1
§ 8.2 多元函数概念
前几章讨论的函数 y=?(x),是因变量与一个自变量
变量,称这类函数为一元函数,
之间的关系,在此关系中,因变量的值只依赖于一个自
往需要研究因变量与几个自变量之间的关系,这时因
但在许多实际问题中往
变量的值依赖于几个自变量,
而且与消费者平均收入以及需要这种商品的人数 N有关,
而决定该商品需求量的自变量不只一个而是多个,
例 某种商品的市场需求量 Q不仅与市场价格 p有关,
而且还与这种商品的其他代用品的价格等因素有关；从
这就需要研究多元函数的概念,
2
12(,,,),nx x x D?
12(,,,)ny f x x x?
12(,,,)nx x x
12(,,,)nx x x
都有唯一确定的实数 y与之对应,则称此法则 ?为定义在
定义域是自变量的取值范围,常记为 D(?),
12(,,,)nx x x
定义 3 设 D为一个非空的 n元有序数组 的集
合,对于每一个有序数组 依某一法则 ?,
D上的 n元函数,记为
12(,,,)nx x x D?
称变量 为自变量,变量 y为因变量,
也称因变量 y为自变量 的函数 ;
集合 D为该函数的定义域,
特别地, 当 n=1时为一元函数 y=?(x),x∈ D;
当 n=2时为二元函数 z=?(x,y),(x,y)∈ D,
3
本章主要讨论二元函数,
一,二元函数
一个是对应法则,一个是定义域,而与两个自变量和因变
量采用什么字母无关,
二元函数 z=?(x,y)的定义域是指使表达式 ?(x,y)有意义的
所有有序数组 (x,y) 构成的集合,
1.二元函数 的定义域
二元及二元以上的函数统称为多元函数,
决定一个二元函数的要素,
t∈ R,有 (tx,ty)∈ D且 (,) (,)mf t x t y t f x y?
特别地,对于区域 D上的二元函数 z=?(x,y),若对于实数
(m为常数 ),则称
?(x,y) 为 m次齐次函数, 当 m=0时,则称 ?(x,y) 为 0次齐次
函数,简称齐次函数,
4
0.为 次 齐 次 函 数
例 5 求下列函数的定义域,
2 2 2
2 2 2
(1 ) ; ( 2 ) ;
( 3 ) l n ( ),
z x y z R x y
z R x y
? ? ? ?
? ? ?
22
22
22 (,),(,)
xyf x y x y f x y
xy
?? ? ?
?
例 为 二 次 齐 次 函 数
则 x,y须满足,xy≥0,
x
y
O
即定义域为坐标平面上第 Ⅰ,
第 Ⅲ 象限 (包括坐标轴 )的区域,
解 (1) 要使函数有意义,
D={(x,y)∣ xy≥0}.(如图 ) 用集合表示为
5
即定义域为 xy面上由圆
2 2 2 0R x y? ? ?
2 2 2x y R??
2 2 2{ (,) }D x y x y R? ? ?
x
y
o
-R
R
R -R
2 2 2( 2 ) ;z R x y? ? ?
要使函数有意义,则 x,y须满足,
包括圆周在内, (如图 )
用集合表示为
所围成的平面区域,
6
要使函数有意义,则 x,y须满足, 2 2 2 0R x y? ? ?
2 2 2x y R??
2 2 2{ (,) },D x y x y R? ? ?
x
y
o
-R
R
R -R
2 2 2( 3 ) l n ( ),z R x y? ? ?
即定义域为 xy面上由圆
区域,但不包括圆周在内, (如图 )
所围成的平面区
用集合表示为,
7
例 6 设 Z表示居民人均消费收入,Y 表示 国民收入总额,
N 表示总人口数,则有
12,
YZ S S
N
? 1S
2S
12(,)Z f Y N S S Y N? ? ?
