1
第三章 函数的导数与微分
§ 3.1 导数的概 念
§ 3.2 函数的和、差、积、商的求导法则
§ 3.3 反函数和复合函数的求导法则
§ 3.4 高阶导数
§ 3.5 隐函数的导数
§ 3.6 函数的微分
' ( )d y f x d x?
第三章 导数与微分
引言,研究变量与变量之间的依赖关系即研究函数关
系；研究变量的变化趋势即研究函数极限；除此之外,
还要研究各变量之间相对变化快慢的程度 ; 如质点运
动速度、城市人口增长的速度、国民经济发展的速度
等等,这就需要用导数来研究, 本章将介绍导数和微
分的概 念 以及它们的计算方法,
3
§ 3.1 导数的概念
匀速直线运动的 (瞬时 )速度,s
v t?
? ?
0t 0 tt ??
Δt P
00( ) ( )s t t s tsv
tt
? ? ????
??
即路程的改变量与时间的改变量之商,
设作变速直线运动的质点 P (运动轨迹为 s = s(t)) 从 t0
时刻到 t0+Δt时刻,动点 P在 Δt 这段时间内经过的路程为
Δ s = s(t0+Δt)-s (t0), 平均速度为
1.变速直线运动的瞬时速度
一,引例
当 Δt变化,v也随之而变 ; 当 Δt→ ０ 时,可看作是质点
在时刻 t0 的“瞬时速度”的近似值, 从而对平均速度
取极限,便有
v
00
00
( ) ( )l i m l i m
tt
s t t s ts
tt? ? ? ?
? ? ?? ?
??
如果极限 存在,则称此极限
值为动点在时刻 t0的瞬时速度,即
00
00
( ) ( )l i m l i m
tt
s t t s ts
tt? ? ? ?
? ? ?? ?
??
00
0 00
( ) ( )( ) l i m l i m
tt
s t t s tsvt
tt? ? ? ?
? ? ????
??
2.平面曲线的切线斜率
当某一质点沿曲线运动时,不仅在速度上有变化,
而且在运动方向上也有变化, 欲知做曲线运动的质点
在某点的运动方向,就是要求曲线上该点的切线方程,而
求切线方程的关键是求出切线的斜率,
y
o x
设曲线 L的方程为 y=?(x),
M0(x0,y0)为 L上一定点,动点
M(x0+Δx,y0+Δy),作割线 M0M,与 x
轴夹角为 φ,则割线 M0M的斜率为
L,y=?(x)
0M
0x 0xx??
M
T
?φ ?α
0
00( ) ( )t a n
MM
f x x f xyk
xx?
? ? ??? ? ?
??
0y
0yy??
Δx
Δy }
L沿 曲 线
?φ
当动点 M 趋向定点 M0时,有
Δx→0 此时割线 M0M 的极限位置就是曲线 L 过定
点 M0 的切线 M0T;
1M
6
0MT
0t a n l i m t a nxk ??????
那么割线斜率的极限就是切线 的斜率,即
00
00
( ) ( )l i m l i m
xx
f x x f xy
xx? ? ? ?
? ? ?? ?
??
00
00
( ) ( )l i m l i m
xx
f x x f xyk
xx? ? ? ?
? ? ????
??
如果极限 存在,此极限
值便是曲线在点 x0处切线的斜率,即
00
00
( ) ( )l i m l i m
xx
f x x f xy
xx? ? ? ?
? ? ????
??
存在, 则称此极限值
为函数 ?(x) 在点 x0 处的导数 (或微商 ),也称 ?(x)在点
x0处可导, 记作
以上引例一个是物理学中的瞬时速度,一个是几
何学中的切线斜率, 仅从数量关系来看,二者的数学
结构完全相同 — 函数改变量与自变量改变量之比的极限,
简称差商的极限,
定义 1,设函数 y =?(x)在点 x0 的某个邻域内有定义,
设自变量在点 x0 处有改变量 Δx ≠ 0 时 (x0+Δx也在该
邻域内 ),函数有相应改变量 Δy = f(x0+Δx)-f(x0),若极限
00
00
( ) ( )l i m l i m
xx
f x x f xy
xx? ? ? ?
? ? ?? ?
??
0 0 00
( ),,,.x x x x x xd f d yf x y
d x d x? ? ?
??
二,导数概念
8
若此极限不存在,则称 ?(x)在点 x0 处不可导,
若令 则
0x x x? ? ? 00x x x? ? ? ?
