第15讲
第六章 控制系统的校正前面几章中讨论了控制系统几种基本方法。掌握了这些基本方法，就可以对控制系统进行定性分析和定量计算。本章讨论另一命题，即如何根据系统预先给定的性能指标，去设计一个能满足性能要求的控制系统。基于一个控制系统可视为由控制器和被控对象两大部分组成，当被控对象确定后，对系统的设计实际上归结为对控制器的设计，这项工作称为对控制系统的校正。
在实际过程中，既要理论指导，也要重视实践经验，往往还要配合许多局部和整体的试验。所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。工程实践中常用的校正方法，串联校正、反馈校正和复合校正。
6.1 系统的设计与校正问题
6.1.1 控制系统的性能指标时域指标 稳态 型别、静态误差系数
动态 超调、调整时间频域指标 开环频率 增益穿越频率、幅值裕度和相位裕度
闭环频率 谐振峰值、谐振频率目前，工业技术界多习惯采用频率法，故通常通过近似公式进行两种指标的互换。参见书p220
（1）二阶系统频域指标与时域指标的关系谐振峰值 (6-1)
谐振频率 (6-2)
带宽频率 (6-3)
截止频率 (6-4)
相位裕度 (6-5)
超调量 (6-6)
调节时间 (6-7)
（2）高阶系统频域指标与时域指标谐振峰值 (6-8)
超调量 (6-9)
调节时间 (6-10)
6.1.2系统带宽的选择带宽频率是一项重要指标。既能以所需精度跟踪输入信号，又能拟制噪声扰动信号。在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信号，而噪声信号是高频信号。
如果输入信号的带宽为
则 (6-11)
图6-1 系统带宽的选择
6.1.3校正方式串联校正 一般接在系统误差测量点之后和放大器之前，串联接于系统前向通道之中
反馈校正 接在系统局部反馈通路中前馈校正 又称顺馈校正。单独作用于开环控制系统，也可作为反馈控制系统的附加校正而组成复合控制系统。
复合校正 在反馈控制回路中，加入前馈校正通路，组成有机整体。
(a) 串联校正
(b)反馈校正图6-2 串联校正与反馈校正
(a)前馈校正（对给定值处理） (b)前馈校正（对扰动的补偿）
图6-3前馈校正图
(a) 复合校正按扰动的复合控制方式
(b) 按输入补偿的复合控制
图6-4复合校正串联校正和反馈校正的应用场合、要求和特点串联校正 串联校正装置 有源 参数可调整，运放加RC网络，电动（气动）单元构成的PID调节器。有源 有放大器 阻抗匹配，接在前向通路能量较低的部位。
反馈校正 不需要放大器，可消除系统原有部分参数波动对系统性能的影响，在性能指标要求较高的控制系统中，常常兼用串联校正和反馈校正。
6.1.4基本控制规律
（1）比例（P）控制规律
(6-12)
提高系统开环增益，减小系统稳态误差，但会降低系统的相对稳定性。
（a）P控制器 (b)PD控制器图6-5 P控制器P控制器和PD控制器
（2）比例-微分（PD）控制规律
(6-13)
PD控制规律中的微分控制规律能反映输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性。在串联校正时，可使系统增加一个的开环零点，使系统的相角裕度提高，因此有助于系统动态性能的改善。
单独用微分也很少，对噪声敏感。
（3）积分（I）控制规律具有积分（I）控制规律的控制器，称为I控制器。
(6-14)
输出信号与其输入信号的积分成比例。为可调比例系数。当消失后，输出信号有可能是一个不为零的常量。在串联校正中，采用I控制器可以提高系统的型别（无差度），有利提高系统稳态性能，但积分控制增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生的相角滞后，于系统的稳定不利。不宜采用单一的I控制器。
（4）比例-积分（PI）控制规律具有积分比例-积分控制规律的控制器，称为PI控制器。
图6-6 积分控制器I和PI控制器
(6-15)
输出信号同时与其输入信号及输入信号的积分成比例。为可调比例系数,为可调积分时间系数。
开环极点，提高型别，减小稳态误差。
右半平面的开环零点，提高系统的阻尼程度，缓和PI极点对系统产生的不利影响。只要积分时间常数足够大，PI控制器对系统的不利影响可大为减小。PI控制器主要用来改善控制系统的稳态性能。
（5）比例（PID）控制规律
