第8讲
3.3 二阶系统的时域分析二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。
3.3.1 二阶系统的数学模型随动系统（位置控制系统）如图3-6所示。
⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。
⑵工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。
输入电位计电刷臂的角位置，由控制输入信号确定，角位置就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置，由输出轴的位置确定。
电位差就是误差信号。 桥式电位器的传递函数该信号被增益常数为的放大器放大，（应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗）
放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。
电动机激磁绕组上加有固定电压。
如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。
(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：
（3-10）
电动机的转矩系数
为电枢电流对于电枢电路
（3-11）
电动机电枢绕组的电感和电阻。
电动机的反电势常数，电动机的轴的角位移。
电动机的力矩平衡方程为：
（3-12）
J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。
f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
（3-13）
根据图3-7，可以求出系统的开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递函数为1
（3-14）
如果略去电枢电感
（3-15）
增益
阻尼系数，由于电动机反电势的存在，增大了系统的粘性摩擦。
开环增益
机电时间常数那么，不考虑负载力矩的情况下，随动系统的开环传递函数可以简化为：
（3-16）
相应的闭环传递函数 （3-17）
为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式
（3-18）
－自然频率（或无阻尼振荡频率）
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示
二阶系统的动态特性，可以用和这两个参量的形式加以描述二阶系统的特征方程, （3-19）
（3-20）
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
阻尼比是实际阻尼系数F与临界阻尼系数的比值
－临界阻尼系数，时，阻尼系数
两个正实部的特征根 发散
,闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，这时的系统叫做欠阻尼系统
,为两个相等的根
,两个不相等的根
，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡
欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应
Underdamped Case
令－衰减系数
－阻尼振荡频率
，由式（3-18）得
对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为
（3-21）
稳态分量 瞬态分量
稳态分量为1，表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为－阻尼振荡频率包络线决定收敛速度
时， （3-23）
这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为－故称为无阻尼振荡频率。由系统本身的结构参数K和，或和J确定，常称自然频率。
·实际控制系统通常有一定的阻尼比，因此不可能通过实验方法测得，而只能测得，且，不复存在，系统的响应不再出现振荡。
(2)临界阻尼() Critically Damped Case
临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应
（3-24）
当时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，
(3)过阻尼() Over-damped Case
（3-25）
图3-11表示了二阶系统在不同值瞬态响应曲线（书上图3-10 P87）
3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标
·欠阻尼情况
图3-12 为系统欠阻尼时的单位阶跃响应曲线。下列所述的性能指标，将定量地描述系统瞬态响应的性能。
在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。
二阶系统一般取 。其它的动态性能指标，有的可用精确表示，如,有的很难用准确表示，如,可采用近似算法。
⑴ (延时时间在式（3-21）中，即
令
可得
参见书P88，在较大的值范围内，近似有
（3-26） 书（3-19）式
时，亦可用 （3-27） （书3-20）
⑵(（上升时间）
,求得
（3-28） （3-31书）
一定，即一定，,响应速度越快
⑶(
对式（3-21）（书3-14）求导，并令其为零，求得
,根据峰值时间定义，应取
(书3-22)
⑷ (
超调量在峰值时间发生，故即为最大输出
(3-30) (书3-23)
图3-14
时，
时，
时，
当时
⑸(调节时间的计算典型二阶系统欠阻尼条件下的单位阶跃响应
书式(3-14)
令表示实际响应于稳态输出之间的误差，则有
时，并在上述不等式右端分母中代入，
选取误差带
(3-31) 书(3-24)
当较小
⑹(稳态误差
定义：当时，系统的参考输入和输出之间的误差就是系统的稳态误差，用表示。
对图3-8的标准二阶系统有
利用拉氏变换的终值定理
，故二阶系统在(单位)阶跃信号作用下的稳态误差恒为零。
如果在斜坡信号作用下， (3-32)
例3-1 考虑图3-8所示系统，已知设系统在单位阶跃信号作用下。
解：
·过阻尼