0
0
0
0
( ) ( )( ) l i m
xx
f x f xfx
xx?
?? ?
?
,从而
注 1,
反映的是函数在点 x0 处的变化速度,也
称为函数在 x0 处的变化率, 的值由 x0 唯一确定
(极限的唯一性 ),
00( ) ( )f x x f xy
xx
? ? ?? ?
??
0 0( ) l i mx
yfx
x??
?? ?
?
0()fx?
反映的是自变量 x从 x0 改变到 x0+Δx
时函数的平均变化速度,称为函数的平均变化率,而导数
注 2：导数
(三统一 )可变化为
00
0 0
( ) ( )( ) l i m
x
f x x f xfx
x??
? ? ?? ?
?
0
0 0 0
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( )( ) l i m l i m
h x x
f x h f x f x f xfx
h x x??
? ? ?? ??
?
若 则
0( ),fx? 存 在
00
00
( ) ( )l i m ' ( )
x
f x x f x fx
x??
? ? ? ??
?
0 0 0 0
0
( ) ( ) [ ( ) ( ) ]lim
2h
f x h f x f x h f x
h?
? ? ? ? ??
00
0
( ) ( )lim
2h
f x h f x h
h?
? ? ?
0' ( )fx?
00
0
( ) ( )lim
h
f x f x h
h?
?? ?
0'( )fx
定义 2,如果函数 ?(x)在某区间 (a,b)内每一点都可导,
则称 ?(x)在该区间 (a,b)内可导,
例 1.求函数 在 x = 1处的导数,(分几个步骤 )
2( ) 2f x x? (1)f ?
22
1,
2 ( 1 ) 2 2 ( ) 4
xx
y x x x
??
? ? ? ? ? ? ? ? ?
解 在 处 取 得 一 个 增 量 相 应 地
24y xx?? ? ? ??
00
' ( 1 ) l i m l i m ( 2 4 ) 4
xx
yfx
x? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
?
11
设函数 ?(x)在区间 (a,b)内可导,由注 1知,
都有一个导数值 与之对应,从而得到一个定义在
(a,b)内的新函数,将它称为 ?(x)的导函数 ;简称导
数,记为
? ?,x a b??
()fx?
()fx?
( ),,,.d f d yf x y d x d x??
结论, 例 1中的 可先求 再将其中的 x 代为
x0=1即可,由引例知
(1)f ? ( ),fx?
( ) ( ) ; ( ),s t v t k f x????
例 2 (1) 求常数函数 y = C的导数,
(2) 求三角函数 y = sin x的导数,
(3) 求对数函数 的导数,
(4) 求幂函数 的导数,
l o g ( 0 1,0 )ay x a x? ? ? ?
ny x n? （ 为 正 整 数 ）
证
求导数举例
( 1 ) (,),,
0
xx
y C C
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
自 变 量 增 量 为 相 应 的 函 数 增 量 为
0
0 l i m 0 0
x
yy C
xx ??
?? ?? ? ? ? ? ?
13
( 2 ) (,),,xx? ? ? ? ? ? ?自 变 量 增 量 为 相 应 的 函 数 增 量 为
2 c o s ( ) s i n s i n
2 2 2 2 c o s ( )
2
x x x
xyx
x
x x x
? ? ?
???
? ? ?
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( s i n ) c o sxx???
0 0 0
s i n
2l i m l i m c o s ( ) l i m c o s
2
2
x x x
x
yx
xx
xx? ? ? ? ? ?
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??
? ? ? ?
??
s i n ( ) s i n 2 c o s ( ) s i n22xxy x x x x ??? ? ? ? ? ? ?
( 3 ) ( 0,),,xx? ? ? ? ?自 变 量 增 量 为 相 应 的 函 数 增 量 为
11l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) x x
aa
y x x
x x x x x
?? ? ?? ? ? ? ? ?
??
1( l o g ) ( 0 ),
lna xxxa
?? ? ?
( 4 ) (,),,xx? ? ? ? ? ? ?自 变 量 增 量 为 相 应 的 函 数 增 量 为
1 2 2( 1 ) ( ) ( )
2!
n n nnnn x x x x x?? ?? ? ? ? ? ? ?
l o g ( ) l o g l o g ( 1 )a a a xy x x x x?? ? ? ? ? ? ?
00
1 1 1l i m l i m l o g ( 1 ) l o g
ln
x
x
aaxx
yx e
x x x x x a
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() nny x x x? ? ? ? ?
