1
o x
y
y= ?(x)
M
m
1? 2?
a
b
§ 4.4 函数的极值与最值
设函数 y = ?(x)在 (a ? b)内图形如下图,
1? 1()f ?
在 处的函数值 比它附近各点的函数值都要小 ;
2? 2()f ?而在 处的函数值 比它附近各点的函数值都要大 ;
12( ) ( ),ff???
但它们又不是整个定义区间上的最小、最大者,而且
将这样的点称为极小值点、极大值点,
2
一,函数的极值
1.极值的定义
定义 1 设 y =?(x) 在邻域 内有定义,恒有
0(,)Ux ?
0
0(,)x U x ???
0( 1 ) ( ) ( )f x f x?
,则称 为函数 ?(x)的极大值,
0()fx
称为 ?(x)的极大值点,
0x
0( 2 ) ( ) ( )f x f x?
,则称 为函数 ?(x)的极小值,
0()fx
称为 ?(x)的极小值点,
0x
极大值
极值
极小值
极大值点
极值点
极小值点
我们将函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与
极小值点统称极值点,
3
问题,请指出右图中的极值及极值点,
o x
y
y= ?(x)
M
m
1? 2?
3?
a
b 2.极值与最值
由极值定义知, 极值是函数
的局部性态, 即只是函数在一个
邻域内最大的值和最小的值,故它只可能在 (a,b)的内点处取得,
而函数的最大值与最小值则是指整个定义域内区间 [a,b]的整
体性态,不仅可在 [a,b]的内点取得,也可在 [a,b]的端点取得,
一个函数可能有若干个极小值或极大值, 而且 处极小值
却比 处的极大值还大,
1?
2?
但在定义区间内却最多只有一个最大最小值,
4
( ) 0fx? ?
2yx?如
0x
0()fx
0x
0(,),Ux ? 00 (,)x x U x ?? ? ? 00
( ) ( ) 0f x x f x? ? ? ?
导数为零的点 (即方程 的实根 ),称为函数 ?(x)的驻点,
2 0,x y x??则 为 的 驻 点
4.极值的必要条件
证
当 时有
00( ) 0 ( ) 0f x f x????? ? ?且 0( ) 0fx? ?
注 1.可导函数的极值点必是它的驻点,
定理 8(极值的必要条件 )设函数 y =?(x) 在点 处可导, 若 为
的极值点, (即 为极值 ),则 为函数的驻点 (即 )
3.驻点的定义
2 0 0y x x? ? ? ?有
0x
设 为极值 (不妨设为极大值 ),则必存在 的一个邻域
( ) 0fx? ?
0()fx 0x
从而有几何意义, 可导函数的图形在极值点处的切线是
与 x 轴平行的,(罗尔定理 )
5
注 2,对可导函数来说,驻点不一定是极值点,
即曲线上有水平切线的地方,函数不一定有极值, 如
3( ) ( 0 ) 0f x x f ?? ? ? 3 0 ( ) x f x x??则 为 的 驻 点
,0 ( ),x f x?如 图 不 是 的 极 值 点
结论, 对于可微函数来讲“极值点一定是
驻点,但驻点却不一定是极值点,,从而
其极值点必在其导数为 0的那些点之中,
注 3.函数 y=|x|,我们已知 x = 0是函数的连续不可导点,但 x = 0
是函数的极小值点,
o x
3yx?
y
o x
y
y=|x| 实际上,连续不可导点也可能是极值点,
因而函数还可能在连续不可导点处取得极值,
6
在导数为 0的点或者是连续不可导点中去寻找,
定理 9(判定极值的第一充分条件 )设函数 y =?(x)在
内连续,在 (或 ) 内可导,
0(,)Ux ?
0(,)Ux ?
0
0(,)Ux ?
0 0 0 0
00
( 1 ) (,) ( ) 0 ; (,)
( ) 0, ( ) ( ),
x x x f x x x x
f x x f x f x
?? ?? ? ? ? ?
? ?
若 当 时 当 时,
则 为 极 大 值 点 ； 为 的 极 大 值
5.判定极值的第一充分条件
因此寻求极值点的方法,
0 0 0 0
00
( 2 ) (,) ( ) 0 ; (,)
( ) 0, ( ) ( ),
x x x f x x x x
f x x f x f x
?? ?? ? ? ? ?
