线性系统的时域分析法
3.1 引言分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。
实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。
许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。
3.1.1 典型试验信号经常采用的试验输入信号：
实际系统的输入信号不可知性；
典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系；
电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。
突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。
（单位）阶跃函数（Step function）
室温调节系统和水位调节系统
（单位）斜坡函数（Ramp function） 速度
（单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线
（单位）脉冲函数（Impulse function）
正弦函数（Simusoidal function）Asinut,当输入作用具有周期性变化时。
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统非周期信号（Step、Ramp、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。
3.1.2 动态过程和稳态过程
——瞬时响应和稳态响应 Transient Response & Steady_state Response
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。
1 瞬态响应 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。
2 稳态响应 是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。
3.1.3 绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差
Absolute Stability,Relative Stability,Steady_state Error
在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。
实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。本章不讨论非线性系统的稳定性。
绝对稳定性是前提。
·相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。——称动态过程。
·稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。
稳态特性,稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。
在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。
·动态性能指标,
在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。
实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。
延迟时间：（Delay Time）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间，叫延迟时间。((((((
上升时间（Rise Time）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。〔5%上升到95%，或从0上升到100%，对于欠阻尼二阶系统，通常采用0～100%的上升时间，对于过阻尼系统，通常采用10～90%的上升时间〕，上升时间越短，响应速度越快。
峰值时间（Peak Time）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
调节时间 （Settling Time）：在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。
最大超调量（Maximum Overshoot）：指响应的最大偏离量h(tp)于终值之差的百分比，即
或评价系统的响应速度；同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。评价系统的阻尼程度。
3.2 一阶系统的时域分析用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图3-3（a）所示的RC电路，其微分方程为
（3-2）
其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。
图3-3一阶系统电路图、方块图及等效方块图当初使条件为零时，其传递函数为
（3-3）
这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。
下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。
3.2.1 单位阶跃响应
Unit-Step Response of First-order System
因为单位阶跃函数的拉氏变换为，则系统的输出由式（3-3）可知为
对上式取拉氏反变换，得
（3-4）
注：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。
传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。
响应曲线在时的斜率为，如果系统输出响应的速度恒为，则只要t＝T时，输出c(t)就能达到其终值。如图3-4所示。
由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。
动态性能指标：
3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输入量的拉氏变换于系统的传递函数相同，即
这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为,其表达式为
（3-5）
3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应
Unit-ramp Response of first-order Systems
当
对上式求拉氏反变换，得：
（3-6）
因为 （3-7）
所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为
上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同
②由于系统存在惯性，从0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。
③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
