1
§ 2.3 极限运算的基本法则及其运用
问题, 根据极限的定义,只能验证某个常数 A
是否为某个函数 ?(x)的极限,而不能求出函数 ?(x)的
极限, 为了解决极限的计算问题,下面介绍极限的运
算法则 ; 并利用这些法则和 § 2.1及 2.2中的某些结
论来求函数极限,
一,极限的四则运算法则
定理 6,若 lim ?(x) = A,lim g(x) = B,则
(1),lim [?(x) ± g(x)] = lim ?(x) ± lim g(x) = A ± B;
(2),lim?(x) · g(x) = lim?(x) · lim g(x) = A · B;
(3).当 ( ) l i m ( )
0,l i m,
( ) l i m ( )
f x f x AB
g x g x B
? ? ?时
2
其证明可用定义, 以极限过程为 x→x 0的证明 (1)为
例, 由 |[?(x)+g(x)]–(A+ B) |=|[?(x) – A] +[g(x) –
B]|≤| ?(x) – A |+|g(x) – B |即可,
(1),(2)的推广,
11
11
l i m ( ) l i m ( ),
l i m ( ) l i m ( ),
nn
ii
ii
nn
ii
ii
f x f x
f x f x
??
??
?
?
??
??
(2)中 g(x) = c 时,lim c?(x) = c lim?(x),
(2)中 ?(x) = g(x) 时,
22l i m ( ) [ l i m ( ) ] ;f x f x?
? ?l i m ( ) [ l i m ( ) ],nnf x f x n?再 推 广, 其 中 为 正 整 数
3
有理分式函数
101 ( ),nnnnP x a x a x a?? ? ? ?若
1
01
01
01
() ( ) ( ) 0,
()
nn
nn
mmm
m m
P x a x a x aF x Q x
Qx b x b x b
?
?
? ? ?? ? ?
? ? ?
若 且
从而有多项式函数
0
0 l i m ( ) ( ),nnxx P x P x? ?则
00
0
0
0
( ) ( ) l i m ( ) l i m ( ),
( ) ( )
nn
x x x x
mm
P x P xF x F x
Q x Q x??
? ? ?则
例 9,求
2
1
2
2
1
2
2
1
( 1 ), l i m ( 8 7 ) ;
4 3 1
( 2 ), l i m ;
2 6 4
32
( 3 ), l i m ;
2
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
?
??
?
??
??
??
??
??
2
2
2
2
2
1
2
2
1
( 4 ), l i m ( ) ;
24
1
( 5 ), l i m ;
54
53
( 6 ), l i m,
1 0 1
x
x
x
x
xx
x
xx
xx
x
?
?
??
?
??
?
??
??
?
4
2
1
2
1 1 1
( 1 ) l i m ( 8 7 )
l i m l i m 8 l i m 7
1 8 7 2
x
x x x
xx
xx
?
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
解
2
2
1
2
1
2
1
4 3 1
( 2 ) l i m
2 6 4
l i m ( 4 3 1 )
82
1 2 3l i m ( 2 6 4 )
x
x
x
xx
xx
xx
xx
??
??
??
??
??
??
? ? ?
??
解
2
2
1
221
1
l i m ( 3 2 )32
( 3 ) l i m 0
2 l i m ( 2 )
x
x
x
xxxx
x x x x
?
?
?
????
??
? ? ? ?
解
5
22
22
22
2
1 ( 2 )
( 4 ) l i m ( ) l i m
244
( 2 ) ( 1 ) 3
l i m
( 2 ) ( 2 ) 4
xx
x
x x x
xxx
xx
xx
??
?
??
??
???
??
??
??
解
2
211
1 ( 1 ) ( 1 ) 2
( 5 ) l i m l i m
( 1 ) ( 4 ) 354xx
x x x
xxxx??
? ? ?
? ? ?
????
解
2
2
2
2
13
5
5 3 1
( 6 ) l i m l i m,
1 21 0 1
10
xx
xx x x
x
x
? ? ? ?
??
??
??
?
?
解
6
对有理分式函数 F(x),在 x→∞ 时极限有如下讨论,
1
01
1
01
lim
nn
n
mmx
m
a x a x a
b x b x b
?
???
? ? ?
?