? ?
若 当 时 当 时,
则 为 极 小 值 点 ； 为 的 极 小 值
00( 3 ) (,,) ( ),.x U x f x x? ??若 当 时,保 号 则 不 为 极 值 点
证 由极值的定义及定理 8可证,
7
因此求极值的一般步骤为,
0x
0x()fx? 0x
()fx?0x 0x
例 21 求函数 的极值, 23( ) ( 1 ) ( 2 )f x x x? ? ?
此定理可简单叙述为, 设 为连续函数 ?(x)的可能极值点,
若当 x从 左侧变到右侧时,变号,则 为 ?(x)的极
值点,
若 在 的两侧保号,则 不是 ?(x)的极值点,
(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点 ;
(2)考察这些点两侧导函数的符号 (方法,特殊取点 ),从而确定极值点 ;
(3)求出极值点的函数值,即为极值,
(,)? ? ? ?解 定 义 域 为
3 2 2 2( ) 2 ( 1 ) ( 2 ) 3 ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 5 7 )f x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8
1 2 3
7( ) 0 ( ) 1,,2,
5f x f x x x x
? ? ? ? ?由 得 的 三 个 驻 点 无 连 续 不 可 导 点
77 ( -,) ( -,1 ),( 1,),(,2 ),( 2,),
55
? ? ? ? ? ?这 三 个 点 将 分 为 四 个 子 区 间
x 1 2
+ 0 – 0 + 0 +
?(x)
极大值
?(1)=0
极小值 无极
值
(,1)?? 7(1,)
5
7
5
7(,2)
5
(2,)??
()fx?
7 1 0 8()
5 3 1 2 5f ??
故函数有极大值 ?(1) = 0,函数有极小值 7 1 0 8( ),
5 3 1 2 5f ??
例 22 求函数 的极值, 3 2( ) ( 1 )f x x x??
此函数的单调性在例 17中已讨论,现重新列表如下,
:列表讨论如下
9
(,0 )?? 2(0,)5 25 2(,)5 ??x 0
+ 不存在 – 0 +
?(x) 极大值 0 极小值
()fx?
3345 25?
故函数有极大值 ?(0) = 0,函数有极小值
3
2 3 4( ),
5 5 2 5
f ??
当函数在驻点处的二阶导数存在且不为 0时,也可用
下面定理来判定 ?(x)在驻点处取得极大值还是极小值,
10
6.函数极值的第二充分条件
定理 10.设函数 y = ?(x)在点 处的二阶导数存在,若
且 则 是函数 ?(x)的极值点 ;
为函数的极值, 且
0x
0x0( ) 0fx? ? 0()fx
0 0 0( 1 ) ( ) 0,; ( ),f x x f x?? ?当 时 则 为 极 小 值 点 为 极 小 值
+ –
0( ) 0fx?? ?
0 0 0( 2 ) ( ) 0,; ( ),f x x f x?? ?当 时 则 为 极 大 值 点 为 极 大 值
11
证
() 0.fx
xx
? ?
?
00,( ) 0,,( ) 0x x f x x x f x??? ? ? ?当 时 当 时
0;x
0()fx??
0
0
00
( ) ( ) ( ) l i m ( ) 0,
xx
f x f xf x f x
xx?
?? ??? ??
??
?
因, 故 当 时 由 保 号 性 定 理 知
0 ( ),f x x即 在 点 的 某 邻 域 内 符 号 由 负 变 正
09 ( ),f x x则 由 定 理 知 在 处 取 得 极 小 值
( ) 0,fx?? ?同 理 可 证 明 的 情 形
注,运用定理 10求极值的步骤是
(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的全部驻点
(2)考察 的符号,从而确定极值点 ;
(3)求出极值点的函数值,即为极值,
12
例 23 求函数 的极值,
42( ) 1 0 5f x x x? ? ?
( -,)? ? ?解 定 义 域 为
2( ) 4 ( 5 ) 0 ( ) f x x x f x? ??由 令 得 的 三 个 驻 点
1 2 3 5,0,5x x x? ? ? ?