(延迟时间同欠阻尼情况(仍然近似成立)
(上升时间 0.9的定义
(调节时间 可用查图法
(无超调有二阶系统的单位斜坡响应可自己看，书(3-29)可以对(3-14)进行积分求得
利用线性系统的性质，系统对输入积分的响应等于系统响应的积分。
3.3.4二阶系统的动态校正对于特定的系统，3.3.1节中介绍的位置控制系统(随动系统)其闭环传递函数
调整时间，当一定时与有关，大，小
仅与有关，大超调小控制系统设计的目的是稳、准、快。但各项指标之间是矛盾的。
如果要求系统反应快，显然要求小大，因为一定(对特定的系统) K小同样如果要求系统反应快,就要大K大如果要求稳态误差小， K大必须采取合理折中方案，如果采取方案，仍不能使系统满足要求，就必须研究其他控制方式，以改善系统的动态性能和稳态性能。
如二阶系统在斜坡信号作用下，有稳态误差
在改善二阶系统性能的方法中，((比例－微分控制和(测速反馈控制是两种常用方法。
3.3.4.1 比例－微分控制
Proportional-plus－derivative Control Of Second-order Systems
用分析法研究PD控制，对系统性能的影响，由图3-15，可得开环传递函数。
图3-15 PD控制系统
(3-33)
,称为开环增益，与有关。 (3-34)
闭环传递函数为
(3-35)
令
(3-36)
结论：
比例－微分控制可以不该变自然频率，但可增大系统的阻尼比。
,由3-35可知，可通过适当选择微分时间常数，改变阻尼的大小。
，由于均与K有关，所以适当选择开环增益，以使系统在斜坡输入时的稳态误差减小，单位阶跃输入时有满意的动态性能(快速反应，小的超调)。－这种控制方法，工业上称为PD控制，由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点，――，故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。
适用范围 微分时对噪声有放大作用(高频噪声)。输入噪声放大时，不宜采用。
当输入为单位阶跃函数时
(3-37)
可以化简为书式(3-44)的简化形式，但式(3-45)式 (3-38)书(3-44)
好像有问题 丢了一个Z (3-39)r
(3-38)
(3-39)
(3-40)
3.3.4.1 测速反馈控制输入量的导数同样可以用来改善系统的性能。
图3-16 测速反馈控制的二阶系统通过将输出的速度信号反馈到系统输入端，并与误差信号比较，其效果与比例－微分控制相似，可以增大系统阻尼，改善系统的动态性能。实例：角度控制系统。
为与测速发电机输出斜率有关的测速反馈系数。(电压/单位转速)
由图3-16，系统的开环传递函数
(3-41)
开环作用 (3-42)
相应的闭环传递函数，可用(3-41)式中的第一种表示方式
令
与PD控制相比说明：
①由(3-42)式知，测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差。
②测速反馈不影响系统的自然频率 不变
③可增大系统的阻尼比 与 (3-35) 形式相同
④测速反馈不形成闭环零点，因此时，测速反馈与比例－微分控制对系统动态性能的改善程度是不相同的。
⑤设计时，可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。
例3-2 图3-17(a)所示的系统，具有图3-17(b)所示的响应，求K和T
解：①
闭环传递函数
例3-3 一控制系统如图3-18所示，其中输入，试证明当，在稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。
解：图3-18系统的闭环传递函数
图3-18 控制系统的方块图
由上式知，只要令，就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。
例3-4 设一随动系统如图3-19所示，要求系统的超调量为0.2，峰值时间，求①求增益K和速度反馈系数。
②根据所求的
图3-19 控制系统的方块图解,由①
系统的闭环传递函数
②
3.4高阶系统的时域响应设高阶系统闭环传递函数的一般形式为
将上式的分子与分母进行因式分解，可得：
式中：
令系统所有的零、极点互不相同，且其极点有实数极点和复数极点，零点均为实数零点。
设系统的输入信号为单位阶跃函数，
将式（3-47）用部分分式展开，得
对上式求反变换得
由可知：
高阶系统时域响应的瞬态分量是由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）的响应函数组成。其中输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量，传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。
系统瞬态分量的形式由闭环极点的性质所决定，而系统调整时间的长短与闭环极点负实部绝对值的大小有关。如果闭环极点远离虚轴，则相应的瞬态分量就衰减得快，系统的调整时间也就较短。而闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号。
如果所有闭环的极点均具有负实部，则由（3-49）可知，随着时间的推移，式中所有的瞬态分量（指数项和阻尼正弦（余弦）项）将不断地衰减趋于零，最后该式的右方只乘t。由输入信号极点所确定的稳态分量项。它表示过渡结束后，系统的输出量（被控制量）仅与输入量（控制量）有关。闭环极点均位于S左半平面的系统，称为稳定系统。稳定是系统正常工作的首要条件，有关这方面的内容，将在下节中做较详细的阐述。
如果闭环传递函数中有一极点距坐标原点很远，即有 其中 则当时，极点所对应的瞬态分量不仅持续时间很短，而且其相应的幅值亦较小，因而由它产生的瞬态分量可略去不计。如果闭环传递函数中某一个极点 则极点对应瞬态分量的幅值很小，因而它在系统响应中所占百分比很小，可忽略不计。
主导极点 如果系统中有一个(极点或一对)复数极点距虚轴最近，且附近没有闭环零点；而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生。这是因为这种极点所决定的瞬态分量不仅持续时间最长，而且其初始幅值也大，充分体现了它在系统响应中的主导作用，故称其为系统的主导极点。高阶系统的主导极点通常为一对复数极点。 在设计高阶系统时，人们常利用主导极点这个概念选择系统的参数，使系统具有预期的一对主导极点，从而把一个高阶系统近似地用一对主导极点的二阶系统去表征。
