第10讲
3.6 线性系统的稳态误差计算
3.6.1 稳态误差的定义
3.6.2 系统类型
3.6.3 扰动作用下的稳态误差
以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差。事实上，控制系统除了受到参考输入的作用外，还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响。例如负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。这种误差称为扰动稳态误差，它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。对于扰动稳态误差的计算，可以采用上述对参考输入的方法。但是，由于参考输入和扰动输入作用于系统的不同位置，因而系统就有可能会产生在某种形式的参考输入下，其稳态误差为零；而在同一形式的扰动作用下，系统的稳态误差未必为零。因此，就有必要研究由扰动作用引起的稳态误差和系统结构的关系。考虑图3-23的系统，图中为系统的参考输入，为系统的扰动作用。为了计算由扰动引起的系统稳态误差，假设R(s)=0，则输出对扰动的传递函数为 （控制对象控制器）
图3-23 控制系统
(3-71)
由扰动产生的输出为
(3-72)
系统的理想输出为零，故该非单位反馈系统响应扰动的输出端误差信号为
(3-73)
根据终值定理和式(3-73)求得在扰动作用下的稳态误差为
(3-74)
若令图3-23中的 (3-75)
为讨论方便起见假设
则系统的开环传递函数为(3-76)
。将式(3-75)和式(3-76)代入式(3-73)，得
(3-77)
下面讨论时系统的扰动稳态误差。
0型系统（）
当扰动为一阶跃信号，即。将式(3-75)代入式(3-74)，求得
(3-78)
在一般情况下，由于，则式 (3-78) 可近似表示为
上式表明系统在阶跃扰动作用下，其稳态误差正比于扰动信号的幅值，与扰动作用点前的正向传递函数系数近似成反比。
I型系统（）
系统有两种可能的组合：(；(。显然，这两种不同的组合，对于参考输入来说，它们都是I型系统，产生的稳态误差也完全相同。但对于扰动而言，这两种不同组合的系统，它们抗扰动的能力是完全不同的。对此，说明如下。
(。当扰动为一阶跃信号，即，则由式 (3-74)得
当扰动为一斜坡信号，即，相应的稳态误差为
(。当扰动为一阶跃信号，即
当扰动为一斜坡信号，即，相应的稳态误差为
由上述可知，扰动稳态误差只与作用点前的结构和参数有关。如中的时，相应系统的阶跃扰动稳态误差为零；斜坡稳态误差只与中的增益成反比。至于扰动作用点后的，其增益的大小和是否有积分环节，它们均对减小或消除扰动引起的稳态误差没有什么作用。
II型系统（）
系统有三种可能的组合：(；(；(。
根据上述的结论可知，按第一种组合的系统具有II型系统的功能，即对于阶跃和斜坡扰动引起的稳态误差均为零。第二种组合的系统具有I型系统的功能，即由阶跃扰动引起的稳态误差为零，斜坡产生的稳态误差为。系统的第三种组合具有0型系统的功能，其阶跃扰动产生的稳态误差为，斜坡扰动引起的误差为。
3.6.4 减小或消除稳态误差的措施由前面的讨论可知，提高系统的开环增益和增加系统的类型是减小和消除系统稳态误差的有效方法。但这两种方法在其他条件不变时，一般都会影响系统的动态性能，乃至系统的稳定性。若在系统中加入顺馈控制作用，就能实现既减小系统的稳定误差，又能保证系统稳定性不变的目的。
对扰动进行补偿
图3-26为对扰动进行补偿的系统方块图。系统除了原有的反馈通道外，还增加了一个由扰动通过前馈（补偿）装置产生的控制作用，旨在补偿由扰动对系统产生的影响。图中为待求的前馈控制装置的传递函数；为扰动作用，且可进行测量。
令，由图3-27求得扰动引系统的输出为
梅逊公式图3-27 与图3-26对应的信号流图
(3-79)
由式(3-79)可知，引入前馈后，系统的闭环特征多项式没有发生任何变化，即不会影响系统的稳定性。为了补偿扰动对系统输出的影响，令式(3-79)等号右边的分子为零，即有 [分析]
(3-80)
这是对扰动进行全补偿的条件。由于分母的s阶次一般比分子的s阶次高，故式(3-80) 的条件在工程实践中只能近似地得到满足。
（2）按输入进行补偿图3-28为对输入进行补偿的系统方块图。图中为待求前馈装置的传递函数。由于设置在系统闭环的外面，因而不会影响系统的稳定性。在设计时，一般先设计系统的闭环部分，使其有良好的动态性能；然后再设计前馈装置，以提高系统在参考输入作用下的稳态精度。
图3-28 按输入补偿的复合控制系统
