第5章 线性系统的频域分析法
Frequency-response analysis
5.1频率特性及其表示法
幅相曲线 对数频率特性曲线
5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制
5.3典型环节的幅相曲线的绘制
5.4稳定裕度和判据
5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制
5.2.5最小相位系统与非最小相位系统
Minimum phase systems and non-minimum phase systems
在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数，称为最小相位传递函数；反之，在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数，称为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统，反之，具有非最小相位传递函数的系统，称为非最小相位系统。
在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围。
对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。
作为例子，考虑下列两个系统，它们的特性频率分别为：
，
图5-18最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图如前所述，对于最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然。这个结论对于非最小相位系统不成立。
图5-19的相角特性
图5-19的相角特性对于最小相位系统，相角在时变为，n为极点数，m为零点数。两个系统的对数幅值曲线在时的斜率都等于。因此，为了确定系统是不是最小相位的既需要检查对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在时相角。如果当时对数幅值曲线的斜率为，并且相角等于，那么该系统就是最小相位系统。
5.2.6传递延迟(Transport lag)See p190
传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施，高频时将造成严重的相位滞后。这类传递延迟通常存在于热力、液压和气动系统中。
延迟环节的输入和输出的时域表达式为
其幅值总是等于1。这是因为
因此，传递延迟的对数幅值等于0分贝。传递延迟的相角为
图5-20传递延迟的相角特性曲线
5.2.7系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有意义。当趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常值就越大。
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
(静态位置误差常数的确定
图5-21单位反馈控制系统考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。假设系统的开环传递函数为
图5-22为一个0型系统对数幅值曲线的例子。
在这个系统中，在低频段等于，即
由此得知，低频渐近线是一条幅值为分贝的水平线。
cfl_dB = 23.52182518111362
cf2_dB = 9.54242509439325
cf3_dB = -30.45757490560675
图5-22 某一0型系统对数幅值曲线
(静态速度误差常数的确定考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。图5-23为一个1型系统对数幅值曲线的例子。斜率为的起始线段/或其延长线，与的直线的交点具有的幅值为。这可证明如下：
在1型系统中
因此 斜率为的起始线段/或其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于。假设交点上的频率为，于是即
作为一个例子，考虑具有单位反馈的1型系统，其开环传递函数为：
如果定义转角频率为，假设斜率为的直线与/或其延长线与0分贝线的交点为，,,
由此得到
即
在伯德图上，
因此，点恰好是点与点之间的中点。
图5-23 某个1型系统对数幅值曲线
cf2_dB = 6.02059991327962
cf1_dB = 26.02059991327962
cf3_dB = -33.97940008672038
(静态加速度误差常数的确定考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。图5-24为一个2型系统对数幅值曲线的例子。斜率为的起始线段/或其延长线，与的直线的交点具有的幅值为。
由于低频时
所以
斜率为的起始线段/或其延长线与0分贝线的交点的频率为在数值上等于的平方根。证明如下：
于是
图5-24 2型系统对数幅值曲线
5.3极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线频率特性是复数。可用幅值和相角的向量表示。当输入信号的频率由零变化到无穷大时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开始，以逆时针/顺时针旋转来定义的。图5-25是这类极坐标图的一个例子。
图5-25 极坐标图
的极坐标图上的每一点，都代表一个特定值上的向量端点。在实轴和虚轴上的投影，就是的实部和虚部。采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性。但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响。
5.3.1积分与微分因子
所以的极坐标图是负虚轴。的极坐标图是正虚轴。
图5-26 积分因子极坐标图
图5-27 微分因子极坐标图
5.3.2一阶因子
图5-27 微分因子极坐标图
图5-28 一阶因子极坐标图
图5-29 一阶因子极坐标图
5.3.3二阶因子
的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。
对于欠阻尼情况，当时，我们得到，相角为。因此可以看出，的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然频率。在极坐标图上，距原点最远的频率点，相应于谐振频率。这时的峰值，可以用谐振频率处的向量幅值，与处向量幅值之比来确定。
对于过阻尼情况，当增加到远大于1时，的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻尼系统，特征方程的根为实根，并且其中一个根远小于另一个根。因为对于足够大的值，比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。