(国民收入总额中用于消费所占的比例 ),
其中 是消费率
费率 (消费总额中用于居民消费所占的比例 ); 在这个 关
是居民消
系式中,对每一有序数组 (Y,N)(Y>0,N>0),总有唯一确定
的 Z与之对应,因而
为 自变量,Z为因变量的二元函数,其定义域为
D(?)={(Y,N)∣ Y>0,N>0}
是以 Y,N
该函数关系反映了一个国家中居民人均消费收入依赖
于国民收入总额和总人口数,
8
二元函数 z=?(x,y)的定义域是
00(,),xy
0 0 0(,)z f x y?
z
y
O
x
0 0 0 0(,,)M x y z
00(,)xyD
0x
0y
0z
如 § 8.1的例 4 (第 15-23章 幻灯片 ),
2,二元函数的几何意义
当自变量 x,y遍取 D内所有点 (x,y)时,M(x,y,z) 在空间的
xy平面上的一个区域 D,
对于 D内任意一点
必有唯一确定的值
与之对应,从而确定了空间的一个点
0 0 0 0(,,),M x y z
轨迹就是一张曲面,此曲面就是二元函数 z=?(x,y)的图
形, (如图 )
9
1.直观描述
定义 4 设函数 z=?(x,y)在 的附近有定义 (在点
0 0 0(,)P x y
0P
0 0 0(,)P x y
0P
22
00( ) ( ) 0,x x y y? ? ? ? ? ? 时
0 0 0(,)P x y 00(,)xy
二, 二元函数的极限
如果动点 P(x,y)沿任意
处函数可无定义 ),
时,
?(x,y)总是趋于一个常数 A,则称 A为函数 ?(x,y)在点
或称当 (x,y)趋于 时,
x
y
O
,00(,)xy
路径趋于定点
即当 P与 的距 离
以 A为极限，记为
?(x,y)
0
0
l i m ( )
xx
yy
f x,y A
?
?
? 00(,) (,)l i m ( )x y x y f x,y A? ?或
处的极限,
10
0l i m ( )f x,y A? ? ?或 0l i m ( ),PP f P A? ?或
注 2 若动点 P以某一特殊方式 (沿某特殊直线或曲线 )趋于
0P
0
l i m ( )PP fP?
0P
0
l i m ( )PP fP? 不存在.
定点 时,?(P)无限接近 A,
但当动点 P以不同方式或不同路径趋于 时,?(P)趋于
不同值,则一定有
(,) ( 0 0 )l i m ( )xy f x,y?,讨 论 是 否 存 在？
2
22
42
22
0
8 ( ),3
00
xy
xy
f x,y xy
xy
?
???
? ??
? ??
?
例 已 知
还不能肯定 存在；
11
解 当点 (x,y)沿 x轴 (y=0)趋于 (0,0)时,得
(,) ( 0 0 ) 0l i m ( ) l i m ( 0 )x y xf x,y f x,?? ?，
2
420l i m 3x
xy
xy?
?
? 0l i m 0 0x ??? ；
(,) ( 0 0 ) 0l i m ( ) l i m ( 0 )x y yf x,y f,y?? ?，
但当点 (x,y)沿抛物线 趋于 (0,0)时,却得 2yx?
2
0(,) ( 0 0 )
l i m ( ) l i m ( )
xxy
yx
f x,y f x,y
??
?
?
，
4
440
1l i m ;
34x
x
xx?
??
?
(,) ( 0 0 )l i m ( ),xy f x,y??, 不存在
当点 (x,y)沿 y轴 (x=0)趋于 (0,0)时,得
2
420l i m 3y
xy
xy?
?
? 0l i m 0 0y ??? ；
12
,0,??? ? ?对 使 得 满 足 不 等 式
(,) ( 3 2 )9, l i m ( 2 ) 7,xy xy? ??，例 证 明
( 2 ) 7 ( 3 ) 2 ( 2 )x y x y? ? ? ? ? ?证 明 因
223 ( 3 ) ( 2 ),x x y? ? ? ? ?而
2,精确描述 (,ε―δ, 定义 )
22
000 ( ) ( )x x y y??? ? ? ? ? ?