图6-7 PID控制器具有积分比例-积分控制规律的控制器，称为PI控制器。
(6-16)
(6-17)
如果
增加一个极点，提高型别，稳态性能两个负实零点，动态性能比PI更具优越性
I积分发生在低频段，稳态性能(提高)
D微分发生在高频段，动态性能(改善)。
6.2常用校正装置及其特性
6.2.1无源校正网络
1.无源超前校正一般而言，当控制系统的开环增益增大到满足其静态性能所要求的数值时，系统有可能不稳定，或者即使能稳定，其动态性能一般也不会理想。在这种情况下，需在系统的前向通路中增加超前校正装置，以实现在开环增益不变的前题下，系统的动态性能亦能满足设计的要求。本节先讨论超前校正网络的特性，而后介绍基于频率响应法的超前校正装置的设计过程。
(a) (b)
图6-8无源超前网络图6-8为常用的无源超前网络。假设该网络信号源的阻抗很小，可以忽略不计，而输出负载的阻抗为无穷大，则其传递函数为
时间常数分度系数
(6-18)
注：?采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降倍，因此需要提高放大器增益加以补偿，见图6-9所示。此时的传递函数 (6-19)
图6-9带有附加放大器的无源超前校正网络
(超前网络的零极点分布见图6-8(b)所示。由于故超前网络的负实零点总是位于负实极点之右，两者之间的距离由常数决定。可知改变和T(即电路的参数)的数值，超前网络的零极点可在s平面的负实轴任意移动。
( 对应式(6-19)得
(6-20)
(6-21)
画出对数频率特性如图6-10所示。显然，超前网络对频率在之间的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内输出信号相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而得。
频率特性
最大超前角及最大超前角处幅值与分度系数的关系曲线
图6-10无源超前网络特性由(6-21)知 (6-22)
将上式对求导并令其为零，得最大超前角频率
(6-23)
将(6-23) 代入(6-22)，得最大超前角
(6-24)
故在最大超前角频率处，具有最大超前角，正好处于频率与的几何中心。
的几何中心为
(6-25)
即几何中心为。
(6-26)
由式(6-24) 和式(6-26)可画出最大超前相角与分度系数a及与a的关系曲线。如图6-16(b)。。但a不能取得太大(为了保证较高的信噪比),a一般不超过20由图可知，这种超前校正网络的最大相位超前角一般不大于。如果需要大于的相位超前角，则要在两个超前网络相串联来实现，并在所串联的两个网络之间加一隔离放大器，以消除它们之间的负载效应。
2.无源滞后网络
图6-11无源滞后网络条件：如果信号源的内部阻抗为零，负载阻抗为无穷大，则滞后网络的传递函数为
时间常数分度系数
(6-27)
图6-12无源滞后网络特性由图6-12可知(同超前网络，滞后网络在时，对信号没有衰减作用，时，对信号有积分作用，呈滞后特性，时，对信号衰减作用为，b越小，这种衰减作用越强。
(同超前网络，最大滞后角，发生在几何中心，称为最大滞后角频率，计算公式为
(6-28)
( 6-29)
(采用无源滞后网络进行串联校正时，主要利用其高频幅值衰减的特性，以降低系统的开环截止频率，提高系统的相位裕度。滞后网络怎么能提高系统的相位裕度呢？
在设计中力求避免最大滞后角发生在已校系统开环截止频率附近。选择滞后网络参数时，通常使网络的交接频率远小于。一般取
(6-30)
此时，滞后网络在处产生的相位滞后按下式确定
将代入上式
(6-31)
b与和20lgb的关系如图6-13所示。
图6-13 b与和20lgb的关系
3.无源滞后-超前网络
图6-14 无源滞后-超前网络
图6-15 无源滞后-超前网络频率特性传递函数为
(6-32)
令设
，则有，
，a是该方程的解式(6-32)表示为
(6-33)
将(6-33)写成频率特性
滞后超前的伯特图如图6-15所示。
求相角为零时的角频率
( (
(6-34)
当的频段，校正网络具有相位滞后特性
的频段，校正网络具有相位超前特性。
6.2.2有源校正网络
实际控制系统中广泛采用无源网络进行串联校正，但在放大器级间接入无源校正网络后，由于负载效应问题，有时难以实现希望的规律。此外，复杂网络的设计和调整也不方便。因此，需要采用有源校正装置。