2( ) 1 2 2 0f x x?? ??又 由 有
5( 5 ) ( ) 4 0 0 ; ( 0 ) 2 0 0 ; ( 5 ) 4 0 0xf f x f f???? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 3 25 5 0,x x x? ? ? ?得 和 为 极 小 值 点 ； 为 极 大 值 点
( 5 ) 2 0 ; ( 0 ) 5,ff? ? ? ?极 小 值 极 大 值
13
0x 0( ) 0fx?? ?
0x
4 4 3
1 2 3( ),( ),( )f x x f x x f x x? ? ? ?
0( ) 0fx?? ?
注,运用定理 10求极值也有它的局限性,
因为若 ?(x)在驻点 处的二阶导数 时,?(x)
在 处可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值,
如
这三个函数在 x = 0处就分别属于这三种情况,
从而当 时,定理 10失效,只能改用定理 9确定,
故定理 9比定理 10更普遍,(只需点连续即可 )
14
例 24 求函数 的极值, 23( ) ( 1 ) 1f x x? ? ?
( -,)? ? ?解 定 义 域 为
22
1 2 3,( ) 6 ( 1 ) 0 ( ) 1,0,1f x x x f x x x x? ? ? ? ? ? ? ?由 令 得 的 三
22( ) 6 ( 1 ) ( 5 1 )f x x x?? ? ? ?又 由 有( 0 ) 6 0f ?? ??
0, ( 1 ) ( 1 ) 0x f f?? ??? ? ? ? ?为 极 小 值 点 但
1 0, 1 9,x ??定 理 失 效 改 用 定 理
( 1,),( ) 0x U f x? ?? ? ?当 时 保 号
( 1,),( ) 0 x U f x? ???当 时 保 号
1 ( 0 ) 0,xf? ? ?故 不 是 极 值 点,故 只 有 极 小 值
15
o x
y
–1 1 ?
例 25 求函数 的单调区间和极值, () xf x e?
0 ( ),
0
x
x
exfx
ex?
? ??
? ?
?
而 (,)? ? ? ?解 定 义 域 为
0 0 0
( ) ( 0 ) 1 ( 0 ) l i m l i m l i m 1
0
x
x x x
f x f e xf
x x x? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?
?而
( 0 ) ( 0 ) ( ) 0,f f f x x???? ??故 即 在 处 不 可 导
0,( ) 0,0,( ) 0xxx f x e x f x e ???? ? ? ? ? ? ?当当
0 ( ),,:x f x?故 为 的 极 小 值 点 为 直 观 列 表 如 下
x 0
– 不存在 +
?(x) 极小值
(,0 )?? ( 0,)??
()fx?
00
( ) ( 0 ) 1( 0 ) l i m l i m 1
0
x
xx
f x f ef
xx??? ??
??? ? ? ?
?
16
由上表可看出,函数 ?(x)在区间 内单调递减,在
区间 内单调递增,且 ?(x)的极小值为
(,0)??
(0,)?? 0( 0 ) 1,fe??
二,函数的最值
在实际生活中常常遇到这样一类问题, 在一定条件下,
怎样使,,产品最省”“用料最省”“效率最低”等问题,
这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数的最大值和最
小值问题,
1.闭区间上连续函数的最大小值
由前知, 闭区间 [a,b]上连续函数 ?(x)的极值与最值是两个
不同的概念,由定义 1与第二章定理知,此函数 ?(x) 在 [a,b]
上一定有
最大值和最小值,
(1)如果最大值和最小值在区间的内部取得,那么这个最大值
(或最小值 )一定也是函数的极大值 (或极小值 ),从而
17
(ii)若遇到不可微的点,也可能是极值点,故不可微点
也可能是最值点,
(2) ?(x)的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得,
因而可用如下的方法求 ?(x)在 [a,b]上的最大值和最小值,
(i)求出 ?(x)的全部驻点 以及连续不可导点
12,,,;nx x x 12,,,;nx x x
(ii)比较 的大小
1 2 1 2( ),( ),( ),,( ),( ),( ),,( ),( )nnf a f x f x f x f x f x f x f b
其中最大的便是 ?(x)在 [a,b]上的最大值,最小的便是 ?(x)
在 [a,b]上的最小值,
值点和最小值点在 ?(x)的驻点之中 ;
(i)对可微函数来讲,极值点一定是驻点,那么可微函数的最大
18
例 26 求函数 在 [0,3]上的最大值和最小值, 223( ) ( 2 )f x x x??