3.5 线形定常系统的稳定性对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。
稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。
分析系统的稳定性问题。
提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。
3.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件
①基本概念 控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例如，负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。 例如：三轴摇摆台的飞车问题是控制系统不稳定、发散的一个典型实例。指令输入信号走速率时，输出不跟踪指令，而是越走越快。陀螺会跟不上，力反馈拉不住。
有关稳定性的定义和理论较多。
⑴控制系统稳定性的严格定义和理论阐述是由俄国学者李雅普诺夫于1892年提出的，它主要用于判别时变系统和非线性系统的稳定性。
⑵设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。由此可知：线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。
基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。
如果脉冲响应函数是收敛的，即有
(3-52)
表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可知，系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。
由于单位脉冲函数的拉氏反变换等于1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。如同上节所假设的那样，令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则式(3-46)可改写为
式中 q+2r=ny用部分分式展开
对上式取拉氏反变换，求得系统的脉冲响应函数为
由式(3-54)可见，若即系统稳定，则闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面，每一个特征根不论是是实根还是复根都要具有负实部，这就是系统稳定的充要条件。如果系统的特征根中只要有一个正实根或一对实部为正的复数根，则其脉冲响应函数就是发散形式，系统永远不会再回到原有的平衡状态，这样的系统就是不稳定系统。
P52 物理系统的输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线性微分方程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现为等幅振荡。
图3-20
以上讨论了在零输入系统的稳定性问题，人们也许会提出这样一个问题：
即一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？回答是否定的。下面以单位阶跃函数，即，则系统的输出为
(3-47)
显然，上式就是上节所述的式(3-47)，因而对应的单位阶跃响应表达式就是式(3-49)。由该式可见，等号右方第一项是系统的稳态分量，它表示在稳态时，系统的输出量第二、第三项为系统响应的瞬态分量，它们是由系统的结构和参数确定的。
如果所研究的系统在零输入下是稳定的，即系统所有的特征根都具有负实部，则输出响应中各瞬态分量都将随着时间的推移而不断地衰减，经过充分长的时间后，系统的输出量最终将趋向于稳态分量的一个无限小的领域，系统进入稳态运行。这表明了一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍能将继续保持稳定。
综上所述，控制系统稳定与否完全取决于它本身的结构和参数，即取决于系统特征方程式根实部的符号，与系统的初始条件和输入无关。如果系统特征方程式的根都具有负实部，则系统是稳定的。反之，若系统特征方程式的根中有一个或一对以上实部为正的根，则对应的瞬态分量将随着时间的推移而不断地增大，并成为输出响应的主要成分，而稳态分量与之相比都变得无足轻重了。显然，这种系统是不稳定的。如果系统特征方程式的根中有一对共轭虚根，其余的根均在S的左半平面，则对应的系统为临界稳定。此时系统的响应函数中含有等幅振荡的分量，基于系统的参数和外部环境的变化，这种等幅振荡不可能持久地维持下去，系统最后很可能会不稳定。因此，在控制工程中通常把临界稳定亦当作不稳定处理。
3.5.2劳斯稳定判据
3.5.2.1劳斯表线性系统稳定的充要条件是闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。能否找到一种不用求根而直接判别系统稳定性的方式，称为稳定判据。
令系统的闭环特征方程为
如果方程式的根都是负实部，或其实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。
证明、说明：设为实数根，为复数根
因为上式等号左方所有因式的系数都为正（数）值，所以它们相乘后与各次项的系数必然仍为正值，且不会有系数为零的项。反之，若方程中如有一个根为正实根，或有一对实部为正的复数根，则由式(3-56)可知，对应方程式与各项的系数不会全为正值，即一定会有负系数项或缺项出现。
不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的系数全为正值，是系统稳定的充分条件和必要条件。但对于三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。
劳斯稳定判据就是这种间接的方法（不用直接求根，因为求根很复杂），它是由劳斯于1877年首先提出的。有关劳斯判据自身的数学论证，从略。本节主要介绍该判据有关的结论及其在判别控制系统稳定性方面的应用。
设系统特征方程式如（3-55）所示，将各项系数，按下面的格式排成老斯表
这样可求得n+1行系数劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：
