1
1.(第一章 ) 单调增加 (或减少 )函数的几何解释, 对应
曲线是上升或下降的,
§ 4.3 函数的单调性
单调性是函数的重要性态之一,也是本章主要
内容, 它既决定着函数递增和递减的状况,又有助
于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描
绘函数的图形等,
一,函数的单调性
2
2x
1()fx
2()fx
y= ?(x)
o x x
y y
o
1x
1x 2x
1()fx
2()fx
y= ?(x)
用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法,
但繁 ! 下面讨论如何用导数来判断函数的单调性,
3
o x x o
y y
反之,能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?
( ) 0 ( ( ) 0f x f x????或）
从上图可看出,当曲线为上升 (或下降 )时,其上各点切
线与 x轴正向夹角为锐角 (或钝角 ),则其切线斜率 tanα是非
负 (或非正 )的,
根据导数的几何意义知函数 ?(x)单调增加 (或减少 )时,总有
可见函数的单调性与导数的符号有关,
4
定理 7.(函数单调性的判定方法 ) 设 y =?(x)在区间 [a,b]
上连续,在区间 (a,b)内可导, 有
(,),x a b??
( 1 ) ( ) 0 ( ) (,) f x f x a b? ?若, 则 在 区 间 内 单 调 增 加
( 2 ) ( ) 0 ( ) (,) f x f x a b? ?若, 则 在 区 间 内 单 调 递 减
即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调,
5
1 2 1 2,(,),,x x a b x x? ? ?
1 2 1 2( ) [,] (,)f x x x x x由 已 知 在 上 连 续,在 可 导
21
12
21
( ) ( ) ( ) ( (,) )f x f x f x x
xx
??? ???
?
其中
根据拉格朗日中值定理,有
21
21
( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0f x f xf x f
xx
? ???? ? ?
?
当 时, 有 从 而
21( ) ( )f x f x?? 12,( ),.x x f x a b故 由 的 任 意 性,在 ( ) 内 单 增
证
6
21
21
( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0f x f xf x f
xx
? ???? ? ?
?
当 时, 有 从 而
12,( ),.x x f x a b故 由 的 任 意 性,在 ( ) 内 单 减
例 15 () xf x e?? ( ) 0 (,) (,),xxf x e e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 内 单 增
21( ) ( ),f x f x??
() xf x e ??? ( ) 0 (,) (,),xxf x e e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 内 单 减
注 1.研究函数的单调性,就是判断它在哪些区间内递增,
哪些区间内递减,由定理 1 对可导函数的单调性,可根据
导数的正负情况予以确定,
2.定理 7的结论对无穷区间也成立,
7
o x
y
3yx?
3.如果函数的导数仅在个别点处为 0,而在其余的点处均
满足定理 1,则定理 1仍成立, 如
32
3
( ) ( ) 2 0 ( ( 0 ) 0 )
(,),
y f x x f x x f
yx
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
有
但 在 增
4.此定理可完善为充要条件, 即若 ?(x)在
(a,b)内可导且单调增加 (或减少 ),则 ?(x)
在 (a,b)内必有
( ) 0 ( ( ) 0 ),f x f x????或
5.有些函数在它的定义区间上不是单调的,如
2 0,[ 0,)( ) ( ) 2
0,(,0 )
x
y f x x f x x
x
? ? ? ???
? ? ? ? ?
? ? ? ??
但它在部分区间上单调,那么怎么来求它的单调区间呢?
o x
2yx?
y
8
o x
y
y=|x|
的点 (单调区间分界点 )来划分函数的定义区间,就能保
证函数在各个部分区间内保持固定符号,从而可得单调
区间及函数的单调性,
( ) 0 ( ) f x f x??? 的 解 及 不 存 在
6.函数 y=|x|,x = 0为其连续不可导点, 但它在部分
区间上单调,那么又怎么来求它的单调区间呢?
结论, 如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数
不存在的点外导数都存在且连续,那么只要用方程
9
确定某个函数 y=?(x)的单调性的一般步骤是,
(1)确定函数定义域 ;
(2)求出 的点,以这些点为分界
点划分定义域为多个子区间 ;
( ) 0 ( ) f x f x??? 及 不 存 在
(3)确定 在各子区间内的符号,从而定出 ?(x)在各
子区间的单调性,
( ) fx?
10
例 16 求函数 的单调区间, 32( ) 2 9 1 2 3f x x x x? ? ? ?