解 ?(x)在 [0,3]上连续,且其导数为
3 2
41( ),
3 2
xfx
xx
?? ?
?
从而函数 ?(x)的驻点为 x = 1,不可导点为 x = 2和 x = 0,
计算这三个点与端点的函数值得
3( 3 ) 9,f ?
比较这些函数值的大小,有 max?(x) = ?(3) =
min?(x) = ?(0) = ?(2) = 0
3 9
注,若 ?(x)在 [a,b]上为单调函数,则其最值只能在端点上达到,
?(0) = 0,?(1) = 1,?(2) = 0,
19
(1)若 ?(x)在某区间内仅有一个可能极值点,则当
为极大 (小 )值点时,就是该函数在此区间上的最大 (小 )值 ;
0x 0x
0()fx
解决实际问题的步骤,
(2)在实际问题中,若由分析得知确实存在最大值或
最小值,而所讨论的区间内仅有一个可能的极值点,那么
这个点的函数值一定是最大值或最小值,
2,实际问题中的最大 (小 )值
在解决实际问题时应注意两点,
建立目标函数及其取值区间 求目标函数的最值,
20
例 27 求乘积为常数 a >0,而其和为最小的两个正数,
解 设两个正数为 x,y (x >0,y > 0),其和为 s = x + y
ay
x?
从而目标函数为
( ) ( 0 )as x x x
x
? ? ?
2( ) 1 0,
asx
x
? ??由 令 得12,x a x a? ? ?
??1 0,( ),,x x x s x x a? ? ?而 故 函 数 可 能 的 极 值 点 只 有 一 个
( ) 0,( ) 0x a s x x a s x??? ? ? ?
( ),s x x a?在 处 取 得 极 小 值( ),s x x a?在 取 得 最 小 值
,a a a乘 常 而 和 最 小 的 和
则由 x y = a 得
21
例 28,设圆柱形有盖茶缸容积 V为常数,求表面积为最小时,
底半径 r 与高 h 之比,
h
r
解 设表面积为 S,则目标函数为 222s r r h????
2
2
VV r h h
r? ???由得
3
2
22( ) 4 0
2
Vs r r r
r
?
?
? ? ? ?又 由 令 得 驻 点
3
2,
2
r
?
? 为可能的极值点,且唯一
3
3
4 ( ) 4 ( ) 0,
2
VVs r s
r
?
?
?? ??? ? ? ?而
3 ( ),
2
Vs r r
?
?故 在 处 取 得 极 小 值 从 而 取 得 最 小 值
2 2 ( ) 2 ( 0 )Vs r r r
r
?? ? ? ?目标函数
22
注,导数在经济上的应用 § 4.7中重点讲解, 最后来介绍
最值与极值在不等式证明中 的应用,
例 29 2
0 s i n,
2
x x x?
?
? ? ?当 时, 证 明
23
2
( )
2
V
hr
V
?
?
??此 时 化 简 可 得
1,
2即半径与高之比为 时茶缸表面积最小
2 ( ) s i nf x x x
???令
2 ( ) [ 0,],( ) c o s ( 0 )f x f x x x??
?
? ? ? ? ?则 在 上 连 续 且
1
2
r
h
?
证
23
2 ( ) 0,a r c c o sf x x
?
? ??由 得 唯 一 驻 点
2a r c c o s ( ),x f x
?
?? 是 的 最 大 值 点
( ) 0,( 0 ) ( ) 02f x f f ???又 在 区 间 端 点 的 值 为 即
[ 0,],m i n ( ) 02 fx???在 上 有
( ) s i n 0 ( 0 )
2
f x x x ??? ? ? ? ? ?
2 ( 0,),( ) 0,s i n ( 0 )
22f x x x x
??
