1
§ 4.2 罗必达 (L’Hospital)法则
0
s i n1, l i m 1,
x
x
x? ?? 则原式极限存在
0" "," "
0
?
?
在第二章中我们已经知道,型的极限可能
存在,也可能不存在,
例, 求
4
3
212, l i m,
1x
xx
x??
?? ? ? ?
?
则原式极限不存在
通常称不能直接使用极限的四则运算法则来计算
的极限,为未定式的极限,
下面利用柯西中值定理来推出一种求未定式极限
的简便而有效的法则 — 罗必达法则,
2
一, 型的罗必达法则 0""
0
定理 5,设函数 ?(x),g(x)满足下列条件,
0
( 1 ) l i m ( ) l i m ( ) 0 ; ( 2 ) (,),( ) 0 ;
()
( 3 ) l i m ( ),
()
x a x a
xa
f x g x U a g x
fx
l
gx
?
??
?
?? ? ?
?
??
?
在 内 可 导 且
或() l i m ( ),
()xa
fx l
gx? ??则 有 或
证 因求 与 ?(a)及 g(a)无关,()lim
()xa
fx
gx?
则可定义 ?(a) = g(a) = 0
从而 ?(x) 和 g(x) 在点 a 处连续, 则由条件 (1),(2)可知,
?(x) 和 g(x) 在点 a 的邻域 U(a,δ)内是连续可导的,
设 x是该邻域内的一点,则 ?(x) 和 g(x) 在以 x 和 a 为端点
的区间 [x,a]或 [a,x]上满足柯西中值定理的条件,故在 [x,
a] 或 [a,x] 内至少存在一点 ξ,使得
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x f x f a f xa
g x g x g a g
? ?
?
??
?? ?
?
在 与 之 间
,x a a???令 则 有
( ) ( ) ( ) l i m l i m l i m ( )
( ) ( ) ( )x a a x a
f x f f x l
g x g g x?
?
?? ? ?
??? ? ? ? ?或
例 11.求
0
( 1 ) 1( 1 ) l i m
s i n
n
x
x
x?
??
0""
0
解 这 是 型,用 罗 必 达 法 则 有
0
[ ( 1 ) 1 ] 'lim
( s i n ) '
n
x
x
x?
???原式 1
0
( 1 )lim
c o s
n
x
nx n
x
?
?
???
4
20
l n ( ) l n ( 2 c o s )( 2 ) l i m xx
x
e e x
x
?
?
??
0
l s i nl i m ( )
2 c o s
xx
xxx
e e x
x e e x
?
??
???
?
原式
2
200
1 s i nl i m l i m
2 ( 1 ) 2 c o s
x
xxx
ex
x e x x??
???
?
2
20 0 0 0
1 1 s i n 1l i m l i m l i m l i m
2 1 2 c o s
x
xx x x x
ex
x e x x? ? ? ?
?? ? ? ?
?
200
1 1 1 1l i m l i m 1
1 2 c o s 2 2xxxex??
? ? ? ? ?
?
0""
0
解 这 是 型,用 罗 必 达 法 则 有
5
3
321
32( 3 ) l i m
1x
xx
xxx?
??
? ? ?
2
0
1
s i n
( 4 ) l i m
s i nx
x
x
x?
32
3 2 211
( 3 2 ) ' 3 3
l i m l i m
( 1 ) ' 3 2 1xx
x x x
x x x x x??
? ? ?
??
? ? ? ? ?
原式
1
63lim
6 2 2x
x
x?
??
?
注 1,不是未定式,使用罗必达法则,导致错误,如 (3),
0""
0
解 这 是 型,用 罗 必 达 法 则 有
0""
0
解 这 是 型,用 罗 必 达 法 则 有
6
22
2
00
1 1 1 1
( s i n ) ' 2 s i n c o s
l i m l i m
( s i n ) ' c o sxx
x x x
x x x x
xx??
?
??
??原式
0
11
2 s i n c o s
lim
c o sx
x
xx
x?
?
? 不存在
注 2,罗必达法则是计算未定式极限的简便而有效的方法,但
不是万能工具, 如 (4)虽是未定式,但不能使用罗必达法则,
此例也同时说明了罗必达法则也有, 失效, 的
时候, 当 不存在,也不为无穷大,不能利
用罗必达法则求极限, 但是
()lim
()xa
fx
gx?