? ? ?
0
0
0,
a
mn
b
mn
mn
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
00 0,0,,.a b m n??其 中 且 为 正 整 数
例 10,设 2
2
1 1
() 5
1
2
xx
fx x
x
xx
? ??
?
? ? ?
??
??
求
10l i m ( ),l i m ( ),l i m ( ),x x xf x f x f x? ? ? ? ?
7
解
1
2
00
2
( 1 ) 2,( 1 ) 2 l i m ( ) 2 ;
l i m ( ) l i m ( 1 ) 1 ;
5
l i m ( ) l i m 0,
2
x
xx
xx
f f f x
f x x
x
fx
xx
??
?
??
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
??
?
例 11,求
1
1
1
l i m (,) ;
1
1
l i m
1
n
m
x
n
x
x
mn
x
x
x
?
?
?
?
?
?
为 正 整 数
特 殊 地,
12
1211
1 ( 1 ) ( 1 )l i m = l i m
1 ( 1 ) ( 1 )
n n n
m m mxx
x x x x n
mx x x x
??
????
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
解
12
1
1 ( 1 ) ( 1 )
l i m
1 ( 1 )
n n n
x
x x x x
n
xx
??
?
? ? ? ? ?
??
??
特 殊 地,
8
例 12,
3 0 2 0
50
99
( 2 1 ) ( 3 2 )
( 1 ), l i m ;
( 2 1 )
( 2 ), l i m ( 0 ),
( 1 )
x
mm
x
xx
x
x
n n m n
xx
??
??
??
?
??
??
求
若 求 常 数 与
二,复合函数的极限运算法则
定理 7,如果函数 y =?(u),u =φ(x)满足条件,
0
( 1 ) l i m ( )xx xa?? ?
( 2 ) l i m ( ) ;ua f u A? ?
0
l i m [ ( ) ] l i m ( )x x u af x f u A??? ??
0
0(,)x U x ???且 ( ) ;xa? ?皆有
则复合函数 ?[φ(x) ],当 x→x 0时的极限也存在,且
3 0 2 0 3 0 2 0 2 0
5 0 5 0 2 0
( 2 1 ) ( 3 2 ) 2 3 3( 1 ) l i m,
( 2 1 ) 2 2x
xx
x??
?? ??
?
解
99 1
( 2 ) l i m,1 0 0
100( 1 )mmx
x n m n
xx??
? ? ? ?
??
解 常 数
9
其理论证明 (略 ),但须指出以下两点,
(1).也可将此定理中的极限过程改为 x→∞,或者将
φ(x)的极限 a 改为 ∞ (即只须外函数极限存在 ),结
论同样成立,
(2).此定理表明了满足定理条件的复合函数的极限是
存在的,同时也说明用变量替换的方法去计算复合
函数的极限是可行的,即 ?(u)与 u = φ(x)满足定理 条
0
l i m [ ( ) ]xx fx??
l i m ( ) l i m ( )u a uf u f u? ? ?或
件,则通过变换 u = φ(x),即可把求 的
问题转换为求
10
例 13.求
0
1
1
0
1
( 1 ), l i m a r c t a n ;
11
( 2 ), l i m a r c t a n,
1
x
x
x
x
x
e
x
e
?
?
?
?
提示,
0
01,l i m
0x
xuu
x x
?
??
? ? ? ?
?? ?
? ? ??
当 时令 则
当 时
三,曲线的渐近线
定义 当曲线 y = ?(x)上动点
M沿着曲线无限远离原点移动
时,若该动点 M到某直线 L的距
离无限趋近于零 (如右图 ),则称
此直线 L是曲线 y = ?(x) 的渐
近线,
o x
y
y=?(x)
?
? α
α
M
Q
L:y=ax+b ? ?
?
故应当考虑左、右极限,
11
曲线 y = ?(x) 的渐近线按其与 x轴的位置关系,可分为
以下三种,
则称直线 y = c为曲线 y = ?(x)的水
平渐近线,
l i m ( ) l i m ( ) xxf x c f x c? ? ? ? ? ???或
l i m a r c t a n,l i m a r c t a n22
xx
xx??
? ? ? ? ? ?
