1
§ 8.1 预备知识
§ 8.2 多元函数的概念
§ 8.3 偏导数
§ 8.4 全微分及其应用
§ 8.5 多元复合函数的微分法
§ 8.6 隐函数的微分法
§ 8.8 二元函数的极值与最值
第八章 多元函数的微分法及其应用
(,)z f x y?
2
z
b
x
y
O
a
c
第八章 多元函数的微分法及其应用
下面在一元函数微分法的基础上,来研究多元函数
的微分法, 因从一元函数到二元函数将会面临一些新问
题,而从二元函数到二元以上的多元函数,可完全类推 ;
需首先介绍一些空间
故下面主要研究二元
要研究多元函数,
现就必备知识作
解析 几何 知识,
简单介绍,
函数的微分法及其应用,
3
§ 8.1预备知识
要求大家了解空间解析几何的初步知识,下面仅简
要地介绍有关解空间解析几何的一些基本概念,
1.空间直角坐标系及空间中的点与坐标
一, 空间解析几何简介
其几何直观,如图,
o x o y o z、、
.oz
oxyz
过空间中的一个定点 O,作三条相互垂直的 直 线
再规定一个长度单位和按照右手螺旋法则去确定
的正方 向,就构成
一个空间直角坐标系,并记为
O
1
2
3
1 2
3 1 2 3
x
y
z
ox oy、、
4
oxyz
o x o y o z、及
O
1
2
3
1 2
3 1
2 3
x
y
z 在空间直角坐标系 中,点 O
称为坐标原点 ;
分别称为 x轴 (横轴 ), y轴 (纵轴 )及
z轴 (竖轴 ),并统称为坐标轴,
任意两条坐标轴构成的平面称为坐标面,分别简称为
xy平面,yz平面及 zx平坐标面 ; 且它们将空间分割成
八个部分,称每一个部分为一个卦限,
5
x
y
z
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
以后依次称为第 Ⅵ, Ⅶ, Ⅷ 卦限,
把含三个坐标轴正方向的那个卦限为第一卦限,如图,
在 xy坐标平面的上部,依次称为第 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ 卦限,
在 xy坐标平面的下部与第一卦限相对应的称为第 Ⅴ 卦限 ;
6
对于空间中的任意点 M,过点 M作三个平面分别垂直于
的 坐标依次为 x,y,z;
z
y O
x P
Q
R
M
x
y
z
在建立了空间直角坐标系后，就可以建立空间的 点
与有序数组 (x,y,z)之间的对应关系,
且与 x轴,y轴,z轴的交点依次为 P,Q,三条坐标轴,
R.(如图 )
P,Q,R三点在三个坐标轴上
定了一个三元有序数组
这样空间的点 M就唯一确
(x,y,z),
7
把 x,y,z称为点 M的横坐标,
纵坐标及竖坐标,记为 M (x,y,z),
反之,对于任给的三元有序
数组 (x,y,z),可依次在 x 轴,y
轴,z轴上分别找出坐标为
z
y
O
x P
Q
R
M
x
y
z
这样空间任一点 M和一个三元有序数组 (x,y,z)建立了
并把有序数组 (x,y,z) 称为点 M的空间直角坐标,并依次
这三个平面的交点 M,就是以数组 (x,y,z)为坐标的点,
x,
y,z 的三点 P,Q,R,
然后过此三点作是三个平面分别垂直于 x轴,y轴,z轴,
一 一对应关系,
8
x
y
z
yz面上点的坐标为 (0,y,z)
x轴上点的坐标为 (x,0,0)
y轴上点的坐标为 (0,y,0)
z轴上点的坐标为 (0,0,z)
xy面上点的坐标为 (x,y,0)
xz面上点的坐标为 (x,0,z)
由以上规定知道,
坐标原点 O的坐标为 (0,0,0)
9
二,空间任意两点间的距离
1 1 1 1(,,)M x y z 与 2 2 2 2(,,)M x y z,
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ),d M M x x y y z z? ? ? ? ? ? ?
给定空间两点
这两点间的距离 d为
可证明
这与平面解几中两点间的距离公式是一样的,
过 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面,
12,MM
10
z
y
O
x
1x
2x
1y 2y
1M
2M
3M
d
1m
3m
向 xy面投影,并设点
12MM
12,MM
13,.mm
22
1 3 2 3m m M M??