3.2.4 一阶系统的单位加速度响应
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1 一阶系统对典型输入信号的响应式
输入信号
输出响应
传递函数
微分
(
1
微分
(
1(t)
t
等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；
系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。
线性定常系统的一个重要特性，适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统和非线性系统。因此，研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式进行测定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究。
3.3 二阶系统的时域分析二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。
3.3.1 二阶系统的数学模型随动系统（位置控制系统）如图3-6所示。
⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。
⑵工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。
输入电位计电刷臂的角位置，由控制输入信号确定，角位置就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置，由输出轴的位置确定。
电位差就是误差信号。 桥式电位器的传递函数该信号被增益常数为的放大器放大，（应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗）
放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。
电动机激磁绕组上加有固定电压。
如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。
(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：
（3-10）
电动机的转矩系数
为电枢电流对于电枢电路
（3-11）
电动机电枢绕组的电感和电阻。
电动机的反电势常数，电动机的轴的角位移。
电动机的力矩平衡方程为：
（3-12）
J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。
f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
（3-13）
根据图3-7，可以求出系统的开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递函数为1
（3-14）
如果略去电枢电感
（3-15）
增益
阻尼系数，由于电动机反电势的存在，增大了系统的粘性摩擦。
开环增益
机电时间常数那么，不考虑负载力矩的情况下，随动系统的开环传递函数可以简化为：
（3-16）
相应的闭环传递函数 （3-17）
为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式
（3-18）
－自然频率（或无阻尼振荡频率）
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示
二阶系统的动态特性，可以用和这两个参量的形式加以描述二阶系统的特征方程, （3-19）
（3-20）
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
阻尼比是实际阻尼系数F与临界阻尼系数的比值
－临界阻尼系数，时，阻尼系数
两个正实部的特征根 发散
,闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，这时的系统叫做欠阻尼系统
,为两个相等的根
,两个不相等的根
，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡
(1)欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应
令－衰减系数
－阻尼振荡频率
，由式（3-18）得
对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为
（3-21）
稳态分量 瞬态分量
稳态分量为1，表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为－阻尼振荡频率包络线决定收敛速度
时， （3-23）
这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为－故称为无阻尼振荡频率。由系统本身的结构参数K和，或和J确定，常称自然频率。
·实际控制系统通常有一定的阻尼比，因此不可能通过实验方法测得，而只能测得，且，不复存在，系统的响应不再出现振荡。
(2)临界阻尼()
临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应
（3-24）
当时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，
(3)过阻尼()
（3-25）
图3-11表示了二阶系统在不同值瞬态响应曲线（书上图3-10 P87）
3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标
·欠阻尼情况
图3-12 为系统欠阻尼时的单位阶跃响应曲线。下列所述的性能指标，将定量地描述系统瞬态响应的性能。
在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。
二阶系统一般取 。其它的动态性能指标，有的可用精确表示，如,有的很难用准确表示，如,可采用近似算法。
⑴
在式（3-21）中，即
令
可得
参见书P82，在较大的值范围内，近似有
（3-26） 书（3-19）式
时，亦可用 （3-27） （书3-20）
⑵（上升时间）
,求得
（3-28） （3-31书）
一定，即一定，,响应速度越快
⑶
对式（3-21）（书3-14）求导，并令其为零，求得
,根据峰值时间定义，应取
(书3-22)
⑷
超调量在峰值时间发生，故即为最大输出
(3-30) (书3-23)
图3-14
时，
时，
时，
当时
⑸调节时间的计算典型二阶系统欠阻尼条件下的单位阶跃响应
书式(3-14)
令表示实际响应于稳态输出之间的误差，则有
时，并在上述不等式右端分母中代入，
选取误差带
(3-31) 书(3-24)
当较小
⑹稳态误差
定义：当时，系统的参考输入和输出之间的误差就是系统的稳态误差，用表示。
对图3-8的标准二阶系统有
利用拉氏变换的终值定理
，故二阶系统在(单位)阶跃信号作用下的稳态误差恒为零。
如果在斜坡信号作用下， (3-32)
例3-1 考虑图3-8所示系统，已知设系统在单位阶跃信号作用下。
解：
·过阻尼
延迟时间同欠阻尼情况(仍然近似成立)
上升时间 0.9的定义
调节时间 可用查图法
无超调有二阶系统的单位斜坡响应可自己看，书(3-29)可以对(3-14)进行积分求得