? ? ?因
o x
y
y=arctgx
y=π/2
y= – π/2
1.水平渐近线
如果曲线 y = ?(x)的定义域是无限区间,且有
所以曲线 y = arctan x有水平渐近线 y= π/2 与 y= -π/2,
问题,曲线 是否有水平渐近线？
分别是什么？
11
,,,,xx xy y e y e y ex ?? ? ? ?
12
2.垂直 (铅垂 )渐近线
如果曲线 y = ?(x)在 x0 处无定义 (或不连续 ),且
00
l i m ( ) l i m ( )
x x x x
f x f x??
??
? ? ? ?或
则称直线 x=x0 为曲线 y = ?(x) 的垂直渐近线,
因
00
11l i m,l i m
xxxx????
? ? ? ? ? ? 1y x? o
x
y
xy
1?
问题,曲线 1
,l n2y y xx???
,所以曲线
有一条垂直渐近线 x = 0,
是否有垂直渐近线？
分别是什么？
13
3.斜渐近线
- l i m [ ( ) ( ) ] 0 x f x a x b?? ? ? ?若 或
则称直线 y = ax + b为曲线 y =?(x) 的斜渐近线, (如图 )
l i m [ ( ) ( ) ] 0,x f x a x b? ? ? ? ? ?
0a b a ?其 中 和 为 常 数, 且,
o
x
y
y=?(x)
?
? α
α
M
Q
L:y=ax+b ? ?
?
14
分析,如果曲线 y =?(x)有斜渐近线 y = ax+b,则由定
义知必有
x - x l i m [ ( ) ] l i m [ ( ) ] f x a x b f x a x b? ? ? ? ?? ? ? ?或
两边同除以 x并取极限有
x - x
x - x
( ) ( )
l i m [ ] 0 l i m [ ] 0
( ) ( )
l i m l i m
f x f x
aa
xx
f x f x
aa
xx
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
或
即 或
从而得到求曲线 y = ?(x) 的斜渐近线 y = ax+b 的公式为
xx
( ) ( )
l i m l i m
l i m [ ( ) ] l i m [ ( ) ]
f x f x
aa
xx
b f x a x b f x a x
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
????
??
? ? ? ?
??
或
15
例 14.求下列函数的渐近线
2 21
( 1 ), ( ) ;xxfx
x
???
故垂直渐近线, x = 0; 斜渐近线, y = x +2,
故斜渐近线, y = x + π/2 及 y = x – π/2,
( 2 ), ( ) a r c t a nf x x x??
2
00
21
l i m ( ) l i m
xx
xx
fx
x??
??
? ? ?解 且
( ) a r c t a nl i m l i m 1
xx
f x x xa
xx? ? ? ?
?? ? ?解
12l i m [ ( ) ],l i m [ ( ) ]22xxb f x x b f x x
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
xx
() l i m 1,l i m [ ( ) ] 2fxa b f x x
x? ? ? ?? ? ? ? ?
16
证明 设 A > 0取正数 ε < A,由 lim?(x)= A的定义,
0,???
A–ε < ?(x) < A +ε
由 A – ε >0 知 ?(x) >0,同理可证 A <0的情形,
推论 1,若 lim ?(x) = A 且 A ≥0(或 A ≤0),则存在那么
一个时刻,在此时刻以后,就恒有 ?(x)≥0 (或 ?(x)≤0),
定理 5.(局部保号性定理 )若 lim ?(x)=A 且 A>0(或 A<0),
则存在那么一个时刻,在此时刻以后,就恒有 ?(x) >0
(或 ?(x) <0),
必存在那么一个时刻,在此时刻以后,就
恒有 | ?(x) – A |< ε 即
17
定理 6.(局部保号性定理 ) 若 lim?(x)= A且 ?(x)≥0(或
?(x)≤0),则 A ≥0 (或 A ≤0),
其证明可用反证法 (略 ),
也可将 ?(x)≥0中等号去掉,定理结论同样成立,
上述几条性质对于特殊函数 — 数列也适用,
推论 2.若 lim?(x)= A存在,则存在一个时刻,在此时刻
以后,就恒有
推论 3.若 lim ?(x)与 lim g(x)存在,且 ?(x)≥g(x),则 lim
?(x)≥lim g(x),
|? (x)| >| A |/2,
§ 2.3 极限运算的基本法则及其运用
问题, 根据极限的定义,只能验证某个常数 A
是否为某个函数 ?(x)的极限,而不能求出函数 ?(x)的
极限, 为了解决极限的计算问题,下面介绍极限的运
算法则 ; 并利用这些法则和 § 2.1及 2.2中的某些结
论来求函数极限,
一,极限的四则运算法则
定理 6,若 lim ?(x) = A,lim g(x) = B,则
(1),lim [?(x) ± g(x)] = lim ?(x) ± lim g(x) = A ± B;
(2),lim?(x) · g(x) = lim?(x) · lim g(x) = A · B;
(3).当 ( ) l i m ( )
0,l i m,
( ) l i m ( )
f x f x AB
g x g x B
? ? ?时
2
其证明可用定义, 以极限过程为 x→x 0的证明 (1)为
例, 由 |[?(x)+g(x)]–(A+ B) |=|[?(x) – A] +[g(x) –
B]|≤| ?(x) – A |+|g(x) – B |即可,
(1),(2)的推广,
11
11
l i m ( ) l i m ( ),
l i m ( ) l i m ( ),
nn
ii
ii
nn
ii
ii
f x f x
f x f x
??