(,)? ? ? ?
12 ( ) 0 1,2f x x x? ? ? ?由有
x 1 (1,2) 2
+ – +
?(x)
(,1 )?? ( 2,)??
()fx?
列表讨论如下,
2( ) 6 8 1 2 6 ( 1 ) ( 2 )f x x x x x? ? ? ? ? ? ?
(,) (,1 ],[ 1,2 ],[ 2,)? ? ? ? ? ? ? ?根 分 三 子
解 定义域为
故 是 ?(x)的递增区间, [1,2] 是递减区间, (端点
可包括也可不包括 )
(,1 ],[ 2,)? ? ? ?
11
例 17 讨论函数 的单调性, 23( ) ( 1 )f x x x??
解 定义域为 (,)?? ??
12
33
1
3
2 5 2
( ) ( 1 )
3
3
x
f x x x x
x
? ?
? ? ? ? ?
x 0
+ – +
?(x)
(,0 )?? 2(,)
5 ??
()fx?
故在 内 ?(x)是递增的, 在 内递减, 2 (,0 ),(,)
5? ? ? ?
2(,)
5 ??
列表讨论如下,
2 0 ( ),x f x?而 是 的 不 可 导 点
22 (,) (,0,0,,,)
55
? ? ? ? ? ? ? ?这 两 个 点 将 分 为 三 个 子 区 间 ）（ ）（
2(0,)
5
1
2 ( ) 0
5f x x
? ??由有
2
5
12
例 18 证明不等式
二,函数单调性的应用
下面利用函数的单调性,来证明不等式和判断方程
的根的存在性及其个数,
1.证明不等式,关键是根据所证不等式及所给区间构造辅
助函数,并讨论它在指定区间内的单调性,
( 1 ) 1 ( 0 ) ( 2 ) l n ( 1 ) ( 0 )
1
x xe x x x x x
x
? ? ? ? ? ? ?
?
( 1 ) ( ) 1xf x e x? ? ?解令 ( 0 ) 0,( ) 1 0 ( 0 )xf f x e x?? ? ? ? ?而
( ) fx? 单增 1.xex??故 ( ) ( 0 ) ( 0 )f x f x??即
13
1( 2 ) ( ) l n ( 1 ) 1
xf x x
x? ? ? ?解令
11 2( 0 ) 0,( ) 0 ( 0 )( 1 )
xf f x x
x
?? ? ? ?
?
而
( ) fx? 单增
11 ( ) ( 0 ) ( 0 )f x f x??即 l n ( 1 ) 1
xx
x?? ?故
2 ( ) l n ( 1 )f x x x? ? ?令
22( 0 ) 0,( ) 0 ( 0 )1
xf f x x
x
??? ? ? ?
?而
( ) fx? 单减
22 ( ) ( 0 ) ( 0 )f x f x??即 l n ( 1 )xx??故
2.讨论方程根的问题, 若 y = ?(x)单调且变号,则方程 ?(x) =
0一定有根,而函数曲线与 x 轴的交点,确就是方程的根,
14
例 19 设 ?(x)在 内连续,?(a) < 0当 x >a 时,有
(其中 k为常数 ),求证, 在 内,
方程 ?(x) = 0有且仅有一个实根,
[,)a ?? ( ) 0f x k? ??
()(,)faaa
k?
o x
y y= ?(x)
a ( ) 0f x k
? ??
[,)a ??
()[,]faaa
k?
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) [ ] ( )f a f a f af a f a f a a
k k k???? ? ? ? ? ? ?
()faa k?
证 因当 x >a时,有,则 ?(x) 在
内单调增加,
在区间 上应用拉格朗日中值定理,得
,( ) 0a f k?? ?? ? ?当时 ( ) ( )[ ] ( ) [ ] ( ) 0f a f af a f a k f a
kk? ? ? ? ? ? ?
( ) 0fa ?而
由介值定理知方程 ?(x) = 0 在 ()
(,)faaa k?
内至少有一个实根,
故结论得证,
()[ ] 0fafa
k? ? ?