2 2 2
1 2 1 3 2 3M M M M M M??则
这六个平面围成一个以 为对角线的长方体 ;
(如图 )
在 xy面的垂足各为
11
2 2 2
1 3 2 1 2 1m m x x y y? ? ? ?而
22
2 3 2 1M M z z??且；
12
2 2 2
2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )
d M M
x x y y z z
?
? ? ? ? ? ?
特别地,空间任一点 M(x,y,z)
2 2 2O M x y z? ? ?
例 1 已知两点 (-1,0,2),(3,-2,4),求此两点间的距离,
2 2 2 ( 3 1 ) ( 2 0 ) ( 4 2 ) 2 4 2 6d ? ? ? ? ? ? ? ? ?解
z
y O
x
1x
2x
1y 2y
1M
2M
3M
d
1m
3m到原点 O的距离为
12
与平面解几相仿,空间解几利用
定义 1 若曲面 S上任意一点的坐标
z
y O
x
M(x,y,z)
P(x,y)
下面来解决关于曲面的两个基本问题,
三,空间曲面与方程
空间坐标法,把由点构成的几何图形
和代数方程联系起来,
则称方程 F(x,y,z)=0为曲面 S的方程,而称曲面 S为方程
都 满足方程 F(x,y,z)=0； 而不在曲面
S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0,
F(x,y,z)=0的图形,(如上图 )
1,巳知曲面的几何轨迹,建立曲面的方程
S
13
例 2 一动点 M( x,y,z)与两定点 A(-1,0,4)和 B(1,2,-1)的
M A M B?解因
2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 4 ) ( 1 ) 2 ( 1 )x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（）
4 4 1 0 1 1 0x y z? ? ? ? ?
故 M( x,y,z)的轨迹方程
x z面的方程为 y = 0
距离相等,求此动点 M的轨迹方程,
(即 A,B两点连线的垂直平分
面的方程 )为 4 4 1 0 1 1 0x y z? ? ? ?
因 x y平面上任意一点的坐标满足 z = 0； 而凡满足 z = 0的
点又都在 x y平面上； 故坐标平面的方程分别为
x y面的方程为 z = 0 y z面的方程为 x = 0
14
平行于 xy面的平面方程为 z = c(c为常数,表示此平面
平行于 yz面的平面方程为 x=a(a为常数,表示此平面
平行于 xz面的平面方程为 y=b(b为常数,表示此平面
Ax + By + Cz + D = 0
重要结论, 平面方程均为一次方程,
其中 A,B,C,D均为常数,且 A,B,C不全为 0,
在 z 轴上的截距 )
在 y 轴 上的截距 )
在 x 轴 上的截距 )
一般地,x,y,z的三元一次方程所表示的图形均是平面,
空间平面方程的一般形式为
15
0,M M R? 则
2 2 2
0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z R? ? ? ? ? ?
2 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z R? ? ? ? ? ? ?
z
y
O
x
R
2 2 2 2x y z R? ? ?
例 3 求球心在点 半径为 R的球面方程,
0 0 0 0(,,),M x y z
(,,),(,,)M x y z M x y z解 设 球 面 上 任 意 一 点 为 则 动 点 与
间的长度为
特别地,以原点为 球 心,R为半径的球面方程为;是此球面的上半部
.是此球面的下半部
0 0 0 0(,,)M x y z定 点 之
2 2 2z R x y? ? ? ?
2 2 2z R x y? ? ?则
16
2,巳知曲面的方程,研究方程的图形
通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面 ;至于
会 得出曲面 S的全貌 —— 这种方法称为
一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定,
一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状,
但若依次用平行于坐标面的平面 x = a,y = b和 z = c去截
曲面 S，则可得一系列的截口曲线； 再将它们综合起来就
例 4 考察下列的图形方程,
(1) 2x- z=0 (2) 2x+y+2z=4 2 2 2( 3 ) x y R??
“平行截口” 法,
2( 5 ) 4,x ?22( 4 ) z x y??
17
即用平行于 xz面的任何平面
20xz
ya
???
? ?
?