?? ? ? ?故 在 内 有 即
o x
y
y= ?(x)
M
m
1? 2?
a
b
§ 4.4 函数的极值与最值
设函数 y = ?(x)在 (a ? b)内图形如下图,
1? 1()f ?
在 处的函数值 比它附近各点的函数值都要小 ;
2? 2()f ?而在 处的函数值 比它附近各点的函数值都要大 ;
12( ) ( ),ff???
但它们又不是整个定义区间上的最小、最大者,而且
将这样的点称为极小值点、极大值点,
2
一,函数的极值
1.极值的定义
定义 1 设 y =?(x) 在邻域 内有定义,恒有
0(,)Ux ?
0
0(,)x U x ???
0( 1 ) ( ) ( )f x f x?
,则称 为函数 ?(x)的极大值,
0()fx
称为 ?(x)的极大值点,
0x
0( 2 ) ( ) ( )f x f x?
,则称 为函数 ?(x)的极小值,
0()fx
称为 ?(x)的极小值点,
0x
极大值
极值
极小值
极大值点
极值点
极小值点
我们将函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与
极小值点统称极值点,
3
问题,请指出右图中的极值及极值点,
o x
y
y= ?(x)
M
m
1? 2?
3?
a
b 2.极值与最值
由极值定义知, 极值是函数
的局部性态, 即只是函数在一个
邻域内最大的值和最小的值,故它只可能在 (a,b)的内点处取得,
而函数的最大值与最小值则是指整个定义域内区间 [a,b]的整
体性态,不仅可在 [a,b]的内点取得,也可在 [a,b]的端点取得,
一个函数可能有若干个极小值或极大值, 而且 处极小值
却比 处的极大值还大,
1?
2?
但在定义区间内却最多只有一个最大最小值,
4
( ) 0fx? ?
2yx?如
0x
0()fx
0x
0(,),Ux ? 00 (,)x x U x ?? ? ? 00
( ) ( ) 0f x x f x? ? ? ?
导数为零的点 (即方程 的实根 ),称为函数 ?(x)的驻点,
2 0,x y x??则 为 的 驻 点
4.极值的必要条件
证
当 时有
00( ) 0 ( ) 0f x f x????? ? ?且 0( ) 0fx? ?
注 1.可导函数的极值点必是它的驻点,
定理 8(极值的必要条件 )设函数 y =?(x) 在点 处可导, 若 为
的极值点, (即 为极值 ),则 为函数的驻点 (即 )
3.驻点的定义
2 0 0y x x? ? ? ?有
0x
设 为极值 (不妨设为极大值 ),则必存在 的一个邻域
( ) 0fx? ?
0()fx 0x
从而有几何意义, 可导函数的图形在极值点处的切线是
与 x 轴平行的,(罗尔定理 )
5
注 2,对可导函数来说,驻点不一定是极值点,
即曲线上有水平切线的地方,函数不一定有极值, 如
3( ) ( 0 ) 0f x x f ?? ? ? 3 0 ( ) x f x x??则 为 的 驻 点
,0 ( ),x f x?如 图 不 是 的 极 值 点
结论, 对于可微函数来讲“极值点一定是
驻点,但驻点却不一定是极值点,,从而
其极值点必在其导数为 0的那些点之中,
注 3.函数 y=|x|,我们已知 x = 0是函数的连续不可导点,但 x = 0
是函数的极小值点,
o x
3yx?
y
o x
y
y=|x| 实际上,连续不可导点也可能是极值点,
因而函数还可能在连续不可导点处取得极值,
6
在导数为 0的点或者是连续不可导点中去寻找,
定理 9(判定极值的第一充分条件 )设函数 y =?(x)在
内连续,在 (或 ) 内可导,
0(,)Ux ?
0(,)Ux ?
0
0(,)Ux ?
0 0 0 0
00
( 1 ) (,) ( ) 0 ; (,)
( ) 0, ( ) ( ),
x x x f x x x x
f x x f x f x
?? ?? ? ? ? ?
? ?
若 当 时 当 时,
则 为 极 大 值 点 ； 为 的 极 大 值
5.判定极值的第一充分条件
因此寻求极值点的方法,
0 0 0 0
00
( 2 ) (,) ( ) 0 ; (,)
( ) 0, ( ) ( ),
x x x f x x x x
f x x f x f x
?? ?? ? ? ? ?