1( l n ) ( 0 ),xx
x
? ??特 别 地
0C ? ?故 由 前 述 可 知
2
1 1 1( ) 1,( ) ',( ) '
2
xx
x xx
? ? ? ? ?特 别 地
1 2 1 1
00
( 1 )l i m l i m [ ( ) ]
2!
n n n n
xx
y n nn x x x x n x
x
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1( ),nnx n x ????
1 2 1( 1 ) ( ) ( )
2!
n n ny n nn x x x x
x
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?
( s i n ) c o s ; ( c o s ) s i nx x x x??? ? ?
11( l o g ) ; ( l n )
lna xxx a x
????
11( ) ( ) ' ( )nnx n x x x?? ????? ? ? ? 可 为 任 意 实 数
00
00
( ) ( )l i m l i m
xx
f x x f xy
xx??? ? ? ?
? ? ?? ?
??
如果极限
0
0
0
( ) ( )( l i m )
xx
f x f x
xx??
??
?
存在,则称此极限值为函数 ?(x)
三,左右导数
定义 3,如果极限
00
00
( ) ( )l i m l i m
xx
f x x f xy
xx??? ? ? ?
? ? ?? ?
??
0
0
0
( ) ( )( l i m )
xx
f x f x
xx??
??
?
存在,
则称此极限值为函数 ?(x)在点 x0 处的右导数, 也称 ?(x)在
点 x0 右可导, 记作
00
0 0
( ) ( )( ) l i m,
x
f x x f xfx
x?? ??
? ? ?? ?
?
17
定理 1,?(x)在 x0 处可导,导数为
0()fx?
00( ) ( )f x f x?????? （ 存 在 且 相 等 ）
定义 4,若函数 ?(x)在区间 (a,b) 内每一点都可导,且
则称函数 ?(x)在 [a,b]内可导,
( ),( ),f a f b???? 存 在
在点 x0 处的左导数, 也称 ?(x)在点 x0 左可导,
00
0 0
( ) ( )( ) l i m,
x
f x x f xfx
x?? ??
? ? ?? ?
?
记作
211
s i n 0 s i n 0
( 1 ) ( ) ; ( 2 ) ( ) ;
0 0 0 0
( 3 ) ( ),
x x x x
f x f xxx
xx
f x x
??
????
????
????
?
0
( ) ( 0 ) ( 1 ) l i m
0x
f x f
x?
?
?解
2
00
1
s i n( ) ( 0 )
( 2 ) l i m l i m
0xx
xf x f
x
xx??
?
?
?
0
1
s i n
lim
x
x
x
x?
?
0
1l i m s i n
x x?
? 不 存 在 ( 0 ),f ?? 不 存 在
( 0 ) 0,f ???
0
1l i m s i n 0
x
x x
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??
0 0 0
0( ) ( 0 )( 3 ) l i m l i m l i m
0x x x
xxf x f
x x x? ? ?
?? ??
?
0
( 0 ) l i m 1,
x
xf
x?? ?? ??而 0( 0 ) l i m 1,x
xf
x?? ?
?? ? ? ? ( 0 ) ( 0 ),ff?????
例 3.讨论下列函数在 x = 0点处的可导性
( 0 )f ?? 不 存 在,
由例 3(3)知 ?(x) = |x| 在 x = 0 处不可导 ; 但由第一
章例 24(1)知 ?(x)=|x|在 x = 0处却是连续的,
定理 2,若函数 y = ?(x)在 x0 处可导,则 y = ?(x)在 x0 处
必连续,
00 l i m ( ),x
y fx
x??
? ??
?证 因
注意,连续却不一定可导,不连续一定不可导
四,可导与连续的关系
000l i m l i m ( ) 0 0,xx
yy x f x
x? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ? ?
?
则 有
20
例 4.设函数 在 x = 0处可导,求 a和 b,
2
0()
5 0
xex
fx
a x b x
? ??
? ??
?
( ) 0f x x ??证 因 在 处 可 导
( 0 ) ( 0 ) ( ;0)f f f??? ? ?
( ) 0f x x ?在 处 连 续
1( 0 ) ( 0 ) 1,( 0 ) 5 ;
5f f f b b
??? ? ? ? ?由 于
0 0 0 0
22
2
0 0 0
( ) ( 0 ) 1
( 0 ) l i m l i m l i m l i m 1
( ) ( 0 ) 5 1
( 0 ) l i m l i m l i m
x
x x x x
x x x
y f x f e x
f
x x x x
f x f a x b a x
fa
x x x
? ? ? ?