图5-30 二阶因子极坐标图
对于
极坐标图的低频部分为：
极坐标图的高频部分为：
图5-31 二阶因子极坐标图例5-2 考虑下列二阶传递函数：试画出这个传递函数的极坐标图。
解：
极坐标图的低频部分为：
极坐标图的高频部分为：
图5-32 极坐标图
5.3.4传递延迟极坐标图极坐标图
欠阻尼极坐标图极坐标图
5.3.5极坐标图的一般形状
图5-33
5.4对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图
图5-34 二阶因子对数幅-相图
5.5奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion)
图3-35 闭环系统考虑图5-35所示的闭环系统，其闭环传递函数为
为了保证系统稳定，特征方程
的全部根，都必须位于左半s平面。虽然开环传递函数的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。
奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的。
假设开环传递函数可以表示成s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的的极限，或趋于零，或趋于常数。
5.5.1预备知识
可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在平面上必存在一条封闭曲线与之对应。平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数：
其特征方程为：
函数在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点，平面上必有一点与之对应。例如，则为：
这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在平面上就必有一个封闭曲线与之对应。
5.5.2影射定理封闭曲线闭环传递函数奈奎斯特闭环系统
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用
5.5.4奈奎斯特稳定判据
5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明
5.5.6含有位于上极点和/或零点的特殊情况
5.6稳定性分析
5.6.1条件稳定系统
5.6.2多回路系统
5.6.3应用于逆极坐标图上的奈奎斯特稳定判据5.6.4利用改变的奈奎斯特轨迹分析相对稳定性5.7相对稳定性
5.7.1通过保角变换进行相对稳定性分析
5.7.2相位裕度和增益裕度
(相位裕度
(增益裕度
5.7.3关于相位裕度和增益裕度的几点说明
5.7.4谐振峰值幅值和谐振峰值频率
5.7.5标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系
5.7.6一般系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系
5.7.7截止频率与带宽
5.7.8剪切率
5.8闭环频率响应
5.8.1单位反馈系统的闭环频率响应
5.8.2等幅值轨迹(M圆)
5.8.3等相角轨迹(N圆)
5.8.4尼柯尔斯图
5.8.5非单位反馈系统的闭环频率响应
5.8.6增益的调整
5.9传递函数的实验确定法闭环频率响应闭环频率响应谐振峰值幅值幅值幅值谐振峰值奈奎斯特稳定盘踞
Frequency-response analysis
5.1频率特性及其表示法
幅相曲线 对数频率特性曲线
5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制
5.3典型环节的幅相曲线的绘制
5.4稳定裕度和判据
5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制
5.2.5最小相位系统与非最小相位系统
Minimum phase systems and non-minimum phase systems
在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数，称为最小相位传递函数；反之，在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数，称为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统，反之，具有非最小相位传递函数的系统，称为非最小相位系统。
在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围。
对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。
作为例子，考虑下列两个系统，它们的特性频率分别为：
，
图5-18最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图如前所述，对于最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然。这个结论对于非最小相位系统不成立。
图5-19的相角特性
图5-19的相角特性对于最小相位系统，相角在时变为，n为极点数，m为零点数。两个系统的对数幅值曲线在时的斜率都等于。因此，为了确定系统是不是最小相位的既需要检查对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在时相角。如果当时对数幅值曲线的斜率为，并且相角等于，那么该系统就是最小相位系统。
5.2.6传递延迟(Transport lag)See p190
传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施，高频时将造成严重的相位滞后。这类传递延迟通常存在于热力、液压和气动系统中。
延迟环节的输入和输出的时域表达式为
其幅值总是等于1。这是因为
因此，传递延迟的对数幅值等于0分贝。传递延迟的相角为
图5-20传递延迟的相角特性曲线
5.2.7系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有意义。当趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常值就越大。
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
(静态位置误差常数的确定
图5-21单位反馈控制系统考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。假设系统的开环传递函数为
图5-22为一个0型系统对数幅值曲线的例子。
在这个系统中，在低频段等于，即
由此得知，低频渐近线是一条幅值为分贝的水平线。
cfl_dB = 23.52182518111362