利用线性系统的性质，系统对输入积分的响应等于系统响应的积分。
3.3.4二阶系统的动态校正对于特定的系统，3.3.1节中介绍的位置控制系统(随动系统)其闭环传递函数
调整时间，当一定时与有关，大，小
仅与有关，大超调小控制系统设计的目的是稳、准、快。但各项指标之间是矛盾的。
如果要求系统反应快，显然要求小大，因为一定(对特定的系统) K小同样如果要求系统反应快,就要大K大如果要求稳态误差小， K大必须采取合理折中方案，如果采取方案，仍不能使系统满足要求，就必须研究其他控制方式，以改善系统的动态性能和稳态性能。
如二阶系统在斜坡信号作用下，有稳态误差
在改善二阶系统性能的方法中，比例－微分控制和测速反馈控制是两种常用方法。
3.3.4.1 比例－微分控制
Proportional-plus－derivative Control Of Second-order Systems
用分析法研究PD控制，对系统性能的影响，由图3-15，可得开环传递函数。
图3-15
(3-33)
,称为开环增益，与有关。 (3-34)
闭环传递函数为
(3-35)
令
(3-36)
结论：
比例－微分控制可以不该变自然频率，但可增大系统的阻尼比。
,由3-35可知，可通过适当选择微分时间常数，改变阻尼的大小。
，由于均与K有关，所以适当选择开环增益，以使系统在斜坡输入时的稳态误差减小，单位阶跃输入时有满意的动态性能(快速反应，小的超调)。－这种控制方法，工业上称为PD控制，由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点，――，故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。
适用范围 微分时对噪声有放大作用(高频噪声)。输入噪声放大时，不宜采用。
当输入为单位阶跃函数时
(3-37)
可以化简为书式(3-44)的简化形式，但式(3-45)式 (3-38)书(3-44)
好像有问题 丢了一个Z (3-39)r
(3-38)
(3-39)
(3-40)
3.3.4.1 测速反馈控制输入量的导数同样可以用来改善系统的性能。
图3-16
通过将输出的速度信号反馈到系统输入端，并与误差信号比较，其效果与比例－微分控制相似，可以增大系统阻尼，改善系统的动态性能。实例：角度控制系统。
为与测速发电机输出斜率有关的测速反馈系数。(电压/单位转速)
由图3-16，系统的开环传递函数
(3-41)
开环作用 (3-42)
相应的闭环传递函数，可用(3-41)式中的第一种表示方式
令
与PD控制相比说明：
①由(3-42)式知，测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差。
②测速反馈不影响系统的自然频率 不变
③可增大系统的阻尼比 与 (3-35) 形式相同
④测速反馈不形成闭环零点，因此时，测速反馈与比例－微分控制对系统动态性能的改善程度是不相同的。
⑤设计时，可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。
例3-2 图3-17(a)所示的系统，具有图3-17(b)所示的响应，求K和T
解：①
闭环传递函数
例3-3 一控制系统如图3-18所示，其中输入，试证明当，在稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。
解：图3-18系统的闭环传递函数
由上式知，只要令，就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。
例3-4 设一随动系统如图3-19所示，要求系统的超调量为0.2，峰值时间，求①求增益K和速度反馈系数。
②根据所求的
解,由①
系统的闭环传递函数
②
3.1 引言分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。
实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。
许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。
3.1.1 典型试验信号经常采用的试验输入信号：
实际系统的输入信号不可知性；
典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系；
电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。
突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。
（单位）阶跃函数（Step function）
室温调节系统和水位调节系统
（单位）斜坡函数（Ramp function） 速度
（单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线
（单位）脉冲函数（Impulse function）
正弦函数（Simusoidal function）Asinut,当输入作用具有周期性变化时。
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统非周期信号（Step、Ramp、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。
3.1.2 动态过程和稳态过程
——瞬时响应和稳态响应 Transient Response & Steady_state Response
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。
1 瞬态响应 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。
2 稳态响应 是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。
3.1.3 绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差
Absolute Stability,Relative Stability,Steady_state Error
在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。
实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。本章不讨论非线性系统的稳定性。
绝对稳定性是前提。
·相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。——称动态过程。
·稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。
稳态特性,稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。
在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。
·动态性能指标,
在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。
实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。
