第13讲 第5章 线性系统的频域分析法
Frequency-response analysis
5.1频率特性及其表示法
5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制
5.3典型环节的幅相曲线的绘制
5.4稳定裕度和判据
5.3极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线
5.3.1积分与微分因子
5.3.2一阶因子
5.3.3二阶因子
5.3.4传递延迟
图5-33(a) 传递延迟的极坐标图图5-33(b) 和的极坐标图
可以写成
因为的幅值总为1，而相角随线性变化，所以传递延迟的极坐标图是一个单位园圆，如图5-33(a)所示。在低频时，传递延迟与一阶环节的特性相似，如图5-33(b)所示。
当时，
当时，两者存在本质的差别。
5.3.5极坐标图的一般形状
图5-34(a)0型1型和2型系统的极坐标图(b)高频区域内的极坐标图
即0型系统：极坐标图的起点是一个位于正实轴的有限值。对应于 的极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。
1型系统：在总的相角中，的相角是项产生的。在低频时，极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段。当时，幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。
即2型系统：在总相角中的相角是由项产生的。
0型、1型和2型系统极坐标图低频部分的一般形状如图5-34(a)所示。如果的分母多项式阶次高于分子多项式阶次，那么的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点。当时,轨迹将与实轴或虚轴相切如图5-34(b)所示。
极坐标图曲线的复杂形状都是由分子的动动态特性引起的。由分子的时间常数决定的。
5.4对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图
图5-34 二阶因子对数幅-相图
5.5奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion)
图3-35 闭环系统考虑图5-35所示的闭环系统，其闭环传递函数为
为了保证系统稳定，特征方程
的全部根，都必须位于左半s平面。虽然开环传递函数的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。
奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的。
假设开环传递函数可以表示成s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的的极限，或趋于零，或趋于常数。
5.5.1预备知识
可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在平面上必存在一条封闭曲线与之对应。平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数：
其特征方程为：
函数在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点，平面上必有一点与之对应。例如，则为：
这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在平面上就必有一个封闭曲线与之对应。
S平面 平面
（a）
(b)
(d)
图5-36 s平面上的图形在平面上的保角变换图5-36（a）所示为上半s平面内的直线和在平面上的保角变换。例如，上半s平面内的直线映射到平面上，就变成了平面上的的曲线。对于s平面上顺时针转出的轨迹ABCD，其在平面上对应曲线是A1B1C1D1。曲线的箭头表示运动方向。根据保角变换的性质，s平面相上和平面上对应的角度是相等的，并且具有相同的意义（例如，因为s平面内的直线AB与CD相互垂直，所以在 平面上A1B1与C1D1在B1点也构成直角）。由图5-36(b)可以看出，当s平面上的图形包围两个的极点时，的轨迹将反时针方向包围平面上原点两次。
在的平面上，图形包围原点的次数，取决于s平面上的封闭曲线。例如，这个曲线当s平面上的图形包围的两个极点和两个零点，相应的的轨迹将不包围原点。如图5-36（c）所示。如果这个曲线只包围一个零点，相应的的轨迹将顺时针包围原点一次，如图5-36（d）所示。如果s平面上的封闭曲线既不包围原点又不包围极点，的轨迹将永远不会包围平面上的原点，如图5-36（d）所示。
对于s平面上的每一点，除了奇点外，在平面上只有一个相应的点与之对应，即从s平面到平面的影射是一一对应的。但是，从平面到s平面的影射不是一一对应的，因为对于平面上的某一给定点，在s平面上可能有一个以上的点与之对应。例如如图5-36（c）中，对于平面上的B1点，在s平面上与之对应的有(-3,3)和(0,-3)两个点。
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，即包围的零点数与极点数相同，则在平面上，相应的封闭曲线不包围平面上的原点。上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立在影射定理的基础上。
5.5.2影射定理
设为两个s的多项式之比，并设P为的极点数，Z为的零点数，它们位于s平面上的某一封闭曲线内，且有多重极点和多重零点的情况。又设上述封闭曲线不通过的任何极点和零点。于是，s平面上的这一封闭曲线影射到平面上，也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时，在平面上，相应的轨迹顺时针包围原点的总次数R等于Z-P。
若R为正数，表示的零点数超过了极点数；若R为负数，表示的极点数超过了零点数。在控制系统应用中，由很容易确定的P数。因此，如果，的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数很容易确定。
