第5章 线性系统的频域分析法
Frequency-response analysis
5.1频率特性及其表示法
幅相曲线 对数频率特性曲线
5.2典型环节的幅相曲线
5.3稳定裕度和判据已经学习了用线性常微分方程和传递函数描述线性定常系统，这两种模型分别在时域和复频域中对系统进行了描述。下面介绍一种数学模型——频率特性函数，这种模型是对系统的一种频域刻画，在系统分析中有重要作用。(判断系统是否稳定，(稳定程度——稳定裕度。
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。（是以传递函数为基础的又一种图解法。与根轨迹法相比较，根轨迹法是一种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法，特别对于高阶系统）。
与其他方法相比较，频率响应法还具有如下特点：
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。
（2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。
（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。
5.1频率特性及其表示法
5.1.1 频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。设线性系统的输入为一频率为的正弦信号，在稳态时，系统的输出具有和输入同频率的正弦函数，但其振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化，如图5.1所示。
图
图5.2 例5.1的输入u(t)，全响应y(t)和稳态响应yss(t)
考虑系统传递函数为
设系统的传递函数为
已知输入，其拉氏变换，A为常量，则系统输出为
(5-1)
式中，为G(s)的极点。对于稳定系统，这些极点都位于s平面的左方，即它们的实部均为负值。为简单起见，令G(s)的极点均为相异的实数极点，则式(5-1) 改写为
(5-2)
均为待定系数。对上式取拉氏反变换，求得
(5-3)
当时，系统响应的瞬态分量趋向于零，其稳态分量为 (5-4)
其中系数由下式确定
(5-5) (5-6) 由于是一个复数向量，因而可表示为
(5-7)
因为G(s)的分子和分母多项式为实系数,故为关于的偶次幂实系数多项式，为关于的奇次幂实系数多项式，即为的偶函数，为的奇函数。
(5-8)
(5-9)
(5-10)
(5-11)
(5-12)
将式(5-5),式(5-6),式(5-7)和 式(5-11)代入式 (5-4)，求得
(5-13)
以上证明了线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的幅值比为，输出与输入的相位差。
下面以R-C电路为例，说明频率特性的物理意义。图5-3所示电路的传递函数为
(5-14)
设输入电压，由复阻抗的概念求得
(5-15)
如上所述，可以改写为
(5-16)
式中，；；
称为电路的频率特性。显然，它由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅值与相位无关。是的幅值，它表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。是的相角，它表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差。由于和都是输入信号频率的函数，故它们分别被称为电路的幅频特性和相频特性。
综上所述，式 (5-15)所示频率特性的物理意义是：当一频率为的正弦信号加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比；或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。
(a) 幅频特性
(b)相频特性图5-4 R-C电路的频率特性比较式(5-14),(5-15)，可见频率特性与传递函数具有十分相似的形式，只要把传递函数中的用代之，就得到系统（元件）的频率特性，即有
(5-17)
图5-5频率特性、传递函数和微分方程三种描述之间的关系
5.1.2 频率特性的表示法
(1)对数坐标图(Bode diagram or logarithmic plot)
(2)极坐标图(Polar plot)
(3)对数幅相图(Log-magnitude versus phase plot)
(1)对数坐标图(Bode diagram or logarithmic plot)
对数频率特性。
对数频率特性曲线，由两张图组成：一张是对数幅频特性，它的纵坐标为，单位是分贝，用符号表示。常用表示。另一张是相频特性图。它的纵坐标为(()，两张图的纵坐标均按线性分度，横坐标是角速率，采用分度(为了在一张图上同时能展示出频率特性的低频和高频部分)。故坐标点不得为零。1到10的距离等于10到100的距离，这个距离表示10倍频程，用dec表示。
优点：(幅频特性的乘除运算转变为加减运算。(对系统作近似分析时，只需画出对数幅频特性曲线的渐进线，大大简化了图形的绘制。(用实验方法，将测得系统（或环节）频率响应得数据画在半对数坐标纸上。根据所作出的曲线，估计被测系统的传递函数。