与 x z面的交线为 2x- z = 0
z
O
x
y
是直线
故该方程的图形是经过 y轴且
且 过原点的平面,
解 (1)由方程 2x- z = 0不含 y知,D = 0,则曲面过原点,
且无论 y 取何值,都有 2x- z = 0
Y = a去截曲面，其截痕都
18
—— 此即为平面的截距式方程,
1 1 1 1
2 4 2x y z? ? ?
它与 x,y,z轴的交点分别为 (2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),
解 由方程 2x + y + 2z = 4有
(2) 2x + y + 2z = 4
z
y O
x 2
4
2
19
2 2 2( 3 ) x y R??
半径为 R的圆,
2 2 2x y R??
在空间，因方程 2 2 2x y R??
2 2 2
,
x y R
zc
? ??
?
??
z
y
x
且圆的大小与 c无关,
o
解 在 xy面上，方程 表示以原点为圆心,
用 平面 z=c去截曲面，其截口线为
不含 z，则 z可 取 任意值,
圆
20
z
y
x
o
用 平面 x = a去截曲面,其截痕为直线
22y R a
xa
?? ? ? ?
?
???
21
22x R a
yb
?? ? ? ?
?
???
z
y
x o
用 平面 y = b去截曲面,其截痕为直线
注 1 xy面上,定圆曲线 2 2 2x y R??
的一个圆柱面,
2 2 2x y R??
平行于 z轴的直线
叫做此圆柱面的
故该曲面为母线平行于 z轴、准线为圆周
准线,叫做此圆柱面的母线,
22
22( 4 ) z x y??
解 用 平面 z=c(c≥0)去截曲面,其截痕为圆 22x y c??
当 c=0时,只有原点 (0,0,0)满足此方程；
c
若用 平面 x=a或 y=b去截曲面,其截痕为
当 c>0时,其截痕为以 (0,0,c)为圆心,
显然 c越大，其截痕圆越大, z
x
以 半径为 R的圆,
抛物线,
23
曲线 L称为此旋转曲面的母线,
l
l
故曲面 是 一个旋转抛物面 (如图 ),22??z x y
z
x
注 2 如果有一条平面曲线 L，绕着同一平面内一条
已知直线 旋转一周形成的曲面称为 旋转曲面,
L l
已知直线
旋转曲面的轴,
称为此
24
称为 2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b c? ? ?
注 3 方程 所确定 的曲面,
椭球面 (如图 ) z
b
x
y O
a
c
解 因方程缺 y,z,
2( 5 ) 4x ?
平面 且 分别 过点 (2,0,0)或 (-2,0,0)的 两个 平面,
则等价于方程的图形是平行于 y z
注 4 在空间解几中,若方程缺一个变量,
则其图形必平行
则其图形必
平行于坐标轴 ; 若方程缺两个变量,
于坐标面,
25
四, 平面上的区域
在讨论一元函数时,常用邻域和区间的概念, 本章讨
论 多 元函数时,也要 用 到 邻域和区 域 的概念, 故下面将一
元函数的邻域和区 间 的概念加以推广,
1,邻域
000(,)P x y与
? ?220 0 0(,) (,) ( ) ( )N P x y x x y y??? ? ? ? ?
?间的距离小于
000(,) 0,P x y x y ? ?设 是 平 面 上 的 一 个 点,
0,P ?为 点 的 邻 域 并 记 为(,)P x y的 点 的 全 体
0(,),NP ? 即
平面上
26
0(,)NP ? 的几何意义为：
00 ?,(,),P N P??点 的 去 心 邻 域 通 常 记 为 即
? ?220 0 0? (,) (,) 0 ( ) ( )N P x y x x y y??? ? ? ? ? ?
000(,)
.
x y P x y ?平 面 上 以 点 中 心, 以 长 为 半 径 的 圆 的 内
部所有点构成的一个二维点集
,0P
?
x
y
。
27
平面上的区域，通常用字母 D,G… 表示 。
2,区 域
在空间直角坐标系中，整个 xy平面和由一条或几条
曲线所围成的 xy平面的一个部分称为区域。 围成区域的
的曲线，称为区域的边界。 包含全部边界的区域，称为
闭 区域； 不包含边界的区域，称为 开 区域； 只包含部分
边界的区域，称为 半开半闭 区域。 可被一个充分大的圆
包围的区域，称为有界区域； 否则称为无界区域。
§ 8.1 预备知识
§ 8.2 多元函数的概念
§ 8.3 偏导数
§ 8.4 全微分及其应用
§ 8.5 多元复合函数的微分法
§ 8.6 隐函数的微分法
§ 8.8 二元函数的极值与最值
第八章 多元函数的微分法及其应用
(,)z f x y?