(如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。
(如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
例3-5 已知一调速系统的特征方程式为
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。
例3-6 已知某调速系统的特征方程式为
求该系统稳定的K值范围。
解：列劳斯表
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。
可得：
劳斯判据特殊情况。
3.5.2.2
在应用劳斯判据时，有可能会碰到以下两种特殊情况。
·劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。
若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
例3-7 已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。
解：列劳斯表
由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。
·劳斯表中出现全零行则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。例如，一个控制系统的特征方程为
列劳斯表
由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。令F(s)=0，求得两对大小相等、符号相反的根，显然这个系统处于临界稳定状态。
3.5.2.3 劳斯判据的应用稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。设，并代入原方程式中，得到以为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线，右侧。由此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。
例3-8 用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右方。
解：列劳斯表
第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。
令代入特征方程：
式中有负号，显然有根在的右方。
列劳斯表
第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线的右方。
可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。
例3-9 已知一单位反馈控制系统如图3-21所示，试回答
⑴
⑵
图3-21
解：⑴
排劳斯表
第一列均为正值，S全部位于左半平面，故系统稳定。
⑵
开环传递函数
闭环特征方程为
列劳斯表
欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值，既
由此得出系统稳定的条件为
3.3 二阶系统的时域分析二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。
3.3.1 二阶系统的数学模型随动系统（位置控制系统）如图3-6所示。
⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。
⑵工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。
输入电位计电刷臂的角位置，由控制输入信号确定，角位置就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置，由输出轴的位置确定。
电位差就是误差信号。 桥式电位器的传递函数该信号被增益常数为的放大器放大，（应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗）
放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。
电动机激磁绕组上加有固定电压。
如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。
(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：
（3-10）
电动机的转矩系数
为电枢电流对于电枢电路
（3-11）
电动机电枢绕组的电感和电阻。
电动机的反电势常数，电动机的轴的角位移。
电动机的力矩平衡方程为：
（3-12）
J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。
f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
（3-13）
根据图3-7，可以求出系统的开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递函数为1
（3-14）
如果略去电枢电感
（3-15）
增益
阻尼系数，由于电动机反电势的存在，增大了系统的粘性摩擦。
开环增益
机电时间常数那么，不考虑负载力矩的情况下，随动系统的开环传递函数可以简化为：
（3-16）
相应的闭环传递函数 （3-17）
为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式
（3-18）
－自然频率（或无阻尼振荡频率）
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示
二阶系统的动态特性，可以用和这两个参量的形式加以描述二阶系统的特征方程, （3-19）
（3-20）
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
阻尼比是实际阻尼系数F与临界阻尼系数的比值
－临界阻尼系数，时，阻尼系数
两个正实部的特征根 发散
,闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，这时的系统叫做欠阻尼系统
,为两个相等的根
,两个不相等的根