(,),(,),x y f x y A ???的 一 切 恒 有 成 立
00(,,) (,)f x y x y在 点 处 的 极 限
A则 叫 做 函 数
3 2 2xy? ? ? ?
13
( 2 ) 7xy? ? ? ? 223 ( 3 ) ( 2 )xy? ? ?
,??对 要 使 ( 2 ) 7xy ?? ? ?
222 ( 3 ) ( 2 )y x y? ? ? ? ?
223 ( 3 ) ( 2 )xy ?? ? ? ?则只需
恒有 ( 2 ) 7xy ?? ? ?
(,) ( 3 2 )l i m ( 2 ) 7,xy xy?? ? ?，
1,
3???则 只 需 取 则 当
22
000 ( ) ( ),x x y y??? ? ? ? ? ? 时
14
00 00(,) (,)
l i m (,) (,)x y x y f x y f x y? ?
二元函数的连续性概念与一元函数连续性概念类似,
6 (,) ( )f x y设 函 数 在 开 区 域 或 闭 区 域定义 内有定义，
三, 二元函数的连续性
0 0 0 0(,)P x y D P D?是 的 内 点 或 边 界 点 且 ； 若
则称函数 ?(x,y)在点
00(,)xy
00(,)xy
不连续 (或间断 ),
连续 ; 否则,称函数 ?(x,y)在点
如果函数 ?(x,y)在区域 D上的每一个点都连续,则称函数
连续函数 z=?(x,y)的图形是一张无孔、无缝的连续曲面,
?(x,y) 在区域 D上连续,亦函数 ?(x,y) 是区域 D上的连续
函数,
15
注 3 如果在区域 D内的某些孤立点或某些曲线上,?(x,y)
没有定义,而在 D内的其余部分 ?(x,y)都 有定义,则这些孤
立点或曲线上的点都是 ?(x,y)的间断点 (或不连续点 ),
注 4 由极限的运算法则,知
(1),二元 连续 函数的和、差、积、商 (当分母不为零时 ),
(2).多 元 连续 函数的复合函数仍 为连续 函数,
仍 为连续 函数,
(3).一切 多 元 初等 函数在其定义域内均 为连续 函数,
由 多 元函数的 连续 性知，若 ?(x,y)是 初等 函数且
重要结论,
00(,) ( ),x y D f? 00
(,)xy则 ?(x,y)在点 处连续且
16
00 00(,) (,)
l i m (,) (,)x y x y f x y f x y? ?
注 5 与一元函数类似,在有界闭区域上,多 元 连续 函数
性质 1(最值存在定理 ) 若 ?(x,y)在 闭 区域 D上连续，则
也有如下性质,
函 数 ?(x,y)在 D上必有最大值和最小值,即在 D上曲面
z=?(x,y)至少存在一个最高点和最低点,
性质 2(介值定理 ) 若 ?(x,y)在 闭 区域 D上连续,实数 c又介
于其最小值和最大值之间,则在 D上至少 存 在一点 (ξ,η),
使得 ?(ξ,η)=c,
注 6 一元函数的极限运算法则对于多元函数来说,基
本上都适用,
17
22(,) ( 0 0 )
11 0, ( 1 ) l i m s i n ;
xy
xy
xy? ?，
例求
22
1 s i n 1
xy
?
?
解 因, 且
(,) ( 0 0 )l i m 0xy xy? ?，
22(,) ( 0 0 )
1l i m s i n 0,
xy
xy
xy?
??
?，
22
220
0
1( 2 ) l i m ( ) s i n ;
x
y
xy
xy?
?
?
?
22
1 s i n 1
xy
?
?
解 因, 且 22(,) ( 0 0 )l i m ( ) 0xy xy? ??，
22
220
0
1 l i m ( ) s i n 0,
x
y
xy
xy?
?
? ? ?
?
18
2
11(,) (,)
22
s i n [ ( 1 ]l i m
1xy
xy
xy?
???
??