第六章 控制系统的校正前面几章中讨论了控制系统几种基本方法。掌握了这些基本方法，就可以对控制系统进行定性分析和定量计算。本章讨论另一命题，即如何根据系统预先给定的性能指标，去设计一个能满足性能要求的控制系统。基于一个控制系统可视为由控制器和被控对象两大部分组成，当被控对象确定后，对系统的设计实际上归结为对控制器的设计，这项工作称为对控制系统的校正。
在实际过程中，既要理论指导，也要重视实践经验，往往还要配合许多局部和整体的试验。所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。工程实践中常用的校正方法，串联校正、反馈校正和复合校正。
6.1 系统的设计与校正问题
6.1.1 控制系统的性能指标时域指标 稳态 型别、静态误差系数
动态 超调、调整时间频域指标 开环频率 增益穿越频率、幅值裕度和相位裕度
闭环频率 谐振峰值、谐振频率目前，工业技术界多习惯采用频率法，故通常通过近似公式进行两种指标的互换。参见书p220
（1）二阶系统频域指标与时域指标的关系谐振峰值 (6-1)
谐振频率 (6-2)
带宽频率 (6-3)
截止频率 (6-4)
相位裕度 (6-5)
超调量 (6-6)
调节时间 (6-7)
（2）高阶系统频域指标与时域指标谐振峰值 (6-8)
超调量 (6-9)
调节时间 (6-10)
6.1.2系统带宽的选择带宽频率是一项重要指标。既能以所需精度跟踪输入信号，又能拟制噪声扰动信号。在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信号，而噪声信号是高频信号。
如果输入信号的带宽为
则 (6-11)
图6-1 系统带宽的选择
6.1.3校正方式串联校正 一般接在系统误差测量点之后和放大器之前，串联接于系统前向通道之中
反馈校正 接在系统局部反馈通路中前馈校正 又称顺馈校正。单独作用于开环控制系统，也可作为反馈控制系统的附加校正而组成复合控制系统。
复合校正 在反馈控制回路中，加入前馈校正通路，组成有机整体。
(a) 串联校正
(b)反馈校正图6-2 串联校正与反馈校正
(a)前馈校正（对给定值处理） (b)前馈校正（对扰动的补偿）
图6-3前馈校正图
(a) 复合校正按扰动的复合控制方式
(b) 按输入补偿的复合控制
图6-4复合校正串联校正和反馈校正的应用场合、要求和特点串联校正 串联校正装置 有源 参数可调整，运放加RC网络，电动（气动）单元构成的PID调节器。有源 有放大器 阻抗匹配，接在前向通路能量较低的部位。
反馈校正 不需要放大器，可消除系统原有部分参数波动对系统性能的影响，在性能指标要求较高的控制系统中，常常兼用串联校正和反馈校正。
6.1.4基本控制规律
（1）比例（P）控制规律
(6-12)
提高系统开环增益，减小系统稳态误差，但会降低系统的相对稳定性。
（a）P控制器 (b)PD控制器图6-5 P控制器P控制器和PD控制器
（2）比例-微分（PD）控制规律
(6-13)
PD控制规律中的微分控制规律能反映输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性。在串联校正时，可使系统增加一个的开环零点，使系统的相角裕度提高，因此有助于系统动态性能的改善。
单独用微分也很少，对噪声敏感。
（3）积分（I）控制规律具有积分（I）控制规律的控制器，称为I控制器。
(6-14)
输出信号与其输入信号的积分成比例。为可调比例系数。当消失后，输出信号有可能是一个不为零的常量。在串联校正中，采用I控制器可以提高系统的型别（无差度），有利提高系统稳态性能，但积分控制增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生的相角滞后，于系统的稳定不利。不宜采用单一的I控制器。
（4）比例-积分（PI）控制规律具有积分比例-积分控制规律的控制器，称为PI控制器。
图6-6 积分控制器I和PI控制器
(6-15)
输出信号同时与其输入信号及输入信号的积分成比例。为可调比例系数,为可调积分时间系数。
开环极点，提高型别，减小稳态误差。
右半平面的开环零点，提高系统的阻尼程度，缓和PI极点对系统产生的不利影响。只要积分时间常数足够大，PI控制器对系统的不利影响可大为减小。PI控制器主要用来改善控制系统的稳态性能。
（5）比例（PID）控制规律
