1
§ 6.5 广义积分
前面讨论的定积分不仅要求积分区间 [a,b]有限,而且
还要求被积函数 ?(x)在 [a,b]上有界, 然而实际还经常遇到
无限区间或无界函数的积分问题, 这两类积分统称为广义
积分, 其中前者称为无穷积分,后者称为瑕积分,
对于广义积分的计算是以极限为工具来解决的,即先
将广义积分转化为定积分,再对该定积分求极限,
一,无穷积分
形如
( ),( ) ( )ba f x d x f x d x f x d x? ? ? ?? ? ? ?? ? ?和的积分,统称为无穷积分,
2
不再表示数值了,无穷积分没有意义,
l i m ( )bab f x d x? ? ? ? ()
a
f x d x???
()a f x d x??? ()a f x d x
???
定义 2 设 ?(x)在 [a,+∞)上连续,且当 b>a 时,若极限
收敛 ; 否则,
发散,
存在,则称无穷积分
就称无穷积分 此时记号
注 1 若
注 2 类似地可定义
( ) l i m ( ) ( ),bb a
a
f x d x f x d x a b??
? ? ?
????
( ) ( ) ( ) ( (,) )c cf x d x f x d x f x d x c? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?而
则只有无穷积分 ( ) ( ) c
cf x d x f x d x
??
???? 和
同时收敛时,才有
收敛, ()f x d x??
???
( ) ( ) l i m ( ),ba a a
b
f x d x f x d x f x d x? ? ? ?
? ? ?
?? ? ?收 敛,则 有 存 在
3
例 17 计算广义积分
2(1 ) 1
dx
x
??
?? ??
0
2 2 20 1 1 1
d x d x d x
x x x
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ?? ? ?
解
00
22 l i m11 aa
d x d x
xx?? ? ? ??????而
2200 l i m11
b
b
d x d x
xx
??
? ? ?
?????同理
0
l i m [ a r c t a n ]
a
x
a? ? ?
? l i m a r c t a n ( )22
a
a ??
? ? ?
? ? ? ? ? ?
l i m [ a r c t a n ] l i m a r c t a n0 2
bb
bxb ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
2 221
dx
x
?? ???
??
? ? ???故
4
00 b
l i m bp t p tt e d t t e d t?? ??
? ? ?
???解
0b
1 l i m b ptt d e
p
?
? ? ?
?? ?
0b
1 l i m [
0
bp t p tbt e e d t
p
??
? ? ?
? ? ? ?
2bb
1l i m l i m
0
b p p t bb ee
p p
??
? ? ? ? ? ?
? ? ?
22bb
11l i m l i mb p p bb ee
p pp
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
2b
1l i m bpb e
p p
?
? ? ?
? ? ?
2b b b
1 l i m l i m ( " " ) l i m 0bp
b p b p
bbe
p p e p e
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ?
?而
20
1 ptt e d t
p
?? ? ??故
0( 2 ) ( 0 )
ptt e d t p?? ? ??
5
例 18 讨论无穷积分
( 0 ),p
a
dx a
x
?? ?? 的敛散性
解 当 p =1时,
l n,x
a
?? ? ? ??简记为
而当 p ≠ 1时,
1
1
p
pa
d x x
axp
??? ??
?
??
当 p > 1时,
p
a
dx
x
???
p
a
dx
x
???
重要结论,
收敛 ;
发散, 当 p ≤ 1时,
p
aa
d x d x
xx
? ? ? ????
1
,1
,1
1
p
p
a
p
p
?
? ? ??
?
? ?
??
??
6
若 ?(x)在 [a,b]上有无界点 (即无穷间断点 ),则称积分
()ba f x d x?
二,瑕积分
为瑕积分,并称 ?(x)的无界点为瑕点,
l i m ( ),xa fx?? ??
0
l i m ( ),b
a
f x d x
?? ? ?? ?
存在 ()
b
a f x d x?
( ),b
a
f x d x? 发散
注 3 若瑕点为 a 的积分
()ba f x d x?
0
( ) l i m ( )bbaaf x d x f x d x?
? ? ??
???
()ba f x d x?