??
?
?
??
??
(2)中 g(x) = c 时,lim c?(x) = c lim?(x),
(2)中 ?(x) = g(x) 时,
22l i m ( ) [ l i m ( ) ] ;f x f x?
? ?l i m ( ) [ l i m ( ) ],nnf x f x n?再 推 广, 其 中 为 正 整 数
3
有理分式函数
101 ( ),nnnnP x a x a x a?? ? ? ?若
1
01
01
01
() ( ) ( ) 0,
()
nn
nn
mmm
m m
P x a x a x aF x Q x
Qx b x b x b
?
?
? ? ?? ? ?
? ? ?
若 且
从而有多项式函数
0
0 l i m ( ) ( ),nnxx P x P x? ?则
00
0
0
0
( ) ( ) l i m ( ) l i m ( ),
( ) ( )
nn
x x x x
mm
P x P xF x F x
Q x Q x??
? ? ?则
例 9,求
2
1
2
2
1
2
2
1
( 1 ), l i m ( 8 7 ) ;
4 3 1
( 2 ), l i m ;
2 6 4
32
( 3 ), l i m ;
2
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
?
??
?
??
??
??
??
??
2
2
2
2
2
1
2
2
1
( 4 ), l i m ( ) ;
24
1
( 5 ), l i m ;
54
53
( 6 ), l i m,
1 0 1
x
x
x
x
xx
x
xx
xx
x
?
?
??
?
??
?
??
??
?
4
2
1
2
1 1 1
( 1 ) l i m ( 8 7 )
l i m l i m 8 l i m 7
1 8 7 2
x
x x x
xx
xx
?
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
解
2
2
1
2
1
2
1
4 3 1
( 2 ) l i m
2 6 4
l i m ( 4 3 1 )
82
1 2 3l i m ( 2 6 4 )
x
x
x
xx
xx
xx
xx
??
??
??
??
??
??
? ? ?
??
解
2
2
1
221
1
l i m ( 3 2 )32
( 3 ) l i m 0
2 l i m ( 2 )
x
x
x
xxxx
x x x x
?
?
?
????
??
? ? ? ?
解
5
22
22
22
2
1 ( 2 )
( 4 ) l i m ( ) l i m
244
( 2 ) ( 1 ) 3
l i m
( 2 ) ( 2 ) 4
xx
x
x x x
xxx
xx
xx
??
?
??
??
???
??
??
??
解
2
211
1 ( 1 ) ( 1 ) 2
( 5 ) l i m l i m
( 1 ) ( 4 ) 354xx
x x x
xxxx??
? ? ?
? ? ?
????
解
2
2
2
2
13
5
5 3 1
( 6 ) l i m l i m,
1 21 0 1
10
xx
xx x x
x
x
? ? ? ?
??
??
??
?
?
解
6
对有理分式函数 F(x),在 x→∞ 时极限有如下讨论,
1
01
1
01
lim
nn
n
mmx
m
a x a x a
b x b x b
?
???
? ? ?
?
