第二章 控制系统的数学模型
2.1 引言
控制系统是由控制对象、执行机构、放大器、检测（测量）装置和控制器等组成。
数学模型,在分析和设计系统时，了解这些砖砖瓦瓦的工作原理及运动过程是很重要的，更重要的是深入研究它们的动态特性，正确列写出它们的数学表达式。
我们把描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。
深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型－称建模，只有得到较为准确的数学建模，才能设计出性能良好的控制系统。
动态特性 控制系统所采用的元件种类繁多，虽然各自服从的规律，但它们有一共同点：即任何系统或元件总有物质或能量流入，同时又有某些物质或能量流出，系统通常又是有贮存物质或能量的能力，贮存量的多少用状态变量来表示。状态变量是反应系统流入量或流出量之间平衡的物理量，由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的，不可能是无穷大，因此，系统的状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成，而要经过一段时间。这样，状态变量的变化就有一个过程，这就是动态过程。例如，电路中电容上的电压是一个状态变量，它由一个值变到另一个值不可能瞬间完成。具有一定惯量的物体的转速是一个状态变量，转速的变化也是一个过渡过程，具有一定质量的物体的温度是一个状态变量，它由温度T0变到T，同样有一个动态过程；又如容器中液位也是一个状态变量，液位的变化也要一定的时间。
物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。
建立控制系统数学模型的方法有
分析法－对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律建立系统数学模型的几个步骤：
建立物理模型。
列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）
选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。
实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。
数学模型的逼近数学模型有多种表现形式
一、时 1微分方程－输入量和状态变量都是连续的。集总参数
偏微分方程，分布参数
2差分方程－离散系统
二、复域 1传递函数
2 结构图－信号流图
三、频率－频率特性，波特图
连续系统－微分方程 1线性微分方程 线性系统时 2常系数线性微分方程 线性定常系统 线性时变系统
3偏微分方程－分布参数系统
域 4非线性微分方程离散系统－差分方程
2.2 控制系统的时域数学模型
2.2.1线性元件的微分方程例2-1 图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。
解,设回路电流i1、i2
根据克希霍夫定律，列写方程
①
②
③
④
⑤
由④、⑤得
由②导出
将i1、i2代入①、③，则得
这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。
例2-2 试证明图2-2(a)、(b)所示的机、电系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。
解,对机械网络：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式
对电气网络(b)，列写电路方程如下：
①
②
③
④
利用②、③、④求出
代入①
将①两边微分得
力-电压相似机械 电气
B1 阻尼 R1 电阻
B2 R2
K1 弹性系数
K2 弹性系数
可见，机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络）
相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。
为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统......
因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。
例3 图2-3 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速ωm（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。
解,电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。
·电枢回路电压平衡方程：
①
Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即
Ea=Ceωm（t） Ce－反电势系数（v/rad/s） ②
·电磁转距方程,Mm(t)=Cmia(t) ③
Cm-电动机转距系数（N·M/A）是电动机转距系数。
Mm(t)-是由电枢电流产生的电磁转距（N·M）
·电动机轴上的转距平衡方程：
④
Jm－转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kg·m·
fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（N·m/rad/s）
③、④求出ia(t)，代入①同时②亦代入①得：
⑤
在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而⑤可简化为
⑥
式中 电动机机电时间常数（s）
电动机传递系数如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 ⑥还可进一步简化为
⑦
电动机的转速Wm(t)与电枢电压Ua(t)成正比，于是 电动机可作为测速发电机使用。
系统最基本的数学模型是它的微分方程式。建立微分方程的步骤如下：
①确定系统的输入量和输出量
②将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。
③消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。
2.2.2 线性微分方程的求解
2.2.3 非线性元件微分方程的线性化
具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一断直线来代替。（分段定常系统）
·一个变量的非线性函数 y=f(x)
在x0处连续可微，则可将它在该点附件用台劳级数展开
增量较小时略去其高次幂项，则有
Δy k Δx
Δy=kΔx 比例系数，函数在x0点切线的斜率
·两个变量的非线性函数
y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附件用台劳级数展开为
略去二级以上导数项，并令Δy＝y-f(x10,x20)
Δx1=x-x10
Δx2=x-x20
这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点”。
例2-4 试把非线性方程 z=xy 在区域5≤x≤7、10≤y≤12上线性化。求用线性化方程来计算当x=5，y=10时z值所产生的误差。
解,由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0
=6×11=66.