由图(3-28)得
(3-81)
由于系统的误差表达式
(3-82)
(3-83)
如果选择前馈装置的传递函数
(3-84)
则式(3-83)变为
(3-85)
表明在式(3-84)成立的条件下，系统的输出量在任何时刻都可以完全无误差地复现输入量，具有理想的时间响应特性。
为了说明 前馈补偿装置能够完全消除误差的物理意义，将式(3-81)代入式(3-82)，可得
(3-86)
上式表明，在式(3-84)成立的条件下，恒有；前馈补偿装置的存在，相当于在系统中增加了一个输入信号，其产生的误差信号与原输入信号产生的误差信号相比，大小相等而方向相反。故式(3-84)称为输入信号的误差全补偿条件。
由于一般具有比较复杂的形式，故全补偿条件(3-84)的物理实现相当困难。在工程实践中，大多采用满足跟踪精度要求的部分补偿条件，或者在对系统性能起主要影响的频段内实现近似全补偿，以使的形式简单并易于实现。
小结时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。
二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼取值适当（如左右），则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因而在控制系统中常把二阶系统设计为欠阻尼。
如果高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的瞬态响应就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。
稳定是系统所能正常工作的首要条件。线性定常系统的稳定是系统固有特性，它取决于系统的结构和参数，与外施信号的形式和大小无关。不用求根而能直接判断系统稳定性的方法，称为稳定判据。稳定判据只回答特征方程式的根在s平面上的分布情况，而不能确定根的具体数值。
稳态误差是系统控制精度的度量，也是系统的一个重要性能指标。系统的稳态误差既与其结构和参数有关，也与控制信号的形式、大小和作用点有关。
系统的稳态精度与动态性能在对系统的类型和开环增益的要求上是相矛盾的。解决这一矛盾的方法，除了在系统中设置校正装置外，还可用前馈补偿的方法来提高系统的稳态精度。
3.6 线性系统的稳态误差计算
3.6.1 稳态误差的定义
3.6.2 系统类型
3.6.3 扰动作用下的稳态误差
以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差。事实上，控制系统除了受到参考输入的作用外，还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响。例如负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。这种误差称为扰动稳态误差，它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。对于扰动稳态误差的计算，可以采用上述对参考输入的方法。但是，由于参考输入和扰动输入作用于系统的不同位置，因而系统就有可能会产生在某种形式的参考输入下，其稳态误差为零；而在同一形式的扰动作用下，系统的稳态误差未必为零。因此，就有必要研究由扰动作用引起的稳态误差和系统结构的关系。考虑图3-23的系统，图中为系统的参考输入，为系统的扰动作用。为了计算由扰动引起的系统稳态误差，假设R(s)=0，则输出对扰动的传递函数为 （控制对象控制器）
图3-23 控制系统
(3-71)
由扰动产生的输出为
(3-72)
系统的理想输出为零，故该非单位反馈系统响应扰动的输出端误差信号为
(3-73)
根据终值定理和式(3-73)求得在扰动作用下的稳态误差为
(3-74)
若令图3-23中的 (3-75)
为讨论方便起见假设
则系统的开环传递函数为(3-76)
。将式(3-75)和式(3-76)代入式(3-73)，得
(3-77)
下面讨论时系统的扰动稳态误差。
0型系统（）
当扰动为一阶跃信号，即。将式(3-75)代入式(3-74)，求得
(3-78)
在一般情况下，由于，则式 (3-78) 可近似表示为
上式表明系统在阶跃扰动作用下，其稳态误差正比于扰动信号的幅值，与扰动作用点前的正向传递函数系数近似成反比。
I型系统（）
系统有两种可能的组合：(；(。显然，这两种不同的组合，对于参考输入来说，它们都是I型系统，产生的稳态误差也完全相同。但对于扰动而言，这两种不同组合的系统，它们抗扰动的能力是完全不同的。对此，说明如下。
