1
情形,
设 z=?(u,v),而 u=φ(x,y),v=Ψ(x,y),z=?(φ(x,y),Ψ(x,y))
§ 8.5多元复合函数的微分法
因多元复合函数的求导法则
在多元微积分中占有非常重要的
定义 9
称为 x,y的复合函数，并称 u,v为中间变量,这类二元函
数有下面的求导法则,
地位，下面将一元复合函数的求导法则推广到多元的
2
都存在,且在对应于 (x,y)的点 (u,v)处,函数 z=?(u,v)
,uu
xy
??
??
定理 5 若 u=φ(x,y),v=Ψ(x,y)在点 (x,y)处的偏导数
可微,则复合函数 z=?(φ(x,y),Ψ(x,y))对 x及 y的偏导数都存
在,且
,z z u z vx u x v x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
.z z u z v
y u y v y
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?
y z
u
v
x
注 1 此定理也可称为求导的链式法则,记忆可用上图所示
的链子来记, 定理中的 等式数为自变量的个数； 每一个等
式中的项数为中间变量的个数, z到 x的路径有两条,一条
是, z→ u→ x”,一条是, z→ v→ x” ; z到 y路径也有两条,
一条是, z→ u→ y”,一条是, z→ v→ y”,
,vvxx????及
3
证 设 y不变而 x有一个改变量 ?x,且 u,v,z的相应改变量
,,,x x xu v z? ? ?
则由 z=?(u,v)可微,知 分别为
22( ) ( ) ( ),
x x x x x
zzz u v o u v
uv ??
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?且
() x x xz u vz z o
x u x v x x
?? ? ???? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
当 ?x→0 时,对此式两边取极限,得
,z z u z vx u x v x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
,z z u z v
y u y v y
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?
同理可得
亦可记为
4
.z f u f v
y u y v y
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?
,z f u f vx u x v x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
此写法常用于抽象函数的微分运算,
222 0 ( ),,.xy zzz x y
xy
????
??
例 设 求
,,.vz u z x y? 从 而 是 的 复 合 函 数
y z
u
v
x
22,,u x y v x y? ? ?解 令 则
,z z u z vx u x v x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
1,l n,vvzzv u u v
uv
?????而
1 2 l nvvz v u x u u y
x
??? ? ? ? ?
?
2,;uvxy
xx
????
??
2
2 2 2 2
22
2( ) [ l n ( ) ]xy xyx y y x y
xy
? ? ? ?
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5
z z u z v
y u y v y
? ? ? ? ?? ? ? ?
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，
2,;uvyx
yy
????
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而
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2
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6
2 2 22 1 (,),,,.uuuu f x y z x y z
x y z
???? ? ? ? ?
? ? ?
例 设 求
(,),,,.u f s t u x y z?则 从 而 是 的 复 合 函 数
y u
s
t
x
z
u f s f t
x s x t x
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?2
ffx
st
????
??
u f s f t
y s y t y
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u f s f t
z s z t z
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? ? ? ? ? 2
ffz
st
????
??
2 2 2,,s x y z t x y z? ? ? ? ? ?解令
7
而用 表示, 函数 ?对第 i个中间变量求导,,用 表示
if? ijf??
注 2 在计算多元复合函数的偏导数时,可不写中间变量,
先对第 i个,后对第 j个中间变量求导,,从而例 22中的结果
可写为,(见上 )
u
x
? ?
?
2ffx
st
???
??
122f x f????
122f y f????
122f z f????
u
y
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2ffy
st
????
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u
z
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?
2ffz
st
????
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y u
s
t
x
z
8
注 3 复合函数的微分法是难点,下面对几种特殊情况给予
(Ⅰ ).若 z=?(u,v)可微,u=φ(x),v=Ψ(x)可导,则 z=?(φ(x),Ψ(x))
d z f d u f d v
d x u d x v d x
??? ? ? ? z
u
v
x
1.只有一个自变量的情形
讨论,
是 x的一元函数,此时 z对 x导数是全导数,其求导法则为
(Ⅱ ).若 z=?(x,y),y=φ(x),
z
x
y
x
则 z=?(x,φ(x))是 x的一元函数,
其全导数为 d z f d x f d y
d x x d x y d x
??? ? ? ?
??
.f f d y
x y d x
??? ? ?
??
9
2 1 ( 1 ),,s i n,;
( 2 ) (,),.
x
x
dz
z u v u e v x
dx
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z f x e
dx
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例 设 求
设求
z
u
v
x
d z z d u z d vd x u d x v d x??? ? ? ?解
c o sxv e u x? ? ? ?
( s i n c o s ),xe x x??
( 2 ),(,)xy e z f x y???令则
z x
y
x
d z f f d y
d x x y d x
??? ? ? ?
??
.xxyf e f?????
10
2.只有一个中间变量的情形
z x
y
u ;uzufxx???????
.uzuf
yy
?????
??