? ?
若 当 时 当 时,
则 为 极 小 值 点 ； 为 的 极 小 值
00( 3 ) (,,) ( ),.x U x f x x? ??若 当 时,保 号 则 不 为 极 值 点
证 由极值的定义及定理 8可证,
7
因此求极值的一般步骤为,
0x
0x()fx? 0x
()fx?0x 0x
例 21 求函数 的极值, 23( ) ( 1 ) ( 2 )f x x x? ? ?
此定理可简单叙述为, 设 为连续函数 ?(x)的可能极值点,
若当 x从 左侧变到右侧时,变号,则 为 ?(x)的极
值点,
若 在 的两侧保号,则 不是 ?(x)的极值点,
(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点 ;
(2)考察这些点两侧导函数的符号 (方法,特殊取点 ),从而确定极值点 ;
(3)求出极值点的函数值,即为极值,
(,)? ? ? ?解 定 义 域 为
3 2 2 2( ) 2 ( 1 ) ( 2 ) 3 ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 5 7 )f x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8
1 2 3
7( ) 0 ( ) 1,,2,
5f x f x x x x
? ? ? ? ?由 得 的 三 个 驻 点 无 连 续 不 可 导 点
77 ( -,) ( -,1 ),( 1,),(,2 ),( 2,),
55
? ? ? ? ? ?这 三 个 点 将 分 为 四 个 子 区 间
x 1 2
+ 0 – 0 + 0 +
?(x)
极大值
?(1)=0
极小值 无极
值
(,1)?? 7(1,)
5
7
5
7(,2)
5
(2,)??
()fx?
7 1 0 8()
5 3 1 2 5f ??
故函数有极大值 ?(1) = 0,函数有极小值 7 1 0 8( ),
5 3 1 2 5f ??
例 22 求函数 的极值, 3 2( ) ( 1 )f x x x??
此函数的单调性在例 17中已讨论,现重新列表如下,
:列表讨论如下
9
(,0 )?? 2(0,)5 25 2(,)5 ??x 0
+ 不存在 – 0 +
?(x) 极大值 0 极小值
()fx?
3345 25?
故函数有极大值 ?(0) = 0,函数有极小值
3
2 3 4( ),
5 5 2 5
f ??
当函数在驻点处的二阶导数存在且不为 0时,也可用
下面定理来判定 ?(x)在驻点处取得极大值还是极小值,
10
6.函数极值的第二充分条件
定理 10.设函数 y = ?(x)在点 处的二阶导数存在,若
且 则 是函数 ?(x)的极值点 ;
为函数的极值, 且
0x
0x0( ) 0fx? ? 0()fx
0 0 0( 1 ) ( ) 0,; ( ),f x x f x?? ?当 时 则 为 极 小 值 点 为 极 小 值
+ –
0( ) 0fx?? ?
0 0 0( 2 ) ( ) 0,; ( ),f x x f x?? ?当 时 则 为 极 大 值 点 为 极 大 值
11
证
() 0.fx
xx
? ?
?
00,( ) 0,,( ) 0x x f x x x f x??? ? ? ?当 时 当 时
0;x
0()fx??
0
0
00
( ) ( ) ( ) l i m ( ) 0,
xx
f x f xf x f x
xx?
?? ??? ??
??
?
因, 故 当 时 由 保 号 性 定 理 知
0 ( ),f x x即 在 点 的 某 邻 域 内 符 号 由 负 变 正
09 ( ),f x x则 由 定 理 知 在 处 取 得 极 小 值
( ) 0,fx?? ?同 理 可 证 明 的 情 形
注,运用定理 10求极值的步骤是
(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的全部驻点
(2)考察 的符号,从而确定极值点 ;
(3)求出极值点的函数值,即为极值,
12
例 23 求函数 的极值,
42( ) 1 0 5f x x x? ? ?
( -,)? ? ?解 定 义 域 为
2( ) 4 ( 5 ) 0 ( ) f x x x f x? ??由 令 得 的 三 个 驻 点
1 2 3 5,0,5x x x? ? ? ?