?
?
22
000
11
s i n s i n 1
( 4 ) l i m l i m l i m s i n 0
s i nxxx
xx
xx x
x x x???
? ? ? ?
7
30
s i n( 5 ) l i m
x
xx
x?
?
30
( s i n ) l i m
()x
xx
x?
??
? ?原式
20
1 c o slim
3x
x
x?
??
0
s i n 1l i m,
66x
x
x?
??
注 3.在求未定式极限时可多次连续使用罗必达法则 ;并且应善
于把罗必达法则与以前求极限的方法结合起来,使计算简化,
0""
0
解 这 是 型,用 罗 必 达 法 则 有
22
30
22
( 6 ) l i m
( 1 )
x x x x
xx
x e x e e e
e?
? ? ?
?
2 2 2
20
2 4 2lim
3 ( 1 )
x x x x x x
xxx
e x e e x e e e
ee?
? ? ? ? ??
?
原式
0""
0
解 这 是 型,用 罗 必 达 法 则 有
8
注 4,在求极限的计算过程中,应注意随时约分化简或
者分离出容易求极限的因式,以免越算越繁, 如 (6),
22
20
3 2 3lim
3 ( 1 )
x x x x
xxx
e x e e x e
ee?
? ? ? ??
?
20
3 2 3lim
3 ( 1 )
xx
xx
e x e x
e?
? ? ? ??
? 0
3 2 2 1lim
6 ( 1 )
x x x
xxx
e e x e
ee?
? ? ? ??
?
0
21lim
6 ( 1 )
xx
xx
e x e
e?
? ? ??
? 0
22lim
6
x x x
xx
e e x e
e?
? ? ?? 1
6
?
注 5,罗必达法则对其它极限过程有同样的结论,如
当 时的 型仍然可以使用罗必达法则, x ?? 0
""0
9
a r c t a n
2( 8 ) l i m
1x
x
x
?
? ? ?
?
2
2
1
1
lim
1x
x
x
? ? ?
?
?
?
?
原 式
0""
0
解 这 是 型,用 罗 必 达 法 则 有
( ) ( )
l i m l i m [ ],
( ) ( )xa xa
f x f x
g x g x? ?
?
??
?
注 6,注意
2
2l i m 11x
x
x? ? ?
??
?
10
""??
0
( 1 ) l i m ( ),l i m ( ) ;
( 2 ) (,),( ) 0 ;
()
( 3 ) l i m ( )
()
x a x a
xa
f x g x
U a g x
fx
l
gx
?
??
?
? ? ? ?
? ?
?
??
?
在 内 可 导 且
或
() l i m ( ),
()xa
fx l
gx?
??则 有 或
0
l n c o t( 1 ) l i m
lnx
x
x??
二, 型的罗必达法则
定理 6,设函数 ?(x),g(x)满足下列条件,
例 12.求
""?
?
解 这 是 型,用 罗 必 达 法 则 有
11
0
( l n c o t )lim
( l n )x
x
x??
?
? ?原式
2
0
( c s c )lim
c o tx
xx
x??
???
0
l i m ( )
c o s s i nx
x
xx??
??
? 00
1l i m l i m ( ) 1
s i n c o sxx
x
xx????
? ? ? ? ?
( 2 ) l i m (,0 )
n
xx
x nN
e ?
?
? ? ?
??
""??解 这 是 型,用 罗 必 达 法 则 有
1
lim
n
xx
nx
e ??
?
? ? ?
原式=
2
2
( 1 )lim n
xx
n n x
e ??
?
? ? ?
? ?= !
l i m 0nx
x
n
e ??? ? ?
??
12
这两种类型的未定式可以直接转化为
0" "," "
0
?
?
000,,0,1,?? ? ? ? ? ? 等型。
0,? ? ? ? ?
0" " " "
0
?
?或 1
00" 0 " " " " "
0?? ? ? ? 或
三,其它类型的未定式的定值法
型是所有未定式中两种最基本的形式 ; 未定式还有
其中
型的未定式来计算,
1
0
" 0 " " " " ",??? ? ? ? ?
ln( 3 ) l i m ( 0 )
x
x
x ? ?? ? ? ?