求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有
z-z0=a(x-x0)+b(y-y0)
式中
因此，线性化方程式为：
z-66=11(x-6)+6(y-11)
z=11x+6y-66
当x=5,y=10时，z的精确值为z=xy=5×10=50
由线性化方程求得的z值为z=11x+6y=55+60-66=49
因此，误差为50-49=1，表示成百分数
第4讲
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0
② t>0时，f(t)分段连续
则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作
⑵拉氏变换基本定理
·线性定理
·位移定理
·延迟定理
·终值定理
·初值定理
·微分定理
·积分定理
⑶ 拉氏反变换
F(s)化成下列因式分解形式：
a. F(s)中具有不同的极点时，可展开为
b. F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
c. F(s)含有多重极点时，可展开为
其余各个极点的留数确定方法与上同。
F(s)
f(t)
1
1(t)
t
第4讲补补充 电路的运算分析法－拉普拉斯变换分析法
⑴ 引言
拉普拉斯的由来即拉普拉斯法的作用与地位一、 定义大量的实例 求、1(t)、t、、等函数的拉氏变换。
二、 性质
①线性 ②相似（尺度） ③时延 ④位移（平域平移）
⑤微分 ⑥积分 ⑦初值 ⑧终值三、 拉普拉斯逆变换展开定理
m>m ① D(s)=0 有n个不相等的单根
② D(s)＝0 有实根的情况 m阶重根。
③ D(s)=0 有复根的情况
5.2 符号法 （拉普拉斯变换法）
一、 元件的运算模型
1、电阻 U(s)=RI(s)
2、电感 U(s)
3、电容
二、 电路定律的运算形式时域
线性定理向量法中各种分析方法 ① 阻抗的串并联
② 回路电流法 均可移植到运算法中
③ 节点电压法
④ 叠加定理和戴维南定理三、 运算法应用拉氏变换求解线性动态电路的方法称为运算法。
从原理上说，分析线性动态电路，应先列出电路的微分方程，然后应用拉氏变换将微分方程转化为代数方程求解。但在工程分析中，往往直接利用运算电路图写出运算形式的代数方程，从而简化求解过程。
三步,
①计算t=0时电路中储能元件的初始值，画出换路后的运算电路。
②列出电路运算形式的方程，求出响应的象函数。
③应用展开定理求响应的原函数。
例 接通单位冲激电压源，试求Uc(t)。
解：①画出运算电路
②应用节点电压法
据电学基本定律可列出下列方程组：
消去中间变量i(t)，得：
在初始条件为零的情况下，进行拉氏变换得：
可见，输入输出象函数之比只与本电路结构参数R、C有关。它可用来表征电路本身的特性，称为传递函数。由上述电路得到的这一概念可推广到一般情况。
第4讲
2.3 控制系统的复域数学模型
2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初使条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化是分析较麻烦。
用拉氏变化法求结微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和是与系统结构和参数有关的常系数。
设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令c(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为：
于是，由定义得系统传递函数为：
式中
例5 求例2机械系统与电路系统的传递函数和
性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所具有复变量函数的所有性质。
性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。
性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。
性质4 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。
性质5 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。
数学模型 是（表示）输出变量和输入变量微分方程的运算模型（operational mode）
性质6 传递函数与微分方程之间有关系。
如果将置换
性质7 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)
脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。
在例1-1中，设
当输入为单位阶跃函数，即时，求输出
解,根据例1得到的微分方程。
2.3.2 传递函数的极点和零点对输出的影响
为传递函数的零点
为传递函数的极点极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。
零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。
2.3.4典型元部件的传递函数
·电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。
单个电位器用作为信号变换装置。
单位角位移，输出电压（v/rad）
E-电位器电源（v）
－电位器最大工作角（rad）
2.4.5典型环节及其传递函数任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。典型环节通常分为以下六种：
1 比例环节
式中 K-增益
特点,输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。
2 惯性环节
式中 T-时间常数
特点,含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。
实例：图2-4所示的RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。
3 微分环节理想微分
一阶微分
二阶微分
特点,输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。
实例,测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。
4 积分环节
特点,输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。
实例,电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。
5 振荡环节
式中 ξ－阻尼比
-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。
实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。
6 纯时间延时环节
式中 －延迟时间特点,输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。
实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。
一对电位器可组成误差检测器
K1是单个电位器的传递系统，是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。
电位器的负载效应，一般要求
测速发电机－测量角速度并将它转换成电压量的装置
直流测速发电机
交流测速发电机
转子角速度（rad/s）
输出斜率（v/rad/s）
电枢控制直流伺服电动机中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为
可视为负载扰动转距根据线性系统的叠加原理，分别求到和到的传递函数。
a 令＝0
由传递函数定义
b 令
∵ ∴
两相伺服电动机 两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成定子线圈的一相是激磁绕组，另一相是控制绕组，通常接在功率放大器的输出端，提供数值和极性可变的交流控制电压。