延迟时间：（Delay Time）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间，叫延迟时间。((((((
上升时间（Rise Time）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。〔5%上升到95%，或从0上升到100%，对于欠阻尼二阶系统，通常采用0～100%的上升时间，对于过阻尼系统，通常采用10～90%的上升时间〕，上升时间越短，响应速度越快。
峰值时间（Peak Time）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
调节时间 （Settling Time）：在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。
最大超调量（Maximum Overshoot）：指响应的最大偏离量h(tp)于终值之差的百分比，即
或评价系统的响应速度；同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。评价系统的阻尼程度。
3.2 一阶系统的时域分析用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图3-3（a）所示的RC电路，其微分方程为
（3-2）
其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。
图3-3一阶系统电路图、方块图及等效方块图当初使条件为零时，其传递函数为
（3-3）
这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。
下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。
3.2.1 单位阶跃响应
Unit-Step Response of First-order System
因为单位阶跃函数的拉氏变换为，则系统的输出由式（3-3）可知为
对上式取拉氏反变换，得
（3-4）
注：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。
传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。
响应曲线在时的斜率为，如果系统输出响应的速度恒为，则只要t＝T时，输出c(t)就能达到其终值。如图3-4所示。
由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。
动态性能指标：
3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输入量的拉氏变换于系统的传递函数相同，即
这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为,其表达式为
（3-5）
3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应
Unit-ramp Response of first-order Systems
当
对上式求拉氏反变换，得：
（3-6）
因为 （3-7）
所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为
上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同
②由于系统存在惯性，从0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。
③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
3.2.4 一阶系统的单位加速度响应
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1 一阶系统对典型输入信号的响应式
输入信号
输出响应
传递函数
微分
(
1
微分
(
1(t)
t
等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；
系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。
线性定常系统的一个重要特性，适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统和非线性系统。因此，研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式进行测定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究。
3.3 二阶系统的时域分析二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。
3.3.1 二阶系统的数学模型随动系统（位置控制系统）如图3-6所示。
⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。
⑵工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。
输入电位计电刷臂的角位置，由控制输入信号确定，角位置就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置，由输出轴的位置确定。
电位差就是误差信号。 桥式电位器的传递函数该信号被增益常数为的放大器放大，（应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗）
放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。
电动机激磁绕组上加有固定电压。
如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。
(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：
（3-10）
电动机的转矩系数
为电枢电流对于电枢电路
（3-11）
电动机电枢绕组的电感和电阻。
电动机的反电势常数，电动机的轴的角位移。
电动机的力矩平衡方程为：
（3-12）
J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。
f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
（3-13）
根据图3-7，可以求出系统的开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递函数为1
（3-14）
如果略去电枢电感
（3-15）
增益
阻尼系数，由于电动机反电势的存在，增大了系统的粘性摩擦。
开环增益
机电时间常数那么，不考虑负载力矩的情况下，随动系统的开环传递函数可以简化为：
（3-16）
相应的闭环传递函数 （3-17）
为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式
（3-18）
－自然频率（或无阻尼振荡频率）
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示
二阶系统的动态特性，可以用和这两个参量的形式加以描述二阶系统的特征方程, （3-19）
（3-20）