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个轴(从到)和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成。该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)，如图5-37所示。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面，所以它包围了的所有正实部的极点和零点。如果在右半s平面不存在零点，则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。封闭曲线，即奈奎斯特曲线不通过的任何极点和零点。如果将影射定理应用到的特殊情况，可以陈述如下：如果s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面，则函数在右半s平面内的零点数等于函数右半s平面内的极点数，加上在平面内的对应封闭曲线对平面上原点的顺时针方向包围次数。
图5-37 s平面内的封闭曲线根据前面的假设条件，有
闭环即当s沿半径为无穷大的半圆运动时，函数保持常数。因此，的轨迹是否包围了平面上的原点，可以考虑s平面上的封闭曲线的一部分，即只考虑轴来确定。传函数奈奎斯特闭环系统
5.5.4奈奎斯特稳定判据
利用的轨迹，对-1+j0点的包围情况以及分析系统的方法概括为下列奈奎斯特稳定判据（对于在轴上既无极点也无零点的特殊情况）：如果开环传递函在s右半平面内有k个极点，并且，则为了使闭环系统稳定，当从变到时，的轨迹必须反时针包围-1+j0点k次。
5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明这一判据可表示为：
式中
函数在右半s平面内的零点数
对-1+j0点顺时针包围的次数
函数在右半s平面内的极点数如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须或，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。
如果函数在右半s平面内无任何极点，则。因此，为了保证系统稳定，的轨迹必须不包围-1+j0点。
5.5.6含有位于上极点和/或零点的特殊情况
图5-39 s平面上的封闭曲线和GH平面上的轨迹，其中
因为奈奎斯特轨迹不能通过的极点/和或零点。S平面上的封闭曲线的形状必须加以改进。在原点附近采用半径为无穷小的半圆，如图5-39所示。变量沿着轴从运动到，从到，变量沿着半径为（）的半圆运动，再沿着正轴从运动到。从开始，轨迹为半径为无穷大的半圆，变量沿着此轨迹返回到起始点。
图5-40 s平面上的封闭曲线和GH平面上的轨迹，其中
对于包含因子的开环传递函数，当变量s沿半径为()的半圆运动时，的图形中将有个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，考虑开环传递函数：
设 则
当s平面上的时，的相角。如图5-40所示。在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围点两次。所以函数在右半s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的。
如果含有位于轴上的极点和/或零点，则可以采用类似的方法进行分析。
奈奎斯特稳定判据（对于含有位于轴上的极点和/或零点的一般情况）：如果开环传递函数在右半s平面内有k个极点，则为了使系统稳定，当变量s顺时针通过变化后的奈奎斯特轨迹时，轨迹必须反时针方向包围点k次。
5.6稳定性分析如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含的Z个零点和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不通过的任何极点或零点，则在平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围点次（负R值表示反时针包围点）。
a)不包围-1+j0。如果这时在右半s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
b)反时针包围点。如果反时针方向包围的次数，等于在右半s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。
c)顺时针包围点。系统是不稳定的。
例5-3 设闭环系统的开环传递函数为：
的轨迹如图5-41所示。在右半s平面内没有任何极点，并且的轨迹不包围，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。
图5-41 例5-3中的极坐标图例5-4 设系统具有下列开环传递函数：
试确定以下两种情况下，系统的稳定性：(增益K较小(增益K较大。
小K值
大K值图5-42 例5-4中的极坐标图
在右半s平面内的极点数等于零。为了使系统稳定必须保证，或者说的轨迹不包围点。对于小K，的轨迹不包围点，因此系统在小K值时是稳定的。对于大K，的轨迹顺时针包围点两次，说明有两个闭环极点为位于右半s平面，因此系统在大K值时是稳定的。
例5-5 设开环传递函数为：
该系统的闭环稳定性取决于和相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。
稳定
不稳定图5-43 例5-5中的极坐标图
时，的轨迹不包围，因此，系统是稳定的。当时，的轨迹通过点，这表明闭环极点位于轴上。当 时，的轨迹顺时针方向包围点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半s平面，系统是不稳定的。
例5-6 设一个闭环系统具有下列开环传递函数：
试确定该闭环系统的稳定性。
图5-44 例5-6中的极坐标图
在右半s平面内有一个极点()，因此。图5-44中的奈奎斯特图表明，轨迹顺时针方向包围点一次，因此，。因为。这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的。
例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数：
试确定该闭环系统的稳定性。
在右半s平面内有一个极点()，因此。开环系统是不稳定的。图5-45表明轨迹逆时针方向包围点一次，因此，因为，这说明没有零点位于右半s平面内，闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。