? ? ?
?
?
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?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ?
? ? ? ??
而
2 1 1,aa? ? ? ? ?
o x
y
L,y=?(x)
0x
?α
T
函数 y = ?(x)在点 x0 处的导数 f′(x0) 便
是曲线 y = ?(x)在点 M0(x0,y0) 处的切线
的斜率,(如右图 )
0M
0( ) t a n ( )fx ??? ? 为 切 线 的 倾 角
结论,函数 y = ?(x) 在点 x0 处可导,则曲线 y = ?(x)
在点 M0(x0,y0)处的切线方程为
0 0 0( ) ( )y y f x x x?? ? ?
问题,函数 y = ?(x)在点 x0 处不可导,曲线在点 M0(x0,
y0) 处切线是否就不存在呢?
五,导数的几何意义
即
不一定, 如 f′(x0)=∞ 时就有垂直于 x轴的切线,
第三章 函数的导数与微分
§ 3.1 导数的概 念
§ 3.2 函数的和、差、积、商的求导法则
§ 3.3 反函数和复合函数的求导法则
§ 3.4 高阶导数
§ 3.5 隐函数的导数
§ 3.6 函数的微分
' ( )d y f x d x?
第三章 导数与微分
引言,研究变量与变量之间的依赖关系即研究函数关
系；研究变量的变化趋势即研究函数极限；除此之外,
还要研究各变量之间相对变化快慢的程度 ; 如质点运
动速度、城市人口增长的速度、国民经济发展的速度
等等,这就需要用导数来研究, 本章将介绍导数和微
分的概 念 以及它们的计算方法,
3
§ 3.1 导数的概念
匀速直线运动的 (瞬时 )速度,s
v t?
? ?
0t 0 tt ??
Δt P
00( ) ( )s t t s tsv
tt
? ? ????
??
即路程的改变量与时间的改变量之商,
设作变速直线运动的质点 P (运动轨迹为 s = s(t)) 从 t0
时刻到 t0+Δt时刻,动点 P在 Δt 这段时间内经过的路程为
Δ s = s(t0+Δt)-s (t0), 平均速度为
1.变速直线运动的瞬时速度
一,引例
当 Δt变化,v也随之而变 ; 当 Δt→ ０ 时,可看作是质点
在时刻 t0 的“瞬时速度”的近似值, 从而对平均速度
取极限,便有
v
00
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( ) ( )l i m l i m
tt
s t t s ts
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如果极限 存在,则称此极限
值为动点在时刻 t0的瞬时速度,即
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( ) ( )l i m l i m
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tt? ? ? ?
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2.平面曲线的切线斜率
当某一质点沿曲线运动时,不仅在速度上有变化,
而且在运动方向上也有变化, 欲知做曲线运动的质点
在某点的运动方向,就是要求曲线上该点的切线方程,而
求切线方程的关键是求出切线的斜率,
y
o x
设曲线 L的方程为 y=?(x),
M0(x0,y0)为 L上一定点,动点
M(x0+Δx,y0+Δy),作割线 M0M,与 x
轴夹角为 φ,则割线 M0M的斜率为
L,y=?(x)
0M
0x 0xx??
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Δy }
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当动点 M 趋向定点 M0时,有
Δx→0 此时割线 M0M 的极限位置就是曲线 L 过定
点 M0 的切线 M0T;
1M
6
0MT
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那么割线斜率的极限就是切线 的斜率,即
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如果极限 存在,此极限
值便是曲线在点 x0处切线的斜率,即
00
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( ) ( )l i m l i m
xx
f x x f xy
xx? ? ? ?
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存在, 则称此极限值
为函数 ?(x) 在点 x0 处的导数 (或微商 ),也称 ?(x)在点
x0处可导, 记作
以上引例一个是物理学中的瞬时速度,一个是几
何学中的切线斜率, 仅从数量关系来看,二者的数学
结构完全相同 — 函数改变量与自变量改变量之比的极限,
简称差商的极限,
定义 1,设函数 y =?(x)在点 x0 的某个邻域内有定义,
设自变量在点 x0 处有改变量 Δx ≠ 0 时 (x0+Δx也在该
邻域内 ),函数有相应改变量 Δy = f(x0+Δx)-f(x0),若极限
00
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( ) ( )l i m l i m
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( ),,,.x x x x x xd f d yf x y
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二,导数概念
8
若此极限不存在,则称 ?(x)在点 x0 处不可导,
若令 则
0x x x? ? ? 00x x x? ? ? ?