(2)极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，幅相曲线频率特性是复数。可用幅值和相角的向量表示。当输入信号的频率由变化时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。这种图形主要用于对闭环系统稳定性的研究，奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述了反馈系统稳定性的论证。利用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，而不必解出特征根。为纪念他对控制系统作出的贡献，这种图又名奈奎斯特曲线，简称奈氏图。
5.2典型环节频率特性曲线的绘制
5.2.0 典型环节最小相位系统
(比例环节
(惯性环节
(一阶微分环节
(振荡环节 ()；
(二阶微分环节 ()；
(积分环节1/s；
(微分环节s；
非最小相位系统
(比例环节
(惯性环节
(一阶微分环节
(振荡环节 ()；
(二阶微分环节 ()；
5.2.1 增益K
当K值大于1时，其分贝数为正，当K值小于1时，其分贝数为负。当增益为常数时，其对数幅频特性曲线为一条水平直线，且幅值等于分贝，增益的相角为零。改变传递函数中增益会导致传递函数的对数幅频特性曲线上升或下降一个相应的常数，但不会影响相位曲线。如图5-6所示。图5-7给出了数值-分贝转换直线，任何一个数值的分贝都可以由该直线求到。当数值增大10倍时，其相应的分贝数增加20。这可以由下式看出。
类似地，
幅频特性和相频特性曲线 请看下页
图5-6 增益K的对数频率特性曲线
图5-7 数值与分贝转换直线
5.2.2 积分与微分因子
当以分贝表示的对数幅值时，其值为：
分贝
的相角为常量，且等于。
在伯德图中，频率比可以用倍频或十倍频程来表示。倍频程是频率从变到的频带宽度，其中为任意频率值，十倍频程是频率从变到的频带宽度，其中也是一个任意频率值（在半对数坐标纸上的对数分度情况下，对于任意给定的频率比，可以用同一水平距离表示。例如，从到的水平距离，等于从到的水平距离）。图5-8为积分因子的对数频率特性曲线。，
，所以该直线的斜率为-20分贝/十倍频程（或-6分贝/倍频程）
图5-8 积分环节的对数频率特性曲线类似地,的对数幅值时以分贝表示时为：
的相角为常量，且等于。
，所以该直线的斜率为20分贝/十倍频程。图5-9为微分环节的对数频率特性曲线。由图5-8和图5-9可知，积分与微分的对数幅值的斜率相差一个符号，且相角也相差一个符号。当时，两条对数幅频曲线交于一点都等于零。-20dB/dec
图5-9 微分环节的对数频率特性曲线如果传递函数中包含因子或，则对数幅值和相角分别为：
。这些幅频特性曲线将通过点（）。
-20dB/dec
图5-10的对数频率特性曲线
5.2.3 一阶因子
一阶因子的对数幅频特性和相频特性分别为：
在低频时，即时，，因此，低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线。
在高频时，时，其对数幅值曲线可近似地表示为
，对于的每十倍频程，减小20分贝。因此时，一阶因子的对数幅频特性曲线是一条直线，且斜率为-20分贝/十倍频程。图5-10表示了精确对数幅频特性曲线及渐近线，以及精确(Exact curve)的相角曲线。
图5-11惯性环节的对数频率特性[渐近线精确曲线]
两条渐近线(Asymptote)相交处的频率，称为转角频率或交接频率。（Corner frequency）渐近线渐近线
图5-12 一阶因子的频率响应曲线以渐近线表示时，引起的对数幅值误差
图5-13 一阶因子的对数频率特性曲线
5.2.4 二阶因子
控制系统常常具有下列二阶因子的形式：
(5-18)
(5-19)
在低频时，即当时，其对数幅值为：
-20log1=0dB 因此，低频渐近线为一条0分贝的水平线。在高频时，即当时，其其对数幅值为：
(5-20)
因为
所以高频渐近线的方程是一条斜率为-40分贝/十倍频程的直线。
由于在时
(5-21)
所以高频渐近线与低频渐近线在处相交。这个频率就是上述二阶因子的转角频率。
图5-14 二阶因子的对数幅频特性曲线频率
图5-15 二阶因子的对数相频特性曲线频率
图5-16 二阶因子的频率响应曲线以渐近线表示时，引起的对数幅值误差频特性 (5-18) (5-14) (5-14) 幅值幅值渐近线
(5-22)
令 (5-23)
(5-24)
(5-25)
时有最小值有最大值，这个最大值称为谐振峰值，用表示。
(5-26)
谐振频率
图5-15与关系曲线当时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振开环系统的伯德图其步骤如下：
写出开环频率特性表达式，将所含各因子的转折频率由大到小依次标在频率轴上。
绘制开环对数幅频曲线的渐近线。渐近线由若干条分段直线所组成，其低频段的斜率为。在处，。以低频段作为分段直线的起始段，沿着频率增大的方向，每遇到一个转折频率，就改变一次分段直线的斜率。如遇到因子的转折频率，当时，分段直线斜率的变化量为；如遇到因子的转折频率，当时，分段直线斜率的变化量为；其他因子用类同的方法处理。分段直线的最后一段是开环对数幅频曲线的高频渐近线，其斜率为，n为极点数，m为零点数。转折频率低频段作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正。
作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线。
例5-1已知一反馈控制系统的开环传递函数为
试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直线表示）伯德图伯德图解：开环频率特性为
最小相位系统与非最小相位系统系统的零点和极点均位于s左半平面称为最小相位系统；