）
2
1
s i n [ 1 ]l i m
1
x y u
u
u
u
??
?
?
??
令
22
21
s i n [ 1 ] 1l i m 2,
11u
uu
uu?
??? ? ?
??
22
11
(,) (,)
22
s i n ( 2 1 )
( 3 ) l i m,
1xy
x x y y
xy?
? ? ?
??
22
11
(,) (,)
22
s i n ( 2 1 )
l i m
1xy
x x y y
xy?
? ? ?
??
解
§ 8.2 多元函数概念
前几章讨论的函数 y=?(x),是因变量与一个自变量
变量,称这类函数为一元函数,
之间的关系,在此关系中,因变量的值只依赖于一个自
往需要研究因变量与几个自变量之间的关系,这时因
但在许多实际问题中往
变量的值依赖于几个自变量,
而且与消费者平均收入以及需要这种商品的人数 N有关,
而决定该商品需求量的自变量不只一个而是多个,
例 某种商品的市场需求量 Q不仅与市场价格 p有关,
而且还与这种商品的其他代用品的价格等因素有关；从
这就需要研究多元函数的概念,
2
12(,,,),nx x x D?
12(,,,)ny f x x x?
12(,,,)nx x x
12(,,,)nx x x
都有唯一确定的实数 y与之对应,则称此法则 ?为定义在
定义域是自变量的取值范围,常记为 D(?),
12(,,,)nx x x
定义 3 设 D为一个非空的 n元有序数组 的集
合,对于每一个有序数组 依某一法则 ?,
D上的 n元函数,记为
12(,,,)nx x x D?
称变量 为自变量,变量 y为因变量,
也称因变量 y为自变量 的函数 ;
集合 D为该函数的定义域,
特别地, 当 n=1时为一元函数 y=?(x),x∈ D;
当 n=2时为二元函数 z=?(x,y),(x,y)∈ D,
3
本章主要讨论二元函数,
一,二元函数
一个是对应法则,一个是定义域,而与两个自变量和因变
量采用什么字母无关,
二元函数 z=?(x,y)的定义域是指使表达式 ?(x,y)有意义的
所有有序数组 (x,y) 构成的集合,
1.二元函数 的定义域
二元及二元以上的函数统称为多元函数,
决定一个二元函数的要素,
t∈ R,有 (tx,ty)∈ D且 (,) (,)mf t x t y t f x y?
特别地,对于区域 D上的二元函数 z=?(x,y),若对于实数
(m为常数 ),则称
?(x,y) 为 m次齐次函数, 当 m=0时,则称 ?(x,y) 为 0次齐次
函数,简称齐次函数,
4
0.为 次 齐 次 函 数
例 5 求下列函数的定义域,
2 2 2
2 2 2
(1 ) ; ( 2 ) ;
( 3 ) l n ( ),
z x y z R x y
z R x y
? ? ? ?
? ? ?
22
22
22 (,),(,)
xyf x y x y f x y
xy
?? ? ?
?
例 为 二 次 齐 次 函 数
则 x,y须满足,xy≥0,
x
y
O
即定义域为坐标平面上第 Ⅰ,
第 Ⅲ 象限 (包括坐标轴 )的区域,
解 (1) 要使函数有意义,
D={(x,y)∣ xy≥0}.(如图 ) 用集合表示为
5
即定义域为 xy面上由圆
2 2 2 0R x y? ? ?
2 2 2x y R??
2 2 2{ (,) }D x y x y R? ? ?
x
y
o
-R
R
R -R
2 2 2( 2 ) ;z R x y? ? ?
要使函数有意义,则 x,y须满足,
包括圆周在内, (如图 )
用集合表示为
所围成的平面区域,
6
要使函数有意义,则 x,y须满足, 2 2 2 0R x y? ? ?
2 2 2x y R??
2 2 2{ (,) },D x y x y R? ? ?
x
y
o
-R
R
R -R
2 2 2( 3 ) l n ( ),z R x y? ? ?