2( ) 1 2 2 0f x x?? ??又 由 有
5( 5 ) ( ) 4 0 0 ; ( 0 ) 2 0 0 ; ( 5 ) 4 0 0xf f x f f???? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 3 25 5 0,x x x? ? ? ?得 和 为 极 小 值 点 ； 为 极 大 值 点
( 5 ) 2 0 ; ( 0 ) 5,ff? ? ? ?极 小 值 极 大 值
13
0x 0( ) 0fx?? ?
0x
4 4 3
1 2 3( ),( ),( )f x x f x x f x x? ? ? ?
0( ) 0fx?? ?
注,运用定理 10求极值也有它的局限性,
因为若 ?(x)在驻点 处的二阶导数 时,?(x)
在 处可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值,
如
这三个函数在 x = 0处就分别属于这三种情况,
从而当 时,定理 10失效,只能改用定理 9确定,
故定理 9比定理 10更普遍,(只需点连续即可 )
14
例 24 求函数 的极值, 23( ) ( 1 ) 1f x x? ? ?
( -,)? ? ?解 定 义 域 为
22
1 2 3,( ) 6 ( 1 ) 0 ( ) 1,0,1f x x x f x x x x? ? ? ? ? ? ? ?由 令 得 的 三
22( ) 6 ( 1 ) ( 5 1 )f x x x?? ? ? ?又 由 有( 0 ) 6 0f ?? ??
0, ( 1 ) ( 1 ) 0x f f?? ??? ? ? ? ?为 极 小 值 点 但
1 0, 1 9,x ??定 理 失 效 改 用 定 理
( 1,),( ) 0x U f x? ?? ? ?当 时 保 号
( 1,),( ) 0 x U f x? ???当 时 保 号
1 ( 0 ) 0,xf? ? ?故 不 是 极 值 点,故 只 有 极 小 值
15
o x
y
–1 1 ?
例 25 求函数 的单调区间和极值, () xf x e?
0 ( ),
0
x
x
exfx
ex?
? ??
? ?
?
而 (,)? ? ? ?解 定 义 域 为
0 0 0
( ) ( 0 ) 1 ( 0 ) l i m l i m l i m 1
0
x
x x x
f x f e xf
x x x? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?
?而
( 0 ) ( 0 ) ( ) 0,f f f x x???? ??故 即 在 处 不 可 导
0,( ) 0,0,( ) 0xxx f x e x f x e ???? ? ? ? ? ? ?当当
0 ( ),,:x f x?故 为 的 极 小 值 点 为 直 观 列 表 如 下
x 0
– 不存在 +
?(x) 极小值
(,0 )?? ( 0,)??
()fx?
00
( ) ( 0 ) 1( 0 ) l i m l i m 1
0
x
xx
f x f ef
xx??? ??
??? ? ? ?
?
16
由上表可看出,函数 ?(x)在区间 内单调递减,在
区间 内单调递增,且 ?(x)的极小值为
(,0)??
(0,)?? 0( 0 ) 1,fe??
二,函数的最值
在实际生活中常常遇到这样一类问题, 在一定条件下,
怎样使,,产品最省”“用料最省”“效率最低”等问题,
这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数的最大值和最
小值问题,
1.闭区间上连续函数的最大小值
由前知, 闭区间 [a,b]上连续函数 ?(x)的极值与最值是两个
不同的概念,由定义 1与第二章定理知,此函数 ?(x) 在 [a,b]
上一定有
最大值和最小值,
(1)如果最大值和最小值在区间的内部取得,那么这个最大值
(或最小值 )一定也是函数的极大值 (或极小值 ),从而
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(ii)若遇到不可微的点,也可能是极值点,故不可微点
也可能是最值点,
(2) ?(x)的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得,
因而可用如下的方法求 ?(x)在 [a,b]上的最大值和最小值,
(i)求出 ?(x)的全部驻点 以及连续不可导点
12,,,;nx x x 12,,,;nx x x
(ii)比较 的大小
1 2 1 2( ),( ),( ),,( ),( ),( ),,( ),( )nnf a f x f x f x f x f x f x f b
其中最大的便是 ?(x)在 [a,b]上的最大值,最小的便是 ?(x)
在 [a,b]上的最小值,
值点和最小值点在 ?(x)的驻点之中 ;
(i)对可微函数来讲,极值点一定是驻点,那么可微函数的最大
18
例 26 求函数 在 [0,3]上的最大值和最小值, 223( ) ( 2 )f x x x??
