1
值有十分密切的联系；故以下以二元函数为例用多元函
多元函数极值问题有两种基本类型 (以二元函数为例 )
§ 8.8 多元函数的极值
在现代经济管理中，有许多最优化问题属于多元函
数的极值和最值问题,同一元函数类似，其最值也与其极
数微分法先来讨论多元函数的极值，再讨论多元函数的
最值,
类型 Ⅰ,讨论 z=?(x,y)的极值 —— 无条件极值
类型 Ⅱ,讨论 z=?(x,y)在约束条件 φ(x,y)=0下的极值 ——
条件极值
2
一,无条件极值
若对于其相应去心邻域内的所有点 (x,y)，恒有
00(,)xy
函数的极大值、极小值统称为极值,
00(,) (,) f x y f x y? 00( (,) (,) )f x y f x y?或
00 (,) (,)f x y f x y则 称 为 函 数 的 极 大 值( ),或极小值
使函数取得极值的点统称为极值点,
注 1 与一元函数类似，函数的极值概念是, 局部, 概念,
定义 10 设函数 z=?(x,y)在点 的某个邻域内有定义,
与函数极值比较大小的，只是极值点邻近各点的函数值,
3
定理 8 (极值存在的必要条件 ) 若函数 ?(x,y)在点
00(,)xy
0 0 0 0(,) 0,(,) 0,xyf x y f x y?? ??
一定有同一极值，故
00(,)xy
0yy? 0(,) z f x y? 0x
00(,) 0 ;xf x y? ?
00 (,) 0,yf x y? ?同理可证
0 0 0 0(,) 0 (,) 0xyf x y f x y????和
00(,)xy
称为函 数 ?(x,y)的驻点,
处有极值,且在该点的偏导数存在,则必有
证 因二元函数 ?(x,y)在点 处有极值,
故固定 时有一元函数 在点 处也
定义 11 能使 同时成立的点
4
(因 z(0,0)=1,而 z(0,y)>1,z(x,0)<1),
22z x y??
22 1z y x? ? ?
同一元函数一样，有如下充分条件,
定理 9 (充分条件 ) 若函数 z=?(x,y)点
00(,)xy
00(,)xy
注 2 由定理 8知,在偏导数存在条件下,极值点必为驻点,
但驻点却不一定是极值点, 如点 (0,0)是函数
的驻点,又是极小值点 z(0,0)=0;
但点 (0,0)是函数 的驻点,但却不是极值点,
怎样判断驻点 是极值点呢？
有连续的二阶偏导数，且
的某邻域内
是驻点,令
0 0 0 0(,),(,),x x x yA f x y B f x y?? ???? 00(,),yyC f x y??? 则
5
2 00( 1 ), 0,0,(,) ;B A C A f x y? ? ?若 且 则 是 极 大 值
2 00( 2 ), 0,0,(,) ;B A C A f x y? ? ?若 且 则 是 极 小 值
2 00( 3 ), 0,(,) ;B A C f x y??若 则 不 是 极 值
2 00( 4 ), 0,(,),B A C f x y??若 则 是 否 为 极 值 需 另 法 判 别
其证明因用到二元一阶泰勒公式等知识，在此略去,
3 3 2 22 9 (,) 3 3 9,f x y x y x y x? ? ? ? ?例 确 定 函 数 的 极 值 点
2
2
(,) 3 6 9 0
(,) 3 6 0
x
y
f x y x x
f x y y y
?? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
??
解 由 方 程 组 得 驻 点
(1,0),(1,2),(－ 3,0),(－ 3,2),
6
6 6,0,6 6,x x x y y yf x f f y?? ?? ??? ? ? ? ? ?而
则在点 (1,0)处 有 A=12,B=0,C=6;
2 1 2 6 0,1 2 0,B A C A? ? ? ? ? ? ? ? ?从 而,且
(,) ( 1,0 ) ;f x y f那 么 有 极 小 值
则在点 (1,2)处有 A=12,B=0,C=?6,从而 ?>0,故 ?(1,2)非极值,
则在点 (?3,0)处有 A=?12,B=0,C=6,从而 ?>0,故 ?(?3,0)非
极值,
则在点 (?3,2)处有 A=?12,B=0,C=?6,从而 ?<0,且 A<0故有
极大值 ?(?3,0),
故此函数的极大值点为 (?3,2),极小值点为 (1,0),
7
2 2 23 0 2 2 8 8 0
,
x y z y z z z? ? ? ? ? ?例 求 由 方 程 所 确 定 的
的极值
解 方程两边微分得
4xdx+4ydy+2zdz+8zdy+8ydz－ dz=0
4 ( 4 8 ) 4 ( 4 8 )
2 8 1 2 8 1 2 8 1
x d x y z d y x d x y z d ydz
z y z y z y
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
4 4 8,
2 8 1 2 8 1
z x z y z
x z y y z y
? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
0,0 0,,
2
z z yxz
xy
??? ? ? ? ?
??