图5-45 例5-7中的极坐标图
Frequency-response analysis
5.1频率特性及其表示法
5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制
5.3典型环节的幅相曲线的绘制
5.4稳定裕度和判据
5.3极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线
5.3.1积分与微分因子
5.3.2一阶因子
5.3.3二阶因子
5.3.4传递延迟
图5-33(a) 传递延迟的极坐标图图5-33(b) 和的极坐标图
可以写成
因为的幅值总为1，而相角随线性变化，所以传递延迟的极坐标图是一个单位园圆，如图5-33(a)所示。在低频时，传递延迟与一阶环节的特性相似，如图5-33(b)所示。
当时，
当时，两者存在本质的差别。
5.3.5极坐标图的一般形状
图5-34(a)0型1型和2型系统的极坐标图(b)高频区域内的极坐标图
即0型系统：极坐标图的起点是一个位于正实轴的有限值。对应于 的极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。
1型系统：在总的相角中，的相角是项产生的。在低频时，极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段。当时，幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。
即2型系统：在总相角中的相角是由项产生的。
0型、1型和2型系统极坐标图低频部分的一般形状如图5-34(a)所示。如果的分母多项式阶次高于分子多项式阶次，那么的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点。当时,轨迹将与实轴或虚轴相切如图5-34(b)所示。
极坐标图曲线的复杂形状都是由分子的动动态特性引起的。由分子的时间常数决定的。
5.4对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图
图5-34 二阶因子对数幅-相图
5.5奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion)
图3-35 闭环系统考虑图5-35所示的闭环系统，其闭环传递函数为
为了保证系统稳定，特征方程
的全部根，都必须位于左半s平面。虽然开环传递函数的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。
奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的。
假设开环传递函数可以表示成s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的的极限，或趋于零，或趋于常数。
5.5.1预备知识
可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在平面上必存在一条封闭曲线与之对应。平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数：
其特征方程为：
函数在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点，平面上必有一点与之对应。例如，则为：
这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在平面上就必有一个封闭曲线与之对应。
S平面 平面
（a）
(b)
(d)
图5-36 s平面上的图形在平面上的保角变换图5-36（a）所示为上半s平面内的直线和在平面上的保角变换。例如，上半s平面内的直线映射到平面上，就变成了平面上的的曲线。对于s平面上顺时针转出的轨迹ABCD，其在平面上对应曲线是A1B1C1D1。曲线的箭头表示运动方向。根据保角变换的性质，s平面相上和平面上对应的角度是相等的，并且具有相同的意义（例如，因为s平面内的直线AB与CD相互垂直，所以在 平面上A1B1与C1D1在B1点也构成直角）。由图5-36(b)可以看出，当s平面上的图形包围两个的极点时，的轨迹将反时针方向包围平面上原点两次。
在的平面上，图形包围原点的次数，取决于s平面上的封闭曲线。例如，这个曲线当s平面上的图形包围的两个极点和两个零点，相应的的轨迹将不包围原点。如图5-36（c）所示。如果这个曲线只包围一个零点，相应的的轨迹将顺时针包围原点一次，如图5-36（d）所示。如果s平面上的封闭曲线既不包围原点又不包围极点，的轨迹将永远不会包围平面上的原点，如图5-36（d）所示。
对于s平面上的每一点，除了奇点外，在平面上只有一个相应的点与之对应，即从s平面到平面的影射是一一对应的。但是，从平面到s平面的影射不是一一对应的，因为对于平面上的某一给定点，在s平面上可能有一个以上的点与之对应。例如如图5-36（c）中，对于平面上的B1点，在s平面上与之对应的有(-3,3)和(0,-3)两个点。
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，即包围的零点数与极点数相同，则在平面上，相应的封闭曲线不包围平面上的原点。上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立在影射定理的基础上。
5.5.2影射定理
设为两个s的多项式之比，并设P为的极点数，Z为的零点数，它们位于s平面上的某一封闭曲线内，且有多重极点和多重零点的情况。又设上述封闭曲线不通过的任何极点和零点。于是，s平面上的这一封闭曲线影射到平面上，也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时，在平面上，相应的轨迹顺时针包围原点的总次数R等于Z-P。
若R为正数，表示的零点数超过了极点数；若R为负数，表示的极点数超过了零点数。在控制系统应用中，由很容易确定的P数。因此，如果，的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数很容易确定。