即定义域为 xy面上由圆
区域,但不包括圆周在内, (如图 )
所围成的平面区
用集合表示为,
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例 6 设 Z表示居民人均消费收入,Y 表示 国民收入总额,
N 表示总人口数,则有
12,
YZ S S
N
? 1S
2S
12(,)Z f Y N S S Y N? ? ?
(国民收入总额中用于消费所占的比例 ),
其中 是消费率
费率 (消费总额中用于居民消费所占的比例 ); 在这个 关
是居民消
系式中,对每一有序数组 (Y,N)(Y>0,N>0),总有唯一确定
的 Z与之对应,因而
为 自变量,Z为因变量的二元函数,其定义域为
D(?)={(Y,N)∣ Y>0,N>0}
是以 Y,N
该函数关系反映了一个国家中居民人均消费收入依赖
于国民收入总额和总人口数,
8
二元函数 z=?(x,y)的定义域是
00(,),xy
0 0 0(,)z f x y?
z
y
O
x
0 0 0 0(,,)M x y z
00(,)xyD
0x
0y
0z
如 § 8.1的例 4 (第 15-23章 幻灯片 ),
2,二元函数的几何意义
当自变量 x,y遍取 D内所有点 (x,y)时,M(x,y,z) 在空间的
xy平面上的一个区域 D,
对于 D内任意一点
必有唯一确定的值
与之对应,从而确定了空间的一个点
0 0 0 0(,,),M x y z
轨迹就是一张曲面,此曲面就是二元函数 z=?(x,y)的图
形, (如图 )
9
1.直观描述
定义 4 设函数 z=?(x,y)在 的附近有定义 (在点
0 0 0(,)P x y
0P
0 0 0(,)P x y
0P
22
00( ) ( ) 0,x x y y? ? ? ? ? ? 时
0 0 0(,)P x y 00(,)xy
二, 二元函数的极限
如果动点 P(x,y)沿任意
处函数可无定义 ),
时,
?(x,y)总是趋于一个常数 A,则称 A为函数 ?(x,y)在点
或称当 (x,y)趋于 时,
x
y
O
,00(,)xy
路径趋于定点
即当 P与 的距 离
以 A为极限，记为
?(x,y)
0
0
l i m ( )
xx
yy
f x,y A
?
?
? 00(,) (,)l i m ( )x y x y f x,y A? ?或
处的极限,
10
0l i m ( )f x,y A? ? ?或 0l i m ( ),PP f P A? ?或
注 2 若动点 P以某一特殊方式 (沿某特殊直线或曲线 )趋于
0P
0
l i m ( )PP fP?
0P
0
l i m ( )PP fP? 不存在.
定点 时,?(P)无限接近 A,
但当动点 P以不同方式或不同路径趋于 时,?(P)趋于
不同值,则一定有
(,) ( 0 0 )l i m ( )xy f x,y?,讨 论 是 否 存 在？
2
22
42
22
0
8 ( ),3
00
xy
xy
f x,y xy
xy
?
???
? ??
? ??
?
例 已 知
还不能肯定 存在；
11
解 当点 (x,y)沿 x轴 (y=0)趋于 (0,0)时,得
(,) ( 0 0 ) 0l i m ( ) l i m ( 0 )x y xf x,y f x,?? ?，
2
420l i m 3x
xy
xy?
?
? 0l i m 0 0x ??? ；
(,) ( 0 0 ) 0l i m ( ) l i m ( 0 )x y yf x,y f,y?? ?，
但当点 (x,y)沿抛物线 趋于 (0,0)时,却得 2yx?
2
0(,) ( 0 0 )
l i m ( ) l i m ( )
xxy
yx
f x,y f x,y
??
?
?
，
4
440
1l i m ;
34x
x
xx?
??
?
(,) ( 0 0 )l i m ( ),xy f x,y??, 不存在
当点 (x,y)沿 y轴 (x=0)趋于 (0,0)时,得
2
420l i m 3y
xy
xy?
?