15
例 20 证明方程 (1) 有且仅有一个正根, 3 10xx? ? ?
l n 1 ( 0,)xx e? ? ? ?在
(2) 内有两个实根,
证 (1) 3( ) 1f x x x? ? ?设
2' ( ) 3 1 0,f x x? ? ? 函数单调増加
( 0 ) 1,( 1 ) 1ff? ? ?且
( ) 0,fx??方 程 有 且 仅 有 一 个 正 根
( 2 ) ( ) l n 1 xf x x e? ? ?设 11' ( ) 0,f x x exe? ? ? ?则
' ( ) 0,' ( ) 0x e f x x e f x? ? ? ?且,,
31( ) 0,( ) 0,( ) 0
2f f e f e? ? ?又
( ) 0 ( 0,),fx? ? ? ?方 程 在 内 有 两 个 实 根
1.(第一章 ) 单调增加 (或减少 )函数的几何解释, 对应
曲线是上升或下降的,
§ 4.3 函数的单调性
单调性是函数的重要性态之一,也是本章主要
内容, 它既决定着函数递增和递减的状况,又有助
于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描
绘函数的图形等,
一,函数的单调性
2
2x
1()fx
2()fx
y= ?(x)
o x x
y y
o
1x
1x 2x
1()fx
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y= ?(x)
用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法,
但繁 ! 下面讨论如何用导数来判断函数的单调性,
3
o x x o
y y
反之,能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?
( ) 0 ( ( ) 0f x f x????或）
从上图可看出,当曲线为上升 (或下降 )时,其上各点切
线与 x轴正向夹角为锐角 (或钝角 ),则其切线斜率 tanα是非
负 (或非正 )的,
根据导数的几何意义知函数 ?(x)单调增加 (或减少 )时,总有
可见函数的单调性与导数的符号有关,
4
定理 7.(函数单调性的判定方法 ) 设 y =?(x)在区间 [a,b]
上连续,在区间 (a,b)内可导, 有
(,),x a b??
( 1 ) ( ) 0 ( ) (,) f x f x a b? ?若, 则 在 区 间 内 单 调 增 加
( 2 ) ( ) 0 ( ) (,) f x f x a b? ?若, 则 在 区 间 内 单 调 递 减
即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调,
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1 2 1 2,(,),,x x a b x x? ? ?
1 2 1 2( ) [,] (,)f x x x x x由 已 知 在 上 连 续,在 可 导
21
12
21
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其中
根据拉格朗日中值定理,有
21
21
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当 时, 有 从 而
21( ) ( )f x f x?? 12,( ),.x x f x a b故 由 的 任 意 性,在 ( ) 内 单 增
证
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21
21
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当 时, 有 从 而
12,( ),.x x f x a b故 由 的 任 意 性,在 ( ) 内 单 减
例 15 () xf x e?? ( ) 0 (,) (,),xxf x e e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 内 单 增
21( ) ( ),f x f x??
() xf x e ??? ( ) 0 (,) (,),xxf x e e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 内 单 减
注 1.研究函数的单调性,就是判断它在哪些区间内递增,
哪些区间内递减,由定理 1 对可导函数的单调性,可根据
导数的正负情况予以确定,
2.定理 7的结论对无穷区间也成立,
7
o x
y
3yx?
3.如果函数的导数仅在个别点处为 0,而在其余的点处均
满足定理 1,则定理 1仍成立, 如
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3
( ) ( ) 2 0 ( ( 0 ) 0 )
(,),
y f x x f x x f
yx
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
有
但 在 增
4.此定理可完善为充要条件, 即若 ?(x)在
(a,b)内可导且单调增加 (或减少 ),则 ?(x)
在 (a,b)内必有
( ) 0 ( ( ) 0 ),f x f x????或
5.有些函数在它的定义区间上不是单调的,如
2 0,[ 0,)( ) ( ) 2
0,(,0 )
x
y f x x f x x
x
? ? ? ???
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但它在部分区间上单调,那么怎么来求它的单调区间呢?
o x
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y
8
o x
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的点 (单调区间分界点 )来划分函数的定义区间,就能保
证函数在各个部分区间内保持固定符号,从而可得单调
区间及函数的单调性,
( ) 0 ( ) f x f x??? 的 解 及 不 存 在
6.函数 y=|x|,x = 0为其连续不可导点, 但它在部分
区间上单调,那么又怎么来求它的单调区间呢?
结论, 如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数
不存在的点外导数都存在且连续,那么只要用方程
9
确定某个函数 y=?(x)的单调性的一般步骤是,
(1)确定函数定义域 ;
(2)求出 的点,以这些点为分界
点划分定义域为多个子区间 ;
( ) 0 ( ) f x f x??? 及 不 存 在
(3)确定 在各子区间内的符号,从而定出 ?(x)在各
子区间的单调性,
( ) fx?
