1
定理 3,设函数 ?(x) 与 g(x) 在点 x 处可导,则
2
( 1 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )
( 2 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 3 ) ( ( ) 0 )
() ()
f x g x f x g x
f x g x f x g x f x g x
f x f x g x f x g x
gx
gx gx
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?
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????
??
§ 3.2 导数的四则运算法则
问题,由导数定义求函数导数,繁 !下面推出导数的
运算法则,利用简单函数的导数,便可求出任何初等
函数在其定义域内的导数,
2
( 1 ), ( ) ( ),
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]
y f x g x
y f x x g x x f x g x
xx
??
? ? ? ? ? ? ? ?
?
??
证 令 则
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]f x x f x g x x g x
xx
? ? ? ? ? ???
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00
0
( ) ( )
l i m l i m
( ) ( )
l i m ( ) ( )
xx
x
y f x x f x
xx
g x x g x
f x g x
x
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[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),f x g x f x g x? ? ?? ? ?即
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),f x g x f x g x? ? ?? ? ?同 理 可 证
3
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),f x x f x g x x g xg x x f x
xx
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??
0 0 0
0
( ) ( )
l i m l i m l i m ( )
( ) ( )
( ) l i m
x x x
x
y f x x f x
g x x
xx
g x x g x
fx
x
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由可导必连续有
( ) ( ) ( ) ( ) ;f x g x f x g x????
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ),f x g x f x g x f x g x? ? ?? ? ?即
( ) ( ) ( ) ( ) y f x x g x x f x g x
xx
? ? ? ? ? ? ? ??
??
则
( 2 ) ( ) ( ),y f x g x??令
4
()
( 3 ),
()
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
fx
y
gx
y f x x g x f x g x x
x g x g x x x
?
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?
? ? ? ?
令
则
00
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]l i m l i m
( ) ( )xx
y f x x f x g x f x g x x g x
x g x g x x x? ? ? ?
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? ? ? ?
2
( ) ( ) ( ) ( )
()
f x g x f x g x
gx
????
推论 1
11
[ ( ) ] ( ) ;
nn
ii
ii
f x f x
??
????? [ ( ) ] ( ),u x C u x????特 别 要 注 意
5
1 2 1 2 1 2
1
[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
n
i n n n
i
f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x
?
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例 5.已知
2
2 1 0 03 l n 3 c o s s i n,
2 x
dyy x x x a
dx ?
?
?
? ? ? ? ? 求
2
1 ( )( 3 ) ( ) 1 [ ]
() ()
gxfx
gx gx
??? ? ?中 的 时,
[ ( ) ] ( ),C u x C u x???特 别 要 注 意
3 2 3 s i ndy xx
d x x? ? ?解
2 2
362 3 s i n 3
22x
dy
dx ? ?
?? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
推论 2
6
例 6.求下列函数的导数
3
3
( 1 ) l o g ( 2 ) ( ) l n s i n
( 3 ) t a n ( 4 ) s e c
1 c o s
( 5 )
1
y x x f x x x x
y x y x
x
y
x
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??
?
?
?
( 2 ) ' ( ) ( l n s i n ) 'f x x x x??
3
3( 1 ) ' ( l o g ) 'y x x??
2
3
13 + l o g xe
x
?
l n s i n s i n l n c o sx x x x x x? ? ? ? ?
7
s i n
( 3 ) ( t a n )
c o s
x
x
x
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???
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??
1
( 4 ) ( s e c )
c o s
x
x
?
??? ?
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2
( 1 c o s ) ( 1 ) ( 1 c o s ) ( 1 )( 5 )
( 1 )
x x x xy
x
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?
2
( s i n ) c o s s i n ( c o s )
c o s
x x x x
x
???
?
22
2
2
c o s s i n s e c
c o s
xx x
x
???
2
( c o s )
c o s
x
x
???
2
s i n t a n s e c
c o s
x xx
x
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,( c s c ) c o t c s cx x x? ? ? ?同 理
2
( 1 ) s i n ( 1 c o s ),
( 1 )
x x x
x
? ? ??
?
2,( c o t ) c s cxx? ??同 理
8
例 7.设函数
( 2 ) ( ) ( ),
( 1 ) ( 2 ) ( )
x x ngx
x x x n
???
