产量为 x公斤,
(,) 4 1 0 6 1 0 0 ( )C x y x x y y? ? ? ? 元
假设现在月产量为甲 900公斤，乙 400公斤，试求此时当
解 此题是求全增量 ?C下面用微分求其近似值,
2 5 5 3,,
xy
yxCC
x x y x y y
??? ? ? ?而
乙的产量为 y公斤时，总成本为
甲的产量增加 1%，乙的产量减少 2%，总成本将如何变
化？
可取 x=900,?x=900?1%=9,y=400,?y=?400?2%=?8,
C dC??则 ( 4 0 0,9 0 0 ) ( 4 0 0,9 0 0 ) 3 0, 6,
xyC x C y??? ? ? ? ? ?
15
注 6 全微分在经济管理理论中有许多应用,如在生产活
动中,Q代表产量,L代表劳动投入量,K代表资本投入
量，则长期生产函数为 Q=?(L,K)； 其全微分关系式为
QQd Q d L d K
LK
????
??
其中,为劳动的边际产量； Q
L
?
?
Q dL
L
?
?
为由于增加劳动投入而增加的产量；
Q
K
?
?
为资本的边际产量；
Q dK
K
?
?
为由于增加资本投入而增加的产量,
函数改变量的变化情况,
x?y
x
y y?x
?x?y
则其面积为 S=xy，是 x和 y的二
?S=(x+?x)(y+?y)?xy =y??x+x??y+?x??y
一,全微分的概念
§ 8.4 全微分及其应用
本节研究二元函数在两个自变量都有微小变化时,
如图所示的矩形长和宽为 x和 y,
函数,若边长 x和 y分别取得微小
改变量 ?x和 ?y，则面积 S也相应有一个改变量
而 ?x??y 22( ) ( )xy? ? ? ? ?
较高阶的无穷小量,故可将它略去,
(当 ?x→0,?y→0 时 )是比
而用 ?x, ?y的线性
2
定义 8 若函数 z=?(x,y)在点 (x,y)处的全增量
?z=?(x+?x,y+?y)??(x,y)
可表示为 ?z=A?x+B?y+o(ρ)
其中 A, B与 ?x, ?y无关,o(ρ)是比 22( ) ( )xy? ? ? ? ?
较高阶的无穷小量，则称 ?z的线性主部 A?x+B?y是
函数 z=?(x,y)在点 (x,y)处的全微分，记作 dz,即
dz=A?x+B?y
此时又称函数 z=?(x,y)在 (x,y)处可微,
部分 y??x+x??y近似表示 ?S，类似于一元函数的微分,
也称它为 S的全微分,
3
定理 2 若函数 z=?(x,y)在点 (x,y)处可微，则函数 z=?(x,y)在
?z=A?x+B?y+o(ρ) →0,
22( ) ( ) 0xy? ? ? ? ? ?
0
0
li m
x
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??
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0
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x
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f x x y y f x y
??
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则函数 z=?(x,y)在 (x,y)处连续,
若 z=?(x,y)在区域 D上每一点都可微,则此时又称 ?在区域
D上可微,
(x,y)处必连续,
证 因 z=?(x,y)在点 (x,y)处可微，则当
时,也有 从而可得
4
定理 3 若函数 z=?(x,y)在点 (x,y)处可微，则函数 z=?(x,y)
(,) (,)xyd z f x y x f x y y??? ? ? ?
则对点 (x,y)的某个邻域内的任意一点 (x+ ?x,y+?y),均有
特别地，当 ?y=0时即为
0
(,) (,)l i m
x
f x x y f x y A
x??
? ? ???
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(,)xf x y A???
,0,(,),yx f x y B?? ? ?同 理 令 可 得
(,) (,),xyd z f x y x f x y y??? ? ? ? ?