，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡
欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应
Underdamped Case
令－衰减系数
－阻尼振荡频率
，由式（3-18）得
对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为
（3-21）
稳态分量 瞬态分量
稳态分量为1，表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为－阻尼振荡频率包络线决定收敛速度
时， （3-23）
这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为－故称为无阻尼振荡频率。由系统本身的结构参数K和，或和J确定，常称自然频率。
·实际控制系统通常有一定的阻尼比，因此不可能通过实验方法测得，而只能测得，且，不复存在，系统的响应不再出现振荡。
(2)临界阻尼() Critically Damped Case
临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应
（3-24）
当时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，
(3)过阻尼() Over-damped Case
（3-25）
图3-11表示了二阶系统在不同值瞬态响应曲线（书上图3-10 P87）
3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标
·欠阻尼情况
图3-12 为系统欠阻尼时的单位阶跃响应曲线。下列所述的性能指标，将定量地描述系统瞬态响应的性能。
在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。
二阶系统一般取 。其它的动态性能指标，有的可用精确表示，如,有的很难用准确表示，如,可采用近似算法。
⑴ (延时时间在式（3-21）中，即
令
可得
参见书P88，在较大的值范围内，近似有
（3-26） 书（3-19）式
时，亦可用 （3-27） （书3-20）
⑵(（上升时间）
,求得
（3-28） （3-31书）
一定，即一定，,响应速度越快
⑶(
对式（3-21）（书3-14）求导，并令其为零，求得
,根据峰值时间定义，应取
(书3-22)
⑷ (
超调量在峰值时间发生，故即为最大输出
(3-30) (书3-23)
图3-14
时，
时，
时，
当时
⑸(调节时间的计算典型二阶系统欠阻尼条件下的单位阶跃响应
书式(3-14)
令表示实际响应于稳态输出之间的误差，则有
时，并在上述不等式右端分母中代入，
选取误差带
(3-31) 书(3-24)
当较小
⑹(稳态误差
定义：当时，系统的参考输入和输出之间的误差就是系统的稳态误差，用表示。
对图3-8的标准二阶系统有
利用拉氏变换的终值定理
，故二阶系统在(单位)阶跃信号作用下的稳态误差恒为零。
如果在斜坡信号作用下， (3-32)
例3-1 考虑图3-8所示系统，已知设系统在单位阶跃信号作用下。
解：
·过阻尼
(延迟时间同欠阻尼情况(仍然近似成立)
(上升时间 0.9的定义
(调节时间 可用查图法
(无超调有二阶系统的单位斜坡响应可自己看，书(3-29)可以对(3-14)进行积分求得
利用线性系统的性质，系统对输入积分的响应等于系统响应的积分。
3.3.4二阶系统的动态校正对于特定的系统，3.3.1节中介绍的位置控制系统(随动系统)其闭环传递函数
调整时间，当一定时与有关，大，小
仅与有关，大超调小控制系统设计的目的是稳、准、快。但各项指标之间是矛盾的。
如果要求系统反应快，显然要求小大，因为一定(对特定的系统) K小同样如果要求系统反应快,就要大K大如果要求稳态误差小， K大必须采取合理折中方案，如果采取方案，仍不能使系统满足要求，就必须研究其他控制方式，以改善系统的动态性能和稳态性能。
如二阶系统在斜坡信号作用下，有稳态误差
在改善二阶系统性能的方法中，((比例－微分控制和(测速反馈控制是两种常用方法。
3.3.4.1 比例－微分控制
Proportional-plus－derivative Control Of Second-order Systems
用分析法研究PD控制，对系统性能的影响，由图3-15，可得开环传递函数。
图3-15 PD控制系统
(3-33)
,称为开环增益，与有关。 (3-34)
闭环传递函数为
(3-35)
令
(3-36)
结论：
比例－微分控制可以不该变自然频率，但可增大系统的阻尼比。
,由3-35可知，可通过适当选择微分时间常数，改变阻尼的大小。
，由于均与K有关，所以适当选择开环增益，以使系统在斜坡输入时的稳态误差减小，单位阶跃输入时有满意的动态性能(快速反应，小的超调)。－这种控制方法，工业上称为PD控制，由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点，――，故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。
适用范围 微分时对噪声有放大作用(高频噪声)。输入噪声放大时，不宜采用。
当输入为单位阶跃函数时
(3-37)
可以化简为书式(3-44)的简化形式，但式(3-45)式 (3-38)书(3-44)
好像有问题 丢了一个Z (3-39)r
(3-38)
(3-39)
(3-40)
3.3.4.1 测速反馈控制输入量的导数同样可以用来改善系统的性能。
图3-16 测速反馈控制的二阶系统通过将输出的速度信号反馈到系统输入端，并与误差信号比较，其效果与比例－微分控制相似，可以增大系统阻尼，改善系统的动态性能。实例：角度控制系统。
为与测速发电机输出斜率有关的测速反馈系数。(电压/单位转速)
由图3-16，系统的开环传递函数
(3-41)
开环作用 (3-42)
相应的闭环传递函数，可用(3-41)式中的第一种表示方式
令
与PD控制相比说明：
①由(3-42)式知，测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差。
②测速反馈不影响系统的自然频率 不变
③可增大系统的阻尼比 与 (3-35) 形式相同
④测速反馈不形成闭环零点，因此时，测速反馈与比例－微分控制对系统动态性能的改善程度是不相同的。