? ? ?
0
0
0,
a
mn
b
mn
mn
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
00 0,0,,.a b m n??其 中 且 为 正 整 数
例 10,设 2
2
1 1
() 5
1
2
xx
fx x
x
xx
? ??
?
? ? ?
??
??
求
10l i m ( ),l i m ( ),l i m ( ),x x xf x f x f x? ? ? ? ?
7
解
1
2
00
2
( 1 ) 2,( 1 ) 2 l i m ( ) 2 ;
l i m ( ) l i m ( 1 ) 1 ;
5
l i m ( ) l i m 0,
2
x
xx
xx
f f f x
f x x
x
fx
xx
??
?
??
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
??
?
例 11,求
1
1
1
l i m (,) ;
1
1
l i m
1
n
m
x
n
x
x
mn
x
x
x
?
?
?
?
?
?
为 正 整 数
特 殊 地,
12
1211
1 ( 1 ) ( 1 )l i m = l i m
1 ( 1 ) ( 1 )
n n n
m m mxx
x x x x n
mx x x x
??
????
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
解
12
1
1 ( 1 ) ( 1 )
l i m
1 ( 1 )
n n n
x
x x x x
n
xx
??
?
? ? ? ? ?
??
??
特 殊 地,
8
例 12,
3 0 2 0
50
99
( 2 1 ) ( 3 2 )
( 1 ), l i m ;
( 2 1 )
( 2 ), l i m ( 0 ),
( 1 )
x
mm
x
xx
x
x
n n m n
xx
??
??
??
?
??
??
求
若 求 常 数 与
二,复合函数的极限运算法则
定理 7,如果函数 y =?(u),u =φ(x)满足条件,
0
( 1 ) l i m ( )xx xa?? ?
( 2 ) l i m ( ) ;ua f u A? ?
0
l i m [ ( ) ] l i m ( )x x u af x f u A??? ??
0
0(,)x U x ???且 ( ) ;xa? ?皆有
则复合函数 ?[φ(x) ],当 x→x 0时的极限也存在,且
3 0 2 0 3 0 2 0 2 0
5 0 5 0 2 0
( 2 1 ) ( 3 2 ) 2 3 3( 1 ) l i m,
( 2 1 ) 2 2x
xx
x??
?? ??
?
解
99 1
( 2 ) l i m,1 0 0
100( 1 )mmx
x n m n
xx??
? ? ? ?
??
解 常 数
9
其理论证明 (略 ),但须指出以下两点,
(1).也可将此定理中的极限过程改为 x→∞,或者将
φ(x)的极限 a 改为 ∞ (即只须外函数极限存在 ),结
论同样成立,
(2).此定理表明了满足定理条件的复合函数的极限是
存在的,同时也说明用变量替换的方法去计算复合
函数的极限是可行的,即 ?(u)与 u = φ(x)满足定理 条
0
l i m [ ( ) ]xx fx??
l i m ( ) l i m ( )u a uf u f u? ? ?或
件,则通过变换 u = φ(x),即可把求 的
问题转换为求
10
例 13.求
0
1
1
0
1
( 1 ), l i m a r c t a n ;
11
( 2 ), l i m a r c t a n,
1
x
x
x
x
x
e
x
e
?
?
?
?
提示,
0
01,l i m
0x
xuu
x x
?
??
? ? ? ?
?? ?
? ? ??
当 时令 则
当 时
三,曲线的渐近线
定义 当曲线 y = ?(x)上动点
M沿着曲线无限远离原点移动
时,若该动点 M到某直线 L的距
离无限趋近于零 (如右图 ),则称
此直线 L是曲线 y = ?(x) 的渐
近线,
o x
y
y=?(x)
?
? α
α
M
Q
L:y=ax+b ? ?
?
故应当考虑左、右极限,
11
曲线 y = ?(x) 的渐近线按其与 x轴的位置关系,可分为
以下三种,
则称直线 y = c为曲线 y = ?(x)的水
平渐近线,
l i m ( ) l i m ( ) xxf x c f x c? ? ? ? ? ???或
l i m a r c t a n,l i m a r c t a n22
xx
xx??
? ? ? ? ? ?