在 (x,y)处的偏导数必存在，且其全微分为
证 因 z=?(x,y)在点 (x,y)处可微,
?z=A?x+B?y+o(ρ)
?(x+?x,y+?y)??(x,y)=A?x+o(∣ ?x∣ )
5
也不一定是 ?(x,y)的全微分,
(,) (,)xyf x y x f x y y??? ? ?
[ (,) (,) ]xyz f x y x f x y y??? ? ? ? ?
是 ρ的 高
重要结论,函数 z=?(x,y)的 各偏导数存在,仅是全微分
22
22
22
2
0
()
00
xy
xy
xyf x,y
xy
?
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? ??
?
(,) ( 0,0 ),f x y但 可 验 证 在 点 处 不 可 微
( 0,0 ) 0 ( 0,0 ) 0 ( ) ;xyff?? ??的 偏 导 数, 都 存 在
注 3 对于二元函数 z=?(x,y),若它的偏导数都存在,但
因此时并不能保证
阶无穷小,
存在的必要条件,而非充分条件,如例 14已证明
6
0
[ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ]
l i m xy
z f x f y
? ??
??? ? ? ? ?
实际上
0
(,) ( 0,0 ) ( 0,0 ) ( 0,0 )
l i m xy
f x y f f x f y
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22
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xy
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22
2 3 6 2 3 300
22
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(1 ) (1 )xx
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k x k x
k x k x??? ? ? ?
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??
??
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2l i m
()x
y
xy
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???
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0.?
[ (,) (,) ]xyz f x y x f x y y??? ? ? ? ? ?不是的 ρ高阶无穷小,
7
则函数 z=?(x,y)
zz
xy
??
??与
以下定理为全微分存在的充分条件,
定理 4 若函数 z=?(x,y)的 偏导数 在点 (x,y)的
某个邻域内存在且在点 (x,y)处连,
在 (x,y)处 可微,且
(,) (,)xyd z f x y d x f x y d y????,zzd z d x d y
xy
????
??
或
证 因 ?z=?(x+?x,y+?y)??(x,y)
=[?(x+?x,y+?y)??(x,y+?y)]+[?(x,y+?y)??(x,y)]
注意两个括号中,前者 y+?y未变 ;后者 x未变 ;因而皆可视
为一元函数之差,而两个偏导数在 (x,y)的某个邻域内存
在,故可由 Lagrange中值定理，得
8
12(,) (,)xyz f x x y y x f x y y y????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
120 1,0 1,??? ? ? ?其中
而两个偏导数在 (x,y)的某个邻域内连续，则
1 0(,) (,),l i m 0xxf x x y y f x y ?? ? ????? ? ? ? ? ? ?其 中 ；
2 0(,) (,) l i m 0,yyf x y y f x y ?? ? ????? ? ? ? ?，其中
(,) (,),xyz f x y x f x y y x y????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
10l i m (,) (,),xxf x x y y f x y? ?? ??? ? ? ? ?
20l i m (,) (,),yyf x y y f x y? ?? ??? ? ?
0 x y x y? ? ? ? ??
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?而，
9
( ),x y o? ? ?? ? ? ? ?
故函数 z=?(x,y)在 (x,y)处可微，且
(,) (,)xyd z f x y x f x y y??? ? ? ?,
而 ?x=dx,?y=dy,则函数 z=?(x,y)的全微分为
0
l i m 0xy
?
??
??
? ? ???
(,) (,)xyd z f x y d x f x y d y????,zzd x d y
xy
????
??
的 全微分等于它的两个 偏微分之和,即
(,)xf x y d x? ;xdz
(,)yf x y d y?,
ydz
.xyd z d z d z??
注 4 在上式中称 为 z对 x的偏微分,并记为
称 为 z对 y的偏微分,并记为 从而二元函数
10
注 5 此定理并未说明“函数 z=?(x,y)的偏导数在点 (x,y)
( 0,0 )在 处 可 微,,但偏导数却不连续
处不连续,就一定有函数 z=?(x,y)在 (x,y)处不可微”,
同学们课后可自行验证
2 2 2 2
22
22
1
( ) s i n,0
( )
0,0
x y x y
f x,y xy
xy
?