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例 16 求函数 的单调区间, 32( ) 2 9 1 2 3f x x x x? ? ? ?
(,)? ? ? ?
12 ( ) 0 1,2f x x x? ? ? ?由有
x 1 (1,2) 2
+ – +
?(x)
(,1 )?? ( 2,)??
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列表讨论如下,
2( ) 6 8 1 2 6 ( 1 ) ( 2 )f x x x x x? ? ? ? ? ? ?
(,) (,1 ],[ 1,2 ],[ 2,)? ? ? ? ? ? ? ?根 分 三 子
解 定义域为
故 是 ?(x)的递增区间, [1,2] 是递减区间, (端点
可包括也可不包括 )
(,1 ],[ 2,)? ? ? ?
11
例 17 讨论函数 的单调性, 23( ) ( 1 )f x x x??
解 定义域为 (,)?? ??
12
33
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( ) ( 1 )
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f x x x x
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(,0 )?? 2(,)
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故在 内 ?(x)是递增的, 在 内递减, 2 (,0 ),(,)
5? ? ? ?
2(,)
5 ??
列表讨论如下,
2 0 ( ),x f x?而 是 的 不 可 导 点
22 (,) (,0,0,,,)
55
? ? ? ? ? ? ? ?这 两 个 点 将 分 为 三 个 子 区 间 ）（ ）（
2(0,)
5
1
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例 18 证明不等式
二,函数单调性的应用
下面利用函数的单调性,来证明不等式和判断方程
的根的存在性及其个数,
1.证明不等式,关键是根据所证不等式及所给区间构造辅
助函数,并讨论它在指定区间内的单调性,
( 1 ) 1 ( 0 ) ( 2 ) l n ( 1 ) ( 0 )
1
x xe x x x x x
x
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( 1 ) ( ) 1xf x e x? ? ?解令 ( 0 ) 0,( ) 1 0 ( 0 )xf f x e x?? ? ? ? ?而
( ) fx? 单增 1.xex??故 ( ) ( 0 ) ( 0 )f x f x??即
13
1( 2 ) ( ) l n ( 1 ) 1
xf x x
x? ? ? ?解令
11 2( 0 ) 0,( ) 0 ( 0 )( 1 )
xf f x x
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?? ? ? ?
?
而
( ) fx? 单增
11 ( ) ( 0 ) ( 0 )f x f x??即 l n ( 1 ) 1
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2 ( ) l n ( 1 )f x x x? ? ?令
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( ) fx? 单减
22 ( ) ( 0 ) ( 0 )f x f x??即 l n ( 1 )xx??故
2.讨论方程根的问题, 若 y = ?(x)单调且变号,则方程 ?(x) =
0一定有根,而函数曲线与 x 轴的交点,确就是方程的根,
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例 19 设 ?(x)在 内连续,?(a) < 0当 x >a 时,有
(其中 k为常数 ),求证, 在 内,
方程 ?(x) = 0有且仅有一个实根,
[,)a ?? ( ) 0f x k? ??
()(,)faaa
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y y= ?(x)
a ( ) 0f x k
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证 因当 x >a时,有,则 ?(x) 在
内单调增加,
在区间 上应用拉格朗日中值定理,得
,( ) 0a f k?? ?? ? ?当时 ( ) ( )[ ] ( ) [ ] ( ) 0f a f af a f a k f a
kk? ? ? ? ? ? ?
( ) 0fa ?而
由介值定理知方程 ?(x) = 0 在 ()
(,)faaa k?
内至少有一个实根,
故结论得证,
()[ ] 0fafa
k? ? ?
15
例 20 证明方程 (1) 有且仅有一个正根, 3 10xx? ? ?
l n 1 ( 0,)xx e? ? ? ?在
(2) 内有两个实根,
证 (1) 3( ) 1f x x x? ? ?设
2' ( ) 3 1 0,f x x? ? ? 函数单调増加
( 0 ) 1,( 1 ) 1ff? ? ?且
( ) 0,fx??方 程 有 且 仅 有 一 个 正 根
( 2 ) ( ) l n 1 xf x x e? ? ?设 11' ( ) 0,f x x exe? ? ? ?则
' ( ) 0,' ( ) 0x e f x x e f x? ? ? ?且,,
31( ) 0,( ) 0,( ) 0
2f f e f e? ? ?又
( ) 0 ( 0,),fx? ? ? ?方 程 在 内 有 两 个 实 根