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个轴(从到)和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成。该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)，如图5-37所示。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面，所以它包围了的所有正实部的极点和零点。如果在右半s平面不存在零点，则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。封闭曲线，即奈奎斯特曲线不通过的任何极点和零点。如果将影射定理应用到的特殊情况，可以陈述如下：如果s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面，则函数在右半s平面内的零点数等于函数右半s平面内的极点数，加上在平面内的对应封闭曲线对平面上原点的顺时针方向包围次数。
图5-37 s平面内的封闭曲线根据前面的假设条件，有
闭环即当s沿半径为无穷大的半圆运动时，函数保持常数。因此，的轨迹是否包围了平面上的原点，可以考虑s平面上的封闭曲线的一部分，即只考虑轴来确定。传函数奈奎斯特闭环系统
5.5.4奈奎斯特稳定判据
利用的轨迹，对-1+j0点的包围情况以及分析系统的方法概括为下列奈奎斯特稳定判据（对于在轴上既无极点也无零点的特殊情况）：如果开环传递函在s右半平面内有k个极点，并且，则为了使闭环系统稳定，当从变到时，的轨迹必须反时针包围-1+j0点k次。
5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明这一判据可表示为：
式中
函数在右半s平面内的零点数
对-1+j0点顺时针包围的次数
函数在右半s平面内的极点数如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须或，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。
如果函数在右半s平面内无任何极点，则。因此，为了保证系统稳定，的轨迹必须不包围-1+j0点。
5.5.6含有位于上极点和/或零点的特殊情况
图5-39 s平面上的封闭曲线和GH平面上的轨迹，其中
因为奈奎斯特轨迹不能通过的极点/和或零点。S平面上的封闭曲线的形状必须加以改进。在原点附近采用半径为无穷小的半圆，如图5-39所示。变量沿着轴从运动到，从到，变量沿着半径为（）的半圆运动，再沿着正轴从运动到。从开始，轨迹为半径为无穷大的半圆，变量沿着此轨迹返回到起始点。
图5-40 s平面上的封闭曲线和GH平面上的轨迹，其中
对于包含因子的开环传递函数，当变量s沿半径为()的半圆运动时，的图形中将有个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，考虑开环传递函数：
设 则
当s平面上的时，的相角。如图5-40所示。在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围点两次。所以函数在右半s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的。
如果含有位于轴上的极点和/或零点，则可以采用类似的方法进行分析。
奈奎斯特稳定判据（对于含有位于轴上的极点和/或零点的一般情况）：如果开环传递函数在右半s平面内有k个极点，则为了使系统稳定，当变量s顺时针通过变化后的奈奎斯特轨迹时，轨迹必须反时针方向包围点k次。
5.6稳定性分析如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含的Z个零点和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不通过的任何极点或零点，则在平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围点次（负R值表示反时针包围点）。
a)不包围-1+j0。如果这时在右半s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
b)反时针包围点。如果反时针方向包围的次数，等于在右半s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。
c)顺时针包围点。系统是不稳定的。
例5-3 设闭环系统的开环传递函数为：
的轨迹如图5-41所示。在右半s平面内没有任何极点，并且的轨迹不包围，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。
图5-41 例5-3中的极坐标图例5-4 设系统具有下列开环传递函数：
试确定以下两种情况下，系统的稳定性：(增益K较小(增益K较大。
小K值
大K值图5-42 例5-4中的极坐标图
在右半s平面内的极点数等于零。为了使系统稳定必须保证，或者说的轨迹不包围点。对于小K，的轨迹不包围点，因此系统在小K值时是稳定的。对于大K，的轨迹顺时针包围点两次，说明有两个闭环极点为位于右半s平面，因此系统在大K值时是稳定的。
例5-5 设开环传递函数为：
该系统的闭环稳定性取决于和相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。
稳定
不稳定图5-43 例5-5中的极坐标图
时，的轨迹不包围，因此，系统是稳定的。当时，的轨迹通过点，这表明闭环极点位于轴上。当 时，的轨迹顺时针方向包围点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半s平面，系统是不稳定的。
例5-6 设一个闭环系统具有下列开环传递函数：
试确定该闭环系统的稳定性。
图5-44 例5-6中的极坐标图
在右半s平面内有一个极点()，因此。图5-44中的奈奎斯特图表明，轨迹顺时针方向包围点一次，因此，。因为。这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的。
例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数：
试确定该闭环系统的稳定性。
在右半s平面内有一个极点()，因此。开环系统是不稳定的。图5-45表明轨迹逆时针方向包围点一次，因此，因为，这说明没有零点位于右半s平面内，闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。
图5-45 例5-7中的极坐标图