(。当扰动为一阶跃信号，即，则由式 (3-74)得
当扰动为一斜坡信号，即，相应的稳态误差为
(。当扰动为一阶跃信号，即
当扰动为一斜坡信号，即，相应的稳态误差为
由上述可知，扰动稳态误差只与作用点前的结构和参数有关。如中的时，相应系统的阶跃扰动稳态误差为零；斜坡稳态误差只与中的增益成反比。至于扰动作用点后的，其增益的大小和是否有积分环节，它们均对减小或消除扰动引起的稳态误差没有什么作用。
II型系统（）
系统有三种可能的组合：(；(；(。
根据上述的结论可知，按第一种组合的系统具有II型系统的功能，即对于阶跃和斜坡扰动引起的稳态误差均为零。第二种组合的系统具有I型系统的功能，即由阶跃扰动引起的稳态误差为零，斜坡产生的稳态误差为。系统的第三种组合具有0型系统的功能，其阶跃扰动产生的稳态误差为，斜坡扰动引起的误差为。
3.6.4 减小或消除稳态误差的措施由前面的讨论可知，提高系统的开环增益和增加系统的类型是减小和消除系统稳态误差的有效方法。但这两种方法在其他条件不变时，一般都会影响系统的动态性能，乃至系统的稳定性。若在系统中加入顺馈控制作用，就能实现既减小系统的稳定误差，又能保证系统稳定性不变的目的。
对扰动进行补偿
图3-26为对扰动进行补偿的系统方块图。系统除了原有的反馈通道外，还增加了一个由扰动通过前馈（补偿）装置产生的控制作用，旨在补偿由扰动对系统产生的影响。图中为待求的前馈控制装置的传递函数；为扰动作用，且可进行测量。
令，由图3-27求得扰动引系统的输出为
梅逊公式图3-27 与图3-26对应的信号流图
(3-79)
由式(3-79)可知，引入前馈后，系统的闭环特征多项式没有发生任何变化，即不会影响系统的稳定性。为了补偿扰动对系统输出的影响，令式(3-79)等号右边的分子为零，即有 [分析]
(3-80)
这是对扰动进行全补偿的条件。由于分母的s阶次一般比分子的s阶次高，故式(3-80) 的条件在工程实践中只能近似地得到满足。
（2）按输入进行补偿图3-28为对输入进行补偿的系统方块图。图中为待求前馈装置的传递函数。由于设置在系统闭环的外面，因而不会影响系统的稳定性。在设计时，一般先设计系统的闭环部分，使其有良好的动态性能；然后再设计前馈装置，以提高系统在参考输入作用下的稳态精度。
图3-28 按输入补偿的复合控制系统
由图(3-28)得
(3-81)
由于系统的误差表达式
(3-82)
(3-83)
如果选择前馈装置的传递函数
(3-84)
则式(3-83)变为
(3-85)
表明在式(3-84)成立的条件下，系统的输出量在任何时刻都可以完全无误差地复现输入量，具有理想的时间响应特性。
为了说明 前馈补偿装置能够完全消除误差的物理意义，将式(3-81)代入式(3-82)，可得
(3-86)
上式表明，在式(3-84)成立的条件下，恒有；前馈补偿装置的存在，相当于在系统中增加了一个输入信号，其产生的误差信号与原输入信号产生的误差信号相比，大小相等而方向相反。故式(3-84)称为输入信号的误差全补偿条件。
由于一般具有比较复杂的形式，故全补偿条件(3-84)的物理实现相当困难。在工程实践中，大多采用满足跟踪精度要求的部分补偿条件，或者在对系统性能起主要影响的频段内实现近似全补偿，以使的形式简单并易于实现。
小结时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。
二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼取值适当（如左右），则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因而在控制系统中常把二阶系统设计为欠阻尼。
如果高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的瞬态响应就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。
稳定是系统所能正常工作的首要条件。线性定常系统的稳定是系统固有特性，它取决于系统的结构和参数，与外施信号的形式和大小无关。不用求根而能直接判断系统稳定性的方法，称为稳定判据。稳定判据只回答特征方程式的根在s平面上的分布情况，而不能确定根的具体数值。
稳态误差是系统控制精度的度量，也是系统的一个重要性能指标。系统的稳态误差既与其结构和参数有关，也与控制信号的形式、大小和作用点有关。
系统的稳态精度与动态性能在对系统的类型和开环增益的要求上是相矛盾的。解决这一矛盾的方法，除了在系统中设置校正装置外，还可用前馈补偿的方法来提高系统的稳态精度。