Frequency-response analysis
5.1频率特性及其表示法
幅相曲线 对数频率特性曲线
5.2典型环节的幅相曲线
5.3稳定裕度和判据已经学习了用线性常微分方程和传递函数描述线性定常系统，这两种模型分别在时域和复频域中对系统进行了描述。下面介绍一种数学模型——频率特性函数，这种模型是对系统的一种频域刻画，在系统分析中有重要作用。(判断系统是否稳定，(稳定程度——稳定裕度。
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。（是以传递函数为基础的又一种图解法。与根轨迹法相比较，根轨迹法是一种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法，特别对于高阶系统）。
与其他方法相比较，频率响应法还具有如下特点：
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。
（2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。
（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。
5.1频率特性及其表示法
5.1.1 频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。设线性系统的输入为一频率为的正弦信号，在稳态时，系统的输出具有和输入同频率的正弦函数，但其振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化，如图5.1所示。
图
图5.2 例5.1的输入u(t)，全响应y(t)和稳态响应yss(t)
考虑系统传递函数为
设系统的传递函数为
已知输入，其拉氏变换，A为常量，则系统输出为
(5-1)
式中，为G(s)的极点。对于稳定系统，这些极点都位于s平面的左方，即它们的实部均为负值。为简单起见，令G(s)的极点均为相异的实数极点，则式(5-1) 改写为
(5-2)
均为待定系数。对上式取拉氏反变换，求得
(5-3)
当时，系统响应的瞬态分量趋向于零，其稳态分量为 (5-4)
其中系数由下式确定
(5-5) (5-6) 由于是一个复数向量，因而可表示为
(5-7)
因为G(s)的分子和分母多项式为实系数,故为关于的偶次幂实系数多项式，为关于的奇次幂实系数多项式，即为的偶函数，为的奇函数。
(5-8)
(5-9)
(5-10)
(5-11)
(5-12)
将式(5-5),式(5-6),式(5-7)和 式(5-11)代入式 (5-4)，求得
(5-13)
以上证明了线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的幅值比为，输出与输入的相位差。
下面以R-C电路为例，说明频率特性的物理意义。图5-3所示电路的传递函数为
(5-14)
设输入电压，由复阻抗的概念求得
(5-15)
如上所述，可以改写为
(5-16)
式中，；；
称为电路的频率特性。显然，它由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅值与相位无关。是的幅值，它表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。是的相角，它表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差。由于和都是输入信号频率的函数，故它们分别被称为电路的幅频特性和相频特性。
综上所述，式 (5-15)所示频率特性的物理意义是：当一频率为的正弦信号加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比；或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。
(a) 幅频特性
(b)相频特性图5-4 R-C电路的频率特性比较式(5-14),(5-15)，可见频率特性与传递函数具有十分相似的形式，只要把传递函数中的用代之，就得到系统（元件）的频率特性，即有
(5-17)
图5-5频率特性、传递函数和微分方程三种描述之间的关系
5.1.2 频率特性的表示法
(1)对数坐标图(Bode diagram or logarithmic plot)
(2)极坐标图(Polar plot)
(3)对数幅相图(Log-magnitude versus phase plot)
(1)对数坐标图(Bode diagram or logarithmic plot)
对数频率特性。
对数频率特性曲线，由两张图组成：一张是对数幅频特性，它的纵坐标为，单位是分贝，用符号表示。常用表示。另一张是相频特性图。它的纵坐标为(()，两张图的纵坐标均按线性分度，横坐标是角速率，采用分度(为了在一张图上同时能展示出频率特性的低频和高频部分)。故坐标点不得为零。1到10的距离等于10到100的距离，这个距离表示10倍频程，用dec表示。
优点：(幅频特性的乘除运算转变为加减运算。(对系统作近似分析时，只需画出对数幅频特性曲线的渐进线，大大简化了图形的绘制。(用实验方法，将测得系统（或环节）频率响应得数据画在半对数坐标纸上。根据所作出的曲线，估计被测系统的传递函数。