由得
1 2 1 2 2,1 6 7 ; 1,8 7,y y z z? ? ? ? ? ?则代入原方程有
8
( 0,2 ),( 0,1 6 7 ),?从 而 有 驻 点
2
4 ( 2 8 1 ) 8,
( 2 8 1 )
x
xx
z y x zz
zy
?? ? ? ??? ?
??
而 2
4 ( 2 8 )
,
( 2 8 1 )
y
xy
xz
z
zy
? ?
?? ?
??
2
( 4 8 ) ( 2 8 1 ) ( 4 8 ) ( 2 8 )
.
( 2 8 1 )
yy
yy
z z y y z z
z
zy
??? ? ? ? ? ? ?
?? ?
??
( 0,2,1 ) 4 1 5 0,0,4 1 5A B C? ? ? ? ?从 而 在 点 处 有
2 0B A C? ? ? ? ?
故 z=z(x,y)在驻点 (0,?2)处有极小值 z=1,
2 8 1 0 5,C ?? 2 0B A C? ? ? ? ?
故 z=z(x,y)在驻点 (0,16/7)处有极大值 z=?8/7,
( 0,1 6 7,8 7 ) 2 8 1 0 5 0,0,AB? ? ? ? ?而 在 点 处 有
9
注 3 在讨论函数极值问题时，也会遇到函数在个别点
221z x y? ? ?
2 2 2 2
,,xy xyzz
x y x y
??? ? ? ?
??
因
( 0,0 ) 1 ;z ?但
即 z(0,0)=1为极大值,
只是此时定理 9失效，只能用定义 10给予判定,如函数
处偏导数不存在的情况； 但它们也可能是函数的极值点；
( 0,0 ) xyzz??则 在 处 及 均 不 存 在 ；
22(,) ( 0,0 ),(,) 1 1,x y z x y x y? ? ? ? ?当时
10
二, 二元函数的最值
定义 12 设函数 z=?(x,y)在区域 D上有定义且
函数的最大值、最小值统称为最值,
00(,) (,) f x y f x y? 00( (,) (,) )f x y f x y?或
00 (,) (,)f x y f x y D则 称 是 函 数 在 上 的 最 大 值( ),或最小值
使函数取得最值的点统称为最值点,
00(,)x y D?
函数 z=?(x,y)的极大 (小 )值是函数 ?在 D(?)的某个邻域内的
若对任意的 (x,y)∈ D，恒有
注 4 极值与最值的区别,
最大 (小 )值；而 ?的最大 (小 )值是相对整个区域 D来说的,
11
函数 ?的极大 (小 )值是它所对应的曲面 z=?(x,y)在该邻域内
从几何角度而言,
面 z=?(x,y)在整个区域 D上的 最高 (低 )点的竖坐标,
的最高 (低 )点的竖坐标, 而 ?的最大 (小 )值是它所对应的曲
故多元函数的最值点,只可能是极值点或边界点,
故欲求闭区域 D上多元函数的最值,只须先求出 ?(x,y)在 D
内全部驻点的函数值、一阶偏导不存在的点的函数值以
及区域 D的边界上的最值,
值,最 小 者为最小值,
再比较大小,其最大者为最大
但此法要求 ?在 区域 D的边界上的最值,就是一个相当不
易解决的问题,
12
(1).若问题本身有最大 (小 )值且驻点唯一,则该驻点必为
(2).若 ?(x,y)在驻点处有极大 (小 )值且驻点唯一,则该驻点
必为最大 (小 )值点,
实际问题中,通常用下述原则来确定函数的最值,
最大 (小 )值点,
例 31 建筑容积一定的矩形封闭食用水池,问怎样设计才
能使建筑材料最省?
解 设 此水池的长、宽、高分别为 x,y,z,设容积为 V,则
z=V/xy,从而其表面积为 S=2(xy+yz+xz)
2 ( )VVxy
xy
? ? ?
(x>0,y>0)
13
0
,
0
x
y
S
S
? ??
? ? ?
?
令得
2
2
2 ( )
2 ( )
x
y
V
Sy
x
V
Sx
y
?
? ??
?
?
? ?
? ? ??
??
xy??
而 S(x,y)仅有一个驻点,故当 3x y z V? ? ?
S有最小值,从而所用材料最省,
2
2
V
y
x
V
x
y
?
?
?
?
? ?
? ?
??
3x y z V? ? ? ?
由题知使材料最省,只须表面积最小,
时,
14
例 32 某厂生产甲产品 x吨,乙产品 y吨时,总成本为
222 0 1 0 7 1 0 0 3 5 8 1 0 0 0 0 ( ),C x y x y x y? ? ? ? ? ? 元
当甲、乙产量各为多少吨时,总成本 C最低?
4 0 7 1 0 0 0
2 0 7 3 5 8 0
x
y
C x y
C y x
? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
?
解令
6,2 0,xy? ? ?
