第14讲 第5章 线性系统的频域分析法
Frequency-response analysis
5.1频率特性及其表示法
5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制
5.3极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线
5.3.1积分与微分因子
5.3.2一阶因子
5.3.3二阶因子
5.3.4传递延迟
5.4对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图
5.5奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion)
5.5.1预备知识
5.5.2影射定理
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用
5.5.4奈奎斯特稳定判据
5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明
5.5.6含有位于上极点和/或零点的特殊情况
5.6稳定性分析
*5.6.1条件稳定系统
*5.6.2多回路系统
*5.6.3应用于逆极坐标图上的奈奎斯特稳定判据
*5.6.4利用改变的奈奎斯特轨迹分析相对稳定性
5.7相对稳定性
5.7.1通过保角变换进行相对稳定性分析
5.7.2相位裕度和增益裕度例5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为
式中均为正值。为使系统稳定，开环增益与时间常数之间满足什么关系？
解,
此式太复杂利用上式直接令虚部为零即可。
虚部为零与负实轴相交于
画出一半利用对称性画出另一半。
图5-45b 例5-8 题的极坐标图
图5-46 的极坐标图图５-46所示为3种具有不同开环增益值的极坐标图。对于大的K值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，的轨迹通过点。对于小的K值，系统是稳定的。
一般来说，的轨迹越接近与包围-1+j0点，系统响应的震荡性越大。因此，的轨迹对点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。
图5-47 稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度
(相位裕度、相角裕度(Phase Margin)
设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为
定义相角裕度为
相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后度，则系统将变为临界稳定。
当 时，相位裕量相位裕度为正值；当时，相位裕度为负值。为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为0分贝和-180度。
(增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)
设系统的穿越频率(Phase cross-over frequency)
，
定义幅值裕度为
幅值裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大倍，则系统将变为临界稳定状态。
若以分贝表示，则有
当增益裕度以分贝表示时，如果，则增益裕度为正值；如果，则增益裕度为负值。正增益裕度(以分贝表示)表示系统是稳定的；负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的。
对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当较少多少。
一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。
5.7.3关于相位裕度和增益裕度的几点说明
控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的度量。因此，这两个裕度可以用来作为涉及准则。
只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。
对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。为了得到满意的性能，相位裕度应当在之间，增益裕度应当大于6分贝。
例5-9 已知一单位反馈系统的开环传递函数为。
试求：(K=1时系统的相位裕度和增益裕度。(要求通过增益K的调整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度。
解：(
即
( (
在处的开环对数幅值为
根据K=1时的开环传递函数，可以求出截止频率(Gain cross-over frequency)为
( 由题意知
验证是否满足相位裕度的要求。
根据的要求，则得：
不难看出，就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。
图5-48 例5-9的幅值裕度和相位裕度示意图例5-10 已知一单位反馈系统的开环对数幅频特性如图5-49所示（最小相位系统）。试求：(所示所示单位反馈系统已知已知已知已知例5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50所示(最小相位系统)。(写出系统的开环传递函数(判别系统的稳定性(如果系统是稳定的，则求时的稳态误差。
图5-50 最小相位系统的开环对数幅频特性
解：(由图得
(由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知。在处
则得>>0 系统稳定
(单位斜坡输入时，系统的稳态误差为
5.7.4谐振峰值幅值和谐振峰值频率
(5-22)
令 (5-23)
(5-24)
或 (5-25)
，时有最小值有最大值，这个最大值称为谐振峰值，用表示。
(5-26)
谐振频率
5.7.5标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系书上例5-13p203
在图3-8所示的标准二阶系统中，单位阶跃响应中的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起。因此，从本质上看，在频率响应中包含的系统动态特性信息与在瞬态响应中包含的系统的动态特性信息是相同的。
设为截止频率，则有
根据相位裕度的定义
上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。
图5-51标准二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系