(2)极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，幅相曲线频率特性是复数。可用幅值和相角的向量表示。当输入信号的频率由变化时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。这种图形主要用于对闭环系统稳定性的研究，奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述了反馈系统稳定性的论证。利用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，而不必解出特征根。为纪念他对控制系统作出的贡献，这种图又名奈奎斯特曲线，简称奈氏图。
5.2典型环节频率特性曲线的绘制
5.2.0 典型环节最小相位系统
(比例环节
(惯性环节
(一阶微分环节
(振荡环节 ()；
(二阶微分环节 ()；
(积分环节1/s；
(微分环节s；
非最小相位系统
(比例环节
(惯性环节
(一阶微分环节
(振荡环节 ()；
(二阶微分环节 ()；
5.2.1 增益K
当K值大于1时，其分贝数为正，当K值小于1时，其分贝数为负。当增益为常数时，其对数幅频特性曲线为一条水平直线，且幅值等于分贝，增益的相角为零。改变传递函数中增益会导致传递函数的对数幅频特性曲线上升或下降一个相应的常数，但不会影响相位曲线。如图5-6所示。图5-7给出了数值-分贝转换直线，任何一个数值的分贝都可以由该直线求到。当数值增大10倍时，其相应的分贝数增加20。这可以由下式看出。
类似地，
幅频特性和相频特性曲线 请看下页
图5-6 增益K的对数频率特性曲线
图5-7 数值与分贝转换直线
5.2.2 积分与微分因子
当以分贝表示的对数幅值时，其值为：
分贝
的相角为常量，且等于。
在伯德图中，频率比可以用倍频或十倍频程来表示。倍频程是频率从变到的频带宽度，其中为任意频率值，十倍频程是频率从变到的频带宽度，其中也是一个任意频率值（在半对数坐标纸上的对数分度情况下，对于任意给定的频率比，可以用同一水平距离表示。例如，从到的水平距离，等于从到的水平距离）。图5-8为积分因子的对数频率特性曲线。，
，所以该直线的斜率为-20分贝/十倍频程（或-6分贝/倍频程）
图5-8 积分环节的对数频率特性曲线类似地,的对数幅值时以分贝表示时为：
的相角为常量，且等于。
，所以该直线的斜率为20分贝/十倍频程。图5-9为微分环节的对数频率特性曲线。由图5-8和图5-9可知，积分与微分的对数幅值的斜率相差一个符号，且相角也相差一个符号。当时，两条对数幅频曲线交于一点都等于零。-20dB/dec
图5-9 微分环节的对数频率特性曲线如果传递函数中包含因子或，则对数幅值和相角分别为：
。这些幅频特性曲线将通过点（）。
-20dB/dec
图5-10的对数频率特性曲线
5.2.3 一阶因子
一阶因子的对数幅频特性和相频特性分别为：
在低频时，即时，，因此，低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线。
在高频时，时，其对数幅值曲线可近似地表示为
，对于的每十倍频程，减小20分贝。因此时，一阶因子的对数幅频特性曲线是一条直线，且斜率为-20分贝/十倍频程。图5-10表示了精确对数幅频特性曲线及渐近线，以及精确(Exact curve)的相角曲线。
图5-11惯性环节的对数频率特性[渐近线精确曲线]
两条渐近线(Asymptote)相交处的频率，称为转角频率或交接频率。（Corner frequency）渐近线渐近线
图5-12 一阶因子的频率响应曲线以渐近线表示时，引起的对数幅值误差
图5-13 一阶因子的对数频率特性曲线
5.2.4 二阶因子
控制系统常常具有下列二阶因子的形式：
(5-18)
(5-19)
在低频时，即当时，其对数幅值为：
-20log1=0dB 因此，低频渐近线为一条0分贝的水平线。在高频时，即当时，其其对数幅值为：
(5-20)
因为
所以高频渐近线的方程是一条斜率为-40分贝/十倍频程的直线。
由于在时
(5-21)
所以高频渐近线与低频渐近线在处相交。这个频率就是上述二阶因子的转角频率。
图5-14 二阶因子的对数幅频特性曲线频率
图5-15 二阶因子的对数相频特性曲线频率
图5-16 二阶因子的频率响应曲线以渐近线表示时，引起的对数幅值误差频特性 (5-18) (5-14) (5-14) 幅值幅值渐近线
(5-22)
令 (5-23)
(5-24)
(5-25)
时有最小值有最大值，这个最大值称为谐振峰值，用表示。
(5-26)
谐振频率
图5-15与关系曲线当时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振开环系统的伯德图其步骤如下：
写出开环频率特性表达式，将所含各因子的转折频率由大到小依次标在频率轴上。
绘制开环对数幅频曲线的渐近线。渐近线由若干条分段直线所组成，其低频段的斜率为。在处，。以低频段作为分段直线的起始段，沿着频率增大的方向，每遇到一个转折频率，就改变一次分段直线的斜率。如遇到因子的转折频率，当时，分段直线斜率的变化量为；如遇到因子的转折频率，当时，分段直线斜率的变化量为；其他因子用类同的方法处理。分段直线的最后一段是开环对数幅频曲线的高频渐近线，其斜率为，n为极点数，m为零点数。转折频率低频段作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正。
作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线。
例5-1已知一反馈控制系统的开环传递函数为
试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直线表示）伯德图伯德图解：开环频率特性为
最小相位系统与非最小相位系统系统的零点和极点均位于s左半平面称为最小相位系统；