2
22
22 2 ( 1 ),( 2 ),,,;
z z zf z f x y
x y x
? ? ???
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例 设 可 微 求
2 2 2 2 ( 2 ) 2 2 ( 2 ) ;z f x y x x f x y
x
? ??? ? ? ? ?
?
z x
y
u
若 ?与 φ可微,且 z=?(u),u=φ(x,y)可导,则 z=?(φ(x,y))是 x,y
的二元函数,此时 z对 x与 y的导数为偏导数,为
22 2u x y??解 令, 则
11
z x
y
u
2 2 2 2 ( 2 ) ( 4 ) 4 ( 2 ),z f x y y y f x y
y
? ??? ? ? ? ? ? ?
?
2
2 2 2 2
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z f x y x f x y
x
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2 2 2 22 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2f x y x f x y x? ??? ? ? ? ?
2 2 2 2 22 ( 2 ) 4 ( 2 )f x y x f x y? ??? ? ? ?
12
z
v
w
u
y
x
,,xv x y w
y
??解令
( ) ( )u v u wfu v x w x? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?
()zufuxx?????则
12
1( ) ( ) ;f u y
y
??? ? ?? ? ?
( 2 ) ( ),(,),,.xz f u u x y f d z
y
????设 与 均 可 微 求
()zufu
yy
????? ( ) ( )u v u wfu
v y w y
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122
1( ) ( ) ;f u x
y
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13
zzd z d x d y
xy
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12
1( ) ( )f u y d x
y
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y
??? ? ?? ? ?
1 2 1 22
11( (,) ) [ ( ) ( ) ]xf x y y d x x d y
y y y
? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?
2 3 (,)u u x y?例 设 函 数 满 足 方 程
,,(,) (,)
.
xyu x y v x y e ???? ???试 确 定 参 数 使 变 换 能 将 原
方程变为一个不出现一阶偏导数的新方程
22
22 ( ) 0,
u u u uk
x y x y
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
14
(,) ( )x y x y x yu v ve v x y e v ex x x? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?解因
22
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x y x yu v v ve v e
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2
2
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xyu v v ve
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22
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15
要使此方程不含一阶偏导数项,则只需
20
20
k
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,.22kk??? ? ? ?
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情形,
设 z=?(u,v),而 u=φ(x,y),v=Ψ(x,y),z=?(φ(x,y),Ψ(x,y))
§ 8.5多元复合函数的微分法
因多元复合函数的求导法则
在多元微积分中占有非常重要的
定义 9
称为 x,y的复合函数，并称 u,v为中间变量,这类二元函
数有下面的求导法则,
地位，下面将一元复合函数的求导法则推广到多元的
2
都存在,且在对应于 (x,y)的点 (u,v)处,函数 z=?(u,v)
,uu
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定理 5 若 u=φ(x,y),v=Ψ(x,y)在点 (x,y)处的偏导数
可微,则复合函数 z=?(φ(x,y),Ψ(x,y))对 x及 y的偏导数都存
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注 1 此定理也可称为求导的链式法则,记忆可用上图所示
的链子来记, 定理中的 等式数为自变量的个数； 每一个等
式中的项数为中间变量的个数, z到 x的路径有两条,一条
是, z→ u→ x”,一条是, z→ v→ x” ; z到 y路径也有两条,
一条是, z→ u→ y”,一条是, z→ v→ y”,
,vvxx????及
3
证 设 y不变而 x有一个改变量 ?x,且 u,v,z的相应改变量
,,,x x xu v z? ? ?
则由 z=?(u,v)可微,知 分别为
22( ) ( ) ( ),
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同理可得
亦可记为
4
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此写法常用于抽象函数的微分运算,
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例 设 求
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7
而用 表示, 函数 ?对第 i个中间变量求导,,用 表示
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注 2 在计算多元复合函数的偏导数时,可不写中间变量,
先对第 i个,后对第 j个中间变量求导,,从而例 22中的结果
可写为,(见上 )
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8
注 3 复合函数的微分法是难点,下面对几种特殊情况给予
(Ⅰ ).若 z=?(u,v)可微,u=φ(x),v=Ψ(x)可导,则 z=?(φ(x),Ψ(x))
d z f d u f d v
d x u d x v d x
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1.只有一个自变量的情形
讨论,
是 x的一元函数,此时 z对 x导数是全导数,其求导法则为
(Ⅱ ).若 z=?(x,y),y=φ(x),
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其全导数为 d z f d x f d y
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2.只有一个中间变量的情形
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22 2 ( 1 ),( 2 ),,,;
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例 设 可 微 求
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若 ?与 φ可微,且 z=?(u),u=φ(x,y)可导,则 z=?(φ(x,y))是 x,y
的二元函数,此时 z对 x与 y的导数为偏导数,为
22 2u x y??解 令, 则
11
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,,(,) (,)
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方程变为一个不出现一阶偏导数的新方程
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要使此方程不含一阶偏导数项,则只需
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