""??解 这 是 型,用 罗 必 达 法 则 有
1
1
1
l i m l i m 0
xx
x
xx?????? ? ? ? ? ?
? ? ?原式
13
例 13.求
0
( 1 ) l i m l n ( 0 )
x
xx? ??
?
?
" 0 "??解 这 是 型,用 罗 必 达 法 则 有
1
00
1
ln
l i m l i m
xx
x x
xx?? ???? ? ???
??
?
原式
0
1= l i m 0
x
x ??
??
??
22( 2 ) l i m ( a r c t a n 2 )
2x xx
?
??
?求
2
2
a r c t a n 2
2lim
x
x
x
?
???
?
?原式
4
4
21lim
1 4 2x
x
x??
??
?
22
3
4
1 ( 2 )
lim
2 xx
x
x
x ???
?
?
?
?
" 0 "??解 这 是 型,用 罗 必 达 法 则 有
14
""? ? ?对 于 型,可采用通分化为 0" " " ",0 ??或型
""? ? ?解 这 是 型,先 通 分 化 简 函 数 后,
0
s i nlim
s i nx
xx
xx?
??原式
0
1 c o s= l i m
s i n c o sx
x
x x x?
?
?
0
s i nl i m 0
c o s c o s s i nx
x
x x x x?
??
??
再 用 罗 必 达 法 则 有
0
11( 3 ) l i m ( )
s i nx xx?
?
2()
( 4 ) l i m ( s e c t a n )
x
xx
? ??
?
15
""? ? ?解 这 是 型,先 通 分 化 简 函 数 后,再 用 罗 必 达 法 则 有
2()
1 s i nlim
c o sx
x
x? ??
??原式
2()
c o sl i m 0
s i nx
x
x? ??
???
?
1
1 1 1( 5 ), l i m [ ]
s i n ( 1 )x x x x? ? ?? ?? ?求
1
1 1 ( 1 ) s i nlim
( 1 ) s i nx
xx
xx
??
? ? ??
????
?解 原 式
1
1 1 c o slim
s i n ( 1 ) c o sx
x
x x x
? ? ?
? ? ? ? ??
????
? ? ?
2
21
1 1 s i nlim
c o s c o s ( 1 ) s i nx
x
x x x x
??
? ? ? ? ? ? ? ??
??
? ? ? ?
1
??
16
而 三种幂指函数的未定式,可先利用 00" 0,1,"? ? 型 lnv v uue?
这个 对数恒等式,将其转化为 型,再采用罗必达
法则求极限,
" 0 "??
0
( 6 ) l i m x
x
x?
?
0 l n" 0 " 0,l n
" 0 "
x x xx e x x x???
??
解 这 是 型,由 知,当 时 其 指 数 为
型,用 罗 必 达 法 则 有
0 0 0
ln
l i m l n l i m l i m ( ) 0
1x x x
x
x x x
x
? ? ?? ? ?
? ? ? ?
l n 0
00
l i m l i m 1x x x
xx
x e e??
??
? ? ? ?
17
4
t a n 2( 7 ) l i m ( t a n ) x
x
x
??
0 t a n 2 t a n 2 l n t a n" 0 " ( t a n ) x x xxe ?解 这 是 型,由 知
44
l n t a n
l i m ( t a n 2 ) l n t a n l i m
c o t 2xx
x
xx
x????
??
2
2
44
s e c 1
l i m ( ) l i m s i n 2 1
t a n 2 ( 2 c s c 2 )xx
x
x
xx????
? ? ? ? ? ?
?
4
t a n 2 1l i m ( t a n ) x
x
xe
?
?
?
??
,t a n 2 l n t a n " 0 "
4
x x x?? ? ?当 时 其 指 数 为 型,用 罗 必 达 法 则 有
18
注 7.由有理分式函数的极限法则知 21l i m ( " " ) 1
x
x
x??
?? ?
?
2 2
2
1 21
l i m ( " " ) l i m
1xx
x
x x
x? ? ? ?
?? ?
?
?
注意,11
11l i m l i m
m m m m
n n n nx a x a
x a m x m a
x a n x n a
??
????
???
显然此时罗必达法则, 失效,,
但它却不能用罗必达法则, 因为
2
2
2
11
l i m ( " " ) l i m l i m
21
21
x x x
xx
x xx
x
? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
??
?