⑤设计时，可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。
例3-2 图3-17(a)所示的系统，具有图3-17(b)所示的响应，求K和T
解：①
闭环传递函数
例3-3 一控制系统如图3-18所示，其中输入，试证明当，在稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。
解：图3-18系统的闭环传递函数
图3-18 控制系统的方块图
由上式知，只要令，就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。
例3-4 设一随动系统如图3-19所示，要求系统的超调量为0.2，峰值时间，求①求增益K和速度反馈系数。
②根据所求的
图3-19 控制系统的方块图解,由①
系统的闭环传递函数
②
3.4高阶系统的时域响应设高阶系统闭环传递函数的一般形式为
将上式的分子与分母进行因式分解，可得：
式中：
令系统所有的零、极点互不相同，且其极点有实数极点和复数极点，零点均为实数零点。
设系统的输入信号为单位阶跃函数，
将式（3-47）用部分分式展开，得
对上式求反变换得
由可知：
高阶系统时域响应的瞬态分量是由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）的响应函数组成。其中输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量，传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。
系统瞬态分量的形式由闭环极点的性质所决定，而系统调整时间的长短与闭环极点负实部绝对值的大小有关。如果闭环极点远离虚轴，则相应的瞬态分量就衰减得快，系统的调整时间也就较短。而闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号。
如果所有闭环的极点均具有负实部，则由（3-49）可知，随着时间的推移，式中所有的瞬态分量（指数项和阻尼正弦（余弦）项）将不断地衰减趋于零，最后该式的右方只乘t。由输入信号极点所确定的稳态分量项。它表示过渡结束后，系统的输出量（被控制量）仅与输入量（控制量）有关。闭环极点均位于S左半平面的系统，称为稳定系统。稳定是系统正常工作的首要条件，有关这方面的内容，将在下节中做较详细的阐述。
如果闭环传递函数中有一极点距坐标原点很远，即有 其中 则当时，极点所对应的瞬态分量不仅持续时间很短，而且其相应的幅值亦较小，因而由它产生的瞬态分量可略去不计。如果闭环传递函数中某一个极点 则极点对应瞬态分量的幅值很小，因而它在系统响应中所占百分比很小，可忽略不计。
主导极点 如果系统中有一个(极点或一对)复数极点距虚轴最近，且附近没有闭环零点；而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生。这是因为这种极点所决定的瞬态分量不仅持续时间最长，而且其初始幅值也大，充分体现了它在系统响应中的主导作用，故称其为系统的主导极点。高阶系统的主导极点通常为一对复数极点。 在设计高阶系统时，人们常利用主导极点这个概念选择系统的参数，使系统具有预期的一对主导极点，从而把一个高阶系统近似地用一对主导极点的二阶系统去表征。
3.5 线形定常系统的稳定性对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。
稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。
分析系统的稳定性问题。
提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。
3.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件
①基本概念 控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例如，负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。 例如：三轴摇摆台的飞车问题是控制系统不稳定、发散的一个典型实例。指令输入信号走速率时，输出不跟踪指令，而是越走越快。陀螺会跟不上，力反馈拉不住。
有关稳定性的定义和理论较多。
⑴控制系统稳定性的严格定义和理论阐述是由俄国学者李雅普诺夫于1892年提出的，它主要用于判别时变系统和非线性系统的稳定性。
⑵设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。由此可知：线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。
基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。
如果脉冲响应函数是收敛的，即有
(3-52)
表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可知，系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。
由于单位脉冲函数的拉氏反变换等于1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。如同上节所假设的那样，令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则式(3-46)可改写为
式中 q+2r=ny用部分分式展开
对上式取拉氏反变换，求得系统的脉冲响应函数为
由式(3-54)可见，若即系统稳定，则闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面，每一个特征根不论是是实根还是复根都要具有负实部，这就是系统稳定的充要条件。如果系统的特征根中只要有一个正实根或一对实部为正的复数根，则其脉冲响应函数就是发散形式，系统永远不会再回到原有的平衡状态，这样的系统就是不稳定系统。
P52 物理系统的输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线性微分方程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现为等幅振荡。
图3-20
以上讨论了在零输入系统的稳定性问题，人们也许会提出这样一个问题：