由题知最低成本总是存在的,而 C(x,y)仅有一个驻点,
故 (6,20)就是函数 C的最小值点,即当生产甲产品 6吨,乙产
品 20吨时,总成本 C达到最小值,
15
三,条件极值
前面研究的极值问题,除了自变量须在定义域内取值
外,无其它限制条件 ;但在实际中遇到的大多极值问题,除
了自变量须在定义域内取 值外,
我们常将前者称为无条件极值,后者称为 条件极值,
还对各自变量有一定的 约
束条件,
在约束条件 φ(x,y)=0下,讨论函数 z=?(x,y)的极值,
条件极值的典型形式是,
其解法有两种,代入法和拉格朗曰乘数法,
16
设 z=?(x,y)在 D上具有连续偏导数,又若 φ(x,y)在 D上 也
(,) 0,y xy? ? ?
(,)
(,)
x
y
xydy
d x x y
?
?
???
?
若能 从 φ(x,y)=0中解出 y=ψ(x),则可将其代入 z=?(x,y)
1.代入法,将条件极值转化为无条件极值,
确定了一个可微函数 y=ψ(x),且其导数为
具有连续偏导数,且 则由定理 6知方程 φ(x,y)=0
中 得,z=?(x,ψ(x));
从而原问题变成了 讨论 一元函数的 无条件极值 问题,
17
例 33 求函数 的自变量适合条件
229 ( )z x y? ? ?
229 ( ),z x y? ? ?代 入 中 有
2 2 29 2 ) 5 4 2z x x x x? ? ? ? ? ? ?（
显然 z是 x的一元函数，则
1
221 ( 5 4 2 ) ( 4 4 ) 0
2
dz x x x
dx
?? ? ? ? ?令, 得
驻点 x=1,对应的 y=1,
故点 (x,y)= (1,1)为原函数满足约束条件 下的极大值点,
φ(x,y)=x+y－ 2=0
2,yx??解 由 约 束 条 件 得
此一元函数只有一个极大值,
故 z=?(1,1)= 为极大值, 7
的极大值,
18
2.拉格朗曰乘数法,要想从 φ(x,y)=0中解出 y=ψ(x),很
但 由 一元函数 z=?(x,ψ(x))极值存在的必要条件，得
(,) (,) 0xy dyf x y f x y dx?? ? ? ?
(,)
(,) (,) 0
(,)
y
xx
y
f x y
f x y x y
xy
?
?
?
??? ? ? ?
?
(,)
,
(,)
y
y
f x y
xy
?
?
?
??
?
令 则 有 方 程 组(,) (,) 0
(,) (,) 0
xx
yy
f x y x y
f x y x y
??
??
?????
? ??
?
而极值点 (x,y)还必须满足 φ(x,y)=0,则方程组 Ⅰ
不容易！
19
上述确定条件极值问题的可能极值点的方法称为拉
00 (,),xy的 解 就 是 我 们 所 要 求 的 可 能 极 值 点
(,) (,) 0
(,) (,) 0
(,) 0
xx
yy
f x y x y
f x y x y
xy
??
??
?
?????
?
?????
? ?
?
格朗曰乘数法,
注 5 方程组 Ⅰ 实际上就是函数 F(x,y)=?(x,y)+λφ(x,y)对 x,y
的一阶偏导数等于零和约束条件 φ(x,y)=0构成的方程组；
故用拉格朗曰乘数法求条件极值时，可按下述步骤进行,
(1).构造 拉格朗曰函数,F(x,y)=?(x,y)+λφ(x,y)；
(2).求解方程组 Ⅰ,得可能 极值点；
(3).判断,
20
实际问题中可根据问题本身的具体意义来判断是否
为 极值点，并能得出是最大值点还是最小值点,
例 34 求周长为 a而面积最大的长方形,
解 设 长方形的长、宽分别为 x,y,则其面积为 S=xy,
令函数 F(x,y)=xy+λ(2x+2y-a) 则由方程组
(,) 2 0
(,) 2 0
2 2 0
x
y
F x y y
F x y x
x y a
?
?
? ? ? ??
?
? ? ? ??
? ? ? ?
?
.4axy? ? ?
因问题本身有最大值且驻点唯一,故 (,)
44
aa
4
a
问题变为在约束条件 2x+2y=a 下求函数 S=xy的最大值,
故周长为 a而面积最大的长方形是边长等于
是最大值点,
的正方形,
21
223 5 4 4,2 3 6 0
,
x y x y? ? ? ? ?例 在 椭 圆 上 求 一 点 使 其 到 直 线
的距离最短
解 设所求点为 (x,y),到直线 2x+3y－ 6=0的距离为 d,则
222 3 6 4 4 0,
13
xyd x y??? ? ? ?且约束条件为
2 0,( ),d d d?但 与 同 时 在 一 点 取 得 最 大 小 值 则 可 令
2
22( 2 3 6 )(,) ( 4 4 )
13
xyF x y x y???? ? ? ?
从而有方程组
22
4
( 2 3 6 ) 2 0
13
6
( 2 3 6 ) 8 0
13
4 4 0
x y x
x y y
xy
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ??
?
? ? ??
?
?
22
88
55
.
33
55
xx
yy
??
? ? ???
? ??
??? ? ?
????
，
8 3 8 3(,) (,)
5 5 5 5
1 1 1,.
1 3 1 3
dd
??