? 0l i m 0 0y ??? ；
12
,0,??? ? ?对 使 得 满 足 不 等 式
(,) ( 3 2 )9, l i m ( 2 ) 7,xy xy? ??，例 证 明
( 2 ) 7 ( 3 ) 2 ( 2 )x y x y? ? ? ? ? ?证 明 因
223 ( 3 ) ( 2 ),x x y? ? ? ? ?而
2,精确描述 (,ε―δ, 定义 )
22
000 ( ) ( )x x y y??? ? ? ? ? ?
(,),(,),x y f x y A ???的 一 切 恒 有 成 立
00(,,) (,)f x y x y在 点 处 的 极 限
A则 叫 做 函 数
3 2 2xy? ? ? ?
13
( 2 ) 7xy? ? ? ? 223 ( 3 ) ( 2 )xy? ? ?
,??对 要 使 ( 2 ) 7xy ?? ? ?
222 ( 3 ) ( 2 )y x y? ? ? ? ?
223 ( 3 ) ( 2 )xy ?? ? ? ?则只需
恒有 ( 2 ) 7xy ?? ? ?
(,) ( 3 2 )l i m ( 2 ) 7,xy xy?? ? ?，
1,
3???则 只 需 取 则 当
22
000 ( ) ( ),x x y y??? ? ? ? ? ? 时
14
00 00(,) (,)
l i m (,) (,)x y x y f x y f x y? ?
二元函数的连续性概念与一元函数连续性概念类似,
6 (,) ( )f x y设 函 数 在 开 区 域 或 闭 区 域定义 内有定义，
三, 二元函数的连续性
0 0 0 0(,)P x y D P D?是 的 内 点 或 边 界 点 且 ； 若
则称函数 ?(x,y)在点
00(,)xy
00(,)xy
不连续 (或间断 ),
连续 ; 否则,称函数 ?(x,y)在点
如果函数 ?(x,y)在区域 D上的每一个点都连续,则称函数
连续函数 z=?(x,y)的图形是一张无孔、无缝的连续曲面,
?(x,y) 在区域 D上连续,亦函数 ?(x,y) 是区域 D上的连续
函数,
15
注 3 如果在区域 D内的某些孤立点或某些曲线上,?(x,y)
没有定义,而在 D内的其余部分 ?(x,y)都 有定义,则这些孤
立点或曲线上的点都是 ?(x,y)的间断点 (或不连续点 ),
注 4 由极限的运算法则,知
(1),二元 连续 函数的和、差、积、商 (当分母不为零时 ),
(2).多 元 连续 函数的复合函数仍 为连续 函数,
仍 为连续 函数,
(3).一切 多 元 初等 函数在其定义域内均 为连续 函数,
由 多 元函数的 连续 性知，若 ?(x,y)是 初等 函数且
重要结论,
00(,) ( ),x y D f? 00
(,)xy则 ?(x,y)在点 处连续且
16
00 00(,) (,)
l i m (,) (,)x y x y f x y f x y? ?
注 5 与一元函数类似,在有界闭区域上,多 元 连续 函数
性质 1(最值存在定理 ) 若 ?(x,y)在 闭 区域 D上连续，则
也有如下性质,
函 数 ?(x,y)在 D上必有最大值和最小值,即在 D上曲面
z=?(x,y)至少存在一个最高点和最低点,
性质 2(介值定理 ) 若 ?(x,y)在 闭 区域 D上连续,实数 c又介
于其最小值和最大值之间,则在 D上至少 存 在一点 (ξ,η),
使得 ?(ξ,η)=c,
注 6 一元函数的极限运算法则对于多元函数来说,基
本上都适用,
17
22(,) ( 0 0 )
11 0, ( 1 ) l i m s i n ;
xy
xy
xy? ?，
例求
22
1 s i n 1
xy
?
?
解 因, 且
(,) ( 0 0 )l i m 0xy xy? ?，
22(,) ( 0 0 )
1l i m s i n 0,
xy
xy
xy?
??
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