2
z
b
x
y
O
a
c
第八章 多元函数的微分法及其应用
下面在一元函数微分法的基础上,来研究多元函数
的微分法, 因从一元函数到二元函数将会面临一些新问
题,而从二元函数到二元以上的多元函数,可完全类推 ;
需首先介绍一些空间
故下面主要研究二元
要研究多元函数,
现就必备知识作
解析 几何 知识,
简单介绍,
函数的微分法及其应用,
3
§ 8.1预备知识
要求大家了解空间解析几何的初步知识,下面仅简
要地介绍有关解空间解析几何的一些基本概念,
1.空间直角坐标系及空间中的点与坐标
一, 空间解析几何简介
其几何直观,如图,
o x o y o z、、
.oz
oxyz
过空间中的一个定点 O,作三条相互垂直的 直 线
再规定一个长度单位和按照右手螺旋法则去确定
的正方 向,就构成
一个空间直角坐标系,并记为
O
1
2
3
1 2
3 1 2 3
x
y
z
ox oy、、
4
oxyz
o x o y o z、及
O
1
2
3
1 2
3 1
2 3
x
y
z 在空间直角坐标系 中,点 O
称为坐标原点 ;
分别称为 x轴 (横轴 ), y轴 (纵轴 )及
z轴 (竖轴 ),并统称为坐标轴,
任意两条坐标轴构成的平面称为坐标面,分别简称为
xy平面,yz平面及 zx平坐标面 ; 且它们将空间分割成
八个部分,称每一个部分为一个卦限,
5
x
y
z
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
以后依次称为第 Ⅵ, Ⅶ, Ⅷ 卦限,
把含三个坐标轴正方向的那个卦限为第一卦限,如图,
在 xy坐标平面的上部,依次称为第 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ 卦限,
在 xy坐标平面的下部与第一卦限相对应的称为第 Ⅴ 卦限 ;
6
对于空间中的任意点 M,过点 M作三个平面分别垂直于
的 坐标依次为 x,y,z;
z
y O
x P
Q
R
M
x
y
z
在建立了空间直角坐标系后，就可以建立空间的 点
与有序数组 (x,y,z)之间的对应关系,
且与 x轴,y轴,z轴的交点依次为 P,Q,三条坐标轴,
R.(如图 )
P,Q,R三点在三个坐标轴上
定了一个三元有序数组
这样空间的点 M就唯一确
(x,y,z),
7
把 x,y,z称为点 M的横坐标,
纵坐标及竖坐标,记为 M (x,y,z),
反之,对于任给的三元有序
数组 (x,y,z),可依次在 x 轴,y
轴,z轴上分别找出坐标为
z
y
O
x P
Q
R
M
x
y
z
这样空间任一点 M和一个三元有序数组 (x,y,z)建立了
并把有序数组 (x,y,z) 称为点 M的空间直角坐标,并依次
这三个平面的交点 M,就是以数组 (x,y,z)为坐标的点,
x,
y,z 的三点 P,Q,R,
然后过此三点作是三个平面分别垂直于 x轴,y轴,z轴,
一 一对应关系,
8
x
y
z
yz面上点的坐标为 (0,y,z)
x轴上点的坐标为 (x,0,0)
y轴上点的坐标为 (0,y,0)
z轴上点的坐标为 (0,0,z)
xy面上点的坐标为 (x,y,0)
xz面上点的坐标为 (x,0,z)
由以上规定知道,
坐标原点 O的坐标为 (0,0,0)
9
二,空间任意两点间的距离
1 1 1 1(,,)M x y z 与 2 2 2 2(,,)M x y z,
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ),d M M x x y y z z? ? ? ? ? ? ?
给定空间两点
这两点间的距离 d为
可证明
这与平面解几中两点间的距离公式是一样的,
过 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面,
12,MM
10
z
y
O
x
1x
2x
1y 2y
1M
2M
3M
d
1m
3m
向 xy面投影,并设点
12MM
12,MM
13,.mm
22
1 3 2 3m m M M??