??而
因问题本身有最小值，故 为所求点,
83(,)
55
例 36 某商品的生产函数为 其中 Q为产品产
量,L为劳动投入,K为资本投入 ;又知资本投入价格为 4,
劳动力投入价格为 3,产品销售价格为 p=2.求,
(1),该产品利润最大时的投入和产出水平以及最大利润 ;
(2).若投入总额限定在 60个单位范围内,求此时取 最大利
润时的投入及最大利润,
1 1
3 26,Q K L?
解 由题意知：成本函数为 C(K,L)=4K+3L,
收益函数为 R(K,L)=Qp=2Q,则
23
1 1
3 21 2 4 3K L K L??G(K,L)= R(K,L)?C(K,L)=
(1).此问题属于无条件极值,
2 1
3 2
1 1
3 2
4 4 0
6 3 0
K
L
G K L
G K L
?
?
?
? ? ? ??
?
? ? ? ? ?
?
由 8,( 8,1 6 ),
16
K
L
??
? ?
?
得 从 而 有 唯 一 驻 点
则最大利润为
m a x ( 8,1 6 ) 1 6,G ?
利润函数为
(2).此问题属于条件极值,其约束条件为
C(K,L)=4K+3L=60
则可令函数 F(x,y)=G(K,L)+λ(4K+3L?60)
1 1
3 21 2 4 3 ( 4 3 6 0 )K L K L K L?? ? ? ? ? ?
24
则由方程组
2 1
3 2
1 1
3 2
4 4 4 0
6 3 3 0
4 3 6 0 0
KL
KL
KL
?
?
?
?
?
? ? ??
?
?
? ? ??
?
? ? ?
?
?
?
6,( 6,1 2 ),
12
K
L
??
? ?
?
得 从 而 有 唯 一 驻 点 m a x ( 6,1 2 ) 1 5, 5 3,G??
同学们课后可用用拉格朗曰乘数法去求解例 31,
注 6 类似地，可建立求三元函数 u=?(x,y,z)在约束条件
(约束条件 的个数应少于自变量的个数 )
g(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0
下的极值的拉格朗曰乘数法,
25
例 37 欲造一无盖的长方体容器，已知底部造价为
侧面 造价为 现想用 36元造一容积为最大的容器,
求它的尺寸,
23,m元
21,m元
解 设 长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,设容积为 V,则
V=xyz(x>0,y>0,z>0),且约束条件为 3xy+2(yz+xz)=36,
因 xyz与 lnx+lny+lnz同时在一点取得最大 (小 )值，则
令函数 F(x,y,z)=lnx+lny+lnz+λ( 3xy+2yz+2xz－ 36)
则由方程组
1
( 3 2 ) 0
1
( 3 2 ) 0
1
( 2 2 ) 0
3 2 2 3 6 0
yz
x
xz
y
xy
z
x y x z y z
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
? ? ??
?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
26
3
,( 2,2,3 ),
2
3 2 2 3 6
xy
zy
x y x z y z
??
?
?
??
?
? ? ???
得 从 而 有 唯 一 驻 点
因问题本身有最大值，故 (2,2,3)为最大值点,
故长方体的长、宽、高分别为 2,2,3时,长方体的
容积最大,
例 38 求 w=lnx+lny+3lnz 在球面 上的
极大值 (x>0,y>0,z>0),并利用此结论证明当 a>0,b>0,c>0时,
2 2 2 25x y z R? ? ?
352 7 ( ),
5
abcabc ???恒有
27
2 2 2 2 (,,) l n l n 3 l n ( 5 )F x y z x y z x y z R?? ? ? ? ? ? ?解令
则由方程组
2 2 2 2
1 2 0
1 2 0
3 2 0
50
xx
y y
zz
x y z R
?
?
?
???
?
???
?
???
? ? ? ? ?
?
,(,,3 ),
3
x y R
R R R
zR
????
?
???
得 从 而 有 唯 一 驻 点
因问题本身有极大值,则 35
m a x l n ( ( 3 ) ) l n ( 3 3 )w R R R R? ? ? ?
52 2 2
3 2l n l n 3 l n l n l n [ 3 3 ( ) ],
5
x y zw x y z x y z ??? ? ? ? ? ?
3 3 2 2 2 2 311 l n l n ( ) l n ( ) ;
22x y z x y z x y z??而则
28
52 2 2
2 2 2 3 21 l n ( ) l n [ 3 3 ( ) ],
25
x y zx y z ????
2 2 2,,,a x b y c z? ? ?当 令 则
5
3 2l n 2 l n [ 3 3 ( ) ]
5
abcabc ??? ? ?
352 7 ( ),
5
abcabc ????
5
3 21 l n l n [ 3 3 ( ) ],
25
abcabc ????
注 7 此例提供了一种证不等式的方法，即利用极值或
当然此不等式也可利用函数凹凸性来证,
最值证明不等式；
29
提示：令 z=?(x)=?lnx,可证它在 (0,x)上是凹函数,从而有
1 2 1 2l n l n l nln nnx x x x x x
nn
? ? ? ? ? ?? ? ?
两边取反对数得
1
12
12()
nn
n
x x xx x x
n
? ? ??