cf2_dB = 9.54242509439325
cf3_dB = -30.45757490560675
图5-22 某一0型系统对数幅值曲线
(静态速度误差常数的确定考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。图5-23为一个1型系统对数幅值曲线的例子。斜率为的起始线段/或其延长线，与的直线的交点具有的幅值为。这可证明如下：
在1型系统中
因此 斜率为的起始线段/或其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于。假设交点上的频率为，于是即
作为一个例子，考虑具有单位反馈的1型系统，其开环传递函数为：
如果定义转角频率为，假设斜率为的直线与/或其延长线与0分贝线的交点为，,,
由此得到
即
在伯德图上，
因此，点恰好是点与点之间的中点。
图5-23 某个1型系统对数幅值曲线
cf2_dB = 6.02059991327962
cf1_dB = 26.02059991327962
cf3_dB = -33.97940008672038
(静态加速度误差常数的确定考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。图5-24为一个2型系统对数幅值曲线的例子。斜率为的起始线段/或其延长线，与的直线的交点具有的幅值为。
由于低频时
所以
斜率为的起始线段/或其延长线与0分贝线的交点的频率为在数值上等于的平方根。证明如下：
于是
图5-24 2型系统对数幅值曲线
5.3极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线频率特性是复数。可用幅值和相角的向量表示。当输入信号的频率由零变化到无穷大时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开始，以逆时针/顺时针旋转来定义的。图5-25是这类极坐标图的一个例子。
图5-25 极坐标图
的极坐标图上的每一点，都代表一个特定值上的向量端点。在实轴和虚轴上的投影，就是的实部和虚部。采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性。但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响。
5.3.1积分与微分因子
所以的极坐标图是负虚轴。的极坐标图是正虚轴。
图5-26 积分因子极坐标图
图5-27 微分因子极坐标图
5.3.2一阶因子
图5-27 微分因子极坐标图
图5-28 一阶因子极坐标图
图5-29 一阶因子极坐标图
5.3.3二阶因子
的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。
对于欠阻尼情况，当时，我们得到，相角为。因此可以看出，的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然频率。在极坐标图上，距原点最远的频率点，相应于谐振频率。这时的峰值，可以用谐振频率处的向量幅值，与处向量幅值之比来确定。
对于过阻尼情况，当增加到远大于1时，的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻尼系统，特征方程的根为实根，并且其中一个根远小于另一个根。因为对于足够大的值，比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。
图5-30 二阶因子极坐标图
对于
极坐标图的低频部分为：
极坐标图的高频部分为：
图5-31 二阶因子极坐标图例5-2 考虑下列二阶传递函数：试画出这个传递函数的极坐标图。
解：
极坐标图的低频部分为：
极坐标图的高频部分为：
图5-32 极坐标图
5.3.4传递延迟极坐标图极坐标图
欠阻尼极坐标图极坐标图
5.3.5极坐标图的一般形状
图5-33
5.4对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图
图5-34 二阶因子对数幅-相图
5.5奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion)
图3-35 闭环系统考虑图5-35所示的闭环系统，其闭环传递函数为
为了保证系统稳定，特征方程
的全部根，都必须位于左半s平面。虽然开环传递函数的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。
奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的。
假设开环传递函数可以表示成s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的的极限，或趋于零，或趋于常数。
5.5.1预备知识
可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在平面上必存在一条封闭曲线与之对应。平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数：
其特征方程为：
函数在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点，平面上必有一点与之对应。例如，则为：
这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在平面上就必有一个封闭曲线与之对应。
5.5.2影射定理封闭曲线闭环传递函数奈奎斯特闭环系统
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用
5.5.4奈奎斯特稳定判据
5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明
5.5.6含有位于上极点和/或零点的特殊情况
5.6稳定性分析
5.6.1条件稳定系统
5.6.2多回路系统
5.6.3应用于逆极坐标图上的奈奎斯特稳定判据5.6.4利用改变的奈奎斯特轨迹分析相对稳定性5.7相对稳定性
5.7.1通过保角变换进行相对稳定性分析
5.7.2相位裕度和增益裕度
(相位裕度
(增益裕度
5.7.3关于相位裕度和增益裕度的几点说明
5.7.4谐振峰值幅值和谐振峰值频率
5.7.5标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系
5.7.6一般系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系
5.7.7截止频率与带宽
5.7.8剪切率
5.8闭环频率响应
5.8.1单位反馈系统的闭环频率响应
5.8.2等幅值轨迹(M圆)
5.8.3等相角轨迹(N圆)
5.8.4尼柯尔斯图
5.8.5非单位反馈系统的闭环频率响应
5.8.6增益的调整
5.9传递函数的实验确定法闭环频率响应闭环频率响应谐振峰值幅值幅值幅值谐振峰值奈奎斯特稳定盘踞