解 ?(x)在 [0,3]上连续,且其导数为
3 2
41( ),
3 2
xfx
xx
?? ?
?
从而函数 ?(x)的驻点为 x = 1,不可导点为 x = 2和 x = 0,
计算这三个点与端点的函数值得
3( 3 ) 9,f ?
比较这些函数值的大小,有 max?(x) = ?(3) =
min?(x) = ?(0) = ?(2) = 0
3 9
注,若 ?(x)在 [a,b]上为单调函数,则其最值只能在端点上达到,
?(0) = 0,?(1) = 1,?(2) = 0,
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(1)若 ?(x)在某区间内仅有一个可能极值点,则当
为极大 (小 )值点时,就是该函数在此区间上的最大 (小 )值 ;
0x 0x
0()fx
解决实际问题的步骤,
(2)在实际问题中,若由分析得知确实存在最大值或
最小值,而所讨论的区间内仅有一个可能的极值点,那么
这个点的函数值一定是最大值或最小值,
2,实际问题中的最大 (小 )值
在解决实际问题时应注意两点,
建立目标函数及其取值区间 求目标函数的最值,
20
例 27 求乘积为常数 a >0,而其和为最小的两个正数,
解 设两个正数为 x,y (x >0,y > 0),其和为 s = x + y
ay
x?
从而目标函数为
( ) ( 0 )as x x x
x
? ? ?
2( ) 1 0,
asx
x
? ??由 令 得12,x a x a? ? ?
??1 0,( ),,x x x s x x a? ? ?而 故 函 数 可 能 的 极 值 点 只 有 一 个
( ) 0,( ) 0x a s x x a s x??? ? ? ?
( ),s x x a?在 处 取 得 极 小 值( ),s x x a?在 取 得 最 小 值
,a a a乘 常 而 和 最 小 的 和
则由 x y = a 得
21
例 28,设圆柱形有盖茶缸容积 V为常数,求表面积为最小时,
底半径 r 与高 h 之比,
h
r
解 设表面积为 S,则目标函数为 222s r r h????
2
2
VV r h h
r? ???由得
3
2
22( ) 4 0
2
Vs r r r
r
?
?
? ? ? ?又 由 令 得 驻 点
3
2,
2
r
?
? 为可能的极值点,且唯一
3
3
4 ( ) 4 ( ) 0,
2
VVs r s
r
?
?
?? ??? ? ? ?而
3 ( ),
2
Vs r r
?
?故 在 处 取 得 极 小 值 从 而 取 得 最 小 值
2 2 ( ) 2 ( 0 )Vs r r r
r
?? ? ? ?目标函数
22
注,导数在经济上的应用 § 4.7中重点讲解, 最后来介绍
最值与极值在不等式证明中 的应用,
例 29 2
0 s i n,
2
x x x?
?
? ? ?当 时, 证 明
23
2
( )
2
V
hr
V
?
?
??此 时 化 简 可 得
1,
2即半径与高之比为 时茶缸表面积最小
2 ( ) s i nf x x x
???令
2 ( ) [ 0,],( ) c o s ( 0 )f x f x x x??
?
? ? ? ? ?则 在 上 连 续 且
1
2
r
h
?
证
23
2 ( ) 0,a r c c o sf x x
?
? ??由 得 唯 一 驻 点
2a r c c o s ( ),x f x
?
?? 是 的 最 大 值 点
( ) 0,( 0 ) ( ) 02f x f f ???又 在 区 间 端 点 的 值 为 即
[ 0,],m i n ( ) 02 fx???在 上 有
( ) s i n 0 ( 0 )
2
f x x x ??? ? ? ? ? ?
2 ( 0,),( ) 0,s i n ( 0 )
22f x x x x
??
?? ? ? ?故 在 内 有 即