0
0
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0
( ) ( )( ) l i m
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,从而
注 1,
反映的是函数在点 x0 处的变化速度,也
称为函数在 x0 处的变化率, 的值由 x0 唯一确定
(极限的唯一性 ),
00( ) ( )f x x f xy
xx
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反映的是自变量 x从 x0 改变到 x0+Δx
时函数的平均变化速度,称为函数的平均变化率,而导数
注 2：导数
(三统一 )可变化为
00
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( ) ( )( ) l i m
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定义 2,如果函数 ?(x)在某区间 (a,b)内每一点都可导,
则称 ?(x)在该区间 (a,b)内可导,
例 1.求函数 在 x = 1处的导数,(分几个步骤 )
2( ) 2f x x? (1)f ?
22
1,
2 ( 1 ) 2 2 ( ) 4
xx
y x x x
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? ? ? ? ? ? ? ? ?
解 在 处 取 得 一 个 增 量 相 应 地
24y xx?? ? ? ??
00
' ( 1 ) l i m l i m ( 2 4 ) 4
xx
yfx
x? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
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11
设函数 ?(x)在区间 (a,b)内可导,由注 1知,
都有一个导数值 与之对应,从而得到一个定义在
(a,b)内的新函数,将它称为 ?(x)的导函数 ;简称导
数,记为
? ?,x a b??
()fx?
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( ),,,.d f d yf x y d x d x??
结论, 例 1中的 可先求 再将其中的 x 代为
x0=1即可,由引例知
(1)f ? ( ),fx?
( ) ( ) ; ( ),s t v t k f x????
例 2 (1) 求常数函数 y = C的导数,
(2) 求三角函数 y = sin x的导数,
(3) 求对数函数 的导数,
(4) 求幂函数 的导数,
l o g ( 0 1,0 )ay x a x? ? ? ?
ny x n? （ 为 正 整 数 ）
证
求导数举例
( 1 ) (,),,
0
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y C C
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自 变 量 增 量 为 相 应 的 函 数 增 量 为
0
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13
( 2 ) (,),,xx? ? ? ? ? ? ?自 变 量 增 量 为 相 应 的 函 数 增 量 为
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s i n ( ) s i n 2 c o s ( ) s i n22xxy x x x x ??? ? ? ? ? ? ?
( 3 ) ( 0,),,xx? ? ? ? ?自 变 量 增 量 为 相 应 的 函 数 增 量 为
11l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) x x
aa
y x x
x x x x x
?? ? ?? ? ? ? ? ?
??
1( l o g ) ( 0 ),
lna xxxa
?? ? ?
( 4 ) (,),,xx? ? ? ? ? ? ?自 变 量 增 量 为 相 应 的 函 数 增 量 为
1 2 2( 1 ) ( ) ( )
2!
n n nnnn x x x x x?? ?? ? ? ? ? ? ?
l o g ( ) l o g l o g ( 1 )a a a xy x x x x?? ? ? ? ? ? ?
00
1 1 1l i m l i m l o g ( 1 ) l o g
ln
x
x
aaxx
yx e
x x x x x a
?
? ? ? ?
??? ? ? ?
?
() nny x x x? ? ? ? ?
1( l n ) ( 0 ),xx
x
? ??特 别 地
0C ? ?故 由 前 述 可 知
2
1 1 1( ) 1,( ) ',( ) '
2
xx
x xx
? ? ? ? ?特 别 地
1 2 1 1
00
( 1 )l i m l i m [ ( ) ]
2!
n n n n
xx
y n nn x x x x n x
x
? ? ? ?
? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ?
?
1( ),nnx n x ????
1 2 1( 1 ) ( ) ( )
2!
n n ny n nn x x x x
x
? ? ???? ? ? ? ? ?
?
( s i n ) c o s ; ( c o s ) s i nx x x x??? ? ?
11( l o g ) ; ( l n )
lna xxx a x
????
11( ) ( ) ' ( )nnx n x x x?? ????? ? ? ? 可 为 任 意 实 数
00
00
( ) ( )l i m l i m
xx
f x x f xy
xx??? ? ? ?
? ? ?? ?
??
如果极限
0
0
0
( ) ( )( l i m )
xx
f x f x
xx??
??