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???
函数
( 0,0 )xf ?解
0
(,0 ) ( 0,0 )l i m 0
0x
f x f
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( 0,0 ) 0,yf ? ?同理
11
0
[ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ]
l i m xy
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而
22
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220
1
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则函数 ?(x,y)在 (0,0)处可微,
2 2 2 2 2 2
11 ( ) 2 s i n c o s
x
xf x,y x
x y x y x y
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22 0 ( 0 0 ) 0 ;xx y f,?? ? ?而 当 时,
0
0
l i m ( ) ;x
x
y
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( ) 0 ( 0,0 ) ;xf x,y? ?则 在 点 处 不 连 续
22 0 xy??但 当 时,
( ) 0 ( 0,0 ),yf x,y? ?同 理 在 点 处 不 连 续
12
2,yz xex? ??解因 2 2,yz x e y
y
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22 ( 2 ),yyzzd z d x d y x e d x x e y d y
xy
??? ? ? ? ?
??
二,全微分在近似计算中的应用
由定义 8知：改变量 ∣ ?x∣ 和 ∣ ?y∣ 都很小时,
(,) (,)xyf x y x f x y y??? ? ??z-dz=o(ρ);则 ?z和
接近的, 即可以用全微分 dz作为全增量 dz的近似值,
之值是十分
故有 近似公式
221 7,yz x e y??例 求 函 数 的 全 微 分
?z≈dz (,) (,)
xyf x y x f x y y??? ? ? ?
13
或 ?(x+?x,y+?y)??(x,y)≈ (,) (,)
xyf x y x f x y y??? ? ?
或 ?(x+?x,y+?y)≈ (,) (,) (,)
xyf x y f x y x f x y y??? ? ? ?
2, 0 21 8 ( 1, 0 1 ),例 计 算 的 近 似 值
( ),yf x,y x?解 设 函 数
2 0, 0 2 ( 1, 0 1,2, 0 2 ) ( 1 0, 0 1 ),f ???即 的 近 似 值
则可取 x=1,?x=0.01,y=2,?y=0.02,
1, 0 1,2, 0 2xy??此题问题就变为此函数在 的函数值
1(,) yxf x y y x ?? ?而 (,) l ny
yf x y x x? ?( 1,2 ) 2,xf ???
( 1,2 ) 0,yf ???
且 ?(1,2)=1
2, 0 2( 1, 0 1 ) ( 1,2 ) ( 1,2 ) ( 1,2 ) 1, 0 2,xyf f x f y??? ? ? ? ? ?
14
例 19 某厂生产甲、乙两种产品，当甲的产量为 x公斤,
(,) 4 1 0 6 1 0 0 ( )C x y x x y y? ? ? ? 元
假设现在月产量为甲 900公斤，乙 400公斤，试求此时当
解 此题是求全增量 ?C下面用微分求其近似值,
2 5 5 3,,
xy
yxCC
x x y x y y
??? ? ? ?而
乙的产量为 y公斤时，总成本为
甲的产量增加 1%，乙的产量减少 2%，总成本将如何变
化？
可取 x=900,?x=900?1%=9,y=400,?y=?400?2%=?8,
C dC??则 ( 4 0 0,9 0 0 ) ( 4 0 0,9 0 0 ) 3 0, 6,
xyC x C y??? ? ? ? ? ?
15
注 6 全微分在经济管理理论中有许多应用,如在生产活
动中,Q代表产量,L代表劳动投入量,K代表资本投入
量，则长期生产函数为 Q=?(L,K)； 其全微分关系式为
QQd Q d L d K
LK
????
??
其中,为劳动的边际产量； Q
L
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Q dL
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?
为由于增加劳动投入而增加的产量；
Q
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为资本的边际产量；
Q dK
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为由于增加资本投入而增加的产量,