(相位裕度与阻尼比直接相关。图5-51表示了相位裕度与阻尼比的函数关系。对于标准二阶系统，当时，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示如下：
因此，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统，当根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性（即阻尼比）时，根据经验，可以应用这个公式。
( 对于小的阻尼比，谐振频率与阻尼自然频率的值几乎是相同的。因此，对于小的阻尼比，谐振频率的值表征了系统瞬态响应的速度。
图5-52 标准二阶系统的关系曲线
(的值越小和的值越大。和与之间的函数关系如图5-52所示。可以看出，当时，和之间存在相近的关系。对于很小的值将变得很大，而却不会超过1。
5.7.6一般系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系
5.7.7截止频率与带宽(Cutoff frequency and bandwidth)
图5-53 截止频率与系统带宽参看图5-53，当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下3分贝时，对应的频率称为截止频率。
，
对于的系统，
闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量，但是可以使频率低于截止频率的信号分量通过。
闭环系统的幅值不低于-3分贝时，对应的频率范围称为系统的带宽。带宽表示了这样一个频率，从此频率开始，增益将从其低频时的幅值开始下降。
因此，带宽表示了系统跟踪正弦输入信号的能力。对于给定的，上升时间随着阻尼比的增加而增大。另一方面，带宽随着的增加而减小。因此，上升时间与带宽之间成反比关系。
带宽指标取决于下列因素：
1、对输入信号的再现能力。大的带宽相应于小的上升时间，即相应于快速特性。粗略地说，带宽与响应速度成反比。
2、对高频噪声必要的滤波特性。
为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。[门不能太大不然的话，什么东西都进来了]因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。具有大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通常随着带宽的增加而增大。
一阶系统的带宽为其时间常数的倒数。
二阶系统，闭环传递函数为
因为，由带宽的定义得
于是
5.7.8剪切率
5.8闭环频率响应
5.8.1单位反馈系统的闭环频率响应
5.8.2等幅值轨迹(M圆)
5.8.3等相角轨迹(N圆)
5.8.4尼柯尔斯图
5.8.5非单位反馈系统的闭环频率响应
5.8.6增益的调整
5.9传递函数的实验确定法第六章 控制系统的校正在前面几章中。讨论了控制系统几种基本方法。掌握了这些基本方法，就可以对控制系统进行定性分析和定量计算。本章讨论另一命题，即如何根据系统预先给定的性能指标，去设计一个能满足性能要求的控制系统。基于一个控制系统可视为由控制器和被控对象两大部分组成，当被控对象确定后，对系统的设计实际上归结为对控制器的设计，这项工作称为对控制系统的校正。
在实际过程中，既要理论指导，也要重视实践经验，往往还要配合许多局部和整体的试验。所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。工程实践中常用的校正方法，串联校正、反馈校正和复合校正。
Frequency-response analysis
5.1频率特性及其表示法
5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制
5.3极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线
5.3.1积分与微分因子
5.3.2一阶因子
5.3.3二阶因子
5.3.4传递延迟
5.4对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图
5.5奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion)
5.5.1预备知识
5.5.2影射定理
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用
5.5.4奈奎斯特稳定判据
5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明
5.5.6含有位于上极点和/或零点的特殊情况
5.6稳定性分析
*5.6.1条件稳定系统
*5.6.2多回路系统
*5.6.3应用于逆极坐标图上的奈奎斯特稳定判据
*5.6.4利用改变的奈奎斯特轨迹分析相对稳定性
5.7相对稳定性
5.7.1通过保角变换进行相对稳定性分析
5.7.2相位裕度和增益裕度例5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为
式中均为正值。为使系统稳定，开环增益与时间常数之间满足什么关系？
解,
此式太复杂利用上式直接令虚部为零即可。
虚部为零与负实轴相交于
画出一半利用对称性画出另一半。
图5-45b 例5-8 题的极坐标图
图5-46 的极坐标图图５-46所示为3种具有不同开环增益值的极坐标图。对于大的K值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，的轨迹通过点。对于小的K值，系统是稳定的。
一般来说，的轨迹越接近与包围-1+j0点，系统响应的震荡性越大。因此，的轨迹对点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。
图5-47 稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度
(相位裕度、相角裕度(Phase Margin)
设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为
定义相角裕度为
相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后度，则系统将变为临界稳定。
当 时，相位裕量相位裕度为正值；当时，相位裕度为负值。为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为0分贝和-180度。
(增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)
设系统的穿越频率(Phase cross-over frequency)
，
定义幅值裕度为
幅值裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大倍，则系统将变为临界稳定状态。
若以分贝表示，则有