?
存在,则称此极限值为函数 ?(x)
三,左右导数
定义 3,如果极限
00
00
( ) ( )l i m l i m
xx
f x x f xy
xx??? ? ? ?
? ? ?? ?
??
0
0
0
( ) ( )( l i m )
xx
f x f x
xx??
??
?
存在,
则称此极限值为函数 ?(x)在点 x0 处的右导数, 也称 ?(x)在
点 x0 右可导, 记作
00
0 0
( ) ( )( ) l i m,
x
f x x f xfx
x?? ??
? ? ?? ?
?
17
定理 1,?(x)在 x0 处可导,导数为
0()fx?
00( ) ( )f x f x?????? （ 存 在 且 相 等 ）
定义 4,若函数 ?(x)在区间 (a,b) 内每一点都可导,且
则称函数 ?(x)在 [a,b]内可导,
( ),( ),f a f b???? 存 在
在点 x0 处的左导数, 也称 ?(x)在点 x0 左可导,
00
0 0
( ) ( )( ) l i m,
x
f x x f xfx
x?? ??
? ? ?? ?
?
记作
211
s i n 0 s i n 0
( 1 ) ( ) ; ( 2 ) ( ) ;
0 0 0 0
( 3 ) ( ),
x x x x
f x f xxx
xx
f x x
??
????
????
????
?
0
( ) ( 0 ) ( 1 ) l i m
0x
f x f
x?
?
?解
2
00
1
s i n( ) ( 0 )
( 2 ) l i m l i m
0xx
xf x f
x
xx??
?
?
?
0
1
s i n
lim
x
x
x
x?
?
0
1l i m s i n
x x?
? 不 存 在 ( 0 ),f ?? 不 存 在
( 0 ) 0,f ???
0
1l i m s i n 0
x
x x
?
??
0 0 0
0( ) ( 0 )( 3 ) l i m l i m l i m
0x x x
xxf x f
x x x? ? ?
?? ??
?
0
( 0 ) l i m 1,
x
xf
x?? ?? ??而 0( 0 ) l i m 1,x
xf
x?? ?
?? ? ? ? ( 0 ) ( 0 ),ff?????
例 3.讨论下列函数在 x = 0点处的可导性
( 0 )f ?? 不 存 在,
由例 3(3)知 ?(x) = |x| 在 x = 0 处不可导 ; 但由第一
章例 24(1)知 ?(x)=|x|在 x = 0处却是连续的,
定理 2,若函数 y = ?(x)在 x0 处可导,则 y = ?(x)在 x0 处
必连续,
00 l i m ( ),x
y fx
x??
? ??
?证 因
注意,连续却不一定可导,不连续一定不可导
四,可导与连续的关系
000l i m l i m ( ) 0 0,xx
yy x f x
x? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ? ?
?
则 有
20
例 4.设函数 在 x = 0处可导,求 a和 b,
2
0()
5 0
xex
fx
a x b x
? ??
? ??
?
( ) 0f x x ??证 因 在 处 可 导
( 0 ) ( 0 ) ( ;0)f f f??? ? ?
( ) 0f x x ?在 处 连 续
1( 0 ) ( 0 ) 1,( 0 ) 5 ;
5f f f b b
??? ? ? ? ?由 于
0 0 0 0
22
2
0 0 0
( ) ( 0 ) 1
( 0 ) l i m l i m l i m l i m 1
( ) ( 0 ) 5 1
( 0 ) l i m l i m l i m
x
x x x x
x x x
y f x f e x
f
x x x x
f x f a x b a x
fa
x x x
? ? ? ?
? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ?
? ? ? ??
而
2 1 1,aa? ? ? ? ?
o x
y
L,y=?(x)
0x
?α
T
函数 y = ?(x)在点 x0 处的导数 f′(x0) 便
是曲线 y = ?(x)在点 M0(x0,y0) 处的切线
的斜率,(如右图 )
0M
0( ) t a n ( )fx ??? ? 为 切 线 的 倾 角
结论,函数 y = ?(x) 在点 x0 处可导,则曲线 y = ?(x)
在点 M0(x0,y0)处的切线方程为
0 0 0( ) ( )y y f x x x?? ? ?
问题,函数 y = ?(x)在点 x0 处不可导,曲线在点 M0(x0,
y0) 处切线是否就不存在呢?
五,导数的几何意义
即
不一定, 如 f′(x0)=∞ 时就有垂直于 x轴的切线,