1 2 3 4 55,,,3
cn x a x b x x x? ? ? ? ? ?取 即 可
值有十分密切的联系；故以下以二元函数为例用多元函
多元函数极值问题有两种基本类型 (以二元函数为例 )
§ 8.8 多元函数的极值
在现代经济管理中，有许多最优化问题属于多元函
数的极值和最值问题,同一元函数类似，其最值也与其极
数微分法先来讨论多元函数的极值，再讨论多元函数的
最值,
类型 Ⅰ,讨论 z=?(x,y)的极值 —— 无条件极值
类型 Ⅱ,讨论 z=?(x,y)在约束条件 φ(x,y)=0下的极值 ——
条件极值
2
一,无条件极值
若对于其相应去心邻域内的所有点 (x,y)，恒有
00(,)xy
函数的极大值、极小值统称为极值,
00(,) (,) f x y f x y? 00( (,) (,) )f x y f x y?或
00 (,) (,)f x y f x y则 称 为 函 数 的 极 大 值( ),或极小值
使函数取得极值的点统称为极值点,
注 1 与一元函数类似，函数的极值概念是, 局部, 概念,
定义 10 设函数 z=?(x,y)在点 的某个邻域内有定义,
与函数极值比较大小的，只是极值点邻近各点的函数值,
3
定理 8 (极值存在的必要条件 ) 若函数 ?(x,y)在点
00(,)xy
0 0 0 0(,) 0,(,) 0,xyf x y f x y?? ??
一定有同一极值，故
00(,)xy
0yy? 0(,) z f x y? 0x
00(,) 0 ;xf x y? ?
00 (,) 0,yf x y? ?同理可证
0 0 0 0(,) 0 (,) 0xyf x y f x y????和
00(,)xy
称为函 数 ?(x,y)的驻点,
处有极值,且在该点的偏导数存在,则必有
证 因二元函数 ?(x,y)在点 处有极值,
故固定 时有一元函数 在点 处也
定义 11 能使 同时成立的点
4
(因 z(0,0)=1,而 z(0,y)>1,z(x,0)<1),
22z x y??
22 1z y x? ? ?
同一元函数一样，有如下充分条件,
定理 9 (充分条件 ) 若函数 z=?(x,y)点
00(,)xy
00(,)xy
注 2 由定理 8知,在偏导数存在条件下,极值点必为驻点,
但驻点却不一定是极值点, 如点 (0,0)是函数
的驻点,又是极小值点 z(0,0)=0;
但点 (0,0)是函数 的驻点,但却不是极值点,
怎样判断驻点 是极值点呢？
有连续的二阶偏导数，且
的某邻域内
是驻点,令
0 0 0 0(,),(,),x x x yA f x y B f x y?? ???? 00(,),yyC f x y??? 则
5
2 00( 1 ), 0,0,(,) ;B A C A f x y? ? ?若 且 则 是 极 大 值
2 00( 2 ), 0,0,(,) ;B A C A f x y? ? ?若 且 则 是 极 小 值
2 00( 3 ), 0,(,) ;B A C f x y??若 则 不 是 极 值
2 00( 4 ), 0,(,),B A C f x y??若 则 是 否 为 极 值 需 另 法 判 别
其证明因用到二元一阶泰勒公式等知识，在此略去,
3 3 2 22 9 (,) 3 3 9,f x y x y x y x? ? ? ? ?例 确 定 函 数 的 极 值 点
2
2
(,) 3 6 9 0
(,) 3 6 0
x
y
f x y x x
f x y y y
?? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
??
解 由 方 程 组 得 驻 点
(1,0),(1,2),(－ 3,0),(－ 3,2),
6
6 6,0,6 6,x x x y y yf x f f y?? ?? ??? ? ? ? ? ?而
则在点 (1,0)处 有 A=12,B=0,C=6;
2 1 2 6 0,1 2 0,B A C A? ? ? ? ? ? ? ? ?从 而,且
(,) ( 1,0 ) ;f x y f那 么 有 极 小 值
则在点 (1,2)处有 A=12,B=0,C=?6,从而 ?>0,故 ?(1,2)非极值,
则在点 (?3,0)处有 A=?12,B=0,C=6,从而 ?>0,故 ?(?3,0)非
极值,
则在点 (?3,2)处有 A=?12,B=0,C=?6,从而 ?<0,且 A<0故有
极大值 ?(?3,0),
故此函数的极大值点为 (?3,2),极小值点为 (1,0),
7
2 2 23 0 2 2 8 8 0
,
x y z y z z z? ? ? ? ? ?例 求 由 方 程 所 确 定 的
的极值
解 方程两边微分得
4xdx+4ydy+2zdz+8zdy+8ydz－ dz=0
4 ( 4 8 ) 4 ( 4 8 )
2 8 1 2 8 1 2 8 1
x d x y z d y x d x y z d ydz
z y z y z y
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
4 4 8,
2 8 1 2 8 1
z x z y z
x z y y z y
? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
0,0 0,,
2
z z yxz
xy
??? ? ? ? ?
??