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
阻尼比是实际阻尼系数F与临界阻尼系数的比值
－临界阻尼系数，时，阻尼系数
两个正实部的特征根 发散
,闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，这时的系统叫做欠阻尼系统
,为两个相等的根
,两个不相等的根
，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡
(1)欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应
令－衰减系数
－阻尼振荡频率
，由式（3-18）得
对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为
（3-21）
稳态分量 瞬态分量
稳态分量为1，表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为－阻尼振荡频率包络线决定收敛速度
时， （3-23）
这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为－故称为无阻尼振荡频率。由系统本身的结构参数K和，或和J确定，常称自然频率。
·实际控制系统通常有一定的阻尼比，因此不可能通过实验方法测得，而只能测得，且，不复存在，系统的响应不再出现振荡。
(2)临界阻尼()
临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应
（3-24）
当时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，
(3)过阻尼()
（3-25）
图3-11表示了二阶系统在不同值瞬态响应曲线（书上图3-10 P87）
3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标
·欠阻尼情况
图3-12 为系统欠阻尼时的单位阶跃响应曲线。下列所述的性能指标，将定量地描述系统瞬态响应的性能。
在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。
二阶系统一般取 。其它的动态性能指标，有的可用精确表示，如,有的很难用准确表示，如,可采用近似算法。
⑴
在式（3-21）中，即
令
可得
参见书P82，在较大的值范围内，近似有
（3-26） 书（3-19）式
时，亦可用 （3-27） （书3-20）
⑵（上升时间）
,求得
（3-28） （3-31书）
一定，即一定，,响应速度越快
⑶
对式（3-21）（书3-14）求导，并令其为零，求得
,根据峰值时间定义，应取
(书3-22)
⑷
超调量在峰值时间发生，故即为最大输出
(3-30) (书3-23)
图3-14
时，
时，
时，
当时
⑸调节时间的计算典型二阶系统欠阻尼条件下的单位阶跃响应
书式(3-14)
令表示实际响应于稳态输出之间的误差，则有
时，并在上述不等式右端分母中代入，
选取误差带
(3-31) 书(3-24)
当较小
⑹稳态误差
定义：当时，系统的参考输入和输出之间的误差就是系统的稳态误差，用表示。
对图3-8的标准二阶系统有
利用拉氏变换的终值定理
，故二阶系统在(单位)阶跃信号作用下的稳态误差恒为零。
如果在斜坡信号作用下， (3-32)
例3-1 考虑图3-8所示系统，已知设系统在单位阶跃信号作用下。
解：
·过阻尼
延迟时间同欠阻尼情况(仍然近似成立)
上升时间 0.9的定义
调节时间 可用查图法
无超调有二阶系统的单位斜坡响应可自己看，书(3-29)可以对(3-14)进行积分求得
利用线性系统的性质，系统对输入积分的响应等于系统响应的积分。
3.3.4二阶系统的动态校正对于特定的系统，3.3.1节中介绍的位置控制系统(随动系统)其闭环传递函数
调整时间，当一定时与有关，大，小
仅与有关，大超调小控制系统设计的目的是稳、准、快。但各项指标之间是矛盾的。
如果要求系统反应快，显然要求小大，因为一定(对特定的系统) K小同样如果要求系统反应快,就要大K大如果要求稳态误差小， K大必须采取合理折中方案，如果采取方案，仍不能使系统满足要求，就必须研究其他控制方式，以改善系统的动态性能和稳态性能。
如二阶系统在斜坡信号作用下，有稳态误差
在改善二阶系统性能的方法中，比例－微分控制和测速反馈控制是两种常用方法。
3.3.4.1 比例－微分控制
Proportional-plus－derivative Control Of Second-order Systems
用分析法研究PD控制，对系统性能的影响，由图3-15，可得开环传递函数。
图3-15
(3-33)
,称为开环增益，与有关。 (3-34)
闭环传递函数为
(3-35)
令
(3-36)
结论：
比例－微分控制可以不该变自然频率，但可增大系统的阻尼比。
,由3-35可知，可通过适当选择微分时间常数，改变阻尼的大小。
，由于均与K有关，所以适当选择开环增益，以使系统在斜坡输入时的稳态误差减小，单位阶跃输入时有满意的动态性能(快速反应，小的超调)。－这种控制方法，工业上称为PD控制，由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点，――，故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。
适用范围 微分时对噪声有放大作用(高频噪声)。输入噪声放大时，不宜采用。
当输入为单位阶跃函数时
(3-37)
可以化简为书式(3-44)的简化形式，但式(3-45)式 (3-38)书(3-44)
好像有问题 丢了一个Z (3-39)r
(3-38)
(3-39)
(3-40)
3.3.4.1 测速反馈控制输入量的导数同样可以用来改善系统的性能。
图3-16
通过将输出的速度信号反馈到系统输入端，并与误差信号比较，其效果与比例－微分控制相似，可以增大系统阻尼，改善系统的动态性能。实例：角度控制系统。
为与测速发电机输出斜率有关的测速反馈系数。(电压/单位转速)
由图3-16，系统的开环传递函数
(3-41)
开环作用 (3-42)
相应的闭环传递函数，可用(3-41)式中的第一种表示方式
令
与PD控制相比说明：
①由(3-42)式知，测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差。
②测速反馈不影响系统的自然频率 不变
③可增大系统的阻尼比 与 (3-35) 形式相同
④测速反馈不形成闭环零点，因此时，测速反馈与比例－微分控制对系统动态性能的改善程度是不相同的。
⑤设计时，可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。
例3-2 图3-17(a)所示的系统，具有图3-17(b)所示的响应，求K和T
解：①
闭环传递函数
例3-3 一控制系统如图3-18所示，其中输入，试证明当，在稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。
解：图3-18系统的闭环传递函数
由上式知，只要令，就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。
例3-4 设一随动系统如图3-19所示，要求系统的超调量为0.2，峰值时间，求①求增益K和速度反馈系数。
②根据所求的
解,由①
系统的闭环传递函数
②