即一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？回答是否定的。下面以单位阶跃函数，即，则系统的输出为
(3-47)
显然，上式就是上节所述的式(3-47)，因而对应的单位阶跃响应表达式就是式(3-49)。由该式可见，等号右方第一项是系统的稳态分量，它表示在稳态时，系统的输出量第二、第三项为系统响应的瞬态分量，它们是由系统的结构和参数确定的。
如果所研究的系统在零输入下是稳定的，即系统所有的特征根都具有负实部，则输出响应中各瞬态分量都将随着时间的推移而不断地衰减，经过充分长的时间后，系统的输出量最终将趋向于稳态分量的一个无限小的领域，系统进入稳态运行。这表明了一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍能将继续保持稳定。
综上所述，控制系统稳定与否完全取决于它本身的结构和参数，即取决于系统特征方程式根实部的符号，与系统的初始条件和输入无关。如果系统特征方程式的根都具有负实部，则系统是稳定的。反之，若系统特征方程式的根中有一个或一对以上实部为正的根，则对应的瞬态分量将随着时间的推移而不断地增大，并成为输出响应的主要成分，而稳态分量与之相比都变得无足轻重了。显然，这种系统是不稳定的。如果系统特征方程式的根中有一对共轭虚根，其余的根均在S的左半平面，则对应的系统为临界稳定。此时系统的响应函数中含有等幅振荡的分量，基于系统的参数和外部环境的变化，这种等幅振荡不可能持久地维持下去，系统最后很可能会不稳定。因此，在控制工程中通常把临界稳定亦当作不稳定处理。
3.5.2劳斯稳定判据
3.5.2.1劳斯表线性系统稳定的充要条件是闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。能否找到一种不用求根而直接判别系统稳定性的方式，称为稳定判据。
令系统的闭环特征方程为
如果方程式的根都是负实部，或其实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。
证明、说明：设为实数根，为复数根
因为上式等号左方所有因式的系数都为正（数）值，所以它们相乘后与各次项的系数必然仍为正值，且不会有系数为零的项。反之，若方程中如有一个根为正实根，或有一对实部为正的复数根，则由式(3-56)可知，对应方程式与各项的系数不会全为正值，即一定会有负系数项或缺项出现。
不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的系数全为正值，是系统稳定的充分条件和必要条件。但对于三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。
劳斯稳定判据就是这种间接的方法（不用直接求根，因为求根很复杂），它是由劳斯于1877年首先提出的。有关劳斯判据自身的数学论证，从略。本节主要介绍该判据有关的结论及其在判别控制系统稳定性方面的应用。
设系统特征方程式如（3-55）所示，将各项系数，按下面的格式排成老斯表
这样可求得n+1行系数劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：
(如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。
(如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
例3-5 已知一调速系统的特征方程式为
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。
例3-6 已知某调速系统的特征方程式为
求该系统稳定的K值范围。
解：列劳斯表
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。
可得：
劳斯判据特殊情况。
3.5.2.2
在应用劳斯判据时，有可能会碰到以下两种特殊情况。
·劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。
若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
例3-7 已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。
解：列劳斯表
由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。
·劳斯表中出现全零行则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。例如，一个控制系统的特征方程为
列劳斯表
由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。令F(s)=0，求得两对大小相等、符号相反的根，显然这个系统处于临界稳定状态。
3.5.2.3 劳斯判据的应用稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。设，并代入原方程式中，得到以为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线，右侧。由此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。
例3-8 用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右方。
解：列劳斯表
第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。
令代入特征方程：
式中有负号，显然有根在的右方。
列劳斯表
第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线的右方。
可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。
例3-9 已知一单位反馈控制系统如图3-21所示，试回答
⑴
⑵
图3-21
解：⑴
排劳斯表
第一列均为正值，S全部位于左半平面，故系统稳定。
⑵
开环传递函数
闭环特征方程为
列劳斯表
欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值，既
由此得出系统稳定的条件为