由得
1 2 1 2 2,1 6 7 ; 1,8 7,y y z z? ? ? ? ? ?则代入原方程有
8
( 0,2 ),( 0,1 6 7 ),?从 而 有 驻 点
2
4 ( 2 8 1 ) 8,
( 2 8 1 )
x
xx
z y x zz
zy
?? ? ? ??? ?
??
而 2
4 ( 2 8 )
,
( 2 8 1 )
y
xy
xz
z
zy
? ?
?? ?
??
2
( 4 8 ) ( 2 8 1 ) ( 4 8 ) ( 2 8 )
.
( 2 8 1 )
yy
yy
z z y y z z
z
zy
??? ? ? ? ? ? ?
?? ?
??
( 0,2,1 ) 4 1 5 0,0,4 1 5A B C? ? ? ? ?从 而 在 点 处 有
2 0B A C? ? ? ? ?
故 z=z(x,y)在驻点 (0,?2)处有极小值 z=1,
2 8 1 0 5,C ?? 2 0B A C? ? ? ? ?
故 z=z(x,y)在驻点 (0,16/7)处有极大值 z=?8/7,
( 0,1 6 7,8 7 ) 2 8 1 0 5 0,0,AB? ? ? ? ?而 在 点 处 有
9
注 3 在讨论函数极值问题时，也会遇到函数在个别点
221z x y? ? ?
2 2 2 2
,,xy xyzz
x y x y
??? ? ? ?
??
因
( 0,0 ) 1 ;z ?但
即 z(0,0)=1为极大值,
只是此时定理 9失效，只能用定义 10给予判定,如函数
处偏导数不存在的情况； 但它们也可能是函数的极值点；
( 0,0 ) xyzz??则 在 处 及 均 不 存 在 ；
22(,) ( 0,0 ),(,) 1 1,x y z x y x y? ? ? ? ?当时
10
二, 二元函数的最值
定义 12 设函数 z=?(x,y)在区域 D上有定义且
函数的最大值、最小值统称为最值,
00(,) (,) f x y f x y? 00( (,) (,) )f x y f x y?或
00 (,) (,)f x y f x y D则 称 是 函 数 在 上 的 最 大 值( ),或最小值
使函数取得最值的点统称为最值点,
00(,)x y D?
函数 z=?(x,y)的极大 (小 )值是函数 ?在 D(?)的某个邻域内的
若对任意的 (x,y)∈ D，恒有
注 4 极值与最值的区别,
最大 (小 )值；而 ?的最大 (小 )值是相对整个区域 D来说的,
11
函数 ?的极大 (小 )值是它所对应的曲面 z=?(x,y)在该邻域内
从几何角度而言,
面 z=?(x,y)在整个区域 D上的 最高 (低 )点的竖坐标,
的最高 (低 )点的竖坐标, 而 ?的最大 (小 )值是它所对应的曲
故多元函数的最值点,只可能是极值点或边界点,
故欲求闭区域 D上多元函数的最值,只须先求出 ?(x,y)在 D
内全部驻点的函数值、一阶偏导不存在的点的函数值以
及区域 D的边界上的最值,
值,最 小 者为最小值,
再比较大小,其最大者为最大
但此法要求 ?在 区域 D的边界上的最值,就是一个相当不
易解决的问题,
12
(1).若问题本身有最大 (小 )值且驻点唯一,则该驻点必为
(2).若 ?(x,y)在驻点处有极大 (小 )值且驻点唯一,则该驻点
必为最大 (小 )值点,
实际问题中,通常用下述原则来确定函数的最值,
最大 (小 )值点,
例 31 建筑容积一定的矩形封闭食用水池,问怎样设计才
能使建筑材料最省?
解 设 此水池的长、宽、高分别为 x,y,z,设容积为 V,则
z=V/xy,从而其表面积为 S=2(xy+yz+xz)
2 ( )VVxy
xy
? ? ?
(x>0,y>0)
13
0
,
0
x
y
S
S
? ??
? ? ?
?
令得
2
2
2 ( )
2 ( )
x
y
V
Sy
x
V
Sx
y
?
? ??
?
?
? ?
? ? ??
??
xy??
而 S(x,y)仅有一个驻点,故当 3x y z V? ? ?
S有最小值,从而所用材料最省,
2
2
V
y
x
V
x
y
?
?
?
?
? ?
? ?
??
3x y z V? ? ? ?
由题知使材料最省,只须表面积最小,
时,
14
例 32 某厂生产甲产品 x吨,乙产品 y吨时,总成本为
222 0 1 0 7 1 0 0 3 5 8 1 0 0 0 0 ( ),C x y x y x y? ? ? ? ? ? 元
当甲、乙产量各为多少吨时,总成本 C最低?
4 0 7 1 0 0 0
2 0 7 3 5 8 0
x
y
C x y
C y x
? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
?
解令
6,2 0,xy? ? ?