2 2 2
1 2 1 3 2 3M M M M M M??则
这六个平面围成一个以 为对角线的长方体 ;
(如图 )
在 xy面的垂足各为
11
2 2 2
1 3 2 1 2 1m m x x y y? ? ? ?而
22
2 3 2 1M M z z??且；
12
2 2 2
2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )
d M M
x x y y z z
?
? ? ? ? ? ?
特别地,空间任一点 M(x,y,z)
2 2 2O M x y z? ? ?
例 1 已知两点 (-1,0,2),(3,-2,4),求此两点间的距离,
2 2 2 ( 3 1 ) ( 2 0 ) ( 4 2 ) 2 4 2 6d ? ? ? ? ? ? ? ? ?解
z
y O
x
1x
2x
1y 2y
1M
2M
3M
d
1m
3m到原点 O的距离为
12
与平面解几相仿,空间解几利用
定义 1 若曲面 S上任意一点的坐标
z
y O
x
M(x,y,z)
P(x,y)
下面来解决关于曲面的两个基本问题,
三,空间曲面与方程
空间坐标法,把由点构成的几何图形
和代数方程联系起来,
则称方程 F(x,y,z)=0为曲面 S的方程,而称曲面 S为方程
都 满足方程 F(x,y,z)=0； 而不在曲面
S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0,
F(x,y,z)=0的图形,(如上图 )
1,巳知曲面的几何轨迹,建立曲面的方程
S
13
例 2 一动点 M( x,y,z)与两定点 A(-1,0,4)和 B(1,2,-1)的
M A M B?解因
2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 4 ) ( 1 ) 2 ( 1 )x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（）
4 4 1 0 1 1 0x y z? ? ? ? ?
故 M( x,y,z)的轨迹方程
x z面的方程为 y = 0
距离相等,求此动点 M的轨迹方程,
(即 A,B两点连线的垂直平分
面的方程 )为 4 4 1 0 1 1 0x y z? ? ? ?
因 x y平面上任意一点的坐标满足 z = 0； 而凡满足 z = 0的
点又都在 x y平面上； 故坐标平面的方程分别为
x y面的方程为 z = 0 y z面的方程为 x = 0
14
平行于 xy面的平面方程为 z = c(c为常数,表示此平面
平行于 yz面的平面方程为 x=a(a为常数,表示此平面
平行于 xz面的平面方程为 y=b(b为常数,表示此平面
Ax + By + Cz + D = 0
重要结论, 平面方程均为一次方程,
其中 A,B,C,D均为常数,且 A,B,C不全为 0,
在 z 轴上的截距 )
在 y 轴 上的截距 )
在 x 轴 上的截距 )
一般地,x,y,z的三元一次方程所表示的图形均是平面,
空间平面方程的一般形式为
15
0,M M R? 则
2 2 2
0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z R? ? ? ? ? ?
2 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z R? ? ? ? ? ? ?
z
y
O
x
R
2 2 2 2x y z R? ? ?
例 3 求球心在点 半径为 R的球面方程,
0 0 0 0(,,),M x y z
(,,),(,,)M x y z M x y z解 设 球 面 上 任 意 一 点 为 则 动 点 与
间的长度为
特别地,以原点为 球 心,R为半径的球面方程为;是此球面的上半部
.是此球面的下半部
0 0 0 0(,,)M x y z定 点 之
2 2 2z R x y? ? ? ?
2 2 2z R x y? ? ?则
16
2,巳知曲面的方程,研究方程的图形
通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面 ;至于
会 得出曲面 S的全貌 —— 这种方法称为
一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定,
一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状,
但若依次用平行于坐标面的平面 x = a,y = b和 z = c去截
曲面 S，则可得一系列的截口曲线； 再将它们综合起来就
例 4 考察下列的图形方程,
(1) 2x- z=0 (2) 2x+y+2z=4 2 2 2( 3 ) x y R??
“平行截口” 法,
2( 5 ) 4,x ?22( 4 ) z x y??
17
即用平行于 xz面的任何平面
20xz
ya
???
? ?
?