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解 令
( 1 ) ( 2 ) ( )( ),( 1 ),
( 1 ) ( 2 ) ( )
x x x nf x f
x x x n
? ? ? ??
? ? ?
求
( ) 1 ( ) ( 1 ) ( )g x x f x x g x? ? ?从 而 在 处 可 导,则
( ) [ ( 1 ) ( ) ] ( ) ( 1 ) ( )f x x g x g x x g x? ? ?? ? ? ? ? ?
1 1( 1 ) ( 1 ) 0 ( 1 ) ( 1 ),
( 1 )
nf g g
nn
???? ? ? ? ? ?
?
此例将在讲解复合函数的求导法则之后用对数求导法
来讲解,
P99.3题
21 1 2 3 nf ( x ) x x n x ?? ? ? ? ?令 23 ( 1 )()
1
n
n xxx x x x
x
?
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定理 3,设函数 ?(x) 与 g(x) 在点 x 处可导,则
2
( 1 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )
( 2 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 3 ) ( ( ) 0 )
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f x g x f x g x f x g x
f x f x g x f x g x
gx
gx gx
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????
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§ 3.2 导数的四则运算法则
问题,由导数定义求函数导数,繁 !下面推出导数的
运算法则,利用简单函数的导数,便可求出任何初等
函数在其定义域内的导数,
2
( 1 ), ( ) ( ),
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]
y f x g x
y f x x g x x f x g x
xx
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?
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证 令 则
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0
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l i m l i m
( ) ( )
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x
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f x g x
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[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),f x g x f x g x? ? ?? ? ?即
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),f x g x f x g x? ? ?? ? ?同 理 可 证
3
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),f x x f x g x x g xg x x f x
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0 0 0
0
( ) ( )
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( ) ( )
( ) l i m
x x x
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由可导必连续有
( ) ( ) ( ) ( ) ;f x g x f x g x????
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ),f x g x f x g x f x g x? ? ?? ? ?即
( ) ( ) ( ) ( ) y f x x g x x f x g x
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4
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( ) ( ) ( ) ( )
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推论 1
11
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ii
ii
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5
1 2 1 2 1 2
1
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i n n n
i
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例 5.已知
2
2 1 0 03 l n 3 c o s s i n,
2 x
dyy x x x a
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? ? ? ? ? 求
2
1 ( )( 3 ) ( ) 1 [ ]
() ()
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??? ? ?中 的 时,
[ ( ) ] ( ),C u x C u x???特 别 要 注 意
3 2 3 s i ndy xx
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2 2
362 3 s i n 3
22x
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推论 2
6
例 6.求下列函数的导数
3
3
( 1 ) l o g ( 2 ) ( ) l n s i n
( 3 ) t a n ( 4 ) s e c
1 c o s
( 5 )
1
y x x f x x x x
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2
3
13 + l o g xe
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l n s i n s i n l n c o sx x x x x x? ? ? ? ?
7
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( 3 ) ( t a n )
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1
( 4 ) ( s e c )
c o s
x
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2
( 1 c o s ) ( 1 ) ( 1 c o s ) ( 1 )( 5 )
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x
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2
( s i n ) c o s s i n ( c o s )
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x x x x
x
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22
2
2
c o s s i n s e c
c o s
xx x
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( c o s )
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2
( 1 ) s i n ( 1 c o s ),
( 1 )
x x x
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2,( c o t ) c s cxx? ??同 理
8
例 7.设函数
( 2 ) ( ) ( ),
( 1 ) ( 2 ) ( )
x x ngx
x x x n
???
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解 令
( 1 ) ( 2 ) ( )( ),( 1 ),
( 1 ) ( 2 ) ( )
x x x nf x f
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求
( ) 1 ( ) ( 1 ) ( )g x x f x x g x? ? ?从 而 在 处 可 导,则
( ) [ ( 1 ) ( ) ] ( ) ( 1 ) ( )f x x g x g x x g x? ? ?? ? ? ? ? ?
1 1( 1 ) ( 1 ) 0 ( 1 ) ( 1 ),
( 1 )
nf g g
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此例将在讲解复合函数的求导法则之后用对数求导法
来讲解,
P99.3题
21 1 2 3 nf ( x ) x x n x ?? ? ? ? ?令 23 ( 1 )()
1
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n xxx x x x
x
?
?? ?
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