图6-7 PID控制器具有积分比例-积分控制规律的控制器，称为PI控制器。
(6-16)
(6-17)
如果
增加一个极点，提高型别，稳态性能两个负实零点，动态性能比PI更具优越性
I积分发生在低频段，稳态性能(提高)
D微分发生在高频段，动态性能(改善)。
6.2常用校正装置及其特性
6.2.1无源校正网络
1.无源超前校正一般而言，当控制系统的开环增益增大到满足其静态性能所要求的数值时，系统有可能不稳定，或者即使能稳定，其动态性能一般也不会理想。在这种情况下，需在系统的前向通路中增加超前校正装置，以实现在开环增益不变的前题下，系统的动态性能亦能满足设计的要求。本节先讨论超前校正网络的特性，而后介绍基于频率响应法的超前校正装置的设计过程。
(a) (b)
图6-8无源超前网络图6-8为常用的无源超前网络。假设该网络信号源的阻抗很小，可以忽略不计，而输出负载的阻抗为无穷大，则其传递函数为
时间常数分度系数
(6-18)
注：?采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降倍，因此需要提高放大器增益加以补偿，见图6-9所示。此时的传递函数 (6-19)
图6-9带有附加放大器的无源超前校正网络
(超前网络的零极点分布见图6-8(b)所示。由于故超前网络的负实零点总是位于负实极点之右，两者之间的距离由常数决定。可知改变和T(即电路的参数)的数值，超前网络的零极点可在s平面的负实轴任意移动。
( 对应式(6-19)得
(6-20)
(6-21)
画出对数频率特性如图6-10所示。显然，超前网络对频率在之间的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内输出信号相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而得。
频率特性
最大超前角及最大超前角处幅值与分度系数的关系曲线
图6-10无源超前网络特性由(6-21)知 (6-22)
将上式对求导并令其为零，得最大超前角频率
(6-23)
将(6-23) 代入(6-22)，得最大超前角
(6-24)
故在最大超前角频率处，具有最大超前角，正好处于频率与的几何中心。
的几何中心为
(6-25)
即几何中心为。
(6-26)
由式(6-24) 和式(6-26)可画出最大超前相角与分度系数a及与a的关系曲线。如图6-16(b)。。但a不能取得太大(为了保证较高的信噪比),a一般不超过20由图可知，这种超前校正网络的最大相位超前角一般不大于。如果需要大于的相位超前角，则要在两个超前网络相串联来实现，并在所串联的两个网络之间加一隔离放大器，以消除它们之间的负载效应。
2.无源滞后网络
图6-11无源滞后网络条件：如果信号源的内部阻抗为零，负载阻抗为无穷大，则滞后网络的传递函数为
时间常数分度系数
(6-27)
图6-12无源滞后网络特性由图6-12可知(同超前网络，滞后网络在时，对信号没有衰减作用，时，对信号有积分作用，呈滞后特性，时，对信号衰减作用为，b越小，这种衰减作用越强。
(同超前网络，最大滞后角，发生在几何中心，称为最大滞后角频率，计算公式为
(6-28)
( 6-29)
(采用无源滞后网络进行串联校正时，主要利用其高频幅值衰减的特性，以降低系统的开环截止频率，提高系统的相位裕度。滞后网络怎么能提高系统的相位裕度呢？
在设计中力求避免最大滞后角发生在已校系统开环截止频率附近。选择滞后网络参数时，通常使网络的交接频率远小于。一般取
(6-30)
此时，滞后网络在处产生的相位滞后按下式确定
将代入上式
(6-31)
b与和20lgb的关系如图6-13所示。
图6-13 b与和20lgb的关系
3.无源滞后-超前网络
图6-14 无源滞后-超前网络
图6-15 无源滞后-超前网络频率特性传递函数为
(6-32)
令设
，则有，
，a是该方程的解式(6-32)表示为
(6-33)
将(6-33)写成频率特性
滞后超前的伯特图如图6-15所示。
求相角为零时的角频率
( (
(6-34)
当的频段，校正网络具有相位滞后特性
的频段，校正网络具有相位超前特性。
6.2.2有源校正网络
实际控制系统中广泛采用无源网络进行串联校正，但在放大器级间接入无源校正网络后，由于负载效应问题，有时难以实现希望的规律。此外，复杂网络的设计和调整也不方便。因此，需要采用有源校正装置。