当增益裕度以分贝表示时，如果，则增益裕度为正值；如果，则增益裕度为负值。正增益裕度(以分贝表示)表示系统是稳定的；负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的。
对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当较少多少。
一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。
5.7.3关于相位裕度和增益裕度的几点说明
控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的度量。因此，这两个裕度可以用来作为涉及准则。
只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。
对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。为了得到满意的性能，相位裕度应当在之间，增益裕度应当大于6分贝。
例5-9 已知一单位反馈系统的开环传递函数为。
试求：(K=1时系统的相位裕度和增益裕度。(要求通过增益K的调整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度。
解：(
即
( (
在处的开环对数幅值为
根据K=1时的开环传递函数，可以求出截止频率(Gain cross-over frequency)为
( 由题意知
验证是否满足相位裕度的要求。
根据的要求，则得：
不难看出，就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。
图5-48 例5-9的幅值裕度和相位裕度示意图例5-10 已知一单位反馈系统的开环对数幅频特性如图5-49所示（最小相位系统）。试求：(所示所示单位反馈系统已知已知已知已知例5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50所示(最小相位系统)。(写出系统的开环传递函数(判别系统的稳定性(如果系统是稳定的，则求时的稳态误差。
图5-50 最小相位系统的开环对数幅频特性
解：(由图得
(由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知。在处
则得>>0 系统稳定
(单位斜坡输入时，系统的稳态误差为
5.7.4谐振峰值幅值和谐振峰值频率
(5-22)
令 (5-23)
(5-24)
或 (5-25)
，时有最小值有最大值，这个最大值称为谐振峰值，用表示。
(5-26)
谐振频率
5.7.5标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系书上例5-13p203
在图3-8所示的标准二阶系统中，单位阶跃响应中的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起。因此，从本质上看，在频率响应中包含的系统动态特性信息与在瞬态响应中包含的系统的动态特性信息是相同的。
设为截止频率，则有
根据相位裕度的定义
上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。
图5-51标准二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系
(相位裕度与阻尼比直接相关。图5-51表示了相位裕度与阻尼比的函数关系。对于标准二阶系统，当时，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示如下：
因此，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统，当根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性（即阻尼比）时，根据经验，可以应用这个公式。
( 对于小的阻尼比，谐振频率与阻尼自然频率的值几乎是相同的。因此，对于小的阻尼比，谐振频率的值表征了系统瞬态响应的速度。
图5-52 标准二阶系统的关系曲线
(的值越小和的值越大。和与之间的函数关系如图5-52所示。可以看出，当时，和之间存在相近的关系。对于很小的值将变得很大，而却不会超过1。
5.7.6一般系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系
5.7.7截止频率与带宽(Cutoff frequency and bandwidth)
图5-53 截止频率与系统带宽参看图5-53，当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下3分贝时，对应的频率称为截止频率。
，
对于的系统，
闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量，但是可以使频率低于截止频率的信号分量通过。
闭环系统的幅值不低于-3分贝时，对应的频率范围称为系统的带宽。带宽表示了这样一个频率，从此频率开始，增益将从其低频时的幅值开始下降。
因此，带宽表示了系统跟踪正弦输入信号的能力。对于给定的，上升时间随着阻尼比的增加而增大。另一方面，带宽随着的增加而减小。因此，上升时间与带宽之间成反比关系。
带宽指标取决于下列因素：
1、对输入信号的再现能力。大的带宽相应于小的上升时间，即相应于快速特性。粗略地说，带宽与响应速度成反比。
2、对高频噪声必要的滤波特性。
为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。[门不能太大不然的话，什么东西都进来了]因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。具有大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通常随着带宽的增加而增大。
一阶系统的带宽为其时间常数的倒数。
二阶系统，闭环传递函数为
因为，由带宽的定义得
于是
5.7.8剪切率
5.8闭环频率响应
5.8.1单位反馈系统的闭环频率响应
5.8.2等幅值轨迹(M圆)
5.8.3等相角轨迹(N圆)
5.8.4尼柯尔斯图
5.8.5非单位反馈系统的闭环频率响应
5.8.6增益的调整
5.9传递函数的实验确定法第六章 控制系统的校正在前面几章中。讨论了控制系统几种基本方法。掌握了这些基本方法，就可以对控制系统进行定性分析和定量计算。本章讨论另一命题，即如何根据系统预先给定的性能指标，去设计一个能满足性能要求的控制系统。基于一个控制系统可视为由控制器和被控对象两大部分组成，当被控对象确定后，对系统的设计实际上归结为对控制器的设计，这项工作称为对控制系统的校正。
在实际过程中，既要理论指导，也要重视实践经验，往往还要配合许多局部和整体的试验。所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。工程实践中常用的校正方法，串联校正、反馈校正和复合校正。