由题知最低成本总是存在的,而 C(x,y)仅有一个驻点,
故 (6,20)就是函数 C的最小值点,即当生产甲产品 6吨,乙产
品 20吨时,总成本 C达到最小值,
15
三,条件极值
前面研究的极值问题,除了自变量须在定义域内取值
外,无其它限制条件 ;但在实际中遇到的大多极值问题,除
了自变量须在定义域内取 值外,
我们常将前者称为无条件极值,后者称为 条件极值,
还对各自变量有一定的 约
束条件,
在约束条件 φ(x,y)=0下,讨论函数 z=?(x,y)的极值,
条件极值的典型形式是,
其解法有两种,代入法和拉格朗曰乘数法,
16
设 z=?(x,y)在 D上具有连续偏导数,又若 φ(x,y)在 D上 也
(,) 0,y xy? ? ?
(,)
(,)
x
y
xydy
d x x y
?
?
???
?
若能 从 φ(x,y)=0中解出 y=ψ(x),则可将其代入 z=?(x,y)
1.代入法,将条件极值转化为无条件极值,
确定了一个可微函数 y=ψ(x),且其导数为
具有连续偏导数,且 则由定理 6知方程 φ(x,y)=0
中 得,z=?(x,ψ(x));
从而原问题变成了 讨论 一元函数的 无条件极值 问题,
17
例 33 求函数 的自变量适合条件
229 ( )z x y? ? ?
229 ( ),z x y? ? ?代 入 中 有
2 2 29 2 ) 5 4 2z x x x x? ? ? ? ? ? ?（
显然 z是 x的一元函数，则
1
221 ( 5 4 2 ) ( 4 4 ) 0
2
dz x x x
dx
?? ? ? ? ?令, 得
驻点 x=1,对应的 y=1,
故点 (x,y)= (1,1)为原函数满足约束条件 下的极大值点,
φ(x,y)=x+y－ 2=0
2,yx??解 由 约 束 条 件 得
此一元函数只有一个极大值,
故 z=?(1,1)= 为极大值, 7
的极大值,
18
2.拉格朗曰乘数法,要想从 φ(x,y)=0中解出 y=ψ(x),很
但 由 一元函数 z=?(x,ψ(x))极值存在的必要条件，得
(,) (,) 0xy dyf x y f x y dx?? ? ? ?
(,)
(,) (,) 0
(,)
y
xx
y
f x y
f x y x y
xy
?
?
?
??? ? ? ?
?
(,)
,
(,)
y
y
f x y
xy
?
?
?
??
?
令 则 有 方 程 组(,) (,) 0
(,) (,) 0
xx
yy
f x y x y
f x y x y
??
??
?????
? ??
?
而极值点 (x,y)还必须满足 φ(x,y)=0,则方程组 Ⅰ
不容易！
19
上述确定条件极值问题的可能极值点的方法称为拉
00 (,),xy的 解 就 是 我 们 所 要 求 的 可 能 极 值 点
(,) (,) 0
(,) (,) 0
(,) 0
xx
yy
f x y x y
f x y x y
xy
??
??
?
?????
?
?????
? ?
?
格朗曰乘数法,
注 5 方程组 Ⅰ 实际上就是函数 F(x,y)=?(x,y)+λφ(x,y)对 x,y
的一阶偏导数等于零和约束条件 φ(x,y)=0构成的方程组；
故用拉格朗曰乘数法求条件极值时，可按下述步骤进行,
(1).构造 拉格朗曰函数,F(x,y)=?(x,y)+λφ(x,y)；
(2).求解方程组 Ⅰ,得可能 极值点；
(3).判断,
20
实际问题中可根据问题本身的具体意义来判断是否
为 极值点，并能得出是最大值点还是最小值点,
例 34 求周长为 a而面积最大的长方形,
解 设 长方形的长、宽分别为 x,y,则其面积为 S=xy,
令函数 F(x,y)=xy+λ(2x+2y-a) 则由方程组
(,) 2 0
(,) 2 0
2 2 0
x
y
F x y y
F x y x
x y a
?
?
? ? ? ??
?
? ? ? ??
? ? ? ?
?
.4axy? ? ?
因问题本身有最大值且驻点唯一,故 (,)
44
aa
4
a
问题变为在约束条件 2x+2y=a 下求函数 S=xy的最大值,
故周长为 a而面积最大的长方形是边长等于
是最大值点,
的正方形,
21
223 5 4 4,2 3 6 0
,
x y x y? ? ? ? ?例 在 椭 圆 上 求 一 点 使 其 到 直 线
的距离最短
解 设所求点为 (x,y),到直线 2x+3y－ 6=0的距离为 d,则
222 3 6 4 4 0,
13
xyd x y??? ? ? ?且约束条件为
2 0,( ),d d d?但 与 同 时 在 一 点 取 得 最 大 小 值 则 可 令
2
22( 2 3 6 )(,) ( 4 4 )
13
xyF x y x y???? ? ? ?
从而有方程组
22
4
( 2 3 6 ) 2 0
13
6
( 2 3 6 ) 8 0
13
4 4 0
x y x
x y y
xy
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ??
?
? ? ??
?
?
22
88
55
.
33
55
xx
yy
??
? ? ???
? ??
??? ? ?
????
，
8 3 8 3(,) (,)
5 5 5 5
1 1 1,.
1 3 1 3
dd
??