与 x z面的交线为 2x- z = 0
z
O
x
y
是直线
故该方程的图形是经过 y轴且
且 过原点的平面,
解 (1)由方程 2x- z = 0不含 y知,D = 0,则曲面过原点,
且无论 y 取何值,都有 2x- z = 0
Y = a去截曲面，其截痕都
18
—— 此即为平面的截距式方程,
1 1 1 1
2 4 2x y z? ? ?
它与 x,y,z轴的交点分别为 (2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),
解 由方程 2x + y + 2z = 4有
(2) 2x + y + 2z = 4
z
y O
x 2
4
2
19
2 2 2( 3 ) x y R??
半径为 R的圆,
2 2 2x y R??
在空间，因方程 2 2 2x y R??
2 2 2
,
x y R
zc
? ??
?
??
z
y
x
且圆的大小与 c无关,
o
解 在 xy面上，方程 表示以原点为圆心,
用 平面 z=c去截曲面，其截口线为
不含 z，则 z可 取 任意值,
圆
20
z
y
x
o
用 平面 x = a去截曲面,其截痕为直线
22y R a
xa
?? ? ? ?
?
???
21
22x R a
yb
?? ? ? ?
?
???
z
y
x o
用 平面 y = b去截曲面,其截痕为直线
注 1 xy面上,定圆曲线 2 2 2x y R??
的一个圆柱面,
2 2 2x y R??
平行于 z轴的直线
叫做此圆柱面的
故该曲面为母线平行于 z轴、准线为圆周
准线,叫做此圆柱面的母线,
22
22( 4 ) z x y??
解 用 平面 z=c(c≥0)去截曲面,其截痕为圆 22x y c??
当 c=0时,只有原点 (0,0,0)满足此方程；
c
若用 平面 x=a或 y=b去截曲面,其截痕为
当 c>0时,其截痕为以 (0,0,c)为圆心,
显然 c越大，其截痕圆越大, z
x
以 半径为 R的圆,
抛物线,
23
曲线 L称为此旋转曲面的母线,
l
l
故曲面 是 一个旋转抛物面 (如图 ),22??z x y
z
x
注 2 如果有一条平面曲线 L，绕着同一平面内一条
已知直线 旋转一周形成的曲面称为 旋转曲面,
L l
已知直线
旋转曲面的轴,
称为此
24
称为 2 2 2
2 2 2 1
x y z
a b c? ? ?
注 3 方程 所确定 的曲面,
椭球面 (如图 ) z
b
x
y O
a
c
解 因方程缺 y,z,
2( 5 ) 4x ?
平面 且 分别 过点 (2,0,0)或 (-2,0,0)的 两个 平面,
则等价于方程的图形是平行于 y z
注 4 在空间解几中,若方程缺一个变量,
则其图形必平行
则其图形必
平行于坐标轴 ; 若方程缺两个变量,
于坐标面,
25
四, 平面上的区域
在讨论一元函数时,常用邻域和区间的概念, 本章讨
论 多 元函数时,也要 用 到 邻域和区 域 的概念, 故下面将一
元函数的邻域和区 间 的概念加以推广,
1,邻域
000(,)P x y与
? ?220 0 0(,) (,) ( ) ( )N P x y x x y y??? ? ? ? ?
?间的距离小于
000(,) 0,P x y x y ? ?设 是 平 面 上 的 一 个 点,
0,P ?为 点 的 邻 域 并 记 为(,)P x y的 点 的 全 体
0(,),NP ? 即
平面上
26
0(,)NP ? 的几何意义为：
00 ?,(,),P N P??点 的 去 心 邻 域 通 常 记 为 即
? ?220 0 0? (,) (,) 0 ( ) ( )N P x y x x y y??? ? ? ? ? ?
000(,)
.
x y P x y ?平 面 上 以 点 中 心, 以 长 为 半 径 的 圆 的 内
部所有点构成的一个二维点集
,0P
?
x
y
。
27
平面上的区域，通常用字母 D,G… 表示 。
2,区 域
在空间直角坐标系中，整个 xy平面和由一条或几条
曲线所围成的 xy平面的一个部分称为区域。 围成区域的
的曲线，称为区域的边界。 包含全部边界的区域，称为
闭 区域； 不包含边界的区域，称为 开 区域； 只包含部分
边界的区域，称为 半开半闭 区域。 可被一个充分大的圆
包围的区域，称为有界区域； 否则称为无界区域。