? ? ?因
o x
y
y=arctgx
y=π/2
y= – π/2
1.水平渐近线
如果曲线 y = ?(x)的定义域是无限区间,且有
所以曲线 y = arctan x有水平渐近线 y= π/2 与 y= -π/2,
问题,曲线 是否有水平渐近线？
分别是什么？
11
,,,,xx xy y e y e y ex ?? ? ? ?
12
2.垂直 (铅垂 )渐近线
如果曲线 y = ?(x)在 x0 处无定义 (或不连续 ),且
00
l i m ( ) l i m ( )
x x x x
f x f x??
??
? ? ? ?或
则称直线 x=x0 为曲线 y = ?(x) 的垂直渐近线,
因
00
11l i m,l i m
xxxx????
? ? ? ? ? ? 1y x? o
x
y
xy
1?
问题,曲线 1
,l n2y y xx???
,所以曲线
有一条垂直渐近线 x = 0,
是否有垂直渐近线？
分别是什么？
13
3.斜渐近线
- l i m [ ( ) ( ) ] 0 x f x a x b?? ? ? ?若 或
则称直线 y = ax + b为曲线 y =?(x) 的斜渐近线, (如图 )
l i m [ ( ) ( ) ] 0,x f x a x b? ? ? ? ? ?
0a b a ?其 中 和 为 常 数, 且,
o
x
y
y=?(x)
?
? α
α
M
Q
L:y=ax+b ? ?
?
14
分析,如果曲线 y =?(x)有斜渐近线 y = ax+b,则由定
义知必有
x - x l i m [ ( ) ] l i m [ ( ) ] f x a x b f x a x b? ? ? ? ?? ? ? ?或
两边同除以 x并取极限有
x - x
x - x
( ) ( )
l i m [ ] 0 l i m [ ] 0
( ) ( )
l i m l i m
f x f x
aa
xx
f x f x
aa
xx
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
或
即 或
从而得到求曲线 y = ?(x) 的斜渐近线 y = ax+b 的公式为
xx
( ) ( )
l i m l i m
l i m [ ( ) ] l i m [ ( ) ]
f x f x
aa
xx
b f x a x b f x a x
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
????
??
? ? ? ?
??
或
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例 14.求下列函数的渐近线
2 21
( 1 ), ( ) ;xxfx
x
???
故垂直渐近线, x = 0; 斜渐近线, y = x +2,
故斜渐近线, y = x + π/2 及 y = x – π/2,
( 2 ), ( ) a r c t a nf x x x??
2
00
21
l i m ( ) l i m
xx
xx
fx
x??
??
? ? ?解 且
( ) a r c t a nl i m l i m 1
xx
f x x xa
xx? ? ? ?
?? ? ?解
12l i m [ ( ) ],l i m [ ( ) ]22xxb f x x b f x x
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
xx
() l i m 1,l i m [ ( ) ] 2fxa b f x x
x? ? ? ?? ? ? ? ?
16
证明 设 A > 0取正数 ε < A,由 lim?(x)= A的定义,
0,???
A–ε < ?(x) < A +ε
由 A – ε >0 知 ?(x) >0,同理可证 A <0的情形,
推论 1,若 lim ?(x) = A 且 A ≥0(或 A ≤0),则存在那么
一个时刻,在此时刻以后,就恒有 ?(x)≥0 (或 ?(x)≤0),
定理 5.(局部保号性定理 )若 lim ?(x)=A 且 A>0(或 A<0),
则存在那么一个时刻,在此时刻以后,就恒有 ?(x) >0
(或 ?(x) <0),
必存在那么一个时刻,在此时刻以后,就
恒有 | ?(x) – A |< ε 即
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定理 6.(局部保号性定理 ) 若 lim?(x)= A且 ?(x)≥0(或
?(x)≤0),则 A ≥0 (或 A ≤0),
其证明可用反证法 (略 ),
也可将 ?(x)≥0中等号去掉,定理结论同样成立,
上述几条性质对于特殊函数 — 数列也适用,
推论 2.若 lim?(x)= A存在,则存在一个时刻,在此时刻
以后,就恒有
推论 3.若 lim ?(x)与 lim g(x)存在,且 ?(x)≥g(x),则 lim
?(x)≥lim g(x),
|? (x)| >| A |/2,