??而
因问题本身有最小值，故 为所求点,
83(,)
55
例 36 某商品的生产函数为 其中 Q为产品产
量,L为劳动投入,K为资本投入 ;又知资本投入价格为 4,
劳动力投入价格为 3,产品销售价格为 p=2.求,
(1),该产品利润最大时的投入和产出水平以及最大利润 ;
(2).若投入总额限定在 60个单位范围内,求此时取 最大利
润时的投入及最大利润,
1 1
3 26,Q K L?
解 由题意知：成本函数为 C(K,L)=4K+3L,
收益函数为 R(K,L)=Qp=2Q,则
23
1 1
3 21 2 4 3K L K L??G(K,L)= R(K,L)?C(K,L)=
(1).此问题属于无条件极值,
2 1
3 2
1 1
3 2
4 4 0
6 3 0
K
L
G K L
G K L
?
?
?
? ? ? ??
?
? ? ? ? ?
?
由 8,( 8,1 6 ),
16
K
L
??
? ?
?
得 从 而 有 唯 一 驻 点
则最大利润为
m a x ( 8,1 6 ) 1 6,G ?
利润函数为
(2).此问题属于条件极值,其约束条件为
C(K,L)=4K+3L=60
则可令函数 F(x,y)=G(K,L)+λ(4K+3L?60)
1 1
3 21 2 4 3 ( 4 3 6 0 )K L K L K L?? ? ? ? ? ?
24
则由方程组
2 1
3 2
1 1
3 2
4 4 4 0
6 3 3 0
4 3 6 0 0
KL
KL
KL
?
?
?
?
?
? ? ??
?
?
? ? ??
?
? ? ?
?
?
?
6,( 6,1 2 ),
12
K
L
??
? ?
?
得 从 而 有 唯 一 驻 点 m a x ( 6,1 2 ) 1 5, 5 3,G??
同学们课后可用用拉格朗曰乘数法去求解例 31,
注 6 类似地，可建立求三元函数 u=?(x,y,z)在约束条件
(约束条件 的个数应少于自变量的个数 )
g(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0
下的极值的拉格朗曰乘数法,
25
例 37 欲造一无盖的长方体容器，已知底部造价为
侧面 造价为 现想用 36元造一容积为最大的容器,
求它的尺寸,
23,m元
21,m元
解 设 长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,设容积为 V,则
V=xyz(x>0,y>0,z>0),且约束条件为 3xy+2(yz+xz)=36,
因 xyz与 lnx+lny+lnz同时在一点取得最大 (小 )值，则
令函数 F(x,y,z)=lnx+lny+lnz+λ( 3xy+2yz+2xz－ 36)
则由方程组
1
( 3 2 ) 0
1
( 3 2 ) 0
1
( 2 2 ) 0
3 2 2 3 6 0
yz
x
xz
y
xy
z
x y x z y z
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
? ? ??
?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
26
3
,( 2,2,3 ),
2
3 2 2 3 6
xy
zy
x y x z y z
??
?
?
??
?
? ? ???
得 从 而 有 唯 一 驻 点
因问题本身有最大值，故 (2,2,3)为最大值点,
故长方体的长、宽、高分别为 2,2,3时,长方体的
容积最大,
例 38 求 w=lnx+lny+3lnz 在球面 上的
极大值 (x>0,y>0,z>0),并利用此结论证明当 a>0,b>0,c>0时,
2 2 2 25x y z R? ? ?
352 7 ( ),
5
abcabc ???恒有
27
2 2 2 2 (,,) l n l n 3 l n ( 5 )F x y z x y z x y z R?? ? ? ? ? ? ?解令
则由方程组
2 2 2 2
1 2 0
1 2 0
3 2 0
50
xx
y y
zz
x y z R
?
?
?
???
?
???
?
???
? ? ? ? ?
?
,(,,3 ),
3
x y R
R R R
zR
????
?
???
得 从 而 有 唯 一 驻 点
因问题本身有极大值,则 35
m a x l n ( ( 3 ) ) l n ( 3 3 )w R R R R? ? ? ?
52 2 2
3 2l n l n 3 l n l n l n [ 3 3 ( ) ],
5
x y zw x y z x y z ??? ? ? ? ? ?
3 3 2 2 2 2 311 l n l n ( ) l n ( ) ;
22x y z x y z x y z??而则
28
52 2 2
2 2 2 3 21 l n ( ) l n [ 3 3 ( ) ],
25
x y zx y z ????
2 2 2,,,a x b y c z? ? ?当 令 则
5
3 2l n 2 l n [ 3 3 ( ) ]
5
abcabc ??? ? ?
352 7 ( ),
5
abcabc ????
5
3 21 l n l n [ 3 3 ( ) ],
25
abcabc ????
注 7 此例提供了一种证不等式的方法，即利用极值或
当然此不等式也可利用函数凹凸性来证,
最值证明不等式；
29
提示：令 z=?(x)=?lnx,可证它在 (0,x)上是凹函数,从而有
1 2 1 2l n l n l nln nnx x x x x x
nn
? ? ? ? ? ?? ? ?
两边取反对数得
1
12
12()
nn
n
x x xx x x
n
? ? ??
1 2 3 4 55,,,3
cn x a x b x x x? ? ? ? ? ?取 即 可