定义 2 设 ?(x)在 (a,b]上连续,且
则称瑕积分
不再表示数值了,从而没有意义,
ε>0,总有极限
若对于任给的
存在,
收敛 ; 否则,称瑕积分 此时的瑕积分
收敛,则
7
注 4 类似地可定义瑕点在积分区间的右端点 b和内点
()ba f x d x?
0
( ) l i m ( ),bbaaf x d x f x d x?
? ?
?
?
???(1)若瑕点为 b,则定义
(2)若瑕点为 c(a<c<b),则定义
1
21200
( ) l i m ( ) l i m ( ),b c b
a a c
f x d x f x d x f x d x?
?????
?
???
??? ? ?
的敛散性,即 c(a<c<b)时,瑕积分
例 19 计算瑕积分
0 22
( 1 ) ( 0 )
a dx
a
ax
?
??
22
1l i m
xa ax??
? ? ?
?
解因
2 2 2 200 0
l i maad x d x
a x a x
?
? ?
?
?
?
????
则
8
20
1l i m,
x x?
??解因
0
2211 0 l i m
d x d x
xx
?
? ?
?
???
???则
01
2211,.
d x d x
xx????则 瑕 积 分 发 散 从 而 发 散
1 0 1
2 2 21 1 0
d x d x d x
x x x????? ? ?而
0
1l i m ( )
1x?
?
??
?
? ? ? ? ?
?
例 20 讨论瑕积分
()
b
pa
dx
xa??
1
21
1( 2 ) dx
x??
的敛散性,
0
l i m a r c s i n
0
ax
a?
?
??
?
?
0
l i m a r c s i n a r c s i n 1,2a a
?
??
??
?? ? ?
9
而当 p ≠ 1时,
0
()l i m
( ) ( )
bb
ppaa
d x d x a
x a x a?? ? ??
??
????
重要结论,
()
b
pa
dx
xa?? ()
b
pa
dx
xa??
1
0
()l i m
1
p bxa
ap? ??
?
?
??
??
11
0
()l i m [ ]
11
ppba
pp?
?
?
??
?
???
??
当 p≥1时,发散, 当 p<1时,收敛 ;
解 因 x = a为瑕点,而当 p = 1时,
()()
bb
paa
d x d x
xaxa ? ???? 0
()l i m
()
b
a
d x a
xa?? ? ??
??
?? 0l i m l n ;
bxa
a? ???? ? ? ? ??
1()
,1
1
,1
pba
p
p
p
?? ?
??
? ??
? ? ? ?
?
10
下面介绍两个在数学、物理等许多领域中都有广泛应用的
特殊积分 — Γ函数和 β函数,这两个函数也称为欧拉 积分,
三,两个重要的广义积分
1,Γ函数
定义 4 参变量 s的函数
注 6 1sxs x e d x?? ???? ?
0()
注 7 在定义 4中,若令 2,xt?
221
0
( ) 2 sts t e d t?? ???? ?
1
0( ) ( 0 )
sxs x e d x s?? ??? ? ??
注 5 当 s > 0时,定义 4中的广义积分收敛,(证明略 )
也 是一个 (瑕点为 x = 0)瑕积分,
称为 Γ函数,
不仅是个无穷积分,而且当 s <1时
则有 Γ 函数的另一形式,
11
0
( 1 ) sxs x e d x?? ?? ? ? ?证
1
00
0
bbs x s x s xb
x e d x x e s x e d x? ? ? ?? ? ???而
(1) 递推公式, Γ(s+1) = sΓ(s) (s>0),
注 8 Γ函数的基本性质,
0b
l i m b sxx e d x?
? ? ?
? ?
特别地,
0
( 1 ) 1xe d x?? ?? ? ??
1
0
( 1 ) l i m b sx
b
s s x e d x??
? ? ?
? ? ? ?
b
l i m [ ]
0
sx bxe ?
? ? ?
??且
1
0
()sxs x e d x s s?? ??? ? ??
b
l i m 0 0
s
b
b
e? ? ?? ? ?
12
(3) 余元公式,
( ) ( 1 ) ( 0 1 )s i ns s ss? ?? ? ? ? ? ?
特别地, 11
,( )22s ?? ? ?令 有
( 2 ) 0,( )ss?? ? ? ? ?当时
( 1 )( ),( 1 ) 1ss
s
??? ? ? ?
Γ(s)在任意一点 s>0处的函数值都可通过递推公式逐步
减小 s,直到 0<s<1,而 Γ(s)在 (0,1)内的函数值可查表得到,
反复用递推公式,则有 Γ(n + 1) = n!
13
例 21 计算下列各式的值, ( 5 )
( 1 ) 3 ( 3 )??
( 5 ) 4 ! 4
3 ( 3 ) 3 2 !
? ??
??解
7 5 5
( ) ( )
2 2 2
3 1 1
( ) ( )
2 2 2
??
?
??
解
5 3 1 1
()
152 2 2 2
11 4
()
22
? ? ?
??
?
7
()
2 ( 2 )
3
()
2
?
?
例 22 计算下列积分
2
0( 1 )
xx e d x?? ??
2 3 1
00
( 1 ) xxx e d x x e d x? ? ? ?? ? ????解 ( 3 ) 2 ! 2? ? ? ?
14
2
0 ( 2 ),
xx t e d x?? ?? ?解 令 则
此积分是概率论中常用的积分,
1
2
0
1
2
tt e d t??? ?? ?
1 1
2
0
1
2
tt e d t?? ? ?? ?
2
0 ( 2 )
xe d x?? ??
11()
2 2 2
?? ? ?
15
定义 5 参变量 p, q的函数 1 11
0(,) ( 1 )
pqp q x x d x? ?????
注 9 当 p>0且 q>0时,定义 5中的广义积分收敛,(证明略 )
注 10 在定义 5中,若令 2s i n,xt?
2 2 1 2 1
0(,) 2 ( s i n ) ( c o s )
pqp q t t d t?? ??? ?
2,β函数
注 11 β函数的几个常用性质,
(1) 对 p, q具有对称性,即 β(p,q)= β(q,p),
称为 β函数,
则有 β函数的另一形式,
16
(2) 递推公式,
1
( 1,) ( 1 )
1
(,)
1
(,1 ) ( 1 )
1
p
p q p
pq
pq
q
p q q
pq
?
?
?
??
??
? ??
?
? ?
??
??
? ???
通过递推公式逐步减小 p或 q,直到其不大于 1为止,
( ) ( )( 3 ) (,)
()
pqpq
pq?
???
??
特别地, β(?,?) = π
17
例 23.用欧拉函数表示下列积分并求值,
2 4
200( 1 ) ( 2 ),( 1 )
t xe d t d x
x
? ? ? ??
???
122 221
00( 1 )
tte d t t e d t? ? ? ? ???????解
74
2 4
200 ( 2 ) ( ),( 1 ) 1
xxd x x d x? ? ? ? ??
????
,11xuux????令 则 且
1 1 1()
2 2 2 ?? ? ?
11
44
4 1
200 ( 1 )( 1 )
x d x u u d u
x
?? ???
???
2,(1 )
dudx
u? ?
531
0 ( 1 )u u d u
?????
53( ) ( )
44
( 2 )
??
?
?
1 1 3( ) ( )
4 4 4? ? ? 4
12
4 s i n 4?
????
53(,)
44??
18
广义积分的敛散性可通过定义 2与 3的计算结果来讨论 ;
下面给出广义积分的敛散性的定性判别法,
定理 10 若 ?(x)≥0,则 ()
a f x d x
???
( ) ( )xaF x f t d t? ?
而由 F(x)在 [a,+∞)上的有界性知 F(x)必有极限,即
( ) ( ) 0F x f x? ??
四,广义积分的敛散性判别法
1.无穷积分敛散性判别法
证 必要性显然成立, 下证充分性,
因 知,F(x)在 [a,+∞)上单调增加 ;
收敛的充要条件是
在 [a,+∞)上有界,
19
()a g x d x??? ()a f x d x???
()a f x d x??? ()a g x d x???
大收小收 ;小发大发,
存在,由定理 10有
定理 11(比较判别法 )若函数 ?(x)与 g(x)在 [a,+∞)上连续,
0≤?(x)≤g(x) x∈ [a,+∞)
则 (1) 当
(2) 当
收敛时,有 收敛 ;
发散时,有 发散,
l i m ( ) l i m ( )xaxxF x f t d t? ? ? ? ? ?? ?
且有